Khoang cach trong hinh hoc khong gian

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG  Dạng 1: Khoảng cách từ điểm mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt bên  SHB  Kẻ AH  HB ta có: AK  HB  AK   SHB  AK  SH Suy d  A;  SHB    AK Cách tính: Ta có: d  A;  SHB    AK  2S AHB HB  AB sin ABK  AH sin AHK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB  3a, BC  2a, ABC  60 Biết SA   ABC  a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  Lời giải CH  AB  CH   SAB CH  SA a) Dựng CH  AB ta có:  Do d  C;  SAB    CH  CB sin ABH  2a sin 60  a b) Dựng CK  AC  CK   SAC  Ta có: d  B;  SAC    CH  2S ABC AB.BC sin ABC  AC AC Trong AC  AB2  BC  2BA.BC cos B  AC  a  d  B;  SAC    3a.2a.sin 60 3a 21  a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với B  a, AD  a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung tâm AB a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SHD  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SHC  Lời giải a) Do tam giác SAB cân S nên SH  AB a Ta có: HA  HD  Mặt khác  SAB    ABCD   SH   ABCD  Dựng AE  DH  AE   SHD   d  A;  SHD    AE Mặt khác AE  AH AD AH  AD 2  a 39 13 b) Dựng DK  CH  d  D;  SHC    DK Ta có: CH  HB  BC  Do d  D;  SHC    a 13 1 a2 , S HCD  CD.d  H ; CD   a.a  2 2 2S HCD 2a 39  CH 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD  3a , AB  BC  2a Biết SA   ABCD  a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAD  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAC  Lời giải a) Dựng CE  AD  CE   SAD  Khi d  C;  SAD    CE , ABCE hình vng cạnh 2a nên CE  AE  2a  d C;  SAD    2a b) Dựng DH  AC  DH   SAC  Khi d  D;  SAC    DH Ta có: ABCE hình vng nên CAD  45 Do DH  ADsin 45  3a 3a  2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm H tam giác ABD a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHD  Lời giải a) Do H trọng tâm tam giác ABD  H  AC Gọi O tâm hình vng ABCD  BO  AC Mặt khác BO  SH  BO   SAC  Khi d  B;  SAC    BO  5a b) Dựng CK  HD  CK   SHD   d C;  SHD    CK Gọi I trung điểm AB H  DI  AO S ABCD 2S ICD Khi đó: CK    DI DI 25a DA2  AI  25a  5a  25a       2a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a , với AB  2a Biết SA   ABCD  mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc 60 a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAC  Lời giải a) Tứ giác ABCD nửa lục giác cạnh a nên nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a Dựng CH  AB  CH   SAB   d C;  SAB    CH Mặt khác ABC  60  CH  BC sin 60  Vậy d  C;  SAB    b) a a Dựng DK  AC  DK   SAC   d  D;  SAC    DK a Do DCB  120, ACB  90  ACD  30  DK  CD sin DCK  a sin 30  Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 2, AB  2, BC  Gọi M trung điểm CD, hai mặt phẳng  SBD   SAM  vng góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAM  Lời giải Ta có S ABCD  2SABC  2SMAB   SABC  SMAB  1  SABC  AB.BC.sin ABC   sin ABC  2 Do ABC  45  ADM  45 Áp dụng định lý Cosin tam giác ADM, ta AM  AD  DM  AD.DM cos ADM  có: 10 Gọi H giao điểm AM BD  SH   ABCD  Kẻ BK vng góc với AM, K  AM  BK  AM 1 Ta có  SAM    SBD   SH  SH   ABCD   SH  BK   Từ 1 ,    BK   SAM   d  B;  SAM    BK Mặt khác SMAB  BK AM  BK  2.SMAB 10   AM 10 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC  BD  2a Tam giác A’BD vuông cân A’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng  A ' AB  tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách d  B ';  A ' BD   Lời giải Gọi H tâm hình chữ nhật ABCD  HA  HC  A ' H  BD (Do A ' BD cân A’) Do  A ' BD    ABCD   A ' H   ABCD  Ta có: A ' H  BD  a (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền nửa cạnh ấy) Dựng HM  AB  AB   A ' HM   A ' MH  60 +) Khi đó: HM tan 60  A ' H  HM   AD  HM  a 2a  AB  2a 3 Do: A ' D / / B ' C  B ' C / /  A ' BD   d  B ';  A ' BD    d C;  A ' BD   Ta có: CE  CD.CB 2a 2a Vậy d  B ';  A ' BD     BD 3  Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên  SAB  Dựng HE  AB,  E  AB  ta có: AB  SH  AB   SHE  1  AB  HE Dựng HF  SE,  F  SE  Từ 1 HF  AB Do HF   SAB   d  H ;  SAB    HF Cách tính: Xét tam giác SHE vng H có đường cao HF ta có: Hay HF  HE.SH HE  SH 1   2 HF HE SH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB  a, BC  a Biết SA  2a SA   ABC  a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  b) Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBM  Lời giải a) Ta có : AB  BC , mặt khác BC  SA  BC   SAB  AH  SB  AH   SBC  AH  BC Dựng AH  SB   Khi d  A;  SBC    AH  SA AB SA2  AB  2a b) Dựng AE  BM , AF  SE ta có: AE  BM  BM   SAE   BM  AF  AE  BM AF  SE  AF   SBM  AF  BM Khi đó:  Ta có: AB  a, AC  AB2  AC  2a Do BM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BM  a AC  AM  AB  a  ABM cạnh a  AE  2 Khi d  A;  SBM    AE.SA AE  SA 2  2a 57 19 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA   ABC  Đường thẳng SB tạo với đáy góc 60 a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCM  , với M trung điểm cạnh AB Lời giải a) Do SA   ABC    SB;  ABC    SBA  60 Do SA  AB tan 60  2a Dựng AE  BC, ABC nên AB a BC  SA  BC  AF BC  AE Dựng AF  SE , mặt khác   AF   SBC   d  A;  SBC    AF  SA AE SA2  AE  2a 21 b) Do M trung điểm AB nên CM  AB Mặt khác CM  SA  CM  SAM  Dựng AH  SM  AH   SMC  Khi d  A;  SMC    SA AM SA2  AM  2a Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Biết OA  a, OB  b, OC  c Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  ABC  Lời giải OC  OA  OC   OAB  AB  OC OC  OB Do  Dựng OE  AB, OF  CE suy OF  BC Khi OF   ABC   d  O;  ABC    OF Mặt khác: Do 1 1 1     2 2 OF OC OE OE OA OB 1 1  2 2 d  O;  ABC   a b c abc Vậy d  a 2b  b c  c a BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AB  a, AC  b, AD  c Gọi d khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  Đẳng thức đúng? A 1 1  2 2 2 d a b c B d  a2  b2  c2 C d  1   a b2 c D d  abc Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A Gọi d khoảng cách từ A đến đường thẳng chứa cạnh BC Đẳng thức đúng? A d  AB AC AB  AC B d  AB  AC AB AC C d  AB2  AC D d  AB  AC AB AC Câu 3: Cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng   Gọi d1 , d2 khoảng cách từ M N đến   Khẳng định sau đúng? A d1  d2 B d1  d C d1  2d2 D d1  d2  Câu 4: Cho hai mặt phẳng   ,    song song với Lấy hai điểm M, N nằm      cho đường thẳng MN khơng vng góc với   Khẳng định sau sai? A d  M ,      d  N ,    B d  M ,      d    ,     C d  N ,     d    ,     D d    ,      MN Câu 5: Cho tứ diện ABCD Gọi d khoảng cách từ D đến mặt phẳng  ABC  Mệnh đề sai? A d=DG với G trọng tâm tam giác ABC B d=DH với H hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng  ABC  C d=DI với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D d=DN N trung điểm AM (với M trung điểm đoạn BC) Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AB=2, AC=3, AD=4 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A d  12 61 61 B d  144 61 C d  61 12 D d  61 Câu 7: Khoảng cách lớn hai đỉnh hình lập phương cạnh a bao nhiêu? A a B a D d  a C 2a Câu 8: Cho mặt phẳng   đường thẳng MN cắt   điểm I Biết 3MI  2MN Gọi d1 , d2 khoảng cách từ M N đến   Tính tỉ số A d1  d2 B d1  d2 C d1 d2 d1  d2 D d1 2 d2 Câu 9: Cho mặt phẳng   đường thẳng MN cắt   điểm I Biết 4IN  3IM Gọi d1 , d2 khoảng cách từ M N đến   Tính tỉ số A d1  d2 B d1  d2 C d1 d2 d1  d2 D d1 4 d2 Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M trung điểm CC’ d khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BC  Mệnh đề sai? A d  d  B ',  A ' BC   B d  2.d  M ,  A ' BC   C d  3.d  O,  A ' BC   D d  d  O,  A ' BC   Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có ba kích thước AB  a, AD  b, AA '=c Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  DA ' C ' A d  C d  abc  ab    bc    ac  2 B d  bc abc a  b2  c2 D d  b2  c abc ab  bc  ac Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA vng góc với đáy SA  h Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  theo a h ? A d  ah 4a  3h 2 B d  ah 3a  4h 2 C d  ah a h 2 D d  ah a  h2 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Khoảng cách từ A đến đường thẳng CC’ A a B a C a D a Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a Khoảng cách từ A đến đường thẳng B’D’ A a B a C a D a Câu 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA  a 7, AB  3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC  A a B 2a C a 20 D a 10 Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC, đáy hình chữ nhật Gọi H trung điểm SB Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  đoạn thẳng A AS B AB C AC D AH Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC  2a , đáy hình chữ nhật có AB  a 2, AD  a Gọi K trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABCD  A a B 2a C a D a Câu 18: Cho hai đường thẳng 1 ,  chéo nhau, đường thẳng  cắt 1 M cắt  N Khẳng định đúng? A d  1 , 2   MN B d  1 , 2   MN C d  M , 2   d  N, 1  D d  1 , 2   MN Câu 19: Cho hai đường thẳng 1 ,  chéo nhau, mặt phẳng    chứa  song song với 1 , mặt phẳng   chứa 1 song song với  Khẳng định sai? A d  1 , 2   d  1 ,     B d  1 ,      d  2 ,    C d  1 , 2   d    ,     D d    ,      MN , M 1 , N 2 Câu 20: Cho đường thẳng 1 mặt phẳng   song song với Mặt phẳng    chứa 1 , vng góc với   cắt   theo giao tuyến  Khi khẳng định đúng? A d  1 , 2   d  1 ,    C d  M , 2  >d  M ,    , M 1 B d  1 , 2 