Trang 1/2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2022 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 02 trang) Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 180 phút Ngày thi 07/01/2023 Câu[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 07/01/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 02 trang) Câu (4 điểm) 1.1 Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm 1.2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = song với đường thẳng 3x − y + = 2x +1 biết tiếp tuyến song x+2 Câu (6 điểm) 2.1 Giải phương trình: log 32 ( x − 1) − 3log ( x − 1) log ( 3x ) + log 32 ( 3x ) = 2.2 Cho khai triển nhị thức: n n n −1 3x x n −1 3x n x2 − + + Cnn −1 2 + Cnn , ( n ∈ ) Biết khai triển có Cn + 6Cn − 8Cn = 15 số hạng thứ năm 10n Tìm 3x − x2 − x2 2 = + Cn 2 − x2 + Cn 2 n x 2.3 Đầu năm học 2022 - 2023, Trường THPT X tuyển sinh bốn lớp 10 theo tổ hợp môn lựa chọn Khi kết thúc đợt tuyển sinh, thiếu học sinh theo tiêu giao Trong đợt tuyển sinh bổ sung có học sinh đủ điều kiện xét tuyển chọn lớp học theo tổ hợp mơn lựa chọn.Tính xác suất để học sinh có học sinh chọn vào lớp, ba lớp lại có hai lớp lớp có học sinh chọn lớp khơng có học sinh chọn Câu (4 điểm) 3.1 Bạn An có tơn phế liệu hình tam giác có cạnh 60 cm, bạn An dự định cắt bỏ ba góc ba phần cho phần cịn lại hình gồm tam giác ba hình chữ nhật có kích thước (như hình 1), gấp ba hình chữ nhật lại tạo thành chậu hoa hình lăng trụ tam giác (như hình 2): Biết phần cạnh tơn bị cắt bỏ góc 10 cm, tính thể tích chậu hoa Trang 1/2 3.2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân B , ABC = 1200 , AB = a , SB vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) 450 Gọi M trung điểm AC N trung điểm SM Điểm P cạnh SC cho SP = PC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng BN MP Câu (2 điểm) ( − y ) x − y + + x = + ( x − y ) y − ( x, y ∈ ) Giải hệ phương trình: x − y + − 4x − y + 2 y − x + y − = Câu (4 điểm) 5.1 Một cầu bắc qua sơng, mặt gầm cầu có dạng cung AB biểu thị đồ thị hàm số y = x cos + với x ∈ [ −6π;6π] hệ trục toạ độ Oxy với đơn vị trục mét 12 (trục Ox mô tả mặt nước sơng) hình minh họa đây: y A - 6π B O 6π x Biết quy định chiều cao tối đa phương tiện giao thông hàng hóa qua lại gầm cầu phải thấp mặt gầm 0,8 mét Một sà lan chở khối hàng hóa có hình dạng khối hộp chữ nhật với độ cao 5,2 mét so với mặt nước sơng muốn qua gầm cầu Tính bề rộng tối đa khối hàng hóa để sà lan qua gầm cầu quy định (lấy số π =3,14 ) 5.2 Cho ba số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 4] thỏa a ≥ b, a ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a b c + + 3a + 5b b + c c + a - Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:…………………………… Giám thị 1: ………………… Ký tên:…… Giám thị 2:………….……… Ký tên:… Trang 2/2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 07/01/2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU 1.1 (2.0 điểm) Câu (4.0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm Phương trình x3 + mx + =0 ⇔ m =− x − ( x ≠ ) (1) x 2 −2 x3 + Xét f ( x ) = − x − ⇒ f ′( x) = −2 x + = x x x Bảng biến thiên Đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phương trình (1) có nghiệm ⇔ m > −3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x +1 biết tiếp tuyến x+2 song song với đường thẳng 3x − y + = Đạo hàm y′ = với x ≠ −2 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ( x + 2) Phương trình tiếp tuyến có dạng y f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 = 1.2 (2.0 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y + = ⇔ y = x + nên ta điểm) có: =3 2 x + ( ) x0 + =1 x0 =−1 ⇒ y0 =−1 ⇔ ( x0 + ) =⇔ ⇔ x0 + =−1 x0 =−3 ⇒ y0 =5 Với x0 = −1 , phương trình tiếp tuyến = y x + (loại) Với x0 = −3 , phương trình tiếp tuyến = y x + 14 2 2.1 Giải phương trình: log ( x − 1) − 3log ( x − 1) log ( 3x ) + log ( 3x ) = (2.0 x −1 > Điều kiện: ⇔ x > điểm) x > Trang 3/2 Phương trình tương đương 2log ( x − 1) − log ( x ) log ( x − 1) − log ( x ) = Câu (6.0 điểm) 2log ( x − 1) − log ( x ) = (1) ⇔ ( 2) log ( x − 1) − log ( x ) = (1) ⇔ 2log3 ( x − 1) = log ( x ) ⇔ ( x − 1) = x ⇔ x − x + = ⇔ x = ( ) ⇔ log3 ( x − 1) =log3 ( 3x ) ⇔ x − =3x ⇔ x =− ± 21 So với điều kiện suy phương trình có nghiệm x = Cho khai triển nhị thức: n n + 21 n −1 n 3x − x2 3x n + Cn 2 + + Cn , ( n ∈ ) Biết khai triển có Cn + 6Cn − 8Cn = 15 số hạng thứ năm 3x − x2 − x2 2 = + Cn 2 10n Tìm n x Điều kiện n ≥ 4, n ∈ Cn4 + 6Cn3 − 8Cn2 =15 ⇔ n! n! n! +6 −8 =15 4!( n − )! 3!( n − 3)! 2!( n − )! n ( n − 1)( n − )( n − 3) + n ( n − 1)( n − ) − 4n ( n − 1) = 15 24 ⇔ n ( n − 1) ( n − )( n − 3) + 24 ( n − ) − 96 =360 ⇔ 2.2 (2.0 điểm) ( ) ⇔ n ( n − 1) n + 19n − 138 = 360 ⇔ n + 18n3 − 157 n + 138n − 360 = n = ⇔ ( n − ) n3 + 24n − 13n + 60 =0 ⇔ n + 24n − 13n + 60 = ( ) ( ) Do n3 + 24n − 13n + 60= n n + 12n − 13 + 12n + 60 = n ( n − 1)( n + 13) + 12n + 60 > với n ≥ Vậy n = − x 3x Số hạng thứ năm C 2 = 15.2− x +3 x Từ giả thiết có phương trình 15.2− x +3 x =60 ⇔ 2− x +3 x −2 =1 =20 ⇔ x =1 ∨ x =2 Đầu năm học 2022 - 2023, Trường THPT X tuyển sinh bốn lớp 10 theo tổ 2.3 hợp môn lựa chọn Khi kết thúc đợt tuyển sinh, thiếu học sinh theo (2.0 tiêu giao Trong đợt tuyển sinh bổ sung có học sinh đủ điều kiện xét điểm) tuyển chọn lớp học theo tổ hợp môn lựa chọn.Tính xác suất để học sinh có học sinh chọn vào lớp, ba lớp cịn lại có hai lớp lớp có học sinh chọn lớp khơng có học sinh chọn 2 Trang 4/2 Mỗi học sinh có cách chọn lớp nên số cách học sinh chọn lớp 45 học sinh chọn vào lớp có C53 khả Số cách mà học sinh chọn lớp Số cách học sinh thứ tư chọn lớp lớp lại Số cách học sinh cuối chọn lớp lớp lại Vậy xác suất cần tính là: P = C53 4.3.2 15 = 64 45 Bạn An có tơn phế liệu hình tam giác có cạnh 60 cm, bạn An dự định cắt bỏ ba góc ba phần cho phần cịn lại hình gồm tam giác ba hình chữ nhật có kích thước (như hình 1), gấp ba hình chữ nhật lại tạo thành chậu hoa hình lăng trụ tam giác (như hình 2): Câu (4.0 điểm) 3.1 (2.0 điểm) Biết phần cạnh tơn bị cắt bỏ góc 10 cm, tính thể tích chậu hoa A 10 M 30° I = 300 ⇒ MI = 10 Xét ∆AMI vng hình vẽ, ta có AM = 10, MAI Lăng trụ tạo thành lăng trụ tam giác có cạnh đáy 60 − 2.10 = 40 10 chiều cao MI = 402 Tính B = 402 10 V Bh = = 4000 (cm3) Thể tích khối lăng trụ = Trang 5/2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân B , ABC = 1200 , AB = a , SB vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) 450 Gọi M trung điểm AC N trung điểm SM Điểm P cạnh SC cho SP = PC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng BN MP S Q P N K B 60° C D a H 45° M A AC ⊥ BM Ta có ⇒ AC ⊥ ( SBM ) ⇒ AC ⊥ SM AC ⊥ SB = 450 Từ suy góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) góc SMB 3.2 Xét ∆ABM vng M có ABM = 600 nên (2.0 a a , suy AC = a BM AB cos = 600 = , AM AB sin = 600 điểm)= 2 a = 450 nên cân B suy = Xét ∆SBM vuông B có SBM SB BM = Vậy thể tích khối chóp S ABC a a3 1 1 a V = BM AC SB = × × a × = 3 2 24 = QP = PC hay P trung điểm Gọi Q trung điểm SP ta có SQ CQ Xét ∆SMP có NQ đường trung bình ∆SMP nên NQ / / MP Xét ∆ACQ có MP đường trung bình nên MP / / AQ Suy N ∈ AQ Từ suy MP / / ( ABQ ) hay MP / / ( ABN ) ⇒ d ( BN ; MP ) = d ( M ; ( ABN ) ) Gọi H trung điểm BM ta có NH / / SB nên NH ⊥ ( ABC ) Gọi D hình chiếu vng góc H cạnh AB HK đường cao ∆NHD AB ⊥ HD Ta có ⇒ AB ⊥ ( NHD ) ⇒ AB ⊥ HK AB NH ⊥ Lại có HK ⊥ ND nên suy HK ⊥ ( ABN ) ⇒ d ( M ; ( ABN ) ) = 2d ( H ; ( ABN ) ) = HK Trang 6/2 a a , xét ∆BHD vng D có ;= SB BH BM = = 4 a = HD BH = sin 600 Xét ∆NHD vng H , ta có : a a HN HD a 21 8= a= = HK = 2 2 28 HN + HD a 3a + 16 64 a 21 Vậy d ( BN ; MP HK = ) 2= 14 Giải hệ phương trình: Ta có = HN ( − y ) x − y + + x = + ( x − y ) y − x − y + − 4x − y + 2 y − x + y − = (1) ( x, y ∈ ) ( 2) y ≥1 Điều kiện x ≥ ( y − 1) 4 x ≥ y − Ta có (1) ⇔ ( − y ) x − y + + x = − y + ( x − y ) y − + y ⇔ ( − y ) x − y + − 1 + ( x − y ) 1 − y − = ⇔ (2 − y) Câu (2.0 điểm) 2− y x− y + ( x − y) = 1+ y −1 x − y +1 +1 1 ⇔ ( − y )( x − y ) + ( 3) = x − y + + 1 + y − y = 1 + > nên ( 3) ⇔ Vì y x = x − y +1 +1 1+ y −1 Với y = phương trình (2) trở thành − x = ⇔ x = Với y = x phương trình (2) trở thành ( x − x − 3= ) − x ⇔ x2 − x − = − x − ( x − 1) 1± ⇔ x2 − x − 2 + = ⇔ x − x −1 = ⇔ x = 2 − x + ( x − 1) Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm hệ phương trình ( 3;2 ) ( Câu (4.0 điểm) ) 1+ 1+ ; 2 Một cầu bắc qua sông, mặt gầm cầu có dạng cung AB biểu thị 5.1 x (2.0 đồ thị hàm số y cos + với x ∈ [ −6π;6π] hệ trục toạ độ Oxy với = 12 điểm) đơn vị trục mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) hình minh họa đây: Trang 7/2 y A B Biết quy định chiều cao tối đa phương tiện giao thơng hàng hóa qua lại gầm cầu phải thấp mặt gầm 0,8 mét Một sà lan chở khối hàng hóa có hình dạng khối hộp chữ nhật với độ cao 5,2 mét so với mặt nước sông muốn qua gầm cầu Tính bề rộng tối đa khối hàng hóa để sà lan qua gầm cầu quy định (lấy số π =3,14 ) Xét điểm M ( x; y ) nằm cung AB , khoảng cách từ điểm M đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ y điểm M - 6π O y 0,8 A M(x;y) B 5,2 - 6π x O Xét phương trình y = x 6π x 6π x cos + 2= 5, + 0,8= 12 x x 3 = ⇔ cos = 12 12 x x π π Vì x ∈ [ −6π;6π] ⇒ ∈ − ; nên ta có cos = 12 2 12 x π ⇔ =± ⇔ x =±2π hay x = 2π 12 Để sà lan qua gầm cầu quy định bề rộng khối hàng x ≤ 4π = × 3,14 = 12,56 Vậy bề rộng tối đa khối hàng 12,56 mét Cho ba số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 4] thỏa a ≥ b, a ≥ c Tìm giá trị nhỏ ⇔ cos biểu thức: P= a b c + + 3a + 5b b + c c + a a b c 1 + + = + + 3a + 5b b + c c + a + b + c + a a b c 5.2 (2.0 Ta chứng minh + ≥ (*) với x, y > xy ≥ 1 + x + y + xy điểm) Do a, b, c ≠ ta có P= ( ) Dễ thấy (*) ⇔ ( + x + y ) + xy ≥ (1 + x )(1 + y ) ⇔ ( x + y ) xy + xy ≥ x + y + xy ⇔ ( )( xy − x− y ) ≥ với x, y > xy ≥ Đẳng thức xảy x = y xy = Trang 8/2 c a c a a > 0, > = ≥ , áp dụng bất đẳng thức với b c b c c c a 1 ta có: P = = x = ,y + + ≥ + b c a b b c a 1+ 3+5 1+ + 1+ a b c a b Từ giả thiết có c a a = = b c b 2 t + = + Đặt: f ( t ) = với = t + t 3t + t + 3+ t Đẳng thức xảy = f ′(t ) ( ) 2t 3t + − 6t ( 3t +5 ) ( 3t +5 ) ( 10t ( t + 1) − 3t + −= 2 ( t + 1) 3t + ( t + 1) ( −2 t ( 9t − ) + 5t ( 4t − 1) + 25 a , t ∈ [1; 2] b ( t + 1) ) ) < ∀t ∈ [1;2] ⇒ hàm số f (t ) nghịch biến [1;2] 46 Suy P ≥ f ( t ) ≥ f ( ) = 51 a Đẳng thức xảy t = ⇔ = ⇔ a = 4, b = ⇒ c = b Vậy giá trị nhỏ P 46 a 4,= b c = khi= 51 Hết Trang 9/2 ... 6π x cos + 2= 5, + 0,8= 12 x x 3 = ⇔ cos = 12 12 x x π π Vì x ∈ [ −6π;6π] ⇒ ∈ − ; nên ta có cos = 12 2 12 x π ⇔ =± ⇔ x =±2π hay x = 2π 12 Để sà lan qua gầm cầu quy định... ĐỒNG (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 07/01/2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU 1.1 (2.0 điểm) Câu (4.0... − 13n + 60= n n + 12n − 13 + 12n + 60 = n ( n − 1)( n + 13) + 12n + 60 > với n ≥ Vậy n = − x 3x Số hạng thứ năm C 2 = 15.2− x +3 x Từ giả thi? ??t có phương trình