Bài 54 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác A Lý thuyết 1 Đường trung tuyến của tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất[.]
Bài 54: Tính chất ba đường trung tuyến tam giác A Lý thuyết Đường trung tuyến tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC) tam giác ABC Đôi khi, đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC • Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện Tính chất ba đường trung tuyến tam giác • Định lý 1: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác • Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Ví dụ: Với G trọng tâm ΔABC ta có: Ví dụ Ví dụ:Cho ΔABC, cạnh BC lấy điểm T cho TB = 2/3 BC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = CA Đường thẳng DT cắt AB E Chứng minh EA = EB Hướng dẫn giải: Trong ΔABD có: BC trung tuyến CD = CA Và TB = 2/3 BC, T trọng tâm ΔABD Suy DT đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D Nên phải qua trung điểm E cạnh AB Vậy EA = EB Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai đường thẳng xx' yy' cắt O Trên tia Ox lấy hai điểm A, B cho A nằm O B, AB = 2OA Trên yy' lấy hai điểm L M cho O trung điểm LM Nối B với L, B với M gọi P trung điểm đoạn MB, Q trung điểm đoạn LB Chứng minh đoạn thẳng LP MQ qua A Hướng dẫn giải: Ta có O trung điểm đoạn LM Suy BO đường trung tuyến ΔBLM (1) Mặt khác BO = BA + AO A nằm O B hay OB = 2OA + OA = 3OA Suy AO = (1/3)OB hay BA = (2/3)BO (2) Từ (1) (2) suy A trọng tâm ΔBLM (tính chất trọng tâm) Mà LP MQ đường trung tuyến ΔBLM P trung điểm MB Q trung điểm đoạn LB Suy đoạn thẳng LP MQ qua A (theo tính chất đường trung tuyến) Bài 2: Cho ΔABC, BC = a, CA = b, AB = c Kẻ trung tuyến AM Đặt AM = ma Chứng minh Hướng dẫn giải: B Bài Tập Câu 1: Chọn câu sai A. Trong tam giác có ba đường trung tuyến B. Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C. Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D. Một tam giác có hai trọng tâm Hiển thị đáp án Lời giải: + Một tam giác có trọng tâm nên đáp án D sai Đáp án cần chọn là: D Câu 2: Chọn câu A. Trong tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đường trung tuyến tam giác B. Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C. Trọng tâm tam giác giao ba đường trung tuyến D. Cả A, B, C Hiển thị đáp án Lời giải: - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện nên A - Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác nên B, C Đáp án cần chọn là: D Câu 3: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy" Hiển thị đáp án Lời giải: Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng bằng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Số cần điền là Đáp án cần chọn là: A Câu 4: Cho tam giác ABC có G trọng tâm tam giác, N trung điểm AC Khi đo BG = BN Số thích hợp điền vào chỗ trống là: Hiển thị đáp án Lời giải: Đáp án cần chọn là: A Câu 6: Cho hình vẽ sau 6.1: Biết MG = 3cm Tính MR A cm B cm C cm D 4,5 cm Hiển thị đáp án Lời giải: Ta có: MR, NS hai đường trung tuyến tam giác MNP chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác MNP Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: Đáp án cần chọn là: D >6.2: Biết GS = 1,5cm Tính NG A 1,5 cm B cm C 2,25 cm D cm Hiển thị đáp án Lời giải: Theo câu trước ta có G trọng tâm tam giác MNP Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: Đáp án cần chọn là: B Câu 7: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và G trọng tâm Độ dài đoạn AG A 4,5 cm B cm C cm D cm Hiển thị đáp án Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Đáp án cần chọn là: C Câu 8: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 15cm và G trọng tâm Độ dài đoạn AG A 7,5 cm B cm C 10 cm D 22,5 cm Hiển thị đáp án Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Đáp án cần chọn là: C Câu 9: Cho G trọng tâm tam giác Chọn câu Hiển thị đáp án Lời giải: Các tia AG, BG CG cắt BC,AC,AB D,E,F D,E,F theo thứ tự trung điểm BC,AC,AB Mà AC=AB=BC (do tam giác ABC tam giác đều), Đáp án cần chọn là: B Câu 15: Cho tam giác ABC, có G trọng tâm đường trung tuyến AM,BN,CP Trên tia AG kéo dài lấy điểm D cho G trung điểm AD So sánh cạnh tam giác BGD với đường trung tuyến tam giác ABC Hiển thị đáp án Lời giải: ΔABC có G trọng tâm đường trung tuyến AM, BN, CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: Ta có: GD = AG = 2GM (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Mà GD = GM + MD ⇒ 2GM = GM + MD ⇒ GM = MD Xét ΔBMD ΔCMG có: GM = MD BM = MC (vì AM đường trung tuyến ΔABC) ⇒ ΔBMD = ΔCMG (c.g.c) Đáp án cần chọn là: B Câu 16: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Chọn câu Hiển thị đáp án Lời giải: Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên Đáp án cần chọn là: C Câu 17: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Tính BE biết IK = 3cm A 6cm B 9cm C 12cm D 15cm Hiển thị đáp án Lời giải: Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên ... giải: - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện nên A - Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác nên... câu A. Trong tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đường trung tuyến tam giác B. Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C. Trọng tâm tam giác giao ba đường trung tuyến... tuyến B. Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C. Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D. Một tam giác có hai trọng tâm Hiển thị đáp án Lời giải: + Một tam giác có trọng