KHỐI ĐA DIỆN I Phương pháp giải Hình đa diện và khối đa diện Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện (1) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chun[.]
KHỐI ĐA DIỆN I Phương pháp giải Hình đa diện khối đa diện - Hình đa diện gồm số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện: (1) Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung (2) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác - Hình đa diện chia không gian làm hai phần: phần bên phần bên ngồi Hình đa diện với phần bên gọi khối đa diện - Mỗi khối đa diện phân chia thành khối tứ diện Mỗi đa giác hình H gọi cặp khối đa diện Các đỉnh, cạnh mặt gọi đỉnh, cạnh khối đa diện Các điểm nằm hình H gọi điểm khối đa diện Khối chóp khối lăng trụ - Khối đa diện gọi khối chóp, khối chóp cụt giới hạn hình chóp, hình chóp cụt Tương tự cho khối chóp n-giác, khối chóp cụt n-giác, khối chóp đều, khối tứ diện - Khối đa diện gọi khối lăng trụ giới hạn hình lăng trụ, tương tự cho khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương,… - Phân chia lắp ghép khối đa diện: Mọi khối chóp khối lăng trụ ln phân chia thành khối tứ diện nhiều cách khác Chú ý: 1) Đặc số Ơ-le khối đa diện lồi: Đối với khối đa diện lồi H, ta kí hiệu Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt H có đặc số ( H ) D C M 2) Hình lăng trụ đều; hình lăng trụ đứng (có cạnh bên vng góc với mặt đáy) có đáy đa giác 3) Hình chóp đều: đáy đa giác cạnh bên II Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác số mặt phải số chẵn Hãy khối đa diện với số mặt 4, 6, 8, 10 Giải Gọi số cạnh khối đa diện C, số mặt M Vì mặt có ba cạnh cạnh lại chung cho hai mặt nên 3M 2C Suy M số chẵn Sau số khối đa diện số mặt tam giác 4, 6, 8, 10 Bài toán Chứng minh đỉnh hình đa diện đỉnh chung ba cạnh đỉnh chung ba mặt Giải Ta dùng phản chứng Nếu xuất phát từ đỉnh có hai cạnh, cạnh cạnh đa giác, trái với điều kiện định nghĩa hình đa diện Vậy đỉnh phải đỉnh chung ba cạnh, phải đỉnh chung ba mặt Bài tốn Chứng minh khối đa diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn Giải Giả sử khối đa diện có C cạnh có Đ đỉnh Vì đỉnh đỉnh chung ba cạnh cạnh có hai đỉnh nên 3Đ 2C Vậy Đ phải số chẵn Bài toán Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung ba cạnh khối tứ diện Giải Gọi A đỉnh khối đa diện Theo giả thiết, đỉnh A đỉnh chung cho ba cạnh, ta gọi ba cạnh AB, AC, AD Cạnh AB phải cạnh chung hai mặt tam giác, hai mặt ABC ADB (vì qua đỉnh A có cạnh) Tương tự, ta có mặt tam giác ACD BCD Vậy khối đa diện khối tứ diện ABCD Bài tốn Chứng minh rằng, số góc tất mặt gấp đôi số cạnh khối đa diện Suy số góc chẵn Giải Gọi số góc G số cạnh khối đa diện C Trong mặt đa giác số góc số cạnh, mà số cạnh tính lần nên G 2C , G chẵn Bài tốn Chứng minh khơng tồn khối đa diện có số lẻ mặt mặt lại có số lẻ cạnh Giải Giả sử tồn khối đa diện M lẻ mặt chứa số lẻ cạnh Ci, i 1, 2, , M Ta có số góc khối đa diện: G C1 C2 CM => G lẻ: vô lý Vậy không tồn khối đa diện thỏa đề Bài toán Hãy phân chia khối tứ diện thành ba khối tứ diện hai mặt phẳng Giải Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M N phân biệt nằm C D Bằng hai mặt phẳng (ABM) (ABN), ta chia khối tứ diện cho thành ba khối tứ diện: ABCN, ABNM ABMD Bài toán Hãy phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện hai mặt phẳng Giải Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A B, điểm N nằm C D Bằng hai mặt phẳng (MCD) NAB), ta chia khối tứ diện cho thành bốn khối tứ diện: AMCN, AMND, BMCN BMND Bài toán Hãy chia khối hộp thành năm khối tứ diện Giải Có thể phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA’, CBDC’, B’A’C’B, D’A’C’D BDA’C’ ... diện Giải Có thể phân chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện sau đây: ABDA’, CBDC’, B’A’C’B, D’A’C’D BDA’C’