50 bai tap mot so he thuc ve canh va duong cao trong tam giac co dap an toan 9

BÀI TẬP MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC I Phương pháp giải 1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1 Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạn[.]

Trang 1

BÀI TẬP MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC

I Phương pháp giải

1 Hệ thức giữa cạnh gĩc vuơng và hình chiếu của nĩ trên cạnh huyền

Định lí 1:

Trong một tam giác vuơng, bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền: 22

;.

b a b ca c

2 Một số hệ thức liên quan đến đường cao

Định lí 2:

Trong một tam giác vuơng bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền 2

.

h b c 

Định lí 3:

Trong một tam giác vuơng, tích hai cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng b c.a h.

Định lí 4:

Trong một tam giác vuơng, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh gĩc vuơng 12 12 12

h b c

II Bài tập

Bài 1: (1/68/SGK T1)

Hãy tìm x, y trong mỗi hình sau:

20

x y 

Giải

a) Muốn tính được x, y trong hình a, ta phải tính được độ dài của cạnh huyền BC Muốn tính được độ dài của cạnh huyền BC ta sử dụng định lí Py-ta-go

ABC

 vuơng ở A (giả thiết) cĩ AB6;AC8 nên 222

Trang 2

x là độ dài của đoạn BH BH là cạnh gĩc vuơng của AHB vuơng tại H

Muốn tính độ dài x, ta phải tính được độ dài đường cao AH của AHB vuơng tại H Do AHB vuơng tại H nên AH là cạnh gĩc vuơng của tam giác này

ABH

 cĩ 222

AB AH HB (định lí Py-ta-go) mà AB lại là cạnh gĩc vuơng của ABC

vuơng tại A nên AB AC.BC AH.

.6.8484,81010AB ACAHBCAHB

 vuơng tại H nên 222

AB AH BH22226(4,8)36 23, 04 13,96BHABAH3, 610 3, 66, 4BHHCVậy x3, 6 và y6, 4b) Tính x MNK

 vuơng tại M (giả thiết) nên 2.

MN NI NK (Theo định lí 1: Trong một tam giác vuơng, bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền)

22121447, 22020MNNINK2020 7, 2 12,8IKNIVậy x7, 2 và y12,8Bài 2: (2/68/SGK T1) Tính x, y trong hình 5 GT (90 )ABC A AHBC1;4BH  HCKL ?AB x?AC yHình 5 Giải ABC

 vuơng tại A (giả thiết), biết cạnh huyền BC cĩ độ dài là 1 4 5

Hình chiếu của cạnh gĩc vuơng AB trên cạnh huyền BC là BH 1 Hình chiếu của cạnh gĩc vuơng AC trên cạnh huyền BC là đoạn HC4

Trang 3

Muốn tính được số đo của cạnh gĩc vuơng AB và AC ta phải sử dụng định lí 1: Trong một tam giác vuơng bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền Do đĩ ta cĩ:

2.(1 4).1 5.1 555AB BC BH  AB x Tương tự ta cĩ 2.(1 4).45.42020AC BC HC  y Bài 3: (3/69/SGK T1) Tính x, y trong hình 6 GT (90 )ABC A AHBC5;7AB ACKL ?AH x?BC yHình 6 Giải ABC

 vuơng tại A (giả thiết) cĩ AB5 và AC7 Ta phải tính số đo của cạnh huyền BC

Muốn tính số đo các cạnh của một tam giác vuơng, cách tính được sử dụng nhiều nhất là: Sử dụng định lí Py-ta-go

ABC

 vuơng tại A nên 22222

5725 4974BC AB AC 74BC Vậy y748, 6

Ta cịn phải tính độ dài của đường cao AH thuộc cạnh huyền BC Cách 1:

Theo định lí 3: Trong một tam giác vuơng, tích hai cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Do đĩ ta cĩ:

.AC5.73535 74 747474ABAB ACBC AHAHBC Cách 2:

Áp dụng định lí 4: Trong một tam giác vuơng, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh gĩc vuơng Ta cĩ:

22222

1111111

572549

Trang 4

222225 725.49122516,5516, 255725 4974AHAH

Vậy ABC vuơng tại A cĩ AH  x 16, 25;BC y 74

Bài 4: (4/69/SGk T1) Tính x, y trong hình vẽ bên GT (90 )ABC A AHBC2;1AH  BH KL ?HC x?AC yGiải

Muốn tính được độ dài của cạnh gĩc vuơng AC và hình chiếu của nĩ trên cạnh huyền BC, là phải tính được độ dài hình chiếu HC trên BC Định lí 2: Trong một tam giác vuơng, bình phuơng đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền

Ta cĩ: 224.21.41AH BH HC  x  x Tính y Cách 1: Dùng định lí 1 để tính y Ta cĩ: 2.(1 4).45.420AC BC HC 20ACy  Cách 2: Dùng định lí Py-ta-go AHC

 vuơng tại H nên 22222

244 1620AC  AH HC  20ACy  Bài 5: (5/69/SGK T1)

Trong tam giác vuơng với các cạnh gĩc vuơng cĩ độ dài là 3 và 4 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và độ dài đoạn thẳng mà nĩ định ra trên cạnh huyền

Trang 5

Muốn tính được độ dài đường cao AH và các hình chiếu của các cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền BC, ta phải tìm các kiến thức cơ bản nĩi về mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các cạnh của tam giác vuơng

ABC

 vuơng tại A (giả thiết) nên 222

BC AB AC (Định lí Py-ta-go) 22

349 1625 BC 255

 

Theo định lí 3: Trong một tam giác vuơng, tính hai cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Do đĩ ta cĩ:

.3.412 2, 455AB ACAB ACBC AHAHBC

Vậy đường cao AH cĩ độ dài là 2, 4 Tính HB và HC

* Tính độ dài của HB: Cách 1:

Sử dụng định lí 1: Trong một tam giác vuơng, bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền Từ đĩ ta cĩ:

222239.2, 2555ABABBC HBHBBC  Cách 2: Dùng định lí Py-ta-go AHB vuơng ở H nên 222AB AH HB222223(2, 4)9 5, 762, 255 2, 252, 75HBABAHHC   Bài 6: (6/69/SGK T1)

Đường cao của một tam giác vuơng chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng cĩ độ dài là 1 và 2 Hãy tính các cạnh gĩc vuơng của tam giác này

Giải GT (90 )ABC A  (HBC)AH BC 1;2BH  HCKL ?AB?ACABC

Trang 6

Đến đây ta đặt câu hỏi để tư duy: Muốn tính độ dài các cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng khi biết độ dài hình chiếu của chúng trên cạnh huyền và độ dài của cạnh huyền ta vận dụng kiến thức cơ bản nào để giải?

Câu trả lời rất đơn giản: Lục trong kho tàng kiến thức của mình xem: Định nghĩa nào, tính chất nào, định lí nào nĩi về mối quan hệ giữa cạnh gĩc vuơng với hình chiếu của nĩ trên cạnh huyền và cạnh huyền Khi đĩ ta cĩ ngay cách giải là sử dụng định lí 1: Trong một tam giác vuơng, bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền Từ đĩ ta cĩ:

2.(1 2).1 3.1 33AB BC BH  AB 2.(1 2).23.266AC BC HC  AC Bài 7: (7/61/SGK T1)

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (Từ 2

x ab

như trong hai hình sau)

Dựa vào các hệ thức (1) và (2) hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng

Gợi ý: Nếu một tam giác cĩ trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đĩ thì tam giác ấy là tam giác vuơng

Giải

Cách 1: (Hình 1)

ABC

 vuơng tại A cĩ AO là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên

2

BC

AO (Theo định lí: Trong một tam giác vuơng, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

ABC

 vuơng tại A đường cao AH ứng với cạnh huyền BC nên: Theo yêu cầu của đề bài ta phải chứng minh được 2

.

x a b xab Muốn cĩ 2

.

Trang 7

cách giải: vận dụng định lí 2: Trong một tam giác vuơng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền Do đĩ ta cĩ: 2.AH BH HC (1) thay AH x BH;a HC;b vào (1) ta cĩ: 2.x a b Cách 2:

Bài này cịn cĩ thể dùng định lí 1 và hệ thức lượng trong tam giác vuơng để giải: “Trong một tam giác vuơng, bình phương mỗi cạnh gĩc vuơng bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh gĩc vuơng đĩ trên cạnh huyền” Ta sử dụng hình vẽ (2) Ta cĩ:

2.AB BC BH (2) thay ABx BC;b BH;a Từ đẳng thức (2) ta cĩ: 2.()x a b xab Bài 8: (8/70/SGK T2)

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

Hình 10 Hình 11

a) Tìm số đo x trong hình 10

ABC

 vuơng tại A (giả thiết) cĩ AH là đường cao thuộc cạnh huyền BC

Theo hình vẽ cho biết hình chiếu của cạnh gĩc vuơng AB trên cạnh huyền BC là đoạn BH cĩ độ dài là 4 Hình chiếu của cạnh gĩc vuơng AC là đoạn HC cĩ độ dài là 9

Đề bài yêu cầu tìm độ dài của đường cao AH được ký hiệu là x

Làm thế nào để tìm được độ dài đường cao ứng với cạnh huyền khi biết hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền?

Khi đặt câu hỏi này chính là sự gợi ý, ta nhớ ngay đến định lí 2: Trong một tam giác vuơng bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh gĩc vuơng trên cạnh huyền  Chìa khố mở cái khố này chính là định lí 2

Do ABC vuơng tại A và AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC nên ta cĩ: 2.AH BH CH (1) thay AH x BH;4;HC9 vào đẳng thức (1) ta cĩ: 24.936366x  x  Vậy x6 b) Tính x, y ở hình 11

Trang 8

22

EF

EF DGGEGF  x (Theo định lí: Trong một tam giác vuơng, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vậy x2

DGE

 vuơng tại G cĩ DGGE  2 DGE vuơng cân tại G

22222224 4884.22 2DEDGGEDE   Vậy y2 2 c) Tính x, y trong hình 12 HIK

 vuơng tại H (giả thiết), biết độ dài đường cao ứng với cạnh huyền IK là HM 12 và độ dài hình chiếu IM của cạnh gĩc vuơng HI trên cạnh huyền IK là 16 Áp dụng định lí 2 ta cĩ: 2

.

HM IM MK Thay HM 12;IM 16 và MKx vào đẳng thức trên ta cĩ: 2212144121691616xx  Vậy x9 HMK

 vuơng tại M (vì HM là đường cao ứng với cạnh IK) nên:

222HK HM MK (2) (Theo định lí Py-ta-go) Thay HM 12;MK 9 và HK y vào đẳng thức (2) ta cĩ: 222129144 81 225225 15y    y  Vậy y15 Bài 9: (9/70/SGK T1)

Cho hình vuơng ABCD Gọi I là điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt nhau ở K Kẻ đường thẳng qua D, vuơng gĩc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại Q a) Chứng minh rằng DIQ là một tam giác cân

b) Chứng minh tổng 12 1 2

DI DK khơng đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

Giải GT ABCD cĩ A    BCD 90ABBCCDDA,DIABI DICBK;DQDK DQBC QKL * DIQ cân * 12 1 2

Trang 9

Chứng minh

a) Chứng minh DIQ cân

Làm thế nào để chứng minh được DIQ là tam giác cân?

Muốn chứng minh được một tam giác là tam giác cân ta phải sử dụng những kiến thức cơ bản nĩi về tam giác cân

Cĩ nhiều kiến thức cơ bản cĩ kết luận là tam giác cân

1 * Tam giác cĩ hai cạnh bằng nhau là tam giác cân (Định nghĩa tam giác cân) 2 * Nếu một tam giác cĩ hai gĩc bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác cân (Định lí) 3 * Nếu một tam giác cĩ một đường trung tuyến đồng thời lại là đường cao của một cạnh

thì tam giác đĩ là tam giác cân (Tính chất)

* Tam giác cĩ hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân (Bài tập đã chứng minh thành định lí)

* Tam giác cĩ hai đường phân giác bằng nhau là tam giác cân v.v…

Trong các cách chứng minh trên cĩ 3 cách được ứng dụng nhiều nhất là các cách 1, 2, 3 Muốn chứng minh DIQ là tam giác cân, ta sử dụng cách chứng minh nào trong ba cách chứng minh đã nêu?

Để chứng minh DIQ cân ta sử dụng cách 1: Tức là phải chứng minh được cạnh DI bằng cạnh DQ

Muốn chứng minh được DI DQ ta phải chứng minh được ADI  CDQ

Muốn chứng minh ADI  CDQ bằng cách lợi dụng giả thiết “Hình vuơng” và “kẻ vuơng gĩc” ADI và CDQ cĩ:  13290

(Hai cạnh của hình vng ABCD) (Hai góc cùng phụ với

IADDCQADCD

DDD

ADICDQ

   (c.g.c) DI DQ (Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Do DI DQ (chứng minh trên) nên DIQ cân tại D (Tam giác cĩ hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)

b) Chứng minh 12 1 2

DI DK khơng đổi khi I di động trên cạnh AB

Trang 10

DKQ

 vuơng tại D (vì DQDK) cĩ DC là đường cao ứng với cạnh huyền KQ nên ta cĩ:

222

111

DC  DK  DQ (Theo định lí 4: Trong một tam giác vuơng, nghịch đảo của bình phương hai cạnh gĩc vuơng) Mà DC là cạnh của hình vuơng ABCD cố định nên DC cĩ giá trị khơng đổi 1 2

DC

 khơng đổi Do đĩ 1 2 1 2

DK DQ cũng khơng đổi Mà DQDI (chứng minh trên) 1 2 12

DQDI



Vậy 1 2 12 1 2

DC  DI DK khơng đổi 12 1 2

DIDK