Cach giai phuong trinh luong giac dang dang cap eye6n

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐN Là phương trình dạng trong đó lũy thừa của và cùng bậc chẵn hoặc lẻ Phương pháp giải Bước 1 Xét Kết luận nghiệm Bước 2 Xét ta chia 2 vế của phương tr[.]

Trang 1

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I PHƯƠNG PHÁP GIẢI

ĐN: Là phương trình dạng trong đó lũy thừa của và cùng bậc chẵn hoặc lẻ

Phương pháp giải:

- Bước 1: Xét Kết luận nghiệm

- Bước 2: Xét ta chia 2 vế của phương trình cho là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tanx

II VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Nghiệm của phương trình là:

A. B.

C. D.

Lời giải: Chọn C

+ Với Thay vào phương trình ln đúng

là nghiệm của

+ Với chia 2 vế cho ta được:

Kết luận: Nghiệm của phương trình là

LƯU Ý:

- Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho để đưa về phương trình bậc 2 theo tan x

- Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác Bạn đọc có thể giải theo các cách sau:

+ Xét khơng thỏa mãn phương trình

+ Với , chia 2 vế cho đưa về phương trình bậc 2 theo Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos:

sin x;cosx 0f  s inx cos xcosx 0cosx0, cosnx n( 22

2sin x5sin cosxxcos x2 1

3arctan5x  k k  3 arctan 25x  k  k 23arctan5xkkxk          223arctan 25xkkxk          2cosx 0 sin x1  1  2 2cos 02xx  k      1cosx0, 2cos x 22221

1 2 tan 5 tan 1 2 2 tan 5 tan 1 2 1 tan

Trang 2

(đây là phương trình bậc nhất đối với , đã học trong phần trước)

Hoặc

(đây là phương trình đẳng cấp bậc 2)

Ví dụ 2 Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Trường hợp 1:

Với phương trình (vơ nghiệm) Với phương trình (vơ nghiệm) Vậy khơng thỏa mãn phương trình

Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:

Phương trình

Với Với

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là

Nhận xét: Đây là phương trình cùng bậc lẻ do đó có biến đổi sau:

là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với ,

STUDY TIP

Có thể sử dụng đường trịn lượng giác để xác định nghiệm âm lớn nhất Cách biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác:

Đi có điểm Đi có điểm Đi có điểm   1 cos 2 1 1 cos 21 2 5 sin 2 22 2 2xxx    5sin 2x 3cos 2x 3    sin 2x cos 2x  22  22 

1 2sin x5sin cosxxcos x2 sin xcos x

25sin cosxx 3cos x 0

  

2 4sin3xsinxcosx0

52 52 54 2 sin 1cos 0 sin 1sin 1xxxx      sinx1   3 0sinx 1   5 0cosx0cosx0 cos x23322sin sin 1 14 0

cos cos cos cos

xx

xxxx

   

 

322

4 tan x tanx 1 tan x 1 tan x 0

     

32

3tan x tan x tanx 1 0

    2tan 13 tan 2 tan 1 0 ( )xxxVN    tan 14xx  k    314kx      2 74kx     3 7 54 4 2     3

4sin xsinxcosx0 3  22  22 

4sin x sinx sin x cos x cosx sin x cos x 0

     

3223

3sin x sin xcosx sin cosxx cos x 0

Trang 3

Đuôi có điểm

Đi có điểm

Ví dụ 3 Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là: A. B. C. D. Lời giải Chọn B Điều kiện: Phương trình (*)

Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho (do điều kiện)

(TMĐK)

Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là

STUDY TIP

Ở đây ta có thể từ phương trình đầu chia ngay cho sẽ nhanh hơn Tuy nhiên nó sẽ khơng tự nhiên bởi bạn chưa nhận ra dạng quen thuộc của bài tốn

Ví dụ 4 Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và thứ III của đường tròn lượng giác là:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Điều kiện:

Phương trình (cùng bậc lẻ)

Chia 2 vế cho (do điều kiện) 24 2k  k4 k2nn1 3tan x2sin 2x1 2 3 4cos 02x   x  k ksin1 3 4sin coscosxxxx  2cosx 3sinx 4sin cosxx

  33cos x0  221 1* 3tan 4 tancos xx cos xx  32

3tan x tan x tanx 1 0

    

 2 

tanx 1 3 tan x 2 tanx 1 0

    tan 14xx  k k        22cos x3 18sincos sinxxx 2 4 6 8sin 0cos 0 2xxkkx   2

8sin xcosx 3 sinx cosx

  

Trang 4

Phương trình

Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm là Đáp án B

Ví dụ 5 Các nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D. Lời giải Chọn A Điều kiện: Phương trình (*)(đây là phương trình bậc 2)

Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:

Phương trình (*) 2221 18 tan 3 tan cos cosxxxx   222

8 tan x 3 tanx 1 tan x 1 tan x

    

32

3 tan x 7 tan x 3 tanx 1 0

    

 2 

1

tan 3 tan 6 tan 3 0

3xxx       1tan3tan 3 2tan 3 2xxx    6arctan 3 2arctan 3 2xkxkxk         k 4 

tanxcotx2sin 2xcos 2x

4 21 1cot2 2 2xkkxarck     21 1cot2 2xkkxarck     4 21 1arctan2 2 2xkkxk     4 21arctan4 2xkkxk     sin 0cos 0xx  2xk k  sin cos2sin 2 cos 2cos sinxxxxxx   22

sin x cos x 2sin cos sin 2xxx sin cos cos 2xxx

   

2 1

Trang 5

(TMĐK)

STUDY TIP (nếu có)

Với , ta chia luôn 2 vế cho để khỏi phải chia 2 trường hợp, bài

giải sẽ ngắn gọn hơn

Khi giải mà kết quả nghiệm có thì chia 2 vế cho và nếu kết quả nghiệm có thì chia 2 vế cho