DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐN Là phương trình dạng trong đó lũy thừa của và cùng bậc chẵn hoặc lẻ Phương pháp giải Bước 1 Xét Kết luận nghiệm Bước 2 Xét ta chia 2 vế của phương tr[.]
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐN: Là phương trình dạng f sin x;cosx lũy thừa sinx cos x bậc chẵn lẻ Phương pháp giải: - Bước 1: Xét cos x Kết luận nghiệm - Bước 2: Xét cos x 0, ta chia vế phương trình cho cos n x(n bậc cao nhất) đưa phương trình bậc cao tanx II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Nghiệm phương trình 2sin x 5sin x cos x cos x 1 là: 3 B x arctan k 2 k 5 x k 2 k D x arctan k 2 5 3 A x arctan k k 5 x k k C x arctan k 5 Lời giải: Chọn C + Với cos x sin x Thay vào phương trình 1 k nghiệm 1 + Với cos x 0, chia vế cho cos x ta được: 1 tan x tan x 2 tan x tan x 1 tan x cos x 3 tan x x arctan x k k 5 x k k Kết luận: Nghiệm phương trình 1 x arctan k 5 cos x x LƯU Ý: - Khi nhìn phương án trả lời bạn phải chia vế cho cos2 x để đưa phương trình bậc theo tan x - Tuy nhiên phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác Bạn đọc giải theo cách sau: + Xét sinx không thỏa mãn phương trình 1 + Với sinx , chia vế cho s in x đưa phương trình bậc theo cot x Hoặc dùng công thức hạ bậc để đưa phương trình bậc với sin cos: cos x 1 cos x sin x 2 2 5sin x 3cos x 3 (đây phương trình bậc sin 2x , cos 2x học phần trước) 1 Hoặc 1 2sin x 5sin x cos x cos x sin x cos x 5sin x cos x 3cos2 x (đây phương trình đẳng cấp bậc 2) Ví dụ Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn phương trình 4sin x sin x cos x bằng: 5 5 5 A B C D 2 Lời giải Chọn B sin x Trường hợp 1: cos x sin x sin x 1 Với sin x phương trình (vô nghiệm) Với sin x 1 phương trình (vơ nghiệm) Vậy cos x khơng thỏa mãn phương trình Trường hợp 2: cos x , chia vế cho cos x ta được: sin x sin x 1 Phương trình 0 cos x cos x cos x cos2 x tan x tan x 1 tan x 1 tan x 3tan x tan x tan x tan x 3 tan x tan x (VN ) k 7 3 Với k 1 x Với k 2 x 4 3 7 5 Vậy tổng nghiệm âm lớn 4 Nhận xét: Đây phương trình bậc lẻ có biến đổi sau: tan x x 4sin x sin x cos x 4sin x sin x sin x cos x cos x sin x cos x 3sin x sin x cos x sin x cos x cos3 x phương trình đẳng cấp bậc sin x , cos x STUDY TIP Có thể sử dụng đường trịn lượng giác để xác định nghiệm âm lớn Cách biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác: k 2 k 2 Đi Đi có điểm k có Đi k 2 có điểm điểm Đi k 2 k có điểm Đi k 2 có n điểm n Ví dụ Phương trình 3tan x 2sin x có số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác là: A B C D Lời giải Chọn B Điều kiện: cos x x k k sin x 4sin x cos x cos x cos x 3sin x 4sin x cos2 x (*) Đến ta thấy phương trình (*) có bậc lẻ cao , ta chia vế cho cos3 x (do điều kiện) 1 * 3tan x tan x cos x cos x 3tan x tan x tan x tan x 1 tan x tan x 1 Phương trình k k (TMĐK) Số điểm biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác STUDY TIP Ở ta từ phương trình đầu chia cho cos x nhanh Tuy nhiên khơng tự nhiên bạn chưa nhận dạng quen thuộc toán tan x 1 x Ví dụ Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình 8sin x cung phần tư thứ cos x sin x I thứ III đường tròn lượng giác là: A B C Lời giải Chọn B sin x x k k Điều kiện: cos x Phương trình 8sin x cos x sin x cos x (cùng bậc lẻ) Chia vế cho cos3 x (do điều kiện) D 1 cos x cos2 x tan x tan x 1 tan x 1 tan x Phương trình tan x tan x tan x tan x tan x tan x tan x tan x 3 tan x x k tan x x arctan k k tan x x arctan k Dựa vào việc biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm Đáp án B Ví dụ Các nghiệm phương trình tan x cot x 2sin x cos x là: x k x k A B k k 1 1 x arc cot k x arc cot k 2 2 x k C k x arctan k 2 x k D k x arctan k Lời giải Chọn A sin x Điều kiện: x k k cos x sin x cos x Phương trình 2sin x cos x cos x sin x sin x cos2 x 2sin x cos x sin x sin x cos x cos x sin 2 x sin x cos x (*)(đây phương trình bậc 2) Chia vế cho sin 2 x (do điều kiện) ta được: 1 Phương trình (*) cot x sin x cot x cot x cot x cot x x k x k k 1 x arc cot k x arc cot k 2 2 (TMĐK) STUDY TIP (nếu có) sin x Với , ta chia vế cho sin 2x để khỏi phải chia trường hợp, cos x giải ngắn gọn Khi giải mà kết nghiệm có arc cot chia vế cho sin x kết nghiệm có arctan chia vế cho cos