Cac dang rut gon bieu thuc on thi vao lop 10 chon locdocx

RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức Phương pháp Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau B1 Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó l[.]

RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Phương pháp Để tìm điều kiện xác định biểu thức ta làm sau B1: Đưa điều kiện xác định biểu thức lưu ý số kiến thức sau A xác định  A ≥ (biểu thức A đa thức) A B xác định  B ≠ (biểu thức A, B đa thức) A B xác định  B > (biểu thức A, B đa thức) B2: Giải điều kiện kết hợp điều kiện B3: Kết luận Ví dụ Tìm điều kiện xác định biểu thức P x x   x x1 x 1 Giải P x x x      x x1 x 1 x1 x 1  x 0   x  0  Điều kiện  x  0   x 0   x 1   x    x 0   x 1 Vậy điều kiện xác định P x ≥ x ≠ Ví dụ x   x1  x 1 P Tìm điều kiện xác định biểu thức   x 2 x  3 x    x 1 3 x x  x  Giải   x  x  x   x    P x 2 x    x 1 x  3 x5    x1  x 1 x 1    x 1   x 1 x3  x3  x 0   x  0    x  0   x 0   x     x 3  x 0   x 9 Điều kiện xác định P Vậy điều kiện xác định P x ≥ x ≠ Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, chứa phân thức đại số Phương pháp Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Ở bước ta hay áp dụng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như: 2 Sử dụng đẳng thức A  B  A  B   A  B   x x  1  x x 4    12  x1   22  x2 Sử dụng đẳng thức  x x x  1   13    x 1 x 2  A  B3  A  B   A  AB  B2    x  x  x 1  Sử dụng đẳng thức  x x x 1   A  B3  A  B   A  AB  B2    13   x 1 x  x 1 2 Sử dụng đẳng thức  A  B  A  2AB  B   x x 4 x   x.2  2  Sử dụng đẳng thức  A  B   x x 6 x 9  2 x  A  2AB  B2   x.3  32  x 3  A A A A A A  ;  ;  B B B + Đổi dấu phân thức: B  B B Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn Ví dụ  x    x 2 P     : x  2 x  x x    Rút gọn biểu thức Giải  x    x 2 P     : x  2 x  x x    x  1  x  2  x    x 2 P     : x  x  x x   x  1  x  2  P    x     : x   x x2    x1 x     x  x 1    P :  x x        x  1  x  2   x 2   x  x  x x    x1     x  1  x  2 với x > 0, x ≠ P P P x 1 x  x  x 1 x  x  x 1 x  x  : : x 4 x x x  x  x  x  x x x x   x 1 x Vậy kết rút gọn biểu thức cho là: P x 1 x4 Chú ý: Ví dụ đề cho trước điều kiện biểu thức nên ta tìm Nếu đề chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rút gọn Ví dụ  x 1 x x 2 x  x Q    :  x x  x    x 4 x 4 Rút gọn biểu thức với x > 0, x ≠ 4, x ≠ Giải  x 1 x x 2 x  x Q    :  x x  x    x 4 x 4  x 1 x x 2 x  x Q    : x  x  x    x 4 x 4  x 1 x Q     x x 2  Q   x 1  x  x 2  x   x x : x 2  x 4 x 4  x 2 x       x   x 2 x 2   : x 3 x   x  2 Q Q Q x  x   2x  x  x   x   x2 x  x  x    x x 2 x    x 2  x 2      x x 2  x 3  x 2   x x 3  x 2 x 3   x   Vậy kết rút gọn biểu thức cho là: x 2 x3 Q x 2 x3 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Phương pháp Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị biểu thức x = a (a số thực) Cách giải: + Nếu biểu thức P(x) rút gọn biểu thức ta thay x a tính + Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn ta rút gọn P(x) thay x a tính Chú ý: Đôi ta phải biến đổi số thực a trước thay vào biểu thức P(x) Ví dụ 1: Cho biểu thức  x  P   : x x    x x   x 1 với x > Tính giá trị P x = Giải Ta thấy x = thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn giá trị biểu thức P x=4  x  P   : x x    x x   x 1  x 1  x P   x x 1   P P  x 1  x x   x 1  :  x  x  x   x 1  x 1 x x 1  x x Khi x = x 1  x 1    x P Vậy x = P  x  4  2 x P     : x  2 x  x x    Ví dụ 2: Cho biểu thức với x > x ≠ Tính giá trị P x 3 x   x  2 Giải Ta thấy x x 3 3 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn giá trị biểu thức P  x  4  2 x P     : x  2 x  x x     P    x  P  x    :  x  x x2    x x x  x 4 x x   x  2   :    x  2  x x  x  2 x 2 x   x  2 4 x 4 P x x  4 x 4 P P  x  x  x 4 x : x  x  4 : x   x   4 x 4 x    x1 4 4 x 3 Ta có  5 x   Khi Vậy x  5  1        4   2   1 51  1 5 1 P   1     1  2    3 P 5 Dạng 4: Tính giá trị biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q số biểu thức biến với biểu thức P) Cách giải: B1: Tìm điều kiện xác định P(x) B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại Bài tốn 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q số biểu thức biến với biểu thức P) Cách giải: B1: Tìm điều kiện xác định P(x) B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x B3: Đối chiếu nghiệm tìm với điều kiện thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại Ví dụ Ví dụ 1: Cho P x1 x  với x ≥ Tìm x biết P  x Giải P  x  x1  x x 2  x   x  x 2   x 3 x  0 (*) Đặt t  x (t ≥ 0), phương trình (*) trở thành: t  3t  0 Ta có  9  4.1.( 1) 13  nên phương trình t  3t  0 có hai nghiệm phân biệt t Với t   13   13 t 2 (nhận) , (loại)   13  x   13 2    13  22  13 11  13 x        11  13 x Ta thấy > (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0) 11  13 x Vậy với P  x Ví dụ 2: Cho P x3 x  với x ≥ 0, x ≠ Tìm x biết P  Giải P 1  x3 1 x  x3  1 x  Vì -1 < nên bất phương trình (*)  x  3 x 2 0 x  x  20  1   * x x 2 x < Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ ta có giá trị x cần tìm ≤ x < Dạng 5: Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức nhận giá trị nguyên Phương pháp P x  TH 1: Nếu sau a Q x ( a số thực, Q(x) biểu thức x) ta làm B1: Tìm điều kiện xác định P(x) B2: Lập luận để biểu thức a Từ tìm x a Q x nhận giá trị nguyên Q(x) phải ước B3: Đối chiếu x tìm với điều kiện thỏa mãn nhận, khơng thỏa mãn loại A x B  x  ( A(x), B(x) biểu thức x bậc A(x) TH 2: Nếu lớn bậc B(x)) ta làm sau P x  B1: Tìm điều kiện xác định P(x) P x  B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) dạng A x a Q(x)  B x  B(x) ( a số thực) B3: Làm tương tự trường hợp Ví dụ 1: Cho P x  Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Giải Điều kiện xác định P là: x ≥ x  ước 3, tức Để P nguyên x    x  (vô nghiệm) x    x  (vô nghiệm) x  nhận giá trị -3, 3, -1, x  3  x 2  x 4 (thỏa mãn x ≥ 0) x  1  x 0  x 0 ( thỏa mãn x ≥ 0) Vậy với x = 0, x = biểu thức P nguyên Ví dụ 2: Cho P x x  Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Giải Điều kiện xác định P là: x ≥ 0, x ≠ Ta có P x  x   3( x  2)  4   3  x x x x Để P nguyên x  ước 4, tức x  nhận giá trị -4, 4, -1, 1, -2, x    x  (vô nghiệm) x    x 0  x 0 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ ) x    x 1  x 1 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4) x  4  x 6  x 36 ( thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4) x  2  x 4  x 16 (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4) x  1  x 3  x 9 ( thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 4) Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 biểu thức P nguyên Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm sau +B1: Tìm điều kiện xác định P +B2: Rút gọn P cần +B3: Chứng minh yêu cầu đề đặt Ví dụ Cho A 1 A x  , chứng minh x2 x 1   x x  x  x 1 Giải Ta có A x 2 x 1   x x  x  x 1  x1 x 2    x  x  x 1  x 1  x  x 1 x1 Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ A x 2 A x  Ta có  x x 1 x A    x 1  Rút gọn biểu thức A    x  x  x 1 x   x  1 x    x   x  x 1  x1  x  x  x 1 x  1    x  1  x  1 x  x  1 x  x x x 1 x    * x  x 1 Vì x ≥ nên x  x   3(x  x  1)  Nhân hai vế (*) với 3(x  x  1) ta bất đẳng thức chiều    3 x   x  x 1 x  x 1 x 1  x  x  x 1  x  x 1   ≥ 0, x ≠ 1thì A   x  0 (luôn với x ≥ 0, x ≠ 1) Vậy với x Ví dụ 2:   1 a 1 a 1 P        a2 a 1 a  1 a  a   a    Cho biểu thức với < a < Chứng minh P = –1 Giải Với < a < ta có:  1 a P    1 a  1 a    1 a 1  a  1  a     1 a    1 a  1 a 1 a   1 a   1 a      a   2  a2 a  1 a        (1  a)(1  a)     a2 a 1 a         a  a  1 a 1 a      a a  a   a  a   a     a   a    a  a      a  1 a  1 a      a   a    a  a      2a  1 a  1 a      a   a  a  a  (1  a)  (1  a) 2a 1 a  1 a 1 a  1 a   1 a  1 a   1 a  1 a  1 a  1 a  2a  1 a  1 a  2a 1 a  1 a 2a    2a 2a Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh) Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN biểu thức Phương pháp Cách 1: Ta biến đổi biểu thức dạng tổng hiệu biểu thức không âm số - Nếu biến đổi biểu thức dạng tổng biểu thức không âm số ta tìm GTNN - Nếu biến đổi biểu thức dạng hiệu số biểu thức khơng âm ta tìm GTLN Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si a b  ab Cho hai số khơng âm a b ta có: Dấu ‟ = ” xảy a = b Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a  b  a  b Dấu ‟ = ” xảy a.b ≥ Ví dụ 1: Cho P x  , tìm GTLN biểu thức P Giải Điều kiện xác định P là: x ≥ Ta có x ≥  x 0  Dấu ‟ = ” xảy  x = x  2  1   x 2 3  x 2 Vậy GTLN P đạt x = Ví dụ 2: Cho Q Q x  x  10  x x  x  x3  x 0;x 9  x 2 , tìm GTLN biểu thức Giải Với x 0; x 9 x  x  10 Q  x  x 2 x  x  x  10   x    x  2  x3  x 2   x x  x  10 x  x  10   x2  x3    x  x3  x2 x3  x  x  10  x    x3   x3  x 2    x 2 x 2   x 2  x 2 x3   x 3 x 2 x3 x  x3   x 2  x 2 Q x 2 Vậy với x 0; x 9 Vì x ³ với x 0; x 9 nên x  2 với x 0; x 9 1  x  2 với x 0; x 9 Vậy Q đạt giá trị lớn x = (thỏa mãn x 0; x 9 )  Ví dụ 3: Cho biểu thức biểu thức Q Q  x  27  x  , với x ³ 0, x ¹ Tìm giá trị nhỏ Giải x  27 x   36 x  36 Q    x ³ 0, x ¹ , ta có: x 3 x 3 x 3 x 3 Với   x 3  x3  36 x 3 x 3 36  x  3   x 3 Áp dụng Co-si cho hai số dương:   x 3   Q    36 2 x 3  x 3  Dấu “=” xảy mãn điều kiện)    x 3  36 x 3 36 x  ta có x  3; 36 12 x 3  x 3 36   12 6 x 3 x 3 36  x 3   x  36  x  6  x 9 (thỏa Vậy giá trị nhỏ Q đạt x = Bài tập áp dụng P 2x  x x  x x    x x x x  x , với x  0; x 1 Bài 1: Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức P b So sánh P với  x x 3x    x   P     1  : x  x  x  x      với x 0; x 9 Bài 2: Cho a Rút gọn biểu thức P P b Tìm x để ỉ 1 M =ỗ ỗ ỗ ố x- x xBi 3: Cho biểu thức a Rút gọn M b Tìm x ngun để M có giá trị ngun x- ữ ; x > 0, x ÷ ÷ 1ø x + x  x x  2 2 x  P    :   ;x  0, x 1 x  x x  x( x  1)     Bài 4: Cho biểu thức a Rút gọn P b Tìm x để P = Bài 5: Cho hai biểu thức Với x 0, x 1 A x   x x 3 x 1 B ; x  x 2 a Tính giá trị biểu thức B x = b Rút gọn biểu thức A c Tìm x để A = B  x 2 x 4x  x  x  P    :  x x x  x    Bài 6: Cho biểu thức a Rút gọn P; b Tính giá trị P x    c Tìm x để P = 9 ;  x1 x   x x  2x  x  P    x  x  x  x  18   Bài 7: Cho biểu thức a Rút gọn P; b Tìm giá trị x để P > 0; c Tìm giá trị x để P < P Bài 8: Cho biểu thức a Rút gọn P; x 2 x1 x1   x x 1 x  x 1 x  3; b Tìm x để c Chứng minh với giá trị x làm cho P xác định P  P  x  x    x 1 x  x   P     :  x  x  x  2  x 2 x  x  2  Bài 9: Cho biểu thức a Rút gọn P; b Tìm giá trị nhỏ P x1 P 2 c Tìm x để x  8x  x  x P   : x 1  x  x  x Bài 10: Cho biểu thức: , với x > a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x = 13 c Tìm x để P = Bài 11: Cho biểu thức: x 10 x   x  x  25 A x  , với x  x  25 a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị A x = c Tìm x để A < Bài 12: Cho biểu thức: P x x8  3(1  x 2 x 4 x ) (x 0) a Rút gọn biểu thức A 2P Q  P nhận giá trị b Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức nguyên A Bài 13: Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A x x1 x9 B  x  ( Với x  0, x 9 ) x x3 b Tính giá trị A x   A 1 c Tìm x để biểu thức B A m d Tìm giá trị m để có x thỏa mãn B Bài 14: Cho biểu thức   A   : x  1 x x a Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b.Tim giá trị x để A x 1   x1 c.Tìm giá trị lớn biểu thức P = A - x x 8x x1  ):(  )  x  x x  x x Bài 15: Cho biểu thức P = ( a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = -1 c Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x  3)P  x  x x 1 x 3   x  2 x Bài 16: Cho biểu thức M = x  x  a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x ¿ Z để M ¿ Z Bài 17: 1) Cho biểu thức A x 4 x  Tính giá trị A x = 36  x  x  16 B   : x  x    x  (với x 0;x 16 ) 2) Rút gọn biểu thức 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên B a  a3 a  a  a  với a 0;a 9 Bài 18: Cho biểu thức a) Rút gọn B b) Tìm số nguyên để B nhận giá trị nguyên  x3 x 2 9 x   x  9 P     : 1   x   x  x x  x     Bài 19: Cho biểu thức (với x  0; x 4;x 9 ) a) Rút gọn biểu thức P x b) Tính giá trị biểu thức P  3.(  1) 62  20: Với x > 0, cho hai biểu thức A 2 x x  x 1 B  x x x x Bài a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B A  B c) Tìm x để Bài 21: Cho biểu thức ( Với x  0, x 1 ) A x x x 1  2x  x   x x  x x x x x2  x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên   x  1 x   P      : x x x x     Bài 22: Cho biểu thức , (với x > x 1 ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  2022  2018  2022  2018  x x x x x 3 x1 B    x x1  x  2x  x   Bài 23: Cho biểu thức x x  0; x  ) (với Tìm tất giá trị x để B > Bài 24: Cho hai biểu thức x 0,x 25 A x 2 20  x B  x  25 x  x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x = B x  2) Chứng minh 3) Tìm tất giá trị x để A B x  với ...  x  10  x x  x  x3  x 0;x 9  x 2 , tìm GTLN biểu thức Giải Với x 0; x 9 x  x  10 Q  x  x 2 x  x  x  10   x    x  2  x3  x 2   x x  x  10 x  x  10  ...  x  x P   : x 1  x  x  x Bài 10: Cho biểu thức: , với x > a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x = 13 c Tìm x để P = Bài 11: Cho biểu thức: x 10 x   x  x  25 A x  , với x  x... 2  x3  x 2   x x  x  10 x  x  10   x2  x3    x  x3  x2 x3  x  x  10  x    x3   x3  x 2    x 2 x 2   x 2  x 2 x3   x 3 x 2 x3 x  x3