MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN 1 LỜI CẢM ƠN 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 3 MỞ ĐẦU 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1 1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro 11 1 1 1 Quá t[.]
MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 11 Một số trình ngẫu nhiên ứng dụng lý thuyết rủi ro 11 1.1.1 Quá trình Markov 13 1.1.2 Martingale với tham số rời rạc 15 1.2 Một số mơ hình rủi ro cổ điển 19 1.3 Tái bảo hiểm 21 1.3.1 Tái bảo hiểm quota share 22 1.3.2 Tái bảo hiểm stop\excess of loss 26 Chương XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MƠ HÌNH RỦI 32 RO VỚI TÁI BẢO HIỂM 2.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết 33 2.2 Công thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết mơ hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share 36 2.3 2.2.1 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 37 2.2.2 Mơ hình rủi ro có lãi suất 41 Cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết mơ hình rủi ro với tái bảo hiểm excess of loss 46 2.3.1 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 46 2.3.2 Mơ hình rủi ro có lãi suất 51 i 2.4 Các ví dụ số 56 Chương ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH 59 TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE 3.1 3.2 3.3 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 60 3.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share 60 3.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β) 67 3.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss 70 Mơ hình rủi ro có lãi suất 78 3.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share 78 3.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss 86 Các ví dụ số 92 Chương ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI 100 4.1 Trường hợp khơng có lãi suất 100 4.2 Trường hợp có lãi suất 106 KẾT LUẬN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 122 ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tôi, hướng dẫn PGS.TS Bùi Khởi Đàm PGS TS Tống Đình Quỳ Tất kết quả, số liệu luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình Hà Nội, Xác nhận tập thể hướng dẫn Tác giả luận án Nguyễn Quang Chung LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tập thể cán hướng dẫn khoa học: PSG TS Bùi Khởi Đàm PSG TS Tống Đình Qùy Đặc biệt PGS TS Bùi Khởi Đàm, người giao đề tài, tận tình bảo, hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận án Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn ứng dụng, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tôi bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Sư phạm- Kỹ thuật Hưng Yên tạo điều kiện cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường nghiên cứu tốn học mà chọn Hà Nội, NCS Nguyễn Quang Chung MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập số tự nhiên, N = {0, 1, 2, } R Tập số thực 1A Hàm tiêu tập hợp A x∧y min{x, y}với x, y ∈ R x∨y max{x, y}với x, y ∈ R (Ω, F, P) Ω không gian mẫu, F σ − đại số tập Ω, P độ đo xác suất trên(Ω, F) Z+ max{Z, 0} với Z biến ngẫu nhiên Z− min{Z, 0} với Z biến nhẫu nhiên MZ (r) α M ψn (u0 ) Hàm sinh moment biến ngẫu nhiên Z Tỷ lệ chia sẻ phần thu phí bảo hiểm Mức trì Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n chưa có tái bảo hiểm ψ(u0 ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn chưa có tái bảo hiểm ψn(1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ (1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share ψn(2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ (2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share ψbn(1) (u0 , α, β) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share−(α, β) ψbn(2) (v0 , α, β) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share−(α, β) φ(1) n (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss φ(1) (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) n (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss ψen(1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψe(1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψen(2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψe(2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất φe(1) n (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φe(1) (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φe(2) n (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φe(2) (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất ψn (u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ(u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm quota share ψn (u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss ψ(u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss ψn (u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψ(u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất ψ(u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một nghiên cứu lý thuyết rủi ro bảo hiểm luận án Filip Lundberg (1903) Đại học Uppsala (Thụy Điển) Sau đó, Harald Cramér phát triển ý tưởng Filip Lundberg mà ngày gọi mơ hình Cramér- Lundberg hay mơ hình rủi ro cổ điển Trong mơ hình phí thu bảo hiểm xét số phần chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Một số tác giả S Ross [32], H Yang [46], B K Đàm N H Hoàng [1], B K Dam N T T Hong [17] N T T Hong [21] xét mơ hình rủi ro với phí bảo hiểm thu chu kỳ biến ngẫu nhiên Sau số tác giả B Sundt J L Teugels ([38], [39]), H Yang [46], J Cai ([7], [8]), J Cai D C M Dickson [9], X Wei Y Hu [43], B K Dam P D Quang [18], N T T Hong [21] P D Quang ([30], [31]) đề cập tới mơ hình có lãi suất Với hai mơ hình rủi ro này, tác giả ước lượng đưa biểu thức cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Tuy nhiên kinh doanh bảo hiểm, công ty bảo hiểm gặp thiệt hại yêu cầu bồi thường lớn Một chiến lược để giảm nguy thiệt hại trực tiếp cho cơng ty bảo hiểm hình thức tái bảo hiểm Có thể coi K Borch [5] người nghiên cứu tái bảo hiểm Ở đó, tác giả phương án tái bảo hiểm khác tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương sai cho phần chi trả bảo hiểm công ty bảo hiểm Nghiên cứu mở hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm P Kahn [24], S Vajda [41], J Ohlin [28], H R Waters [42], J Cai K Tan [10], J Cai, K S Tan, C Weng Y Zhang [11], R Kaas, M Goovaerts, J Dhaene M Denuit [23], K S Tan, C Weng Y Zhang [40] Trong mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm, yêu cầu bồi thường chi trả công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm, thiệt hại xảy công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Tuy nhiên, hầu hết cơng trình nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo luận án, nghiên cứu xem xét từ quan điểm phía (cơng ty bảo hiểm cơng ty tái bảo hiểm) Gần đây, tốn có quan tâm tới hai công ty bảo hiểm tái bảo hiểm số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V K Kaishev D S Dimitrova [25], Z Li [27] S Salcedo-Sanz, L Carro-Calvo, M Claramunt, A Casta˜ ner M Mármol [34] Các nghiên cứu tái bảo hiểm phù hợp có quan tâm tới công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Mặc dù vậy, nghiên cứu theo hướng cịn cơng trình nghiên cứu Luận án nghiên cứu mơ hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm biến ngẫu nhiên Các toán liên quan tới xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm xem xét Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm thiết lập Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Xây dựng mơ hình rủi ro rời rạc với tác động tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss trường hợp khơng lãi suất có lãi suất Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm); xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết công ty bảo hiểm tái bảo hiểm, cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại mơ hình có tái bảo hiểm • Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận án: Các xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm cơng ty tái bảo hiểm mơ hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss Các toán tối ưu, tốn cơng thức tính toán ước lượng cho xác suất thiệt hại Phương pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng kiến thức giải tích xác suất Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Với phương pháp bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal định lý thời điểm dừng với martingale martingale sử dụng trình chứng minh Phương pháp truy hồi để xây dựng chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Ý nghĩa kết luận án • Luận án đưa số kết mới, có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng việc nghiên cứu mơ hình rủi ro bảo hiểm • Lần đưa cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm (cực tiểu đồng thời xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) (Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2); • Xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết, xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.3); • Thiết lập hệ số hiệu chỉnh hàm tỷ lệ chia sẻ mức trì (Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 Bổ đề 3.2.7); ... mơ hình có tái bảo hiểm • Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận án: Các xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm mơ hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess... [40] Trong mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm, u cầu bồi thường chi trả công ty bảo hiểm cơng ty tái bảo hiểm, thiệt hại xảy cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm Tuy nhiên, hầu hết cơng trình nghiên cứu. .. mục tài liệu tham khảo luận án, nghiên cứu xem xét từ quan điểm phía (cơng ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) Gần đây, tốn có quan tâm tới hai cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm số tác giả nghiên cứu,