Câu 1 Tìm m để góc giữa hai vectơ , là góc nhọn Câu 1 Tìm m để góc giữa hai vectơ 3(1;log 5;log 2)mu , 5(3; log 3;4)v là góc nhọn Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất A 1 , 1 2 m m B 1m hoặc 1[.]
Câu 1: Tìm m để góc hai vectơ: u (1;log3 5;log m 2) , v (3;log 3; 4) góc nhọn Chọn phương án đầy đủ 1 A m , m B m m 2 C m D m Giải: log 5.log log m u.v Ta có cos(u, v) Do mẫu số ln lớn nên ta tìm u.v u.v điều kiện để tử số dương Mặt khác log3 5.log5 4log m 4log m 4 log m 1 log m log m m 1 Với 01 m Vậy m>1 m Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x -3y + 2z +37 = điểm A(4;1;5) , B(3;0;1), C(-1;2;0) Điểm M (a;b;c) thuộc (P) cho biểu thức P MA.MB MB.MC MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất, a+b+c bằng: A 10 B 13 C D Giải: M (a;b;c) P (a 2) (b 1) (c 2) 5 M P 3a 3b 2c 37 3(a 2) 3(b 1) 2(c 2) 44 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có: (44)2 3(a 2) 3(b 1) 2(c 2) (32 32 22 ) (a 2) (b 1) (c 2) (44)2 (a 2) (b 1) (c 2) 2 88 22 a b 1 c Dấu “=” xảy M (4;7; 2) a b c 3 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + = đường thẳng (2m 1) x (1 m) y m dm : (m tham số) Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt mx (2m 1) z 4m phẳng (P) 1 A m B m C m D m 1 2 Giải: 2 x y d m / / P hệ PT ẩn x, y, z sau vô nghiệm (2m 1) x (1 m) y m mx (2m 1) z 4m 2 (1) y x Thay vào (2) ta được: x m 1 2m y 3 Thay x, y vào (3) ta được: (2m 1) z (m2 11m 6) Để PT vơ nghiệm m Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm M (1;3;9) cắt tia Ox, Oy, Oz A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) với a, b, c số thực dương Tìm giá trị biểu thức P = a +b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ A P=44 B P=39 C P=27 D P=16 Giải: 1 VOABC OAOB OC abc 6 x y y Phương trình mặt phẳng qua A, B, C: a b c Vì M ( ABC ) a b c 9 27.27 Áp dụng BĐT Côsi: 3 abc 121,5 VOABC a b c a b c abc 1 a a b c b a b c 39 Dấu “=” xảy c 27 a b c x 1 y z Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : ba điểm A(3;2; 1 1), B(-3;-2;3) , C(5;4;-7) Gọi tọa độ điểm M (a;b;c) nằm Δ cho MA+MB nhỏ nhất, giá trị biểu thức P = a +b + c là: 16 6 42 6 B P 5 Giải: M nên M (1 t; 2t; 1 t ) A P C P 16 6 D P 16 12 AM (t 2;2t 2; t ) AM 6t 12t BM (t 4; 2t 2; t 4) BM 6t 24t 36 MA MB 6t 12t 6t 24t 36 (1 t ) (t 2) f ( x) Áp dụng BĐT Vectơ ta có: f ( x) (1 t t 2) 2 9 2 Dấu “=” xảy khi: 1 t t 13 16 6 13 16 6 Do đó: M ; ; P 5 5 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc hệ tọa độ Cho B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a,b > Gọi M trung điểm cạnh CC’ a Xác định tỉ số để hai mặt phẳng (A’BD) (BDM) vng góc với b a a a a A B C D b b b b b - Từ giả thiết ta có: C (a; a;0) ; C (a; a;0) M a; a; 2 - Mặt phẳng (BDM) có VTPT là: - Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là: a 2b a 2b a - Yêu cầu toán tương đương với: n1.n2 a4 a b 2 b x 1 y z Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : mặt phẳng (P): 1 2x - y + 2z -1= Mặt phẳng (Q) chứa tạo với (P) góc nhỏ nhất, góc gần với giá trị sau đây? A 6° B 8° C 10° D 5° Giải: x 2t : y t Chọn điểm (1;0;-1) (3;1;-2) với t=1 z 1 t (Q) chứa Δ suy (Q): a(x-1)+by+c(z+1)=0 ax by cz a c Và (3;1;-2) (Q) 3a b 2c a c 2a b c c 2a b Vậy (Q): ax+by+(2a+b)z+a+b=0 Gọi =((P),(Q)), 0o ;90o Ta có: cos nP nQ nP nQ Nếu a = cos b 6a a b (2a b) b2 12a 36a 2b2 4ab 5a b b2 12ab 36a t 12t 36 ta có: f (t ) a 2b2 4ab 5a 2t 4t 7 t f '(t ) 10 Từ bảng biến thiên ta dễ nhận thấy: t 6 Nếu a , đặt t 53 53 max f (t ) f cos 1 10 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3) mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - = Điểm D(a;b;c) mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn nhất, a + b + c bằng: A B C D 3 Giải: Tâm I(1;0;-1), bán kính R=2 (ABC): 2x – 2y + z + 1=0 VABCD d ( D;( ABD)).S ABC VABCD max d (D;(ABC)) max Gọi D1D2 đường kính (S) vng góc với (ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S) d(D;(ABC)) max{d(D1;(ABC)), d(D2;(ABC))} Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2 x 2t t 7 1 5 D1 ; ; , D2 ; ; D1D2: y 2t thay mặt (S) ta suy ra: 3 3 3 3 t z 1 t 7 1 Vì d(D1;(ABC)) > d(D2;(ABC)) nên D ; ; a b c 3 3 x t Câu 9: Cho mặt cầu (S): x y z x z đường thẳng d : y t Tìm m để d cắt (S) z m t hai điểm phân biệt A,B cho mặt phẳng tiếp diện (S) A B vng góc với A m=-1 m=-4 B m=0 m=-4 C m=-1 m=0 D Cả A, B, C sai Giải: Bình luận: Ta có hai mặt phẳng tiếp diện (S) A B vng góc với hai vtpt hai mặt phẳng vng góc với Mà hai vtpt hai mặt phẳng IA , IB Với I (1;0;-2) tâm mặt cầu (S) Vậy ta có hai điều kiện sau: d cắt (S) hai điểm phân biệt IA IB - Để thỏa mãn yêu cầu đề trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức phương trình (2 t ) t (m t ) 2.(2 t ) 4.(m t ) có hai nghiệm phân biệt 2 3t 2(m 1)t m2 4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ’>0 (m 1)2 3m2 12m m2 5m Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có m 4m ; t1 t2 (m 1) t1t2 3 Khi IA (1 t1 ; t1; m t1 ), IB (1 t2 ; t2 ; m t2 ) Vậy IA.IB (1 t1 )(1 t2 ) t1t2 (m t1 )(m t2 ) 3t1t2 (m 1)(t1 t2 ) (m 2) m 1 m 4m (m 1) (m 2) (TM) m 4 Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc x 1 y z đường thẳng : cho biểu thức P 2MA2 3MB 4MC đạt giá trị nhỏ 1 Tính a+b+c= ? 16 11 A B C D 3 Giải: Gọi D(x;y;z) điểm thỏa 2DA 3DB 4DC 2DA 3DB 4DC 2DA 3( DA AB) 4( DA AC ) DA AC AB 1 x 4.2 3.2 1 y 4.2 3.1 D(13;12; 6) 1 z 4.1 3.1 Khi đó: P 2(MD DA)2 3(MD DB)2 4(MD DC)2 MD2 2MD(2DA 3DB 4DC ) AD2 3BD2 4DC = MD AD 3BD DC Do MD AD 3BD DC không đổi nên P nhỏ MD nhỏ Mà M thuộc Δ nên MD nhỏ M hình chiếu D lên Δ 11 11 11 M (1 2t; t; 1 t ) Ta có: DM u t M ; ; a b c 6 Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M (a;b;c) thuộc mặt phẳng (): x y z cho biểu thức P 3MA 5MB 7MC đạt giá trị nhỏ Tính a bc ? A B -5 C 13 D Giải: Gọi F ( x; y; z ) điểm thỏa 3FA 5FB FC CF 3CA 5CB F (23;20; 11) Khi đó: P 3(MF FA) 5(MF FB) 7(MF FC ) MF Do P nhỏ M hình chiếu F lên () Điểm M (23 2t; 20 t; 11 2t ) Vì M thuộc () nên: 2(23 2t ) (20 t ) 2(11 2t ) t M (5;11;7) a b c 13 Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt cầu ( S ) : ( x 1)2 y ( z 1)2 861 cho biểu thức P 2MA2 MB 4MC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ? A B.5 C.-5 D.3 Giải: Gọi K ( x; y; z ) điểm thỏa 2KA KB 4KC K (21;16;10) Khi đó: P MK 2KA2 KB 4KC Do P nhỏ MK lớn Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1) KI (22; 16; 11) x 22t Phương trình đường thẳng KI: y 16t Thay x,y,z vào (S) ta được: z 1 11t K1 (23; 16; 12) (22t )2 (16t ) (11t ) 861 t 1 Suy KI cắt (S) hai điểm K (21;16;10) Vì KK1 > KK2 nên MK lớn M K1 (23; 16; 12) Vậy M (23; 16; 12) Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1), B(-3;5;5) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng ( ) : x y z cho biểu thức P MA MB đạt giá trị nhỏ Tính a b c ? A B C D Giải: Ta có f ( A) f ( B) , nên A, B phía so với () Gọi A’ điểm đối xứng qua A qua () x 2t y 1 t Phương trình đường thẳng AA’: Tọa độ giao điểm I AA’ () z t 2 x y z x 2t y 1 t nghiệm hệ: I (3;0;1) z t 2 x y z Vì I trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) A’, B nằm khác phía so với () Khi với điểm M thuộc () ta ln có: MA MB A ' M MB A ' B Đẳng thức xảy M A ' B ( ) x 4t A ' B (8;6; 2) A ' B : y 1 3t Tọa độ giao điểm M A’B () nghiệm z t x 4t y 1 3t hệ: M (1; 2; 4) z t 2 x y z Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1),C(7;-4;4) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng ( ) : x y z cho biểu thức P MA MC đạt giá trị lớn nhất.Tính a b c ? A B C Giải: M (a; b; c) Đặt f ( M ) 2a b 2c Ta có f ( A) f (C ) nên A C nằm hai phía so với () Gọi A’ điểm đối xứng A qua () D x 2t Phương trình đường thẳng AA’: y t Tọa độ giao điểm I AA’ () z 1 2t x 2t y 1 t nghiệm hệ: I (3;0;1) z t 2 x y z Vì I trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) Khi với điểm M thuộc () ta ln có: MA MC MA ' MC A ' C Đẳng thức xảy M A ' C ( ) x 2t A ' C (2; 3;1) A ' C : y 1 3t Tọa độ giao điểm M A’C () nghiệm z t x 2t y 1 3t hệ M (3; 2; 2) z t 2 x y z x 1 y 1 z mặt phẳng 2 ( P) : ax by cz chứa Δ cách O khoảng lớn Tính a b c ? A -2 B C D -1 Giải: Gọi K hình chiếu vng góc O lên Δ, suy K (1 t;1 2t;2t ) , OK (1 t;1 2t;2t ) Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 2 2 K ; ; Vì OK nên OK u t OK ; ; 3 3 Gọi H hình chiếu O lên (P), ta có: d (O;( P)) OH OK Đẳng thức xảy H K Do (P) cách O khoảng lớn (P) qua K vuông góc với OK Từ ta suy phương trình (P) là: x y z a b c x 1 y 1 z Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : mặt phẳng 2 ( ) : x y z Mặt phẳng (Q): ax by cz chứa Δ tạo với () góc nhỏ Tính a b c ? A -1 B C D Giải: Công thức giải nhanh: n(Q ) n( ) , n , n Chứng minh công thức: AK AH AK Mà không đổi nên suy AC AC AC φ nhỏ H K hay (Q) mặt phẳng qua Δ vng góc với mặt phẳng (ACK) Mặt phẳng (ACK) qua Δ vuông góc với () nên: n( ACK ) n( ) , n Do (Q) qua Δ vng góc với mặt phẳng (ACK) nên: n(Q ) n( ACK ) , n n( ) , n , n A(1;1;0) Δ, φ=ACH sin sin ACH Áp dụng cơng thức nên ta có n(Q ) (8; 20; 16) suy ra: (Q) : 8( x 1) 20( y 1) 16 z x y z a b c x 1 y 1 z Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường : hai điểm M(1;2;1), N(-1;0;2) Mặt 2 phẳng (ß): ax by cz 43 qua M, N tạo với (Δ) góc lớn Tính a b c ? A -22 B 33 C -33 D 11 Giải: Công thức giải nhanh: n( ) nNM , n , nNM Chứng minh tương tự câu 15: n( ) (1;10; 22) suy ( ) :1( x 1) 10( y 2) 22( z 1) x 10 y 22 z 43 a b c 33 Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(1;0; 3), C (2; 3; 1) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (): x y z cho biểu thức P 3MA2 4MB2 6MC đạt giá trị nhỏ Tính a b c ? A 15 B 12 C 20 D Giải: M (a; b; c) ( ) 2a b 2c P a b2 c 26a 48b 6c (a 11) (b 25) (c 1) 2(2a b 2c 1) 747 747 Dấu “=” xảy khi: a 11; b 25; c a b c 15 Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(1;0; 3), C (2; 3; 1) Điểm M (a; b; c) x 1 y z 1 thuộc đường thẳng : cho biểu thức P MA 7MB 5MC đạt giá trị lớn 1 Tính a b c ? 55 12 11 31 A B C D Giải: M M (1 2t; 1 3t;1 t ) MA 7MB 5MC (2t 19;3t 14; t 20) 6411 12 6411 P (2t 19) (3t 14) (20 t ) 14 t 7 7 12 55 Dấu “=” xảy khi: t a b c 7 2 Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;3), B(-1;0;-3), C(2;-3;-1) Điểm M(a;b;c) thuộc 283 mặt cầu ( S ) : ( x 2)2 ( y 2)2 ( z 8) cho biểu thức P MA2 4MB 2MC đạt giá trị lớn Tính a b c ? A -28 B C D -3 Giải: Gọi E ( x; y; z ) điểm thỏa EA 4EB 2EC E (9;4; 13) Khi đó: P EM EA2 4EB2 2EC P lớn EM nhỏ Mặt cầu (S) có tâm x 11t I (2; 2;8) IE (11; 2; 21) IE : y 2t Thay x, y, z vào (S) ta t Suy z 21t 5 E1 ;3; IE cắt (S) hai điểm 15 37 E2 ;1; 5 Vì EE1 EE2 nên EM nhỏ M E1 ;3; , suy M (6;0;12) 2 x y 1 z Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : cắt đường thẳng a b c x 1 y z cho khoảng cách từ điểm B(2;1;1) đến đường thẳng d nhỏ Tính d ': 1 a bc ? A -28 B C D 18 Giải: AB, AM (1 t ;1; 2t ) M d d ' M (t 2t ; t ; t ) , suy Gọi A (0; 1; 2) d ud AM (2t 1; t 1; t ) d ( B, d ) AB, AM 5t 18t 18 6t 2t AM f (t ) t f (t ) f (2) ud (3;3; 2) a b c f '(t ) 11 t x y 1 z Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : cắt đường thẳng a b c x 5 y z x 1 y z cho khoảng cách d : d ': lớn Tính a b c ? 2 2 1 A -8 B -1 C D 12 Giải: M d d ' M (1 2t; t; t ) , suy ud AM (2t 1; t 1; t ) Gọi A(0; 1; 2) d N (5;0;0) , u (2; 2;1) u , AM (t 1;4t 1;6t ) u , AM AN (2 t ) d (d ; ) 3 f (t ) 53t 10t u , AM t f '(t ) 37 f (t ) f ud (29; 41; 4) a b c 8 37 37 t 2 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x y z , (Q) : x y z điểm I(1;1;- 2).Mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với (P) mặt phẳng ( ) : ax by cz m vng góc với (P), (Q) cho khoảng cách từ I đến (α) 29 Biết tổng hệ số a b c m dương Cho mệnh đề sau đây: (1) Điểm A(1;1;0) B(-1;1;-2) thuộc mặt cầu (S) (2) Mặt phẳng (α) qua C(0;-5;-3) x 2t (3) Mặt phẳng (α) song song với đường thẳng (d) y 5 t z 3 (4) Mặt cầu (S) có bán kính R = (5) Mặt phẳng (α) Mặt cầu (S) giao đường trịn có bán kính lớn Hỏi có mệnh đề sai ? A B C D Giải: Chọn đáp án C R d ( I ,( P)) Phương trình mặt cầu: ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2) n (2;3; 4) ( ) : x y z m d ( I ;( )) 29 m 29 Vậy ( ) : x y 3z 29 chọn ( ) : x y 3z 29 a b c m Đối chiếu: (1) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt cầu ta thấy (2) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng (3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm mặt phẳng phẳng (α) song song (d) thực chất (d) thuộc phẳng phẳng (α), em kiểm tra cách tính khoảng cách điểm đến (α) (4) Đúng (5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn bán kính mặt cầu nên hai mặt khơng giao Câu 23: Cho không gian Oxyz, cho điểm A(2;3;0), B(0;- ;0) đường thẳng d có phương trình x t y Điểm C (a;b;c) đường thẳng d cho tam giác ABC có chu vi nhỏ z t Tính a b c ? A B C D Giải: Vì AB khơng đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ CA+CB nhỏ Gọi C(t;0;2-t) Ta có CA= 2(t 2)2 32 , CB 2(1 t ) 22 Đặt u ( 2(t (t 2);3) v ( 2(1 t );2) u v ( 2;5) Áp dụng tính chất u v u v Dấu “=” xảy u hướng với v CA CB u v u v 25 3 2(t 2) t abc 2(t 1) Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;c) với c < thuộc mặt cầu ( S ) : ( x 2) ( y 1) ( z 1) cho biểu thức P a 2b 2c đạt giá trị lớn Khi a bc ? A B C -1 D Giải M (a; b; c) ( S ) (a 2) (b 1) (c 1) Dấu “=” xảy P (a 2) 2(b 1) 2(c 1) (1 4) (a 2) (b 1) (c 1) 15 b 1 a c 1 a b c 1 Dấu “=” xảy khi: a (a 2) (b 1) (c 1) Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 4; -1), B(1; 4;-1), C(2; 4; 3), D(2; 2;-1) điểm M(a;b; c) cho biểu thức P MA2 MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất, a b c ? 23 21 A B C D 4 4 Giải: 14 Gọi G tâm ABCD suy G ; ;0 4 P 4MG GA2 GB GC GD Vì GA2 GB GC GD2 không đổi nên P nhỏ 14 MG nhỏ hay M G ; ;0 4 Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z mặt phẳng ( P) : x y z 16 Điểm M(a;b; c) di động (S) điểm N(m;n; p) di động (P) cho độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất, a b c m n p ? A B C D Giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (2; 1;3) bán kính R d ( I ;( P)) R Do (S) (P) khơng có điểm chung Suy MN Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễ thấy N0 hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi d đường y 2t thẳng qua I vng góc với (P) N d ( P) , d: y 1 2t Tọa độ N0 z t y t y 1 2t 13 14 nghiệm hệ: N0 ; ; 3 3 z t 2 x y z 16 IM IN0 M (0; 3 4) a b c m n p Câu 27: Trong không Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z 23 mặt phẳng ( P) : x y z Điểm M(a;b;c) nằm mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất; a b c ? A B C D Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1) bán kính R y 3t Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P), d : y t Khi M d ( S ) hay z 1 t y 3t y t M (4;5;0) tọa độ M nghiệm hệ: d : M (2;3; 2) z 1 t x y z x y z 23 Ta thấy d ( M ;( P)) d ( M ;( P)) Do M (4;5;0) a b c Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y m đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P) : x y z , (Q) : x y z Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d hải điểm M, N cho MN = A m = 12 B m = -5 C m = -3 D m = -12 Giải: Mặt cầu (S) có I(-2; 3; 0) bán kính R 13 m IM (m 13) Gọi H trung điểm MN suy MH = IH d ( I ; d ) m (d) qua A có VTCP u (2;1; 2) d ( I ; d ) u; AI Vậy u m m 12 Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5) , F (4;3;9) Gọi Δ giao tuyến hai mặt phẳng ( P) : x y z , (Q) : x y z Điểm I(a;b;c) thuộc Δ cho biểu thức P IE IF lớn Tính a b c ? A B C Giải: x 1 t x t ' : y 5t , EF : y t ' z 3t z 2t ' 1 t t ' t Xét hệ: 5t t ' EF cắt Δ A(1;0;3) t ' 3 3t 2t ' D Trong mặt phẳng (Δ;EF) điểm I thuộc Δ ta có IE IF EF Dấu “=” xảy I, E, F thẳng hàng, suy I A(1;0;3) Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 2;1) mặt phẳng ( P) : x y z Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB, Δ giao tuyến (P) (Q) Điểm M(a;b;c) thuộc Δ cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ nhất, a b c ? Giải: B A C D 3 3 Gọi I trung điểm AB suy I ; ; , (Q) : x y z 2 2 x 2t Δ giao tuyến (P) (Q) suy Δ: y t M 2t ; t ; t z t 25 25 OM t 32 32 3 Dấu “=” xảy t M ; ; 8 Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;3; 4) , mặt phẳng ( P) : x y z đường x y 1 z thẳng d : Gọi Δ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm d (P) đồng thời 1 vng góc với d Điểm M (a; b; c) thuộc Δ cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất, a bc ? 13 A B C D Giải: Gọi I d ( P) suy I(-1;0;4) x 1 t u ud , n( P ) (3;3;3) suy Δ: y t M (1 t ; t ; t ) z t AM ngắn AM Δ AM u t 16 Vậy M ; ; 3 3 Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C (2;1; 6) đường thẳng x 1 y z 1 Điểm M (a; b; c) thuộc d cho biểu thức P MA MB MC đạt giá trị d: 1 nhỏ nhất, a b c ? 15 14 A B C D Giải: M (1 2t; 2t;1 t ) d 53 10 53 P (2t 1) (2t 4) t t 9 9 10 11 Dấu “=” xảy t M ; ; 9 9 2 Câu 33: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0) , B(3;3;6) đường thẳng x y 1 z d: Điểm M (a; b; c) thuộc d cho ΔMAB có diện tích nhỏ nhất, 1 a bc ? A B C D Giải: M (1 2t;1 t; 2t ) d SMAB AM , AB 18(t 1)2 198 198 Dấu “=” xảy t M (1;0;2) Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 2) , B(3; 4; 2) đường thẳng x 4t d : y 6t Điểm I (a; b; c) thuộc d cho IA IB đạt giá trị nhỏ nhất, a b c ? z 1 8t 23 21 65 43 B C D 58 58 29 29 Giải: AB (2; 3; 4) AB / / d Gọi A’ điểm đối xứng A qua d IA IB IA ' IB A ' B Dấu “=” xảy A’, I, B thẳng hàng suy I A ' B d Vì AB//d nên I trung điểm A’B 36 33 15 43 95 28 Gọi H hình chiếu A lên d suy H ; ; suy A ' ; ; 29 29 29 29 29 29 65 21 43 Vì I trung điểm A’B nên I ; ; 29 58 29 x 1 t x y 1 z Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y 1 t d ' : Điểm 1 z A(a; b; c) d B(m; n; p) d ' cho đoạn AB có độ dài ngắn nhất, a b c m n p ? A B C D Giải: A(1 t; 1 t; 2) B(3 t ';1 2t '; t ') suy AB (2 t t ';2 t 2t '; t ' 2) AB có độ dài nhỏ AB đoạn vng góc chung d d’ hay: AB.ud t t ' A(1; 1; 2), B(3;1;0) AB u d' A ... Dấu “=” xảy khi: 1 t t 13 16 6 13 16 6 Do đó: M ; ; P 5 5 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A''B''C''D'' có A trùng... t 6 Nếu a , đặt t 53 53 max f (t ) f cos 1 10 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3) mặt cầu... Đẳng thức xảy H K Do (P) cách O khoảng lớn (P) qua K vng góc với OK Từ ta suy phương trình (P) là: x y z a b c x 1 y 1 z Câu 15: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng