ISSN 1859 1531 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 1, 2022 61 KHOẢNG CÁCH HARNACK TRÊN MIỀN BỊ CHẶN TRONG ℂ THE HARNACK DISTANCE ON BOUNDED DOMAINS IN ℂ Đỗ Đăng Thịnh*, Vương Thị[.]
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 1, 2022 61 KHOẢNG CÁCH HARNACK TRÊN MIỀN BỊ CHẶN TRONG ℂ THE HARNACK DISTANCE ON BOUNDED DOMAINS IN ℂ Đỗ Đăng Thịnh*, Vương Thị Kim Cúc, Trần Lê Diệu Linh, Hoàng Nhật Quy Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: dodangthinh34@gmail.com (Nhận bài: 08/9/2021; Chấp nhận đăng: 18/11/2021) Tóm tắt - Trong báo [1], tác giả xây dựng metric Harnack không gian ℝ𝑛 nghiên cứu tính bất biến bảo giác mối quan hệ metric Harnack, metric Bergman, metric Carathéodory với Trong báo này, nhóm tác giả xây dựng khoảng cách Harnack miền 𝐷 ℂ, từ xây dựng metric Harnack 𝐷 miền bị chặn Các kết báo khẳng định rằng, metric Harnack miền bị chặn 𝐷 metric đầy đủ tô pô sinh metric tương đương với tơ pơ sinh metric thơng thường 𝐷 Ngoài ra, dựa vào lý thuyết ánh xạ bảo giác ℂ tính bất biến khoảng cách Harnack qua ánh xạ bảo giác, nhóm tác giả xây dựng cơng thức tính khoảng cách Harnack hai điểm tùy ý số miền cụ thể mặt phẳng phức Abstract - In [1], the author has constructed the Harnack metric on the space ℝ𝑛 and studied the conformal invariant as well as relations among the Harnack metric, the Bergman metric and the Carathéodory metric In this paper, the authors obtain the Harnack distance on the domain 𝐷 in ℂ Then we construct the Harnack metric when 𝐷 is a bounded domain The main results of the paper show that, the Harnack metric on the bounded domain is complete and the topology induced by that metric is equivalent to the topology that is induced by the normal metric on 𝐷 Moreover, by applying the conformal mapping theory and the conformal invariant of the Harnack distance, the authors obtain some formulas of the Harnack distance between two arbitrary points in some specific domains in the complex plane Từ khóa - Hàm điều hịa; khoảng cách Harnack; metric Harnack; lý thuyết vị; giải tích phức Key words - Harmonic functions; Harnack distance; Harnack metric; potential theory; complex analysis Giới thiệu Lý thuyết hàm điều hòa điều hòa lý thuyết vị thường trình bày khơng gian ℝ𝑛 (xem [2, 3, 4]) Điều có ưu điểm sử dụng ký hiệu phép toán vi phân, tích phân hàm nhiều biến quen thuộc Tuy nhiên, lại không tận dụng ưu điểm lý thuyết số phức lý thuyết hàm biến phức Và khó mở rộng kết sang lý thuyết đa vị (nghiên cứu hàm đa điều hịa ℂ𝑛 ) Trong báo này, nhóm tác giả trình bày số kết hàm điều hòa dương ℂ Và sử dụng kết để nghiên cứu số kết metric Harnack Như biết, kết đẹp hàm điều hòa dương bất đẳng thức Harnack ([2, 4]) Kết sở để định nghĩa khoảng cách Harnack xây dựng metric Harnack Về metric Harnack, Herron [1] xây dựng nghiên cứu mối quan hệ với metric Bergman, metric Carathéodory Kết báo chứng minh tương đương metric Harnack với metric thông thường miền bị chặn ℂ Và dựa vào tính chất bất biến metric Harnack qua ánh xạ bảo giác, xây dựng công thức khoảng cách Harnack hai điểm tùy ý số miền cụ thể ℂ đĩa đơn vị, nửa mặt phẳng 𝐼𝑚(𝑧) > ℂ Với kết đạt báo này, nhóm tác giả kỳ vọng ý tưởng xây dựng metric vận dụng để xây dựng metric lớp hàm nghiên cứu tài liệu [5, 6, 7] ℂ mặt phẳng phức mở rộng ℂ∞ Ta gọi miền tập mở, liên thông khác rỗng ℂ ℂ∞ Ta ký hiệu ∆(𝜔, 𝜌) đĩa mở tâm ω, bán kính ρ ℂ, tức là: ∆(𝜔, 𝜌) = {𝑧 ∈ ℂ: |𝑧 − 𝜔| < 𝜌} Cho Ω tập mở ℂ Hàm ℎ: Ω → ℝ gọi hàm điều hòa ℎ ∈ 𝐶 (Ω) thỏa mãn phương trình Laplace, tức với 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ∈ Ω ta có: 𝜕2ℎ 𝜕2ℎ Δℎ(𝑧) ≔ (𝑧) + (𝑧) = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Ta ký hiệu tập hàm điều hòa Ω 𝐻(Ω) tập hàm điều hòa khơng âm (và thường gọi hàm điều hịa dương) 𝐻+ (Ω) Trong [2, 4] phát biểu chứng minh bất đẳng thức Harnack ℝ𝑛 Sau đây, nhóm tác giả phát biểu bất đẳng thức ℂ Định lý 2.1 Cho ℎ hàm điều hịa dương đĩa ∆(𝜔, 𝜌) Khi đó, với 𝑟 < 𝜌 ≤ 𝑡 < 2𝜋 ta có: 𝜌−𝑟 𝜌+𝑟 ℎ(𝜔) ≤ ℎ(𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 ) ≤ ℎ(𝜔) 𝜌+𝑟 𝜌−𝑟 Chứng minh: (Định lý 2.14 [4]) Bất đẳng thức Harnack sở để định nghĩa khoảng cách Harnack sau Về khoảng cách Harnack xem thêm [1] Trước hết, ta chứng minh bổ đề để làm sở định nghĩa khoảng cách Harnack Bổ đề 2.2 Cho 𝐷 miền ℂ∞ 𝑧 𝑤 ∈ 𝐷 Khi đó, tồn số 𝜏 cho với hàm điều hòa dương ℎ 𝐷 ta có: 𝜏 −1 ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑧) ≤ 𝜏ℎ(𝑤) (∗) Một số kiến thức chuẩn bị Ta ký hiệu tập số phức (còn gọi mặt phẳng phức) The University of Danang – University of Science and Education (Do Dang Thinh, Vuong Thi Kim Cuc, Tran Le Dieu Linh, Hoang Nhat Quy) Đỗ Đăng Thịnh, Vương Thị Kim Cúc, Trần Lê Diệu Linh, Hoàng Nhật Quy 62 Chứng minh: Ta xét quan hệ hai 𝐷 sau: 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷, ta nói 𝑧~𝑤 tồn số 𝜏 cho với ℎ ∈ 𝐻+ (D) (∗) thỏa mãn Ta chứng minh quan hệ ~ quan hệ tương đương 𝐷 Thật vậy: Với 𝑧 ∈ 𝐷, chọn 𝜏 = ta có: 𝑧~𝑧 (thỏa mãn tính phản xạ) Giả sử 𝑧~𝑤, với ℎ ∈ 𝐻+ (D) ta có: 𝜏 −1 ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑧) ≤ 𝜏ℎ(𝑤) Từ suy ra: 𝜏 −1 ℎ(𝑧) ≤ ℎ(𝑤) ≤ 𝜏ℎ(𝑧), tức 𝑤~𝑧 (thỏa mãn tính đối xứng) Giả sử 𝑧~𝑤 𝑤~𝑣, tồn số 𝜏 𝜌 cho với ℎ ∈ 𝐻+ (D) ta có: 𝜏 −1 ℎ(𝑧) ≤ ℎ(𝑤) ≤ 𝜏ℎ(𝑧), 𝜌−1 ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑣) ≤ 𝜌ℎ(𝑤) Suy 𝜏 −1 𝜌−1 ℎ(𝑧) ≤ ℎ(𝑣) ≤ 𝜏𝜌ℎ(𝑧), tức 𝑧~𝑣 (thỏa mãn tính chất bắc cầu) Gọi [𝑧] lớp tương đương Ta chứng minh [𝑧] tập mở 𝐷 Thật vậy: Lấy 𝑤 ∈ [𝑧] Chọn 𝜌 > cho đĩa ∆(𝑤, 𝜌) ⊂ 𝐷 Lấy 𝑣 ∈ ∆(𝑤, 𝜌), đặt 𝑟 = |𝑣 − 𝑤| Khi với ℎ ∈ 𝐻+ (D) ta có: ℎ|∆(𝑤,𝜌) ∈ 𝐻+ (∆(𝑤, 𝜌)) Áp dụng Định lý 2.1 ta có: 𝜌−𝑟 𝜌+𝑟 ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑣) ≤ ℎ(𝑤) 𝜌+𝑟 𝜌−𝑟 Tức (∗) thỏa mãn với 𝜏 = 𝜌+𝑟 𝜌−𝑟 Từ suy 𝑣~𝑤 Bởi tính bắc cầu ta suy 𝑣~𝑧, tức 𝑣 ∈ [𝑧] Vậy ta có: ∆(𝑤, 𝜌) ⊂ [𝑧] Nói cách khác [𝑧] tập mở 𝐷 Do 𝐷 liên thông lớp tương đương tạo thành phân hoạch mở 𝐷 nên suy 𝐷 có lớp tương đương nhất, tức [𝑧] = 𝐷 Từ suy điều phải chứng minh bổ đề Nhận xét: Từ Bổ đề 2.2 ta suy với 𝑧 𝑤 ∈ 𝐷 tồn số 𝜏 cho (∗) thỏa mãn Từ (∗) ℎ dương nên suy 𝜏 ≥ Như vậy, tập hợp số 𝜏 thỏa mãn (∗) khác rỗng bị chặn nên tồn cận mà ta gọi khoảng cách Harnack định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 Cho 𝐷 miền ℂ∞ Cho trước 𝑧, 𝜔 ∈ 𝐷 Ta gọi khoảng cách Harnack 𝑧 𝜔, ký hiệu 𝜏𝐷 (𝑧, 𝜔), xác định sau: 𝜏𝐷 (𝑧, 𝜔) = inf {𝜏 ∈ ℝ: 𝜏 −1 ℎ(𝜔) ≤ ℎ(𝑧) ≤ 𝜏ℎ(𝜔)}, đây, inf lấy qua tất hàm ℎ điều hòa dương 𝐷, tức với ℎ ∈ 𝐻+ (D) Sau đây, trình bày số kết khoảng cách Các kết thường trình bày hàm điều hịa xác định ℝ𝑛 Để thuận tiện cho việc theo dõi, nhóm tác giả trình bày chứng minh trường hợp hàm điều hòa xác định ℂ Định lý 2.2 Nếu ∆= ∆(𝜔, 𝜌) 𝜌 + |𝑧 − 𝜔| 𝜏∆ (𝑧, 𝜔) = , ∀𝑧 ∈ ∆ 𝜌 − |𝑧 − 𝜔| Chứng minh: Với 𝑧 ∈ ∆, bất đẳng thức Harnack ta có: 𝜌 − |𝑧 − 𝜔| 𝜌 + |𝑧 − 𝜔| ℎ(𝜔) ≤ ℎ(𝑧) ≤ ℎ(𝜔), 𝜌 + |𝑧 − 𝜔| 𝜌 − |𝑧 − 𝜔| với ℎ ∈ 𝐻+ (∆) Từ suy 𝜏∆ (𝑧, 𝜔) ≤ 𝜌+|𝑧−𝜔| (1) 𝜌−|𝑧−𝜔| Mặt khác, với |𝜉| = ta xét hàm ℎ𝜉 ∆ sau: 𝑧−𝜔 𝜌𝜉 + (𝑧 − 𝜔) ℎ𝜉 (𝑧) = 𝑃 ( , 𝜉) = 𝑅𝑒 ( ), 𝜌 𝜌𝜉 − (𝑧 − 𝜔) đây, 𝑃 nhân Poisson (xem [3]) Bởi tính chất nhân Poisson (Bổ để 2.2.1 [3]) ta suy ℎ𝜉 hàm điều hịa dương Δ Ta có: ℎ𝜉 (𝜔) = Nếu đặt 𝑧 = 𝜔 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 , với 𝑟 = |𝑧 − 𝜔| 𝜉 = 𝑒 𝑖𝜃 ta có: ℎ𝜉 (𝑧) = 𝑅𝑒 ( 𝜌𝑒 𝑖𝜃 + 𝑟𝑒 𝑖𝑡 𝜌2 − 𝑟 ) = 𝜌𝑒 𝑖𝜃 − 𝑟𝑒 𝑖𝑡 𝜌2 − 2𝑟𝜌 cos(𝑡 − 𝜃) + 𝑟 Theo định nghĩa 𝜏Δ (𝑧, 𝜔) ta có: 𝜏Δ−1 (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔) ≤ ℎ𝜉 (𝑧) ≤ 𝜏∆ (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔) Tương đương với: 𝜏Δ−1 (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔) ≤ 𝜌2 −𝑟 𝜌2 −2𝑟𝜌 cos(𝑡−𝜃)+𝑟 ≤ 𝜏∆ (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔), với ≤ 𝜃 < 2𝜋 Chọn 𝜃 = 𝑡 ta có: 𝜌+𝑟 𝜏Δ−1 (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔) ≤ ≤ 𝜏∆ (𝑧, 𝜔)ℎ𝜉 (𝜔) 𝜌−𝑟 Do ℎ𝜉 (𝜔) = nên ta có: 𝜏∆ (𝑧, 𝜔) ≥ 𝜌+𝑟 𝜌−𝑟 = 𝜌+|𝑧−𝜔| 𝜌−|𝑧−𝜔| (2) Từ (1) (2) ta suy điều phải chứng minh Sau ta phát biểu chứng minh nguyên lý giảm khoảng cách Harnack qua ánh xạ phân hình Đặc biệt bất biến qua ánh xạ bảo giác Về ánh xạ phân hình ánh xạ bảo giác xem thêm [8] Định lý 2.3 Cho 𝑓: 𝐷1 → 𝐷2 ánh xạ phân hình miền 𝐷1 𝐷2 ℂ∞ Khi ta có: 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)) ≤ 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤) (𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷1 ) Đẳng thức xảy 𝑓 ánh xạ bảo giác 𝐷1 lên 𝐷2 Chứng minh: Lấy 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷1 Nếu ℎ hàm điều hịa dương 𝐷2 ℎ ⋄ 𝑓 hàm điều hòa dương 𝐷1 Theo định nghĩa 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤) ta có: (𝑧, 𝑤)ℎ((𝑓(𝑤)) ≤ ℎ(𝑓(𝑧)) ≤ 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤)ℎ(𝑓(𝑤)) 𝜏𝐷−1 Đánh giá với hàm điều hịa dương ℎ 𝐷2 Do dó, theo định nghĩa 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)) ta suy ra: 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)) ≤ 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤) (𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷1 ) Cuối cùng, 𝑓 ánh xạ bảo giác 𝐷1 lên 𝐷2 tồn 𝑓 −1 𝑓 −1 : 𝐷2 → 𝐷1 ánh xạ chỉnh hình Áp dụng kết vừa chứng minh ta có: 𝜏𝐷1 (𝑓 −1 (𝑓(𝑧)), 𝑓 −1 (𝑓(𝑤))) ≤ 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)), hay 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤) ≤ 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)) Vậy ta có: 𝜏𝐷1 (𝑧, 𝑤) = 𝜏𝐷2 (𝑓(𝑧), 𝑓(𝑤)) Định lý 2.4 Nếu 𝐷 miền ℂ∞ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 nửa metric liên tục 𝐷 Chứng minh: Trước hết, ta chứng minh 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 nửa metric: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 1, 2022 - Từ định nghĩa ta có: 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≥ 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑧) = nên ta suy 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≥ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑧) = - Từ định nghĩa ta có: 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝜏𝐷 (𝑤, 𝑧) nên suy 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑤, 𝑧) - Lấy 𝑧, 𝑤, 𝑢 ∈ 𝐷 Khi với hàm điều hịa dương ℎ 𝐷 ta có: 𝜏D−1 (𝑧, 𝑤)ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑧) ≤ 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤)ℎ(𝑤), 63 tức 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 liên tục (𝑧0 , 𝑤0 ) Do (𝑧0 , 𝑤0 ) chọn 𝐷 × 𝐷 nên suy 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 liên tục 𝐷 × 𝐷 Chú ý 2.5 Khi 𝐷 miền ℂ∞ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 nói chung khơng khơng phải metric, tức xảy 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑧 ≠ 𝑤 Chẳng hạn 𝐷 = ℂ Do hàm điều hòa dương ℂ số (Định lý Liouville [2]) nên ta có: 𝑙𝑜𝑔𝜏ℂ (𝑧, 𝑤) = với 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ minh 𝒍𝒐𝒈𝝉𝑫 metric 𝑫 miền bị chặn metric tương đương với metric thơng thường 𝑫 Ngồi ra, ta xây dựng cơng thức tính khoảng Harnack hai điểm đĩa áp dụng lý thuyết ánh xạ bảo giác xây dựng cơng thức tính khoảng cách Harnack hai điểm miền ℂ∞ Định lý 3.1 Nếu 𝐷 miền bị chặn ℂ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 metric Hơn nữa, tơ pơ sinh metric tương đương với tô pô thông thường 𝐷 Chứng minh: Lấy 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷 Khi đó, 𝐷 miền bị chặn nên tồn 𝑅 > cho 𝐷 ⊂ ∆≔ ∆(𝑧, 𝑅) Áp dụng Định lý 2.2 Định lý 2.3 ta có: 𝑅 + |𝑧 − 𝑤| 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≥ 𝜏∆ (𝑧, 𝑤) = (∗) 𝑅 − |𝑧 − 𝑤| Đặt 𝑑1 = 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 Khi đó, Định lý 2.4, 𝑑1 nửa metric 𝐷 Ta chứng minh metric 𝐷 Thật vậy: giả sử 𝑑1 (𝑧, 𝑤) = Bởi đánh giá (∗) ta suy 𝑅 + |𝑧 − 𝑤| ≤ ⇔ |𝑧 − 𝑤| ≤ ⇔ 𝑧 = 𝑤 𝑅 − |𝑧 − 𝑤| Gọi 𝑑 metric thông thường 𝐷, tức 𝑑(𝑧, 𝑤) = |𝑧 − 𝑤| với 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷 Để chứng minh tô pô 𝐷 sinh 𝑑 𝑑1 tương đương ta chứng minh ánh xạ đồng sau 𝑖𝑑: (𝐷, 𝑑) → (𝐷, 𝑑1 ), song ánh liên tục Thật vậy: - Ta chứng minh 𝑖𝑑 liên tục: Lấy 𝑧0 ∈ 𝐷 Chọn 𝜀 > cho ∆(𝑧0 , 𝜀) = {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑑(𝑧, 𝑧0 ) < 𝜀} ⊂ 𝐷 Lấy dãy (𝑧𝑛 ) ⊂ 𝐷 cho 𝑧𝑛 → 𝑧0 𝑛 → ∞ Khơng tính tổng quát ta có: thể giả sử (𝑧𝑛 ) ⊂ ∆(𝑧0 , 𝜀) Khi ta có: 𝑑1 (𝑧𝑛 , 𝑧0 ) = 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧𝑛 , 𝑧0 ) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏∆(𝑧0,𝜀) (𝑧𝑛 , 𝑧0 ) 𝜀 + |𝑧𝑛 − 𝑧0 | ≤ 𝑙𝑜𝑔 → 0, 𝑛 → ∞ 𝜀 − |𝑧𝑛 − 𝑧0 Tức 𝑧𝑛 → 𝑧0 theo metric 𝑑1 Và suy 𝑖𝑑 liên tục - Ta chứng minh 𝑖𝑑 −1 liên tục Lấy dãy (𝑧𝑛 ) ⊂ 𝐷 mà 𝑧𝑛 → 𝑧0 theo metric 𝑑1 Từ (∗) ta có: 𝑅 + |𝑧𝑛 − 𝑧0 | 𝑑1 (𝑧𝑛 , 𝑧0 ) ≥ 𝑙𝑜𝑔 ≥ 𝑅 − |𝑧𝑛 − 𝑧0 | Từ suy 𝑅 + |𝑧𝑛 − 𝑧0 | 𝑙𝑜𝑔 → 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 𝑅 − |𝑧𝑛 − 𝑧0 | Điều tương đương với |𝑧𝑛 − 𝑧0 | → 𝑛 → ∞ Tức 𝑖𝑑 −1 liên tục Định lý 3.2 Giả sử 𝐷 miền bị chặn ℂ Khi đó, khơng gian metric (𝐷, 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 ) không gian metric đầy Để chứng minh Định lý 3.2 ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3 Giả sử 𝐷 miền bị chặn Với 𝑤 ∈ 𝐷 𝜉 ∈ 𝜕𝐷 Khi ta có: lim 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = ∞ Các kết Bây giờ, sử dụng kết để chứng minh số kết liên quan đến khoảng cách Harnack Ta chứng Chứng minh: Lấy (𝑧𝑛 ) ⊂ 𝐷 cho 𝑧𝑛 → 𝜉 𝑛 → ∞ Do 𝐷 miền bị chặn nên tồn 𝑅 > cho 𝐷 ⊂ ∆(0, 𝑅) Xét hàm số cho công thức sau 𝜏D−1 (𝑤, 𝑢)ℎ(𝑢) ≤ ℎ(𝑤) ≤ 𝜏∆ (𝑤, 𝑢)ℎ(𝑢) Từ suy 𝜏D−1 (𝑧, 𝑤)𝜏D−1 (𝑤, 𝑢)ℎ(𝑢) ≤ ℎ(𝑧) ≤ 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤)𝜏∆ (𝑤, 𝑢)ℎ(𝑢) Suy 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑢) ≤ 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤)𝜏∆ (𝑤, 𝑢) 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑢) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) + 𝑙𝑜𝑔𝜏∆ (𝑤, 𝑢) Vậy 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 nửa metric 𝐷 Để chứng minh 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 liên tục 𝐷 × 𝐷, trước hết ta chứng minh khẳng định sau lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑧→𝑤 Thật với 𝑤 ∈ 𝐷 Chọn 𝜌 > cho ∆≔ ∆(𝑤, 𝜌) ⊂ 𝐷 Khi đó, với 𝑧 ∈ ∆, Định lý 2.2 Định lý 2.3 ta có: 𝜌 + |𝑧 − 𝑤| ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏∆ (𝑧, 𝑤) = 𝑙𝑜𝑔 ( ) 𝜌 − |𝑧 − 𝑤| Cho 𝑧 → 𝑤 ta suy lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑧→𝑤 Lấy (𝑧0 , 𝑤0 ) ∈ 𝐷 × 𝐷 Khi đó, bất đẳng thức tam giác, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑧0 ) + 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ) + 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤) Lấy giới hạn hai vế (𝑧, 𝑤) → (𝑧0 , 𝑤0 ) áp dụng kết vừa chứng minh ta có: lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ) (3) (𝑧,𝑤)→(𝑧0 ,𝑤0 ) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑧) + 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) + 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑤, 𝑤0 ) Lấy giới hạn hai vế (𝑧, 𝑤) → (𝑧0 , 𝑤0 ) áp dụng kết vừa chứng minh ta có: lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) ≥ 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ) (4) (𝑧,𝑤)→(𝑧0 ,𝑤0 ) Từ (3) (4) ta suy lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ), (𝑧,𝑤)→(𝑧0 ,𝑤0 ) 𝑧→𝜉 Đỗ Đăng Thịnh, Vương Thị Kim Cúc, Trần Lê Diệu Linh, Hồng Nhật Quy 64 2𝑅 | 𝑧−𝜉 Khi đó, ℎ hàm điều hòa dương 𝐷 (Định lý [8]) Theo định nghĩa 𝜏𝐷 (𝑧𝑛 , 𝑤) ta có: 𝜏D−1 (𝑧𝑛 , 𝑤)ℎ(𝑤) ≤ ℎ(𝑧𝑛 ) ≤ 𝜏𝐷 (𝑧𝑛 𝑤)ℎ(𝑤) ℎ(𝑧) ≔ 𝑙𝑜𝑔 | Suy Do 𝜏𝐷 (𝑧𝑛 , 𝑤) ≥ ℎ(𝑧𝑛) ℎ(𝑤) lim ℎ(𝑧𝑛 ) = lim 𝑙𝑜𝑔 | 𝑛→∞ 𝑛→∞ 2𝑅 𝑧𝑛−𝜉 | = ∞, nên suy lim 𝜏𝐷 (𝑧𝑛 , 𝑤) = ∞ 𝑛→∞ Vậy bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 3.2: Giả sử (𝑧𝑛 ) ⊂ 𝐷 dãy Cauchy (𝐷, 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 ) ̅ ⊂ ℂ bao đóng 𝐷 theo tơ pơ thơng thường Xét 𝐷 Khi đó, tồn dãy (𝑧𝑛𝑘 ) ⊂ (𝑧𝑛 ) cho lim 𝑧𝑛𝑘 = 𝑧0 , 𝑘→∞ ̅ theo tô pô thông thường Ta xét hai trường hợp sau: với 𝑧0 ∈ 𝐷 - Nếu 𝑧0 ∈ 𝐷 Định lý 3.1 ta có: metric Harnack tương đương với metric thông thường 𝐷 ta có: lim 𝑧𝑛𝑘 = 𝑧0 , 𝑘→∞ theo tơ pơ sinh 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 Vì (𝑧𝑛 ) dãy Cauchy theo 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 nên suy 𝑧𝑛 → 𝑧0 𝑛 → ∞ theo metric 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 - Nếu 𝑧0 ∈ 𝜕𝐷 theo Bổ đề 3.3 với 𝑚 ≥ ta có: lim 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 (𝑧𝑛 , 𝑧𝑚 ) = ∞ 𝑛→∞ Điều mâu thuẫn với giả thiết (𝑧𝑛 ) dãy Cauchy theo 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 Vậy xảy trường hợp 𝑧0 ∈ 𝐷, tức dãy (𝑧𝑛 ) hội tụ (𝐷, 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 ), hay (𝐷, 𝑙𝑜𝑔𝜏𝐷 ) không gian metric đầy Sau ta dựa vào lý thuyết ánh xạ bảo giác để xây dựng cơng thức tính khoảng cách Harnack hai điểm thuộc số miền cụ thể Kết sau cho cơng thức tính đĩa đơn vị Định lý 3.4 Đặt ∆= ∆(0,1) Chứng minh với 𝑧, 𝑤 ∈ ∆ ta có: 𝑧−𝑤 1+| | − 𝑧𝑤 ̅ 𝜏∆ (𝑧, 𝑤) = 𝑧−𝑤 1−| | − 𝑧𝑤 ̅ Chứng minh: Lấy 𝑧0 , 𝑤0 ∈ ∆ Xét ánh xạ phân tuyến tính 𝑓: ∆→ ∆ cho công thức 𝑧 − 𝑧0 𝑓(𝑧) = − 𝑧𝑧̅0 Khi đó, 𝑓 ánh xạ bảo giác ∆ lên (Định lý [8]) 𝑓(𝑧0 ) = Bởi Định lý 2.2 Định lý 2.3 ta có: 𝑤0 − 𝑧0 𝜏∆ (𝑧0 , 𝑤0 ) = 𝜏∆ (𝑓(𝑧0 ), 𝑓(𝑤0 )) = 𝜏∆ (0, ) − 𝑤0 𝑧̅0 |𝑤 − 𝑧0 | 1+ − 𝑤0 𝑧̅0 = |𝑤0 − 𝑧0 | 1− − 𝑤0 𝑧̅0 Kết sau cho cơng thức tính miền nửa mặt phẳng phức phía Định lý 3.5 Cho 𝐷 = {𝑧 ∈ ℂ: 𝐼𝑚(𝑧) > 0} Chứng minh với 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐷 ta có: 𝑧−𝑤 1+| | 𝑧−𝑤 ̅ 𝜏𝐷 (𝑧, 𝑤) = 𝑧−𝑤 1−| | 𝑧−𝑤 ̅ Chứng minh: Lấy 𝑧0 , 𝑤0 ∈ 𝐷 Xét ánh xạ phân tuyến tính 𝑓: 𝐷 → 𝐷 cho công thức 𝑧 − 𝑤0 𝑓(𝑧) = 𝑧 − ̅̅̅̅ 𝑤0 Khi đó, 𝑓 ánh xạ bảo giác 𝐷 lên đĩa đơn vị ∆= ∆(0,1) (Định lý [8]) 𝑓(𝑤0 ) = Bởi Định lý 2.2 Định lý 2.3 ta có: 𝑧0 − 𝑤0 𝜏𝐷 (𝑧0 , 𝑤0 ) = 𝜏𝐷 (𝑓(𝑧0 ), 𝑓(𝑤0 )) = 𝜏∆ ( , 0) 𝑧0 − ̅̅̅̅ 𝑤0 𝑧 − 𝑤0 1+| | 𝑧0 − ̅̅̅̅ 𝑤0 = 𝑧 − 𝑤0 1−| | 𝑧0 − ̅̅̅̅ 𝑤0 Kết luận Trong báo nhóm tác giả trình bày số kết hàm điều hòa dương xác định miền mặt phẳng phức mặt phẳng phức mở rộng Rồi dựa vào kết để xây dựng metric Harnack miền bị chặn Kết báo Định lý 3.1 Định lý 3.2, khẳng định metric Harnack đầy đủ tô pô sinh metric tương đương với tô pô sinh metric thông thường ℂ Ngồi ra, áp dụng tính chất bất biến khoảng cách Harnack qua ánh xạ bảo giác để xây dựng cơng thức tính khoảng cách Harnack hai điểm số miền cụ thể (Định lý 3.4 Định lý 3.5) Theo hiểu biết nhóm tác giả kết mới, có giá trị thực hành cao góp phần làm phong phú kết lớp hàm điều hòa dương lý thuyết vị Lời cảm ơn: Các tác giả báo xin gửi lời cảm ơn chân thành tới phản biện dành thời gian đọc kỹ báo cho góp ý có giá trị, giúp báo rõ ràng hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Herron D A., “The harnack and other conformally invariant metrics”, Kodai Math J., 31 (1908), - 19 [2] Axler S., Bourdon P., Ramey W., Harmonic function theory, Springer – Verlag New York, (2001) [3] Klimek M., Pluripotential Theory, Clarendon Press, Oxford, (1991) [4] Helms L L., Introduction to potential theory, John Wiley and Sons, (1969) [5] Hiep P H., Singularities of plurisubharmonic functions, Pub Hou Sci and Tec 2016 [6] Quy H N., “The topology on the space 𝛿ℰ𝜒 ”, Univ Iagel Acta Math 51 (2014), 61 – 73 [7] Hung V V, Quy H N., “The m-Hessian Operator on some weighted energy classes of delta m-subharmonic functions”, Results in Math, 75:112 (2020), 68 – 92 [8] Khue N V, Hai L M., Hàm biến phức, NXB ĐH QG Hà Nội, (1997)