(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp quy nạp toán học

 I, Lý chọn đề tài:   Toán học mơn khoa học suy diễn Các kết luận Tốn học đều được chứng minh cách chặt chẽ Nhưng q trình hình thành, trước có kết luận mang tính tổng qt, tốn học phải tiến hành xét trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta phải đối chiếu quan sát được, suy điều tương tự, phải thử thử lại, để từ dự đốn định lý tốn học, trước chứng minh chúng Bên cạnh đó, ta phải dự đoán ý phép chứng minh trước vào chứng minh chi tiết Hiện nay, tiến hành đổi giáo dục Để công đổi thành cơng phải gắn chặt việc đổi nội dung chương trình – SGK với việc đổi phương pháp giảng dạy Một xu hướng đổi phương pháp giảng dạy mơn Tốn dạy cho học sinh biết dự đoán, dạy cho học sinh biết suy luận có lý Thực tế sách giáo khoa Toán bậc THCS nay, cấu trúc học thường là:  Phần 1.  Xét các trường hợp cụ thể: tính tốn, đo đạc, so sánh, … đối tượng khác Phần Dự đoán kết luận khái quát: nêu mệnh đề tổng quát Phần Chứng minh ( công nhận ) mệnh đề tổng quát, tuỳ đối tượng trình độ  học sinh Phần Các ví dụ tập vận dụng Như học sinh quan sát, thử nghiệm, dự đoán suy luận để đến kiến thức mới, sau vận dụng kiến thức vào tình khác Chúng ta xét số học cụ thể sau:   Mục ( trang 13 SGK Toán tập I ).Giá tị tuyệt đối số… Sau đưa định nghĩa giá trị tuyệt đối số, SGK đưa tập  ?1 điền vào chỗ trống Để từ phân tích, nhận xét, đưa kết tổng quát: download by : skknchat@gmail.com                                 Kết cơng nhận, khơng chứng minh Sau tập vận dụng Mục ( trang 106 SGK Tốn tập I ).Tổng ba góc tam giác SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo tính tổng ba góc tam giác nêu nhận xét Từ đưa dự đốn tổng ba góc tam giác Sau chứng minh dự đốn Tiếp theo tập vận dụng     Mục ( trang SGK Toán tập I ).Căn bậc hai đẳng thức   Để dẫn đến định lý: Với số a ta cố:  học sinh điền số thích hợp vào bảng: , SGK yêu cầu   a -2 -1 a 2   Từ nhận xét, khái qt hố để đưa định lý.   Sau phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý suy luận chặt chẽ Sau tập vận dụng Bên cạnh đó, nội dung ơn luyện Tốn cho học sinh giỏi, chuyên đề thiếu chuyên đề: “ Phương pháp quy nạp Toán học ” Bởi vì, thơng qua việc giảng dạy chun đề này, người thầy dạy Toán đã: download by : skknchat@gmail.com 1) Cung cấp cho học sinh hướng suy nghĩ việc tìm tịi lời giải tốn; 2) Giúp học sinh giải lớp toán Số học, Đại số Hình học  thuộc đủ dạng toán: chia hết, chứng minh đồng thức, chứng minh bất đẳng thức, mà có liên quan đến tập hợp số tự nhiên; 3) Đồng thời qua việc nghiên cứu mệnh đề toán học bao hàm số vô hạn trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng cần xét số hữu hạn trường hợp theo lôgic chặt chẽ xác, mở rộng tư lơgic cho em học sinh, giúp em say mê, hứng thú học Toán                       II.  Mục đích đề tài:           Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp giảng lại tơi viết chun đề nhằm mục đích:           1) Cung cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy nạp hoàn toàn, quy nạp khơng hồn tồn, ngun lý quy nạp tốn học           2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải số toán Toán học khác           3) Cung cấp thêm số tập hấp dẫn nhiều vẻ, qua củng cố mở rộng thêm kiến thức học           4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây hứng thú học toán cho học sinh   III Nội dung đề tài:           Nội dung đề tài bao gồm: Phần I Một số sở lý luận download by : skknchat@gmail.com Phần II Vận dụng vào Dạy & Học tốn trường phổ thơng A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh  đề toán học B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận dụng vào giải toán chia hết Vận dụng vào chứng minh đồng thức Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Vận dụng vào tốn hình học C Có thể có cách giải khác? D Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán học Phần III Hiệu đề tài Phần IV Kết luận - đánh giá khái quát           Với lý do, mục đích nội dung mong chun đề đơng đảo đồng chí giáo viên em học sinh tham khảo góp ý kiến xây dựng         Nội dung   Phần I. Cơ sở lý luận   Quy nạp hồn tồn khơng hồn tồn: 1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào loạt khẳng định riêng biệt           Quy nạp hoàn toàn là mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập :           “ Mỗi số chẵn n khoảng  dạng tổng số nguyên tố ” biểu diễn Muốn phân tích:                    = 2+2                              = 3+3                    = 5+3                    10 = 7+3                    12 = 7+5                                                          98 = 93+5                    100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, thực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng số nguyên tố 1.2 Quy nạp không hoàn toàn:           Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không dựa kiểm tra tất trường hợp xảy mà sở số đủ lớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn           Quy nạp khơng hồn tồn vận dụng nhiều khoa học thực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên định luật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát biểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đắn với độ xác đủ lớn điều kiện đủ khác           Trong tốn học, quy nạp khơng hồn tồn khơng xem phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp dụng hạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vơ hạn trường hợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô hạn trường hợp được.Chẳng hạn   download by : skknchat@gmail.com sau có kết với 49 trường hợp ví dụ 1, ta chưa thể đưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn phân tích thành tổng hai số nguyên tố           Đương nhiên, quy nạp khơng hồn tồn phương pháp “gợi mở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo vài ví dụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp           Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1              mà  + với n=2 : 1+3=4                   mà  + với n=3 : 1+3+5=9               mà  + với n=4 : 1+3+5+7=16                  mà  + với n=5 : 1+3+5+7+9=25              mà             Sau xét số trường hợp riêng này, ta nảy kết luận tổng quát :                              1+3+5+7+9+ +(2n-1) =      (1) tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp bằng   ”           Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 7) chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:                                        Ta xét trường hợp riêng biệt:                                                                                                                                                            Do nảy kết luận tổng quát :                            (2) download by : skknchat@gmail.com           Tất nhiên, điều nhận xét chứng minh đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen với phương pháp giúp chứng minh công thức (1) (2)           Chúng ta cần ý rằng, suy luận quy nạp dẫn đến kết luận sai, ví dụ sau: Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu số có chữ số trở lên với số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại Trong trường hợp số có chữ số, chữ số ta thấy kết luận hiệu chia hết cho 99 Cụ thể là:                                              Nảy kết luận quy nạp là:                               Kết luận sai chẳng hạn ta có:            2231-1322 = 909 khơng chia hết 999 Ví dụ 5: Khi xét số có dạng   nhà tốn học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số ngun tố Từ ơng đưa giả thiết tất số có dạng ( với  ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số   khơng phải số ngun tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa kết luận nhà tốn học Fecma sai lầm Ví dụ Xét số   2, 3; ; 15 ta thấy   với   với trường hợp n = 1,  là số nguyên tố           Từ kết luận là  số   hay không?  là số nguyên tố với           Với n =16 ta số   do đó  khơng phải số nguyên tố, tức kết luận quy nạp  nguyên tố với số   là sai Phương pháp quy nạp toán học download by : skknchat@gmail.com    là số           2.1 Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn là đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số hữu hạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nhưng, ta biết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến kết sai           Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đưa đắn,  chẳng lẽ ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp trường hợp riêng mà kết luận khơng ( ví dụ 6: thử đến lần thứ 16 ) Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn           Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ phương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay hình dung tìm tịi theo phương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ Ví dụ 7 : Xét lại cơng thức (1) ví dụ                                                  Giả sử ta chứng minh cơng thức với n =7, chứng minh công thức với n = 8, ta không cần phải tính tổng số hạng đầu tổng :                                           mà ta biết rằng            viết ngay:              Tổng quát, sau chứng minh cơng thức với n = k (nghĩa ta có  cách: ), ta chứng minh với                                                                                               Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét  ; việc chuyển từ đẳng thức khác :                               download by : skknchat@gmail.com                               phép tính  ; v v trường hợp riêng           Khái quát điều nói trên, phát biểu quy tắc tổng quát sau:       Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số  , ta cần: a) Xác lập mệnh đề với n =1 b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( ) mệnh đề với n = k+1           Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” khơng phải chứng minh chặt chẽ Người ta chứng minh mệnh đề tổng quát chứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, thừa nhận tiên đề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng nguyên lý quy nạp mà trình bày đây, coi nguyên lý quy nạp tốn học tiên đề mức độ “ hợp pháp ” ngang 2.2 Nguyên lý quy nạp toán học:           Một mệnh đề phụ thuộc vào n (  ) coi chứng minh với số n nếu điều kiện sau thoả mãn: a Mệnh đề với n = b Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k nào suy đắn với n = k+1 2.3 Ví dụ: Sau xét vài ví dụ sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề tốn học Ví dụ Chứng minh rằng:                     Giải:                    a) Ta có với            Do mệnh đề với n =                    b) Giả sử mệnh đề với n = k ( chứng minh rằng: download by : skknchat@gmail.com ) tức                               Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Nghĩa phải chứng minh:                        Thật vậy, ta có:                                                               Từ theo ngun lý quy nạp tốn học ta có :                      với mọi  Ví dụ Chứng minh :                      với  Giải : a) Với n = 1 ta có                               => mệnh đề với n =                    b) Giả sử mệnh đề với n = k ( có ) tức ta                                         Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 nghĩa là:                               Thật vậy:                                                        Từ theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề chứng minh download by : skknchat@gmail.com Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học đồng thức (1) ln với   ,   và    Bài toán Chứng minh :                          (1) Giải:  a) Với n = 1 ta có            => công thức (1) với n =                    b) Giả sử    (2) ta có   (2)                   Do theo ngun lý quy nạp tốn học ta có:              Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức :   Bài toán 8  Chứng minh rằng   với  Giải: a) Khi n = 3 bất đẳng thức (1) vì   b) Giả sử với   ta có  (2) download by : skknchat@gmail.com ta phải chứng minh    (3) Thật vậy  ta có    (áp dụng (2))                                                                                  (vì   với   )            => bất đẳng thức (3) Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học thì:  với    Bài toán 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với                       :  (1) (vế trái bất đẳng thức (1) tổng phân số mà mẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = bất đẳng thức (1) có dạng:            3.3+1 = 10)  vì n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = Giải : a) Khi n = 1 ta có bất đẳng thức :     b) Giả sử với n = k ta có:            (2) Ta chứng minh với n = k+1 thì có:          (3) Thật ta có :                                                 theo (2) :   => (3) download by : skknchat@gmail.com Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học thì:                      với     Vận dụng vào tốn hình học   Bài tốn 9: Chứng minh n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần Giải:* Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng phần * Giả sử mệnh đề với n = k đó, nghĩa với k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần                    Để chứng minh mệnh đề với k + đường thẳng, ta nhận xét dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho không trùng với đường thẳng tạo thêm phần mặt phẳng; số phần mặt phẳng tạo k + đường thẳng khác qua điểm 2k + = ( k + ) Theo nguyên lý quy nạp toán học mệnh đề với số tự nhiên n khác   Bài tốn 10: Cho n hình vng Chứng minh ta cắt chúng thành số phần để từ phần ghép lại thành hình vng Giải:  * Với n = mệnh đề hiển nhiên * Với n = ta chứng minh mệnh đề * Giả sử mệnh đề với n = k, nghĩa từ k hình vng, ta cắt ghép thành hình vng Xét k + hình vng: V 1, V2, …, Vk-1, Vk, Vk+1 Ta lấy hình vng số k + download by : skknchat@gmail.com hình vng này, chẳng hạn Vk, Vk+1 Theo ta cắt ghép thành hình vng V’; ta có k hình vng V1, V2, …, Vk-1, V’ Theo giả thiết quy nạp, từ k hình vng ta cắt ghép lại thành hình vng           Vậy mệnh đề với n = k + Theo nguyên lý quy nạp tốn học mệnh đề với n hình vng   Bài tốn 11: Trong mặt phẳng cho n   3 điểm, tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường thẳng nối điểm điểm cho tạo số đường thẳng không nhỏ n Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: với điểm không thẳng hàng, nối đôi lại với tạo đường thẳng khác * Giả sử mệnh đề với n = k    3 điểm Ta chứng minh với k + điểm Ta nhận thấy có nhất  đường thẳng chứa điểm Ak và Ak+1 chẳng hạn  + Nếu điểm A1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak  nằm đường thẳng ( đường thẳng d chẳng hạn ) số đường thẳng k + ( k đường thẳng nối A k+1 với n điểm A1, A2, ….,; Ak1,  Ak và đường thẳng d )  + Nếu A1, A2,…; Ak-1,  Ak khơng nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp ta có k đường thẳng khác từ k điểm này; Ngồi ta có đường thẳng nối A k+1 với điểm A1, A2, ; …; Ak-1, Ak , đường thẳng AkAk+1 không chứa điểm điểm A 1, A2, ; …; Ak-1 nên đường thẳng AkAk+1 khác đường thẳng nối Ak+1+ với điểm A1, A2, …; Ak-1 Từ số đường thẳng tạo không nhỏ k +                    Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với n   3   Bài toán 12: Chứng minh tổng góc ngiác lồi ( n – ) 1800 Giải:  * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng:  Tổng góc tam giác ( – ).1800 = 1800 download by : skknchat@gmail.com * Giả sử mệnh đề tất k-giác, với k < n Ta chứng minh với n – giác.Ta nhận thấy n – giác chia thành đa giác đường chéo, số cạnh đa giác m + số cạnh đa giác n – m + số nhỏ n Do tổng góc đa giác tương ứng ( m – ).180 0  và ( n – m - ) 180 Khi tổng góc n – giác tổng góc đa giác đó, tức bằng: ( m – + n – m - ).1800 = ( n – ) 1800           Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học mệnh đề với n   3       C có cách khác hay khơng ?   Một kết luận chứng minh phương pháp quy nạp tốn học, chứng minh phương pháp khác đó, ngắn gọn hơn, hay phương pháp quy nạp  toán học Ta xét vài ví dụ: Xét lại tốn trên: Chứng minh :           Giải:                       download by : skknchat@gmail.com -> đpcm 2) Chứng minh:               Giải: Xét với   có:                                                  Từ với k = 1,  ta có:                          k = 2, ta có:        k = 3:                  …………………      k = n:                              Cộng đẳng thức với nhau, ta được: -> đpcm 3) Chứng minh rằng               Giải: Xét với   có:                                                    Từ đó: với  k = 1,  ta có:                                   k = 2, ta có:                 k = 3: ta có:        download by : skknchat@gmail.com      ………………         k = n:            Cộng đẳng thức với nhau, ta được:                              -> đpcm    Tuy nhiên, phương pháp quy nạp toán học phương pháp có nhiều ưu điểm trội giải lớp toán thuộc dạng khác nhau, phân môn Số học, Đại số và  Hình học phần             D bổ xung: Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học               Chúng ta xét số dạng nguyên lý quy nạp khác, phát biểu dạng cácc định lý định lý Sau định lý tuyển chọn số toán minh hoạ Định lý 2. Cho p số nguyên dương dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …                    Nếu: A) P(1); P(2); …; P(p) mệnh đề                            B) Với số tự nhiên k   p mệnh đề P(kp+1); P(k-p+2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1)                    Thì mệnh đề P(n) với số nguyên dương n Chứng minh định lí hồn tồn lặp lại định lí 1.1 Sau ta xét số ví dụ sử dụng dạng định lí 2.1   Bài toán 2.1 Cho  thức sau   và với số tự nhiên k có đẳng  chứng minh rằng  download by : skknchat@gmail.com Giải: Bước sở: Với n=0 n=1 kết luận toán đúng, điều kiện cho Bước quy nạp: Giả sử rằng   khi Theo nguyên lí quy nạp tốn học dạng định lí 2.1, suy ra  với số tự nhiên n             Bài trình  tổng  tốn 2.2 Cho   và  nghiệm phương ; n số tự nhiên Chứng minh không chia hết cho 715           Giải: Theo công thức Viet  Bước sở: Các số    và   đều không chia hết cho 715 Suy mệnh đề toán với n=1, 2, Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n=k-2, n=k-1, n=k ta tính                           Do đó   khơng chia hết cho 715, 378 khơng chia hết cho 715, nói cách khác mệnh đề với n=k+1           Bài toán 2.3 Chứng minh với số thực x > số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng              Giải: 1a) Với n=1 bất đẳng thức (2.1) có dạng    (2.2) bất đẳng thức (2.2) suy từ bất đẳng thức hiển nhiên:    download by : skknchat@gmail.com                     1b) Với n=2 bất đẳng thức (2.1) có dạng       (2.3)           Bất đẳng thức (2.2) với giá trị x > nên cho x2 Do ta có  ; từ suy (2.3)         2) Giả sử bất đẳng thức (2.1) với n=k, với k số tự nhiên đó; tức ta có:         (2.4) ta chứng minh bất đẳng thức (2.1) với n= k+2,                     Thật vậy, (2.2) thê x bằng  (2.6)  (2.5)  ta nhận được    Cộng vế tương ứng bất đẳng thức (2.4) (2.6), ta có (2.5) Tóm lại: Bước sở: Trong 1a) 1b) ta chứng minh bất đẳng thức cho n=1 n=2           Bước quy nạp: Trong 2) ta chứng minh từ giả thiết (2.1) với n=k suy với n=k+2 Kết là: + Từ 1a) 2) cho ta khẳng định bất đẳng thức (2.1) với số lẻ n + Từ 1b) 2) cho ta khẳng định bất đẳng thức (2.1) với số chẵn n Như vậy, bất đẳng thức (2.1) với số tự nhiên n   Định lý 3. Cho dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); …                    Nếu: A) P(1) mệnh đề                            B) Với số tự nhiên n   1 mệnh đề P(1); P(2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1) download by : skknchat@gmail.com                    Thì mệnh đề P(n) với số nguyên dương n             Dạng khác với dạng trước giả thiết mạnh bước quy nạp Ta giả thiết tất khẳng định P(1), P(2), …,P(k) suy P(k+1) Dễ dàng chứng minh hai cách phát biểu định lý 1.1 định lí 2.2 tương đương Nhưng thực tế áp dụng vào tốn cụ thể dùng định lí 2.2 dễ dàng giải Bài tốn 3.1.  Chứng minh nếu  thì   là số nguyên  cũng số nguyên với số tự nhiên n           Giải: Bước sở: Khi n=1 mệnh đề hiển nhiên          Bước quy nạp: Giả sử với số tự nhiên từ đến k,  số nguyên Ta cần chứng minh rằng  số nguyên           Thật vậy  Theo giả thiết biểu thức  số nguyên Vậy  , ,  đều biểu diễn  cũng số nguyên Bài toán 2.3 Chứng minh số tự nhiên lớn biểu diễn dạng tích số nguyên tố           Giải: Bước sở: Hiển nhiên mệnh đề với số nguyên tố, trường hợp đặc biệt n=2         Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với số tự nhiên k, mà  Nghĩa số    đều biểu diễn dạng tích thừa số nguyên tố Ta xét hai trường hợp 1) Nếu n số nguyên tố mệnh đề 2) Nếu n hợp số theo định nghĩa hợp số tồn hai số nguyên  và   biểu   sao cho  Theo giả thiết quy nạp   và  download by : skknchat@gmail.com diễn thành tích số nguyên tố Do suy n biểu diễn thành tích số nguyên tố             Phần Iii Hiệu đề tài   I. Một số kiểm tra:           Chúng chọn số toán để bạn tự kiẻm tra sau nghiên cứu chuyên đề này, lấy làm đề kiểm tra cho học sinh.  Bài số 1:    Phương án 1: 1) Chứng minh rằng  nhiên   với số tự                                2) Chứng minh rằng:  với    Phương án 2: 1) Chứng minh với số dương a; b bất đẳng thức sau với                                                   2) Chứng minh rằng:  Bài số 2: Phương án 1) Chứng minh rằng:                                            2) Chứng minh rằng:                     download by : skknchat@gmail.com        với  Phương án 2 :                              1) Chứng minh rằng:                                                  2) Chứng minh rằng:                     Bài số 3: 1) Chứng minh :    với                   2) Chứng minh với số tự nhiên n, đồng thức sau đúng:                                                3) Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi                                 với  x > -1 Bài số 1) Chứng minh với                   :      2) Chứng minh rằng:                        3) Chứng minh với số tự nhiên   ta có:                     Bài số    1) Chứng minh rằng:                      với                     2) Chứng minh với số tự nhiên  :                                        3) Tìm cơng thức tính tổng:                     download by : skknchat@gmail.com   II Hiệu đề tài:   1) Kết kiểm tra: Tôi chọn kiểm tra cho em sau học xong chuyên đề ( tuỳ theo mức độ khối lớp ): Khối 6, 7: Kiểm tra 20 em Kết quả:   Tổng số Điểm 10 Điểm – 8,5 Điểm – 6,5 Điểm