SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH TOANMATH com ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 Môn thi TOÁN Bảng B Ngày thi 02/12/2022 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2022 TỈNH QUẢNG NINH Mơn thi: TỐN - Bảng: B TOANMATH.com Ngày thi: 02/12/2022 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,5 điểm) Cho hàm số y x 3mx m 1 x m3 m có đồ thị C điểm I 1;3 a) Tìm giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng 2022; b) Tìm giá trị tham số m cho C có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị C với điểm I tạo thành tam giác vuông I Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm phân biệt không điểm trùng với đỉnh A, B, C Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp 15 điểm cho (tính điểm A, B, C)? b) Một người chọn ngẫu nhiên số điện thoại, số có mười chữ số ba chữ số đầu cố định 099 Số điện thoại gọi may mắn bốn chữ số chữ số chẵn đôi khác nhau, ba chữ số cuối số lẻ tổng ba chữ số Tính xác suất để người nhận số điện thoại may mắn Câu (5,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB , BC , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABCD Điểm M thuộc đoạn BC cho BM BC Góc đường thẳng SC mặt phẳng SAB 45° a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC c) Gọi H K hình chiếu vng góc A SM SC Chứng minh hình chóp A.CMHK nội tiếp mặt cầu Tính bán kính mặt cầu Câu (1,5 điểm) 45 Mặt phẳng P qua A vng góc với đường Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có góc SAC thẳng SC cắt hình chóp theo thiết diện Tính tỉ số diện tích thiết diện diện tích đáy ABCD theo Câu (3,0 điểm) 4 x y x y x Giải hệ phương trình: 3y2 4x 2x 1 Câu (1,5 điểm) x, y Cho số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c Chứng minh: 1 1 1 3 3 3 log a b log b c log c a 4 4 4 4 4 4 - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm./ Họ tên thí sinh: Số báo danh: NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4.5 điểm) Cho hàm số y = − x + 3mx − ( m − 1) x + m3 − m có đồ thị ( C ) điểm I ( −1;3) a) Tìm giá trị tham số m để hàm số nghịch biến khoảng ( 2022; +∞ ) b) Tìm giá trị tham số m cho ( C ) có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị ( C ) với điểm I tạo thành tam giác vuông I a) Tập xác định D = y′ = −3 x + 6mx − ( m − 1) Lời giải y′ = ⇔ −3 x + 6mx − ( m − 1) = ⇔ − x + 2mx − ( m − 1) = (*) Ta có ∆′ = b′2 − ac = m − m + = > ∀m ∈ ⇒ pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ ( C ) ln có hai điểm cực trị x= m + y′= ⇔ x2= m − Dễ thấy x1 > x2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến ( 2022; +∞ ) Vậy m ≤ 2021 thỏa yêu cầu m + ≤ 2022 ⇔ m ≤ 2021 b) Hai điểm cực trị ( C ) A ( m + 1; 2m + ) , B ( m − 1; 2m − ) IA ( m + 2; 2m − 1) , IB ( m; 2m − ) Theo giả thiết tam giác ABI vuông I ⇔ IA.IB = ⇔ m ( m + ) + ( 2m − 1)( 2m − ) =0 ⇔ 5m − 10m + =0 ⇔ m =1 Vậy m = Câu 2: (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC , CA lấy điểm phân biệt không điểm trùng với đỉnh A, B, C Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp 15 điểm cho (tính điểm A, B, C ) Lời giải Số cách lấy điểm tùy ý từ tập hợp 15 điểm C153 Số cách lấy điểm thuộc cạnh tam giác 3C63 TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Vậy số tam giác có đỉnh thuộc tập hợp 15 điểm cho C153 − 3C63 = 395 b) Một người chọn ngẫu nhiên số điện thoại, số có mười chữ số ba chữ số đầu cố định 099 Số điện thoại gọi may mắn bốn chữ số chữ số chẵn đôi khác nhau, ba chữ số cuối số lẻ tổng ba chữ số Tính xác suất để người nhận số điện thoại may mắn Lời giải Giả sử số điện thoại là: 099a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 (trong a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 ∈ {0;1; ,;9} ) Ta có: n ( Ω ) =107 Gọi A = “Số điện thoại may mắn” Khi đó: Có A54 cách chọn a1 , a2 , a3 , a4 TH1: a5 , a6 , a7 số (1;3;5 ) ⇒ 3! cánh chọn TH2: a5 , a6 , a7 số (1;1;7 ) ⇒ cánh chọn TH3: a5 , a6 , a7 số ( 3;3;3) ⇒ cánh chọn A ) A54 ( 3!+ += 1) 1200 ⇒ n(= Xác suất để người nhận số điện thoại may mẵn P= ( A) Câu 3: n ( A ) 1200 = = 0, 00012 n ( Ω ) 107 (5.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = , BC = , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Điểm M thuộc đoạn BC cho BM = BC Góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) 45° a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC c) Gọi H K hình chiếu vng góc A SM SC Chứng minh hình chóp A.CMHK nội tiếp mặt cầu Tính bán kính mặt cầu Lời giải BC ⊥ AB = 45° a) Do ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Ta có ( SC , ( SAB )= ) ( SC , SB=) CSB BC ⊥ SA Suy ∆SBC vuông cân B Khi SB = BC = SC = SB − AB 2= 36 − 9= 3 1 Vậy thể tích khối chóp S ABCD V = = SA.S ABCD = 3.3.6 18 (đvtt) 3 Trong ∆SAB vng A , ta có SA= Trang TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI NHĨM TOÁN VDC&HSG THPT b) NĂM HỌC 2022 - 2023 Cách 1: BN Trong ( ABCD ) kẻ MN / / AC với N ∈ AB Suy = 1 = AB ; AN = ; = BM = BC ; 3 1 AC= AB + BC = + 36 = ; AM = AB + BM = 3 Khi AC / / ( SMN ) ⇒ d ( AC , SM= ) d ( AC , ( SMN )=) d ( A, ( SMN ) ) MN = 9+4 = 13 Trong ( ABCD ) kẻ AP ⊥ MN với P ∈ MN Trong ( SAP ) kẻ AQ ⊥ SP (1) với Q ∈ SP MN ⊥ AP Do ⇒ MN ⊥ ( SAP ) ⇒ AQ ⊥ MN ( ) MN ⊥ SA Từ (1) (2) suy AQ ⊥ ( SMN ) Vậy d ( AC , SM ) == d ( A, ( SMN ) ) = AQ = Ta có AP d= ( A, MN ) 2 AB.BC 3.6 = d= ( B, AC ) = 3 AB + BC + 36 = Trong ∆SAP vng A ta có AQ Cách 2: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI SA AP = SA2 + AP 3 12 453 = 151 16 27 + Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với ( ) A ≡ O ( 0;0;0 ) ; B ( 3;0;0 ) ; D ( 0;6;0 ) ; C ( 3;6;0 ) ; S 0;0;3 ; M ( 3; 2;0 ) SM 3; 2; −3 AC = ( 3;6;0 ) , AM = ( 3; 2;0 ) Ta có = AC , SM = 151 Suy AC , SM =−18 3;9 3; − 12 ⇒ AM AC , SM = −36 AM AC , SM 36 12 12 453 SM ) Ta có d ( AC , = = = = 151 151 151 AC , SM c) ) ( ( ) Gọi O , J trung điểm AC , AM Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI NHĨM TỐN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Dựng trục ∆AHM ∆AKC Hai trục trung trực đoạn thẳng AC , AM nên giao điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACM Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.CMHK bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ACM 1 AB= BC = 3.6 (đvdt) Ta có S= ∆ABC 2 1 AB= BM = 3.2 (đvdt) S= ∆ABM 2 Suy S ∆AMC = S ∆ABC − S ∆ABM = − = (đvdt) Mặt khác MC = BC AC = AB + BC = + 36 = ; AM = AB + BM = + = 13 ; = Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ACM AM AC.MC AM AC.MC 13.3 5.4 65 = ⇔R = = Ta = có S ∆AMC (đvtt) 4R S ∆AMC 4.6 = 1800 − A − B = 750 Vậy: C Câu 4: (1.5 điểm) = α > 450 Mặt phẳng ( P ) qua A vng Cho hình chóp tứ giác S ABCD có góc SAC góc với đường thẳng SC cắt hình chóp theo thiết diện Tính tỉ số diện tích thiết diện diện tích đáy ABCD theo α Lời giải H AC ∩ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Gọi = I Gọi K giao điểm ( P ) SC ⇒ AK ⊥ SC AK ∩ SH = B′D′//BD B′D′ qua I Ta có SC ⊥ BD ⇒ ( P ) //BD ⇒ ( P ) ∩ ( SBD ) = Vậy thiết diện ( P ) với hình chóp S ABCD tứ giác AB′KD′ có AK ⊥ B′D′ = SCA = α > 450 Theo giả thiết tam giác SAC tam giác cân S SAC Đặt cạnh đáy hình vng ABCD a a a tan α , AK = = a sin α , SA = SC = Ta có: SH 2 cos α Trong tam giác vuông SAK ta có TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT SK = SA2 − AK = NĂM HỌC 2022 - 2023 2a − 2a sin α = cos α 2a − 4sin α cos α a cos 2α = cos α cos α Vì tứ giác CHIK nội tiếp nên: SI SH = SK SC ⇒ SI = Vậy ta có = B′D′ cot 2α SI = BD 2a SH tan α cos 2α SK SC = a = a cot 2α SH sin 2α = AK B′D′ 2a cos α cot 2α Diện tích tứ giác AB′KD′ = S AB′KD′ Diện tích tứ giác ABCD S = a S AB′KD′ 2a cos α cot 2α = = cos α cot 2α Vậy tỉ số diện tích là: S ABCD a2 Câu 5: (3.0 điểm) ) ( x + − y − x + 1= y − x Giải hệ phương trình: 3y2 − + 4x − = 2x +1 Lời giải ( x, y ∈ ) 3 y − ≥ 3 y − ≥ Điều kiện hệ phương trình: ⇔ 4 x − ≥ x ≥ ( ) x + − y − x + 1= y − x ⇔ 2x +1− y2 ( ) ( x + 1) ( ) ( + ( x + 1) y − x + y − x ) + 1 =0 x + =y ( 3) ⇔ +1 = ( 4) 3 ( x + 1) y − x + y − x x + + ( ) ( ) x +1 3 x y2 − x + ( x + 1) + ( x + 1) y − x + y −= + ( ) ( x +1 ) > 0, ∀x ≥ ,3 y − ≥ Do (4) vơ nghiệm 2 x + ( 3) vào phương trình Thay y= y − + x − = x + ta phương trình 6x − + 4x − = 2x +1 Cách 1: x ≥ 6x − + 4x − = 2x +1 ⇔ ( x + 1) − 1 = 6x − − 4x − Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI NHĨM TỐN VDC&HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 6x − − 4x − = = − Do x + > ∀x ≥ x − − x − 4 x ≥ ⇔ 6x −= 3 x ≥ x ≥ 4 ⇔ ⇔ x − + 6 x −= 4x − +1+ 4x − x 4x − = x≥ x = x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x =1 = x x − 4x + = x = Thay x = vào (3) ta y =⇔ y= ± (nhận) Thay x = vào (3) ta y = 7⇔ y= ± (nhận) S Vậy hệ cho có tập nghiệm = {(1; ) , (1; − ) , (3; − ) , (3; )} Cách 2: x − + x − = x + ⇔ x − − ( x + 1) + x − − x = − x2 + x − = −x + 4x − −x + 4x − ⇔ + = 0⇔ 1 + = VN voi x ≥ 6x − + x +1 4x − + x x − + x + 4x − + x 2 3 4 x = ⇔ x = Thay x = vào (3) ta y =⇔ y= ± (nhận) Thay x = vào (3) ta y = 7⇔ y= ± (nhận) S Vậy hệ cho có tập nghiệm = {(1; ) , (1; − ) , (3; − ) , (3; )} Câu (1.5 điểm) < a, b, c < Chứng minh 1 1 1 3 3 3 log a b − + log b c − + log c a − ≥ 4 4 4 4 4 4 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM − GM cho số thực dương ta có 1 1 ( 3b − 1=) ( 3b − 1) ≤ b3 b − 4= 2 1 1 1 ( 3c − 1=) ( 3c − 1) ≤ c3 , kết hợp với < a, b, c < ta được: c − = 4 2 1 1 ( 3a − 1=) ( 3a − 1) ≤ a3 a − = 4 2 Cho số thực a , b , c thỏa mãn 1 1 1 3 3 3 log a b − + log b c − + log c a − ≥ log a b3 + log b c3 + log c a 4 4 4 4 4 4 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang NHĨM TỐN VDC&HSG THPT = ( log a b + log b c + log c a ) NĂM HỌC 2022 - 2023 AM −GM ≥ log a b.log b c.log c a= 1 1 1 3 3 3 Vậy log a b − + log b c − + log c a − ≥ 4 4 4 4 4 4 Dấu " = " xảy khi: a= b= c= - Hết Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI ... , a7 số ( 3;3;3) ⇒ cánh chọn A ) A54 ( 3!+ += 1) 120 0 ⇒ n(= Xác suất để người nhận số điện thoại may mẵn P= ( A) Câu 3: n ( A ) 120 0 = = 0, 00 012 n ( Ω ) 107 (5.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD... = SA.S ABCD = 3.3.6 18 (đvtt) 3 Trong ∆SAB vng A , ta có SA= Trang TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI NHĨM TOÁN VDC &HSG THPT b) NĂM HỌC 2022 - 2023 Cách 1: BN Trong ( ABCD ) kẻ MN / / AC với N ∈... BC + 36 = Trong ∆SAP vng A ta có AQ Cách 2: TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI SA AP = SA2 + AP 3 12 453 = 151 16 27 + Trang NHĨM TỐN VDC &HSG THPT NĂM HỌC 2022 - 2023 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình