Bài 5 Tích của một số với một vectơ A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1 Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58) Gọi 1 2v , v lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu Mối l[.]
Bài Tích số với vectơ A Câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Hai đồn tàu chạy song song (Hình 58) Gọi v1 , v vectơ mơ tả vận tốc hai đồn tàu Mối liên hệ hai vectơ vận tốc v1 , v nào? Sau học giải câu hỏi sau: Lời giải: Ta thấy hai vectơ v1 , v hai vectơ phương nên v1 = kv với k ≠ Hoạt động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B trung điểm AC Chứng tỏ AC = AB + AB Lời giải: Do B trung điểm AC nên BC = AB Do AB + BC = AB + AB hay AC = AB + AB Hoạt động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B trung điểm AC Quan sát vectơ AB AC , nêu mối liên hệ hướng độ dài vectơ 2AB với AB Lời giải: Vectơ 2AB hướng với AB 2AB = AB Luyện tập trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Hai đường trung tuyến AM BN cắt G Tìm số a, b biết: AG = aAM; GN = bGB Lời giải: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM BN cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Do AG = AM; GN = GB Do AG AM hai vectơ hướng nên AG = AM Do GN GB hai vectơ hướng nên GN = GB Vậy a = ;b= Luyện tập trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C Chứng minh ( ) ( ) ) ( ) AB + 2BC − AB + 3BC = AB Lời giải: ( AB + 2BC − AB + 3BC = 3AB + 6BC − 2AB − 6BC = 3AB − 2AB + 6BC − 6BC = AB ( ) ( ) Vậy AB + 2BC − AB + 3BC = AB Hoạt động trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB điểm M tùy ý Chứng minh MA + MB = 2MI Lời giải: Ta có MA = MI + IA ; MB = MI + IB Do MA + MB = MI + IA + MI + IB = 2MI + IA + IB Do I trung điểm AB nên IA = −IB Do 2MI + IA + IB = 2MI − IB + IB = 2MI Vậy MA + MB = 2MI Hoạt động trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G trọng tâm tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh MA + MB + MC = 3MG Lời giải: Gọi D, E, F trung điểm BC, AC, AB Do D trung điểm BC nên AB + AC = 2AD Do E trung điểm AC nên BA + BC = 2BE Do F trung điểm AB nên CA + CB = 2CF Do AB + AC + BA + BC + CA + CB = 2AD + 2BE + 2CF AB + BA + AC + CA + BC + CB = 2AD + 2BE + 2CF 2AD + 2BE + 2CF = AD + BE + CF = ( ) − AD + BE + CF = −AD − BE − CF = DA + EB + FC = 2 Do G trọng tâm tam giác ABC nên GA = DA ; GB = EB ; GC = FC 3 Do GA + GB + GC = ( ) DA + EB + FC = Ta có MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC ( = 3MG + GA + GB + GC ) = 3MG Vậy MA + MB + MC = 3MG Luyện tập trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Chứng minh AB + AC = 3AG Lời giải: Gọi D trung điểm BC Do D trung điểm BC nên AB + AC = 2AD Do G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AD hay AD = AG 3 Do AB + AC = 2AD = AG = 3AG Vậy AB + AC = 3AG Hoạt động trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a b khác cho a = kb với k số thực khác Nêu nhận xét phương hai vectơ a b Lời giải: Ta có a = kb với k số thực khác Khi hai vectơ a b phương Hoạt động trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB, AC có phương hay khơng? b) Ngược lại, hai vectơ AB, AC phương ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay khơng? Lời giải: a) Giá vectơ AB đường thẳng AB, giá vectơ AC đường thẳng AC Do A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB trùng với đường thẳng AC Do hai vectơ AB, AC phương b) Giá vectơ AB đường thẳng AB, giá vectơ AC đường thẳng AC Hai vectơ AB, AC phương nên giá chúng song song trùng Mà AB AC có điểm chung A nên AB trùng AC Do A, B, C thẳng hàng Luyện tập trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Hình 61, tìm k trường hợp sau: a) AC = kAD , b) BD = kDC Lời giải: a) Hai vectơ AC AD hai vectơ hướng AC = Vậy k = 3 AD nên AC = AD 4 b) Hai vectơ BD DC hai vectơ ngược hướng BD = 3DC nên BD = −3DC Vậy k = −3 B Bài tập Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ Phát biểu sau đúng? A MN = 2PQ ; B MQ = 2NP ; C MN = −2PQ ; D MQ = −2NP Lời giải: Ta thấy hai vectơ MN PQ hai vectơ ngược hướng MN = 2PQ nên MN = −2PQ Vậy đáp án đáp án C Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = cm a) Xác định điểm C thỏa mãn AC = AB b) Xác định điểm D thỏa mãn AD = − AB Lời giải: a) Ta thấy > nên hai vectơ AC AB hướng Khi AC = 1 AB hay AC = AB A, B, C thẳng hàng 2 Do C trung điểm AB b) Ta thấy − nên hai vectơ AD AB ngược hướng Khi AD = − 1 AB hay AD = AB A, B, D thẳng hàng 2 Do D nằm khác phía với B so với điểm A cho AD = AB Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: a) AP + BC = AN ; b) BC + 2MP = BA Lời giải: a) Tam giác ABC có P trung điểm AB; N trung điểm AC nên PN đường trung bình tam giác ABC Do PN // BC PN = BC Ta thấy hai vectơ PN BC hướng PN = 1 BC nên PN = BC 2 Do AP + BC = AP + PN = AN Vậy AP + BC = AN b) Tam giác ABC có P trung điểm AB; M trung điểm BC nên PM đường trung bình tam giác ABC Do MP // CA MP = CA Ta thấy hai vectơ MP CA hướng MP = 1 CA nên MP = CA hay 2 CA = 2MP Do BC + 2MP = BC + CA = BA Vậy BC + 2MP = BA Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62) Giả sử AB = a , AC = b Biểu diễn vectơ BC,BD,BE,AD,AE theo a, b Lời giải: Ta có BC = AC − AB = b − a ; Do BD = DE = EC BD + DE + EC = BC nên BD = DE = EC = Hai vectơ BD BC hướng BD = BC BC nên 1 b−a BD = BC = b − a = 3 ( ) Hai vectơ BE BD hướng BE = 2BD nên BE = 2BD = 2b − 2a b−a = 3 ( ) Có AB + BD = AD nên AD = a + Có AB + BE = AE nên AE = a + b − a 3a + b − a 2a + b = = 3 2b − 2a 3a + 2b − 2a a + 2b = = 3 Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm hai cạnh AB CD Gọi G trung điểm đoạn thẳng MN, E trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: a) EA + EB + EC + ED = 4EG ; b) EA = 4EG ; c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE AG = AE Lời giải: a) Do M trung điểm AB nên GA + GB = 2GM (1) Do N trung điểm CD nên GC + GD = 2GN (2) Do G trung điểm MN nên GM = GN Ta thấy hai vectơ GM GN ngược hướng GM = GN nên GM = −GN Do GM + GN = −GN + GN = ( ) Từ (1) (2) ta có GA + GB + GC + GD = 2GM + 2GN = GM + GN = Ta có EA + EB + EC + ED = EG + GA + EG + GB + EG + GC + EG + GD ( = 4EG + GA + GB + GC + GD ) = 4EG Vậy EA + EB + EC + ED = 4EG b) Do E trọng tâm tam giác BCD nên EB + EC + ED = Do EA = 4EG c) Do EA = 4EG nên hai vectơ EA EG hướng Mà > nên G nằm A E Do EA = EG hay EA = 4EG EG = EA AG = EA Ta thấy hai vectơ AG AE hướng AG = 3 EA nên AG = AE 4 Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Đặt AB = a, AD = b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Biểu thị vectơ AG, CG theo hai vectơ a, b Lời giải: Gọi M N trung điểm BC AB Do ABCD hình bình hành nên AD = BC = b Do M trung điểm BC nên BM = BC Hai vectơ BM BC hướng BM = Do N trung điểm AB nên NB = 1 b BC nên BM = BC = 2 AB Hai vectơ BN AB ngược hướng NB = 1 −a AB nên BN = − AB = 2 b a Ta có AM = AB + BM = a + ; CN = CB + BN = −b − 2 2 Do G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AM CG = CN 3 2 b 2 a −2 b− a Do AG = a + = a + b CG = −b − = 3 2 3 3 2 3 Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Các điểm D, E, H thỏa mãn 1 DB = BC,AE = AC,AH = AB 3 a) Biểu thị vectơ AD, DH, HE theo hai vectơ AB, AC b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng Lời giải: 1 Vì DB = BC nên DB BC hướng DB = BC 3 1 AE = AC nên AE, AC hướng AE = AC 3 2 AH = AB nên AH, AB hướng AH = AB 3 ( ) ( ) 1 1 AB AC a) Do DB = BC nên BD = − BC = − BA + AC = − −AB + AC = − 3 3 3 Ta có: AD = AB + BD = AB + AB AC − = AB − AC 3 3 ( ) 1 1 DH = DB + BH = BC + BA = BA + AC + BA 3 3 −2 = BA + AC = AB + AC 3 3 2 HE = AE − AH = AC − AB = − AB + AC 3 3 b) Từ phần a ta thấy DH = HE = −2 AB + AC 3 Do D, H, E thẳng hàng H trung điểm DE ... với AB Lời giải: Vectơ 2AB hướng với AB 2AB = AB Luyện tập trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC Hai đường trung tuyến AM BN cắt G Tìm số a, b biết: AG = aAM; GN = bGB Lời giải: Tam giác... −3DC Vậy k = −3 B Bài tập Bài trang 92 Tốn lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ Phát biểu sau đúng? A MN = 2PQ ; B MQ = 2NP ; C MN = −2PQ ; D MQ = −2NP Lời giải: Ta thấy hai... = −2PQ Vậy đáp án đáp án C Bài trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = cm a) Xác định điểm C thỏa mãn AC = AB b) Xác định điểm D thỏa mãn AD = − AB Lời giải: a) Ta thấy > nên hai vectơ