I, Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học suy diễn Các kết luận Toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận mang tính tổng quát[.]
I, Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học suy diễn Các kết luận Tốn học đều được chứng minh cách chặt chẽ Nhưng q trình hình thành, trước có kết luận mang tính tổng qt, tốn học phải tiến hành xét trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta phải đối chiếu quan sát được, suy điều tương tự, phải thử thử lại, để từ dự đốn định lý tốn học, trước chứng minh chúng Bên cạnh đó, ta phải dự đoán ý phép chứng minh trước vào chứng minh chi tiết Hiện nay, tiến hành đổi giáo dục Để công đổi thành cơng phải gắn chặt việc đổi nội dung chương trình – SGK với việc đổi phương pháp giảng dạy Một xu hướng đổi phương pháp giảng dạy mơn Tốn dạy cho học sinh biết dự đoán, dạy cho học sinh biết suy luận có lý Thực tế sách giáo khoa Toán bậc THCS nay, cấu trúc học thường là: Phần 1. Xét các trường hợp cụ thể: tính tốn, đo đạc, so sánh, … đối tượng khác Phần Dự đoán kết luận khái quát: nêu mệnh đề tổng quát Phần Chứng minh ( công nhận ) mệnh đề tổng quát, tuỳ đối tượng trình độ học sinh Phần Các ví dụ tập vận dụng Như học sinh quan sát, thử nghiệm, dự đoán suy luận để đến kiến thức mới, sau vận dụng kiến thức vào tình khác Chúng ta xét số học cụ thể sau: Mục ( trang 13 SGK Toán tập I ).Giá tị tuyệt đối số… Sau đưa định nghĩa giá trị tuyệt đối số, SGK đưa tập ?1 điền vào chỗ trống Để từ phân tích, nhận xét, đưa kết tổng quát: Kết công nhận, khơng chứng minh Sau tập vận dụng skkn Mục ( trang 106 SGK Toán tập I ).Tổng ba góc tam giác SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo tính tổng ba góc tam giác nêu nhận xét Từ đưa dự đốn tổng ba góc tam giác Sau chứng minh dự đốn Tiếp theo tập vận dụng Mục ( trang SGK Toán tập I ).Căn bậc hai đẳng thức Để dẫn đến định lý: Với số a ta cố: thích hợp vào bảng: , SGK yêu cầu học sinh điền số a -2 -1 a 2 Từ nhận xét, khái quát hoá để đưa định lý. Sau phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý suy luận chặt chẽ Sau tập vận dụng Bên cạnh đó, nội dung ôn luyện Toán cho học sinh giỏi, chuyên đề thiếu chuyên đề: “ Phương pháp quy nạp Tốn học ” Bởi vì, thơng qua việc giảng dạy chuyên đề này, người thầy dạy Toán đã: 1) Cung cấp cho học sinh hướng suy nghĩ việc tìm tịi lời giải toán; 2) Giúp học sinh giải lớp tốn Số học, Đại số Hình học thuộc đủ dạng toán: chia hết, chứng minh đồng thức, chứng minh bất đẳng thức, mà có liên quan đến tập hợp số tự nhiên; 3) Đồng thời qua việc nghiên cứu mệnh đề tốn học bao hàm số vơ hạn trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng cần xét số hữu hạn trường hợp theo lơgic chặt chẽ xác, mở rộng tư lôgic cho em học sinh, giúp em say mê, hứng thú học Toán skkn II. Mục đích đề tài: Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp giảng lại viết chuyên đề nhằm mục đích: 1) Cung cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy nạp hồn tồn, quy nạp khơng hồn tồn, ngun lý quy nạp toán học 2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác 3) Cung cấp thêm số tập hấp dẫn nhiều vẻ, qua củng cố mở rộng thêm kiến thức học 4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây hứng thú học toán cho học sinh III Nội dung đề tài: Nội dung đề tài bao gồm: Phần I Một số sở lý luận Phần II Vận dụng vào Dạy & Học tốn trường phổ thơng A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận dụng vào giải toán chia hết Vận dụng vào chứng minh đồng thức Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Vận dụng vào tốn hình học skkn C Có thể có cách giải khác? D Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán học Phần III Hiệu đề tài Phần IV Kết luận - đánh giá khái quát Với lý do, mục đích nội dung mong chuyên đề đông đảo đồng chí giáo viên em học sinh tham khảo góp ý kiến xây dựng Nội dung Phần I. Cơ sở lý luận Quy nạp hồn tồn khơng hồn tồn: 1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào loạt khẳng định riêng biệt Quy nạp hoàn toàn là mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập : “ Mỗi số chẵn n khoảng số nguyên tố ” biểu diễn dạng tổng Muốn phân tích: = 2+2 = 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 skkn 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, thực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng số ngun tố 1.2 Quy nạp khơng hồn tồn: Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn Quy nạp khơng hồn toàn vận dụng nhiều khoa học thực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên định luật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác Trong toán học, quy nạp khơng hồn tồn khơng xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vơ hạn trường hợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô hạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1 mà + với n=2 : 1+3=4 mà + với n=3 : 1+3+5=9 mà + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát : skkn 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = (1) tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp bằng ” Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 7) chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: Ta xét trường hợp riêng biệt: Do nảy kết luận tổng quát : (2) Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2) Chúng ta cần ý rằng, suy luận quy nạp dẫn đến kết luận sai, ví dụ sau: Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu số có chữ số trở lên với số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại Trong trường hợp số có chữ số, chữ số ta thấy kết luận hiệu chia hết cho 99 Cụ thể là: Nảy kết luận quy nạp là: Kết luận sai chẳng hạn ta có: 2231-1322 = 909 khơng chia hết 999 skkn Ví dụ 5: Khi xét số có dạng nhà tốn học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số ngun tố Từ ơng đưa giả thiết tất số có dạng ( với ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số khơng phải số ngun tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa kết luận nhà toán học Fecma sai lầm Ví dụ Xét số ta thấy với với trường hợp n = 1, 2, 3; ; 15 là số nguyên tố Từ kết luận là là số nguyên tố với số Với n =16 ta số nguyên tố, tức kết luận quy nạp do đó hay khơng? khơng phải số là số nguyên tố với số là sai Phương pháp quy nạp toán học 2.1 Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn là đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến kết sai Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn, chẳng lẽ ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường hợp riêng mà kết luận khơng ( ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ) Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp tốn học”, cho phép thay hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ Ví dụ 7 : Xét lại cơng thức (1) ví dụ Giả sử ta chứng minh công thức với n =7, chứng minh cơng thức với n = 8, ta khơng cần phải tính tổng số hạng đầu tổng : mà ta biết rằng viết ngay: skkn Tổng quát, sau chứng minh công thức với n = k (nghĩa ta có ), ta chứng minh với cách: Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét việc chuyển từ đẳng thức khác : ; ; v v trường hợp riêng phép tính Khái quát điều nói trên, phát biểu quy tắc tổng quát sau: Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số , ta cần: a) Xác lập mệnh đề với n =1 b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( ) mệnh đề với n = k+1 Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” khơng phải chứng minh chặt chẽ Người ta chứng minh mệnh đề tổng quát chứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, thừa nhận tiên đề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng nguyên lý quy nạp mà trình bày đây, coi nguyên lý quy nạp toán học tiên đề mức độ “ hợp pháp ” ngang 2.2 Nguyên lý quy nạp toán học: Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( ) coi chứng minh với số n nếu điều kiện sau thoả mãn: a Mệnh đề với n = b Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k nào suy đắn với n = k+1 2.3 Ví dụ: Sau xét vài ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh mệnh đề tốn học Ví dụ Chứng minh rằng: skkn Giải: a) Ta có với Do mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k ( minh rằng: ) tức chứng Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Nghĩa phải chứng minh: Thật vậy, ta có: Từ theo ngun lý quy nạp tốn học ta có : với mọi Ví dụ Chứng minh : với Giải : a) Với n = 1 ta có => mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k ( ) tức ta có Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 nghĩa là: Thật vậy: skkn Từ theo ngun lý quy nạp tốn học, mệnh đề chứng minh 2.4 Bây đưa số ví dụ áp dụng khơng phương pháp quy nạp tốn học Ví dụ 10 Xét mệnh đề : “ Bất kỳ tập hợp hữu hạn số tự nhiên gồm toàn số nhau” Chứng minh: Ta tiến hành quy nạp theo số phần tử tập hợp a) Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên : số b) Giả sử mệnh đề chứng minh với tập hợp có k phần tử Lấy tập hợp có k +1 phần tử ; ; ; ; ; Theo giả thiết quy nạp ta có = theo giả thiết quy nạp ta có : từ đó = = = = = = = = = = = , ; Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học suy mệnh đề * Sai lầm suy luận chỗ chuyển từ k đến k+1 với khơng thể chuyển từ n = 1 đến n = 2 bằng suy luận ; Ví dụ 11. Mọi số tự nhiên số tự nhiên tiếp sau Chứng minh: Giả sử mệnh đề với n = k, với ; tức ta có k = k+1 Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1; tức phải chứng minh k+1 = k+2 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có k = k+1 => k+1 = k+1+1 => k+1 = k+2 Từ theo ngun lý quy nạp tốn học, mệnh đề với Sai lầm suy luận quên kiểm tra định lý có khi n = 1 khơng? Ta thấy rõ ràng khi n = 1 thì mệnh đề khơng ( vì ), ta khơng áp dụng phương pháp quy nạp toán học Để kết thúc đoạn này, lưu ý bạn nhiều trường hợp cần phải chứng minh mệnh đề khơng phải với tất số tự nhiên mà với bày dạng sau: ( ) nguyên lý quy nạp trình Nếu : a) Mệnh đề với n = p; skkn Theo ngun lý quy nạp tốn học thì Vậy với , tức theo nguyên lý quy nạp toán học ta có : Vận dụng vào việc chứng minh đồng thức Bài toán Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có (1) với giá trị của với đẳng thức (1) với n = b) giả sử ta có (2) ta chứng minh : (3) Thật vậy, ta có Do theo ngun lý quy nạp đẳng thức (1) ln với ; Bài toán Chứng minh với tất giá trị có x, đồng nhắt thức sau đúng: (1) Giải : Ta phải chứng minh (1) với a) Với n = 1 => , và đúng => với n=1 (1) skkn b) Giả sử với n = k thì (1) đúng, nghĩa là: Ta chứng minh đó: Thật ta có: => tức (1) với n = k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học đồng thức (1) ln với , và Bài toán Chứng minh : (1) Giải: a) Với n = 1 ta có => cơng thức (1) với n = b) Giả sử (2) ta có (2) skkn Do theo ngun lý quy nạp tốn học ta có: Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức : Bài toán 8 Chứng minh rằng với Giải: a) Khi n = 3 bất đẳng thức (1) vì b) Giả sử với ta có ta phải chứng minh (2) (3) Thật vậy ta có (áp dụng (2)) (vì với ) => bất đẳng thức (3) Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: với Bài tốn 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với (1) skkn : (vế trái bất đẳng thức (1) tổng phân số mà mẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = bất đẳng thức (1) có dạng: vì n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10) Giải : a) Khi n = 1 ta có bất đẳng thức : b) Giả sử với n = k ta có: (2) Ta chứng minh với n = k+1 thì có: (3) Thật ta có : theo (2) : => (3) Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: với Vận dụng vào tốn hình học Bài toán 9: Chứng minh n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần Giải:* Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng phần * Giả sử mệnh đề với n = k đó, nghĩa với k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần Để chứng minh mệnh đề với k + đường thẳng, ta nhận xét dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho khơng trùng với đường thẳng tạo thêm phần mặt phẳng; skkn ... cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy nạp hoàn toàn, quy nạp khơng hồn tồn, ngun lý quy nạp tốn học 2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác 3)... dụng vào Dạy & Học tốn trường phổ thơng A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận... trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp toán học? ??, cho phép thay hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ