CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP 9 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL (NÂNG CAO) Câu 1 Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx + 1 Gọi A (x1; y1) và B (x2; y2) là các giao điểm của (d) và[.]
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN LỚP SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL (NÂNG CAO) Câu 1: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (d) (P) Tìm m để biểu thức M = (y1 − 1)( y2 − 1) đạt giá trị lớn A m = B m = C m = D m = −1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng Parabol là: x2 = mx + x2 – mx – = (1) = m2 + > với m nên 91) có hai nghiệm phân biệt, suy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A (x1; y1) B (x2; y2) với x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = m; x1.x2 = −1 Vì A; B (P) y1 = x12; y2 = x22 Ta có M = (y1 − 1)(y2 − 1) = (x12− 1) (x22 − 1) = x12 x22 – (x12 + x22) + = x12 x22 + x12 x22 − (x1 + x2)2 + = – − m2 + = −m2 Vậy MaxM = m = Đáp án cần chọn là: A Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y m 1 x (m tham số) Trong trường 3 hợp (P) (d) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm x1; x2 Đặt f (x) = x3 + (m + 1)x2 – x đó? A f(x1) − f(x2) = (x1 − x2)3 B f(x1) − f(x2) = (x1 − x2)3 C f(x1) − f(x2) = −(x1 − x2)3 (x1 − x2)3 D f(x1) − f(x2) = Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) ta có: x2 2 m 1 3x2 + 2(m + 1)x – = 10 (1) 3 Ta thấy phương trình (1) có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt m nên (P) (d) cắt hai điểm phân biệt với m 2 m 1 3 x1 x x1 x m Theo hệ thức Vi-ét x x 3x x 1 Vì f(x) = x3 + (m + 1)x2 – x nên ta có: f(x1) − f(x2) = x13 – x23 + (m + 1)(x12 – x22) − x1 + x2 2(f(x1) − f(x2)) = 2x13 – 2x23 − 3(x1 + x2)(x12 – x22) − 2x1 + 2x2 3 (x1 + x2)) = −x13 + x23 + 3x1.x2 (x2 – x1) – 2(x1 − x2) = −x13 + x23 + (x1 − x2) – 2(x1 − (vì m + = x2) = −(x13 − x23 − 3x1.x2 (x1 – x2)) = [(x1 − x2)( x12 + x22 − x1.x2)] = (x1 − x2)3 (x1 − x2)3 Đáp án cần chọn là: D Nên f(x1) − f(x2) = Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx 2 parabol (P): y x Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B Tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB thỏa mãn phương trình đây? A y = x2 B y = x2 y x Lời giải C y = x D 1 x = kx 2 x2 – 2hx – = (*) Nhận thấy a = 1; c = −1 trái dấu nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B với k Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) xA; xB hai nghiệm phương trình (*) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): 1 yA = kxA ; yB = kxB 2 xA xB x M Tọa độ trung điểm M đoạn AB y yA yB k x A x B M 2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: xA + xB = 2k nên xA xB x x M k M y = x M M 2 y yA yB k x A x B y M k M 2 Đáp án cần chọn là: A Câu 4:Trên parabol (P): y = x2 ta lấy ba điểm phân biệt A (a; a2); B (b; b2); C (c; c2) thỏa mãn a2 – b=b2 – c=c2 – a Hãy tính tích T = (a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) A T = B T = C T = −1 D T = Lời giải Từ đề a2 – b=b2 – c=c2 – a suy a2 – b2 = b – c nên a + b = bc bc a c a+b+1= +1= ab ab ab Tương tự ta có b + c + = ba cb ;c+a+1= bc ca ba cb a c + + = −1 ab bc ca Đáp án cần chọn là: C Vậy T = 11 Câu 5: Cho parabol (P): y x đường thẳng d: y x Gọi A, B giao điểm (P) d Tìm tọa độ điểm C trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ 3 A C ;0 2 3 B C 0; 2 1 C C ;0 2 3 D C 0; 2 Lời giải Hoành độ A B nghiệm phương trình Phương trình có hai nghiệm: x = x = 11 x x 3 Suy A (4; 4), B ; 16 Dễ thấy hai điểm A, B nằm phía so với trục tung (do có hồnh độ dương) Lấy điểm A’ ( − 4; 4) đối xứng với A qua trục tung Khi CA + CB = CA’ + CB A’B, nên CA + CB đạt giá trị nhỏ A’, C, B thẳng hàng, tức C giao điểm đường thẳng A’B với trục tung Phương trình đường thẳng d’ qua A’ B có dạng y = ax + b a 4 4a b Ta có hệ Suy d’: y = x 16 a b b Suy giao điểm (d’) với trục tung có hồnh độ x = y 3 C 0; 2 Đáp án cần chọn là: B Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y x đường thẳng (d): x – 2y + 12 = Gọi giao điểm (d) (P) A, B Tìm tọa độ điểm C nằm (P) cho tam giác ABC vuông C A C (2; 1) B C (1; 2) C (1; 0) D (0; 2) Lời giải Ta có (d): y x Phương trình hồnh độ giao điểm: x y x x6 x 4 y Vậy giao điểm A (6; 9), B (−4; 4) Gọi C c; c2 (P) (c 6, c −4) điểm cần tìm 1 Ta có AB = 125; AC = (c – 6) + c = c4 c2 − 12c + 117 16 4 2 2 1 BC = (c + 4) + c = c4 c2 8c 32 16 4 Tam giác ABC vuông C AB2 = AC2 + BC2 125 = c c 12c 117 c c 8c 32 16 16 1 1 c4 c2 4c 24 c c3 c3 c 4c 8c 12c 24 8 4 1 c3 (c 2) c2 c c 12 c c 1 c c c 4c 12 c c 4c 12 8 8 c (n) c 1 c 4 (l) c c 8c 16 c (l) 8 Vậy C (2; 1) điểm thỏa mãn đề Đáp án cần chọn là: A Câu 7: Tìm phương trình đường thẳng (d) qua điểm I (0; 1) cắt parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt M N cho MN = 10 A y = 2x + 1; y = −2x – C y = 2x + 1; y = 2x – B y = 2x + 1; y = −2x + D y = −2x + 2; y = −2x + Lời giải Đường thẳng (d) qua I với hệ số góc a có dạng: y = ax + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) x2 = ax + x2 − ax – 1=0 (1) Vì = a2 + > với a, (1) ln có hai nghiệm phân biệt nên (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt M (x1; y1), N (x2; y2) hay M (x1; ax1 + 1), N (x2; ax2 + 1) Theo định lý Vi-ét ta có: x1 + x2 = a, x1x2 = −1 MN = 10 (ax1 + − ax2 − 1)2 = 40 (a2 + 1) (x2 – x1)2 = 40 (a2 + 1)[ (x2 + x1)2 – x1.x2] = 40 (a2 + 1) (a2 + 4) = 40 a4 + 5a2 – 36 = (a2 + 9)(a2 – 4) = a2 = a = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = 2x + 1; y = −2x + Đáp án cần chọn là: B Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình x y Gọi (d) đường thẳng qua I (0; −2) có hệ số góc k Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B trục hồnh Khi tam giác IHK tam giác? A Vuông H C Vuông I B Vuông K D Đều Lời giải Đường thẳng (d): y = kx – x kx x2 + 2kx – = (1) Xét phương trình Ta có: ' = k2 + > với k; suy (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Suy A (x1; y1), B (x2; y2) H (x1; 0), K (x2; 0) Khi IH2 = x12 + 4, IK2 = x22 + 4, HK2 = (x1 – x2)2 Theo định lý Vi-ét x1x2 = −4 nên IH2 + IK2 = x12 + x22 + = KH2 Vậy tam giác IHK vuông I Đáp án cần chọn là: C Câu 9: Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = Biết đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B Gọi x1; x2 hoành độ điểm A, B Tìm giá trị lớn Q x1 x x12 x 2 A −1 B C D Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x2 = mx + x2 − mx − = Ta có = m2 + 16 > 0, với m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt, suy đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1 x m Theo định lý Vi-ét ta có: x1.x 4 Ta có: Q x1 x x1 x 2x1x Q 2m m2 Ta xét m2 + – (2m + 7) = m2 – 2m + = (m – 1)2 0; m nên m2 + 2m + 2m 1 m2 Dấu “=” xảy m2 + = 2m + (m – 1)2 = m = Suy giá trị lớn Q m = Q Đáp án cần chọn là: C Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = parabol (P): y = ax2 (a > 0) Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Khi có kết luận vị trí hai điểm A, B A Với < a < (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B A, B nằm bên phải trục Oy B Với a > (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B A, B nằm bên phải trục Oy C Với < a < (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B A, B nằm bên trái trục Oy D Với < a < (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B A, B nằm hai phía với trục Oy Lời giải Ta có (d): 2x – y – a = y = 2x − a2 Xét phương trình ax2 = 2x – a2 ax2 – 2x + a2 = (1) ' > a ta có < a < (1) có hai nghiệm xA; xB 2 x A x B (xA; xB hoành độ A B) thỏa mãn (hệ thức Via x A x B a ét) suy xA; xB dương nên A, B nằm bên phải trục Oy Đáp án cần chọn là: A Vận dụng cao: Gọi hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T A x A x B x A x B +1 B C 2 D Lời giải Theo câu trước ta có xA; xB hai nghiệm phương trình ax2 – 2x + a2 =0 x A x B Theo định lý Vi-ét ta có: a x A x B a Ta có: T = 2a , với a > theo bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta a có: 2a 2 a Vậy minT = 2 a = Đáp án cần chọn là: C ... tức C giao điểm đường thẳng A’B với trục tung Phương trình đường thẳng d’ qua A’ B có dạng y = ax + b a 4 4a b Ta có hệ Suy d’: y = x 16 a b b Suy giao điểm... 0) D (0; 2) Lời giải Ta có (d): y x Phương trình hồnh độ giao điểm: x y x x6 x 4 y Vậy giao điểm A (6; 9) , B (−4; 4) Gọi C c; c2 (P) (c 6, c −4) điểm cần... “=” xảy m2 + = 2m + (m – 1)2 = m = Suy giá trị lớn Q m = Q Đáp án cần chọn là: C Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a2 = parabol (P): y = ax2 (a > 0) Tìm a để