Bài 4 Bất phương trình bậc hai một ẩn A Các câu hỏi trong bài Câu hỏi khởi động trang 49 SGK Toán lớp 10 Tập 1 Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh d[.]
Bài Bất phương trình bậc hai ẩn A Các câu hỏi Câu hỏi khởi động trang 49 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Bác Dũng muốn uốn tơn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành rãnh dẫn nước cách chia tơn thành ba phần gấp hai bên lại theo góc vng (Hình 25) Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước phải lớn 120 cm2 Rãnh dẫn nước phải có độ cao xăng-ti-mét? Lời giải: Sau học xong ta giải toán sau: Tiến hành uốn tôn ta rãnh dẫn nước có mặt cắt ngang với kích thước x (cm) 32 – x (cm) Khi diện tích mặt cắt ngang (32 – 2x)x (cm2) Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước phải lớn 120 cm2 nên ta có: (32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x2 + 32x – 120 ≥ Xét tam thức bậc hai – 2x2 + 32x – 120 có: ∆’ = 162 – (-2).(-120) = 16 > Suy phương trình có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 10 Ta lại có hệ số a = – < 0, bảng xét dấu: Suy – 2x2 + 32x – 120 ≥ với x ∈ [6; 10] Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao cm Hoạt động trang 49 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát nêu đặc điểm biểu thức vế trái bất phương trình 3x2 – 4x – < Lời giải: Biểu thức vế trái bất phương trình 3x2 – 4x – 8, tam thức bậc hai có hệ số a = > 0, b = -3 c = -8 Luyện tập trang 49 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: a) Cho hai ví dụ bất phương trình bậc hai ẩn b) Cho hai ví dụ bất phương trình mà khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn Lời giải: a) Hai ví dụ bất phương trình bậc hai ẩn: 9x2 – ≥ 0; - 4x2 – 5x + < b) Hai ví dụ bất phương trình khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn: 0x2 – 7x ≤ 0; 6x2 + 4x – > Hoạt động trang 50 SGK Toán lớp 10 Tập 1: a) Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – b) Giải bất phương trình x2 – x – > Lời giải: a) Tam thức bậc hai f(x) = x2 – x – có ∆ = (– 1)2 – (– 2) = > Do tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2, x2 = - Lại có hệ số a = > nên ta có bảng xét dấu sau: x f(x) = x2 – x – –∞ –1 + +∞ – + b) Dựa vào bảng xét dấu câu a, ta thấy: f(x) > khoảng ( −; −1) ( 2; + ) hay x2 – x – > x ( −; −1) ( 2; + ) Vậy tập nghiệm bất phương trình x2 – x – > (– ∞; – 1) ∪ (2; +∞) Luyện tập trang 50 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Giải bất phương trình bậc hai sau: a) 3x2 – 2x + ≤ 0; b) – x2 + 6x – ≥ Lời giải: a) Tam thức bậc hai 3x2 – 2x + có ∆ = (– 2)2 – = – 44 < hệ số a = > Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai, ta thấy 3x2 – 2x + > với x Do khơng có giá trị x thỏa mãn 3x2 – 2x + ≤ Vậy bất phương trình cho vô nghiệm b) Tam thức bậc hai – x2 + 6x – có ∆ = 62 – (– 1) (– 9) = Suy tam thức có nghiệm kép x = Ta lại có: a = – < nên ta có bảng xét dấu sau: Suy tam thức – x2 + 6x – < với x \ 3 – x2 + 6x – = x = Do bất phương trình – x2 + 6x – ≥ x = Vậy nghiệm bất phương trình cho x = Hoạt động trang 50, 51 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cho bất phương trình x2 – 4x + > (2) Quan sát parabol (P): y = x2 – 4x + Hình 26 cho biết: a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trục hồnh b) Phần parabol (P) nằm phía trục hồnh ứng với giá trị x Lời giải: a) Quan sát Hình 26, ta thấy: Phần parabol (P) nằm phía trục hồnh biểu diễn giá trị dương y hay x2 – 4x + > Do bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm phía trục hoành b) Với x < x > tương ứng ta có phần parabol (P) nằm phía trục hồnh Vậy phần parabol nằm phía trục hoành tương ứng với x < x > Luyện tập trang 51 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Giải bất phương trình bậc hai sau cách sử dụng đồ thị: a) x2 + 2x + > 0; b) – 3x2 + 2x – > Lời giải: a) Đặt y = x2 + 2x + Ta có: a = 1, b = 2, c = ∆ = 22 – = – < - Tọa độ đỉnh I(– 1; 1) - Trục đối xứng x = – - Ta có bảng sau: x -3 -2 -1 y = x2 + 2x + 2 Đồ thị hàm số đường cong qua điểm A(-3;5), B(-2; 2), I(-1; 1), C(0; 2) D(1; 5) Ta có a = > nên bề lõm đồ thị hướng lên Đồ thị hàm số cho: Quan sát đồ thị trên, ta thấy toàn phần parabol y = x2 + 2x + nằm phía trục hồnh với x Do x2 + 2x + > với x Vậy tập nghiệm bất phương trình x2 + 2x + > b) Đặt y = – 3x2 + 2x – Ta có: a = – 3, b = 2, c = – 1, ∆ = 22 – (– 3) (– 1) = – < 1 2 - Tọa độ đỉnh I ; − 3 3 - Trục đối xứng x = - Ta có bảng sau: x -1 y -6 -1 3 -1 -6 Đồ thị hàm số đường cong qua điểm D(-1; -6), E(0; -1), I H ; Do a = – < nên đồ thị có bề lõm hướng xuống Đồ thị hàm số cho là: 2 ; ,G ; , 3 Quan sát hình vẽ ta thấy: đồ thị hàm số y = – 3x2 + 2x – nằm hồn tồn phía trục hồnh nên bất phương trình – 3x2 + 2x – > vơ nghiệm với x Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm Luyện tập trang 53 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: Tổng chi phí T (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất Q sản phẩm cho biểu thức T = Q2 + 30Q + 300; giá bán sản phẩm 170 nghìn đồng Số sản phẩm sản xuất khoảng để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết sản phẩm bán hết)? Lời giải: Theo đề bài, ta có điều kiện Q là: Q * Giá bán sản phẩm 170 nghìn đồng, số tiền thu bán Q sản phẩm 170Q (nghìn đồng) Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm T = Q2 + 30Q + 300 (nghìn đồng) Để đảm bảo khơng bị lỗ số tiền thu phải lớn chi phí sản xuất nên 170Q ≥ T hay T ≤ 170Q ⇔ Q2 + 30Q + 300 ≤ 170Q ⇔ Q2 – 140Q + 300 ≤ Vế trái bất phương trình tam thức bậc hai ẩn Q có: ∆’ = 702 – 1.3 300 = 600 > nên tam thức có hai nghiệm Q1 = 30, Q2 = 110 Ta lại có hệ số a = > Ta có bảng xét dấu: Suy Q2 – 1400Q + 300 ≤ Q ∈ [30; 110] Vậy số sản phẩm sản xuất khoảng từ 30 đến khơng q 110 sản phẩm không bị lỗ B Bài tập Bài trang 54 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Trong bất phương trình sau, bất phương trình bất phương trình bậc hai ẩn? Vì sao? a) – 2x + < 0; b) y − ( y + 1) ; c) y2 + x2 – 2x ≥ Lời giải: a) Bất phương trình – 2x + < bất phương trình bậc ẩn nên khơng bất phương trình bậc hai ẩn b) Ta có: với a 2 y − ( y + 1) y − 2y − bất phương trình bậc hai ẩn 2 0,b c c) Bất phương trình y2 + x2 – 2x ≥ có hai ẩn x y nên khơng bất phương trình bậc hai ẩn Bài trang 54 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) Hình 30a, 30b, 30c, viết tập nghiệm bất phương trình sau: f(x) > 0, f(x) < 0; f(x) ≥ 0; f(x) ≤ Lời giải: a) +) Với x < x > phần parabol y = f(x) nằm phía trục hồnh Do f(x) > x < x > Suy tập nghiệm bất phương trình f(x) > (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞) +) f(x) cắt trục hoành hai điểm x = x = hay f(x) = x = x = Mà f(x) > x < x > Do tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞) +) Với < x < phần parabol y = f(x) nằm phía trục hồnh Do f(x) < < x < Suy tập nghiệm bất phương trình f(x) < (1; 4) +) f(x) cắt trục hoành hai điểm x = x = hay f(x) = x = x = Mà f(x) < < x < Do tập nghiệm bất phương trình f(x) ≤ [1; 4] Vậy: Tập nghiệm bất phương trình f(x) > (– ∞; 1) ∪ (4; + ∞) Tập nghiệm bất phương trình f(x) f(x) ≥ (– ∞; 1] ∪ [4; + ∞) Tập nghiệm bất phương trình f(x) < (1; 4) Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≤ [1; 4] b) +) Với x ≠ phần parabol f(x) nằm hồn tồn phía trục hồnh Do f(x) > với x ≠ Suy tập nghiệm bất phương trình f(x) > +) Tại x = f(x) = Mà f(x) > với x ≠ \ 2 Do tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ +) f(x) < biểu diễn phần parabol y = f(x) nằm hồn tồn phía trục hồnh, mà phần đồ thị hình 30b nằm phía trục hồnh Do bất phương trình f(x) < vơ nghiệm +) Tại x = f(x) = không tồn x để f(x) < nên nghiệm bất phương trình f(x) ≤ x = Do tập nghiệm bất phương trình f(x) ≤ {2} Vậy: Tập nghiệm bất phương trình f(x) > \ 2 Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ Tập nghiệm bất phương trình f(x) < Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≤ {2} c) +) Với x parabol nằm hồn tồn phía trục hồnh Do f(x) > với x hay f(x) ≥ với x +) Các bất phương trình f(x) < 0, f(x) ≤ vơ nghiệm Vậy: Tập nghiệm bất phương trình f(x) > Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ Tập nghiệm bất phương trình f(x) < Tập nghiệm bất phương trình f(x) ≤ Bài trang 54 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: Giải bất phương trình sau: a) 2x2 – 5x + > 0; b) – x2 – 2x + ≤ 0; c) 4x2 – 12x + < 0; d) – 3x2 + 7x – ≥ Lời giải: a) Tam thức bậc hai 2x2 – 5x + có: ∆ = (-5)2 – 4.2.3 = 25 – 24 = > Do tam thức có hai nghiệm x1 = 1, x2 = có hệ số a = > Khi ta có bảng xét dấu: Tam thức 2x2 – 5x + mang dấu “+” x < x > Hay 2x2 – 5x + > x < x > 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình 2x2 – 5x + > ( −;1) ; + 2 b) Tam thức bậc hai – x2 – 2x + có: ∆’ = (-1)2 – (-1).8 = + = > Suy tam thức có hai nghiệm x1 = – 4, x2 = hệ số a = – < Khi ta có bảng xét dấu: Tam thức – x2 – 2x + không dương x ≤ – x ≥ Hay – x2 – 2x + ≤ x ≤ – x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình – x2 – 2x + (– ∞; – 4] ∪ [2; + ∞) c) Tam thức bậc hai 4x2 – 12x + có ∆’ = (– 6)2 – = Do tam thức có nghiệm kép x = Ta có hệ số a = > Khi ta có bảng xét dấu: Tam thức 4x2 – 12x + > với x 3 \ 4x2 – 12x + = x = 2 Do khơng tồn giá trị x để 4x2 – 12x + < Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm d) Tam thức bậc hai – 3x2 + 7x – có: ∆ = 72 – 4.(-3).(-4) = 49 – 48 == > Suy tam thức có hai nghiệm x1 = 1, x2 = hệ số a = – < Khi ta có bảng xét dấu: Tam thức – 3x2 + 7x – không âm x 4 Vậy tập nghiệm bất phương trình – 3x2 + 7x – ≥ 1; 3 Bài trang 54 SGK Tốn lớp 10 Tập 1: Tìm m để phương trình 2x2 + (m + 1)x + m – = có nghiệm Lời giải: Phương trình 2x2 + (m + 1)x + m – = (1) phương trình bậc hai ẩn có: a = 2, b = m + 1, c = m – (m tham số) ∆ = (m + 1)2 – (m – 8) = m2 + 2m + – 8m + 64 = m2 – 6m + 65 Để phương trình (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ m2 – 6m + 65 ≥ Xét tam thức bậc hai m2 – 6m + 65 có: ∆m = (– 6)2 – 65 = – 224 < hệ số am = > Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai, tam thức m2 – 6m + 65 mang dấu dương với m Do m2 – 6m + 65 > với số thực m Vậy phương trình cho ln có nghiệm với giá trị thực m Bài trang 54 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Xét hệ tọa độ Oth mặt phẳng, trục Ot biểu thị thời gian t (tính giây) trục Oh biểu thị độ cao h (tính mét) Một bóng đá lên từ điểm A(0; 0,2) chuyển động theo quỹ đạo cung parabol Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau giây đạt độ cao m sau giây a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động bóng b) Trong khoảng thời gian bóng chưa chạm đất? Lời giải: a) Chuyển động bóng theo quỹ đạo parabol với thời gian t ta có chiều cao h tương ứng nên ta có h = at2 + bt + c với a, b, c hệ số a ≠ Quả bóng đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên thay t = h = 0,2 vào hàm số ta được: 0,2 = a.02 + b.0 + c ⇔ c = 0,2 (1) Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau giây nên thay t = h = 8,5 vào hàm số ta được: 8,5 = a.12 + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8,5 (2) Quả bóng đạt độ cao m sau giây nên thay t = h = vào hàm số ta được: = a.22 + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = (3) Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: a + b + c = 8,5 a + b + 0,2 = 8,5 a + b = 8,3 a = −5,4 4a + 2b + c = 4a + 2b + 0,2 = 4a + 2b = 5,8 b = 13,7 c = 0,2 c = 0,2 c = 0,2 c = 0,2 ⇒ h = -5,4t2 + 13,7t + 0,2 Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động bóng là: h = – 5,4t2 + 13,7t + 0,2 b) Bóng chạm đất độ cao h = 0, bóng chưa chạm đất độ cao h > hay – 5,4t2 + 13,7t + 0,2 > Xét tam thức bậc hai – 5,4t2 + 13,7t + 0,2 có: ∆ = 13,72 – 4.(-5,4).0,2 = 192,01 > Suy tam thức có hai nghiệm t1 = 137 19201 137 19201 , t2 = − + 108 108 108 108 Ta lại có a = -5,4 < Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai ta có – 5,4t2 + 13,7t + 0,2 > 137 19201 137 19201 − t + 108 108 108 108 Lại có: thời gian t > Do đó: t 137 19201 137 19201 mà + + 2,55 hay < t < 2,55 108 108 108 108 Vậy khoảng thời gian từ đến 2,55 giây bóng chưa chạm đất Bài trang 54 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Cơng ty An Bình thơng báo giá tiền cho chuyến tham quan nhóm khách du lịch sau: 10 khách có giá vé 800 000 đồng/người Nếu có nhiều 10 người đăng kí có thêm người, giá vẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn hành khách a) Gọi x số lượng khách từ người thứ 11 trở lên nhóm Biểu thị doanh thu theo x b) Số người nhóm khách du lịch nhiều cơng ty khơng bị lỗ? Biết chi phí thực cho chuyến 700 000 đồng/người Lời giải: a) x số lượng khách từ người thứ 11 trở lên nhóm ( x * ) Tổng số khách là: 10 + x (người) Nếu có nhiều 10 người đăng kí thêm người, giá vé người giảm là: 10 000x (đồng) Do giá vé cho người là: 800 000 – 10 000x (đồng) Giá tiền toàn hành khách phải trả là: (800 000 – 10 000x)(10 + x) = 000 000 + 800 000x – 100 000x – 10 000x2 = – 10 000x2 + 700 000x + 000 000 (đồng) Vậy biểu thức tính doanh thu cơng ty theo x là: – 10 000x2 + 700 000x + 000 000 b) Chi phí thực cho chuyến 700 000 đồng/người nên tổng chi phí cho 10 + x người tham gia 700 000(10 + x) = 000 000 + 700 000x(đồng) Để công ty không bị lỗ doanh thu phải lớn tổng chi phí Do – 10 000x2 + 700 000x + 000 000 ≥ 000 000 + 700 000x ⇔ – 10 000x2 + 000 000 ≥ ⇔ x2 – 100 ≤ Áp dụng định lý dấu tam thức bậc hai, ta giải bất phương trình Ta có: x2 – 100 ≤ ⇔ – 10 ≤ x ≤ 10, Mà x số tự nhiên nên ≤ x ≤ 10 Do thêm nhiều 10 người cơng ty khơng bị lỗ hay số người nhóm khách du lịch lúc 10 + 10 = 20 người Vậy số người có nhóm du lịch nhiều 20 người cơng ty khơng bị lỗ ... f(x) ≤ Bài trang 54 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Giải bất phương trình sau: a) 2x2 – 5x + > 0; b) – x2 – 2x + ≤ 0; c) 4x2 – 12x + < 0; d) – 3x2 + 7x – ≥ Lời giải: a) Tam thức bậc hai 2x2 – 5x + có:... Luyện tập trang 50 SGK Toán lớp 10 Tập 1: Giải bất phương trình bậc hai sau: a) 3x2 – 2x + ≤ 0; b) – x2 + 6x – ≥ Lời giải: a) Tam thức bậc hai 3x2 – 2x + có ∆ = (– 2)2 – = – 44 < hệ số a = >... thức – x2 – 2x + không dương x ≤ – x ≥ Hay – x2 – 2x + ≤ x ≤ – x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình – x2 – 2x + (– ∞; – 4] ∪ [2; + ∞) c) Tam thức bậc hai 4x2 – 12x + có ∆’ = (– 6)2 – = Do tam