(SKKN mới NHẤT) SKKN GIÚP học SINH TIẾP cận và vận DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY nạy TOÁN học tốt hơn

MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………… Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Phụ lục ……………………………………………………… Đề số 1…………………………………………………… Đề số 2…………………………………………………… Tài liệu tham khảo ………………………………………… download by : skknchat@gmail.com Trang 2 3 4 17 18 18 19 20 20 22 25 I- PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài : Phương pháp qui nạp toán học phương pháp đặc biệt, hiệu lực công cụ hữu hiệu để chứng minh mệnh đề có liên quan đến số tự nhiên * Sự phát huy hiệu lực thể rõ nét toán liên quan đến dãy số (hay nói chung tốn liên quan đến số tự nhiên) Đặc biệt chương trình toán lớp 11, phương pháp qui nạp toán học áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức; tìm số hạng tổng quát cấp số cộng, cấp số nhân; ứng dụng hình học; nhiều toán chia hết phương pháp qui nạp cho ta cách giải hữu hiệu Tuy nhiên, thực tế q trình giảng dạy tốn 11 đặc biệt “Phương pháp qui nạp tốn học” tơi thấy q trình vận dụng học sinh thực lúng túng mơ hồ cịn mắc sai lầm thực bước chứng minh phương pháp qui nạp chí cịn khơng kiểm tra bước Với tốn chứng minh đẳng thức học sinh khơng biết phân biệt đâu giả thiết qui nạp, đâu kết luận trình chứng minh em đâu, làm để vận dụng giả thiết qui nạp Cịn tốn chứng minh bất đẳng thức chứng minh chia hết gặp nhiều khó khăn hơn, viết giả thiết qui nạp học sinh làm cách để thấy mối liên quan với kết luận Trong chương trình tốn lớp 11 cịn có dạng tốn tìm số hạng tổng quát dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân bắt buộc học sinh phải dự đốn cơng thức tổng quát chứng minh phương pháp qui nạp, dạng tốn khó địi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp qui nạp toán học rèn kĩ chứng minh nhiều giải tốn cách thành thạo Ngồi có vơ số ví dụ mơn học chương trình phổ thơng dùng phương pháp qui nạp để diễn giải mô tả Nhưng để hiểu thấu đáo kĩ thuật áp dụng học tập, sáng tạo cịn gặp nhiều khó khăn Hơn nữa, chương trình sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 học sinh tiếp cận hiểu biết phương pháp qui nạp mức độ định; chưa hiểu sâu nguyên lí qui nạp; chưa rèn luyện nhiều kĩ giải tốn phương pháp qui nạp Chính tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm “phương pháp qui nạp toán học” với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu vể phương pháp rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, lí tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Giúp học sinh tiếp cận vận dụng phương pháp quy nạp tốt hơn” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết, tiếp cận vận dụng phương pháp quy nạp toán học toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức giải toán chia hết download by : skknchat@gmail.com - Rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời tập chứng minh mệnh đề phụ thuộc biến - Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn THPT, đặc biệt phần Phương pháp quy nạp toán học 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải toán chia hết phương pháp quy nạp toán học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 11 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập phần phương pháp quy nạp toán học - Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng phát triển theo mục tiêu dự kiến - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu xem xét lại thành thực tiễn khứ để rút kết luận bổ ích cho thực tiễn - Phương pháp thống kê xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập download by : skknchat@gmail.com II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Khái quát chung tập hợp số tự nhiên N Các số 0, 1, 2, 3, số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N Các số 0, 1, 2, 3, phần tử tập hợp Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu N* * Trong hai số tự nhiên khác nhau, có số nhỏ số Mỗi số tự nhiên có số liền sau Hai số tự nhiên liên tiếp đơn vị Số số tự nhiên nhỏ số tự nhiên lớn Số số tự nhiên khác không nhỏ Tập hợp số tự nhiên có vơ số phần tử 2.1.2 Ngun lí qui nạp Định lí 2.1 Cho số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên Nếu a) P( ) b) Nếu P(k) P(k+1) với số tự nhiên , mệnh đề P(n) với số tự nhiên 2.1.3 Giai đoạn qui nạp giả thiết qui nạp Để hiểu cách áp dụng phương pháp qui nạp cho đầy đủ, ta xem xét số ví dụ sau phép « suy luận có lí » mà G Polya đề cập Ví dụ 1 : Chứng minh với * ta có (2.1) Giải : Bước 1 : Với n =1, vế trái 1.2 = 2, vế phải Hệ thức (2.1) Bước 2 : Đặt vế trái Giả sử hệ thức (2.1) với , tức là : Ta phải chứng minh (2.1) với (giả thiết qui nạp) , tức là : Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có download by : skknchat@gmail.com Vậy hệ thức (2.1) với Ví dụ 2: Chứng minh với * , ta có bất đẳng thức: (2.2) Giải : Bước 1 :Với n = vế trái 9, vế phải Bất đẳng thức (2.2) Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức với , tức Ta phải chứng minh với , tức Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức với ta có (vì ) Vậy bất đẳng thức (2.2) với số tự nhiên Ví dụ 3: Chứng minh với * ta có chia hết cho Giải : Đặt Bước 1 :Với n = 1, ta có Bước 2 : Giả sử với ta có Ta phải chứng minh Thật vậy, ta có (2.3) Theo giả thiết qui nạp , Vậy chia hết cho với * Ví dụ 4: Cho trước số tự nhiên n Hãy tìm tổng số tự nhiên 1, 2, , n Giải: Kí hiệu tổng phải tìm, nghĩa (2.4) Ta hi vọng tìm cơng thức ngắn gọn để tính tổng trên, cơng thức giúp ta tính nhanh, gọn phải thực phép cộng tổng Ta minh hoạ q trình áp dụng ngun lí qui nạp vào tính tổng Ta tính tổng từ đẳng thức (2.4) với vài số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn bắt đầu Những kết tính tốn trường hợp riêng xếp vào bảng n 6 10 15 21 download by : skknchat@gmail.com Mục đích ta tìm qui luật chung, với bảng ta dễ thấy qui luật : Tích hai số tự nhiên hàng hai lần số tương ứng hàng Thật vậy, 1.2=2.1 ; 2.3=2.3 ; 3.4=2.6 ;4.5=2.10 ; 5.6=2.15 Như giai đoạn qui nạp thành công với trường hợp n= 1, 2, 3, 4, 5, Tiếp tục cách tự nhiên mở rộng qui luật cho bảng số với số tự nhiên Ta đưa giả thiết thích hợp với qui luật vừa tìm Đặt (2.4) Một giả thiết ta làm gọi giả thiết qui nạp Nhưng câu hỏi đặt đẳng thức (2.4) có với n = 1, 2, hay không ? Rõ ràng (2.4) với số tự nhiên cách thay n n+1 ta có đẳng thức (2.4) Trái lại, giả thiết (2.4) với n = 1, , 1) với n= 2) với số k suy với k+1 Điều khơng có cách khác phải áp dụng ngun lí qui nạp tốn học, nghĩa ta phải kiểm tra điều kiện a) b) định lí 2.1 Bước sở : Với n = 1, công thức (2.4) Bước qui nạp: Bây chứng minh công thức (2.4)đúng cho điều kiện b) Với mục đích ta giả thiết cơng thức (2.4) với chứng minh với , ta biến đổi kết (2.4) với Theo nguyên lí qui nạp tốn học cơng thức (2.4) với n = 1, 2, Tóm lại qua ví dụ đơn giản ta thấy bước q trình tìm tịi chứng minh ngun lí qui nạp tốn học Ví dụ 5 : Tính tổng n số lẻ tự nhiên Giải : Kí hiệu tổng phải tìm với Để xây dựng giả thiết qui nạp ta tính tổng số giá trị liệt kê bảng sau n 16 25 36 Bây phụ thuộc vào quan sát ta kinh nghiệm kết riêng để dự đoán mệnh đề tổng quát chung Dễ thấy số hàng số phương : download by : skknchat@gmail.com Như ta đưa giả thiết chung là : Bước sở : Với n = 1, tổng có số hạng =1 ; biểu thức (2.5) với n = 1, (2.5) Bước qui nạp : Giả sử (2.5) với n = k, tức với n = k+1, nghĩa Thật vậy, theo giả thiết qui nạp ta có Ta chứng minh (2.4) Như toán giải xong 2.1.4 Phương pháp qui nạp toán học N* Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *là với n mà thử trực tiếp làm sau :  Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2 : Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên (gọi giả thiết qui nạp), chứng minh với Khẳng định mệnh đề với số tự nhiên * *) Chú ý : Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên (p số tự nhiên) thì :  Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề với  Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên chứng minh với 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Không thực đầy đủ hai bước qui nạp Trong q trình vận dụng qui nạp đơi học sinh chưa hiểu kĩ nguyên lí qui nạp, cho bước đơn giản nên bỏ qua, dẫn đến kết luận sai lầm Đối với học sinh phương pháp qui nạp khó vận dụng vào giải nhiều loại tốn, nhiên chương trình cấp học tơi đưa số ví dụ cho thấy rõ sai lầm mắc phải trình bày Ví dụ 1: Chứng minh số tự nhiên số tự nhiên liền sau Lời giải: Giả thiết mệnh đề khẳng định với số tự nhiên n = k đó, nghĩa (2.1) Chúng ta chứng minh đẳng thức sau (2.2) Thật vậy, theo giả thiết qui nạp (2.1) cộng hai vế đẳng thức với 1, ta nhận download by : skknchat@gmail.com Như khẳng định với n = k với n = k+1, mệnh đề toán với n, nghĩa số tự nhiên nhau, điều vơ lí Vậy cách chứng minh sai đâu ? Dễ dàng thấy chứng minh áp dụng nguyên lí qui nạp toán học bỏ qua bước kiểm tra n =1 Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n bất đẳng thức sau (2.3) Lời giải Giả thiết bất đẳng thức (1.8) với n = k, với k số tự nhiên đó, nghĩa ta có: (2.4) Ta chứng minh bất đẳng thức (1.8) với (2.5) Thật vậy, ta có: với * (*) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.4) (*) ta nhận Bài tốn giải xong Tuy nhiên ví dụ mắc sai lầm ví dụ trước khơng qua bước sở Ví dụ 3: Chứng minh giá trị hàm số với n = 0,1,2, số ngun tố Lời giải Ta tính Ta tính tốn tiếp tục giá trị f(n) n = 40, tất giá trị số nguyên tố Nhưng với n = 41 ta có kết khơng phải số ngun tố, nên kết luận tốn khơng Như ta thấy mệnh đề với 40 trường hợp nói riêng khơng với trường hợp nói chung Cịn nhiều khẳng định sai vận dụng qui nạp theo cách ví dụ 2.2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp - Một thực trạng cho thấy học sinh lúng túng việc vận dụng giả thiết qui nạp Ví dụ 4 : Chứng minh với * ta có đẳng thức : (2.6) Lời giải: Ở bước 2, giả sử đẳng thức với nạp , học sinh biết viết giả thiết qui , viết đẳng thức kết luận vế trái học sinh viết , nên chứng minh gặp khó khăn, khơng thấy download by : skknchat@gmail.com vế trái đẳng thức giả thiết vế trái đẳng thức kết luận học sinh viết thiếu số hạng thứ k 2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp Ngoài chứng minh bất đẳng thức phương pháp qui nạp học sinh gặp nhiều khó khăn tìm mối liên quan hai bất đẳng thức giả thiết kết luận Ví dụ 5 : Chứng minh với số tự nhiên , ta có bất đẳng thức : Lời giải: Ở bước ta có bất đẳng thức giả thiết bất đẳng thức kết luận học sinh khơng biết tìm mối liên quan giả thiết kết luận - Việc vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết học sinh lĩnh vực bỡ ngỡ nhiều Ví dụ 6 : Chứng minh với * ta có Học sinh thực đầy đủ hai bước bước học sinh lúng túng phân tích biểu thức kết luận làm xuất biểu thức để áp dụng tính chất chia hết tổng 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức *) Chú ý: - Nắm thực bắt buộc trình tự hai bước phương pháp qui nạp - Ở bước phải đặt tốn, đó : Giả thiết (qui nạp) mệnh đề kết luận mệnh đề  ;  cần làm rõ vế trái đẳng thức giả thiết vế trái đẳng thức kết luận - Hoàn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối Bài toán 1 : Chứng minh với *ta có (1) Lời giải : Bước 1 : Với n = 1, ta có VT = 2, VP = Vậy đẳng thức với n = Bước 2 : Đặt vế trái Giả sử đẳng thức (1) với , nghĩa là : (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh (1) với , nghĩa Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có : download by : skknchat@gmail.com (đpcm) Bài toán 2 : Chứng minh với * ta có (2) Lời giải : Bước 1 : Ta có Vậy đẳng thức với n = Bước 2 : Giả sử đẳng thức (2) với , tức ta có: Ta chứng minh đẳng thức (2) với , nghĩa Thật vậy, Vậy đẳng thức (2) với Bài toán 3 : Chứng minh với * * ta có (3) Lời giải : Đặt vế trái Bước 1 : Khi n = 1, VT = VP = 1, hệ thức (3) n = Bước 2 : Giả sử hệ thức (3) với , tức Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Vậy hệ thức (3) chứng minh 2.3.2 Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức 10 download by : skknchat@gmail.com *) Chú ý: - Nắm thực bắt buộc trình tự hai bước phương pháp qui nạp - Ở bước phải đặt tốn, đó : Giả thiết (qui nạp) mệnh đề kết luận mệnh đề cần vận dụng tốt tính chất bất đẳng thức - Hồn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối Bài toán 4 : Chứng minh với số tự nhiên ta có (4) Lời giải : Bước 1 :Với n = 3, vế trái 27, vế phải 26 Bất đẳng thức (4) Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức với , tức (4’) Ta phải chứng minh với , tức Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (4’) với ta có Vì nên Bất đẳng thức (4) chứng minh Bài toán 5 : Chứng minh với số tự nhiên ta có: (5) Lời giải : Bước 1 :Với n = 2, vế trái 9, vế phải Bất đẳng thức (5) Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức với , tức (5’) Ta phải chứng minh với , tức Thật vậy, Với , nên Vậy với số tự nhiên , * Bài toán 6 : Với giá trị số nguyên dương , ta có: Lời giải  Ta thử với : (sai), : (sai), : : (đúng), : (đúng), Dự đoán: , Chứng minh quy nạp toán học Bước 1 : Kiểm tra với : ( đúng) 11 download by : skknchat@gmail.com (6) (sai),  ;  Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức với Ta phải chứng minh với , tức , tức Thật Xét Từ (1) (2) suy ra: Vậy: , Bài toán 7 : Chứng minh với số tự nhiên (6’) (1) (2) , ta có : (7) Lời giải : Bước 1 : Kiểm tra (7)với Bước 2 : Giả sử (7) với Cần c/m (7) với : ( đúng) , tức , tức c/m Thật = = Vậy với Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên ta có: Bài 2: Chứng minh với *ta có: Bài 3: Cho số thực Chứng minh rằng: , * 2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết *) Chú ý: - Nắm thực bắt buộc trình tự hai bước phương pháp qui nạp - Ở bước phải đặt tốn, đó : 12 download by : skknchat@gmail.com Giả thiết (qui nạp) mệnh đề kết luận mệnh đề cần vận dụng tốt đẳng thức đáng nhớ, tính chất chia hết tổng - Hoàn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối Bài toán 8 : Chứng minh với * ta có: chia hết cho Lời giải: Đặt Bước 1 :Với , ta có Bước 2 : Giả sử với ta có Ta phải chứng minh , tức Thật vậy, ta có: Vì ( tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2) nên Vậy * Bài toán 9 : Chứng minh với * ta có: chia hết cho Lời giải : Đặt Bước 1 :Với n = 1, ta có (đúng) Bước 2 : Giả sử mệnh đề với ta có Ta phải chứng minh mệnh đề với , tức Thật vậy, ta có Vậy với * Bài toán 10 : Chứng minh với Lời giải : Đặt Bước 1 :Với n = 1, ta có Bước 2 : Giả sử với ta có Ta phải chứng minh , tức Thật vậy, ta có * ta có : Theo giả thiết qui nạp , Vậy chia hết cho với * 13 download by : skknchat@gmail.com  ; Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh với Bài 2 : Chứng minh với Bài 3 : Chứng minh với 2.3.4 Một vài ứng dụng khác * ta có: * ta có: * ta có: chia hết cho chia hết cho chia hết cho 133 Bài toán 11 : Cho tổng a) Tính b) Hãy dự đốn cơng thức tính chứng minh phương pháp qui nạp Lời giải : a) Ta có , , , b) Từ kết câu a) ta dự đoán (8) Ta chứng minh công thức (8) phương pháp qui nạp Bước 1 : với : (đúng) Bước 2 : Giả sử (8) với , tức Ta cần chứng minh (8) với , tức cần chứng minh: Thật vậy, ta có Vậy , * Bài tốn 12: Xác định công thức tổng quát dãy ( Lời giải: Ta có: , , ) sau: , Dự đốn: Chứng minh phương pháp qui nạp toán học 14 download by : skknchat@gmail.com Bước 1 : Với (đúng ) Bước 2 : Giả sử mệnh đề với Ta cần chứng minh mệnh đề với , tức cần chứng minh Thật vậy, ta có: Vậy , Bài tốn 13: Chứng minh: Lời giải: Bước 1 : với với: * (9) : (9) Bước 2 : Giả sử (9) với , tức Ta cần chứng minh (9) với , tức Thật vậy, ta nhân hai vế (*) với , ta có (*) (*) (**) Nhưng với Suy (***) So sánh (**) (***) ta điều phải chứng minh Bài toán 14 : Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh Lời giải :  Với n = số đường chéo tứ giác Mệnh đề với n =  Giả sử mệnh đề với đa giác n = k cạnh ( k>4), nghĩa số đường chéo đa giác lồi k cạnh Với đa giác lồi (k+1) cạnh : Theo giả thiết qui nạp đa giác có đường chéo số đường chéo k – đường chéo tạo với k -2 đỉnh từ Nối đường chéo Số cộng với đường chéo đến 15 download by : skknchat@gmail.com Vậy số đường chéo đa giác k+1 cạnh là : Vậy mệnh đề với đướng với Bài toán 15 : Chứng minh tam giác ABC vng A, có số đo cạnh a, b, c với số tự nhiên , ta có bất đẳng thức (8) Lời giải :  Với n = theo định lí Pi -ta- go ta có Vậy bất đẳng thức (8)  Giả sử bất đẳng thức (8) với , tức (8’) Khi Sử dụng giả thiết qui nạp (8’) ta có Tức (8) với Vậy bất đẳng thức (8) chứng minh Dấu «  = » xảy n = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tổng a) Tính b) Hãy dự đốn cơng thức tính chứng minh phương pháp qui nạp Bài 2: : Xác định công thức tổng quát dãy ( ) sau: a) b) *)Nhận xét : Phương pháp qui nạp dùng để giải loại toán sau : Loại 1 : Chứng minh kết luận cho sẵn Loại 2 : Tìm điều kiện để kết luận đúng, cách sử dụng qui nạp khơng hồn tồn để dự đốn kết quả, sau chứng minh phương pháp qui nạp 2.4 Hiệu SKKN 2.4.1 Khảo sát thực tế: Trước thực SKKN , năm 2014-2015 khảo sát chất lượng học sinh lớp 11A1;11A2 thông qua kiểm tra viết gồm toán chứng minh phương pháp qui nạp (Đề số phụ lục trang 24) 16 download by : skknchat@gmail.com Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức Bài toán 2: Chứng minh chia hết Kết sau: Khơng có học sinh đạt điểm khá, giỏi; điểm trung bình chưa đạt 40%, cịn lại yếu, Cụ thể: Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 11A1 42 0 0 15 35,7 13 31 14 33,3 11A2 44 0 0 13 29,5 16 36,4 15 34,1 Tổng 86 0 0 28 32,5 29 33,7 29 33,7 Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán yếu 2.4.2 Kết sau thực SKKN: Sau thực đề tài lớp 11A1 trường THPT Đông Sơn năm 2017-2018 khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết gồm toán chứng minh phương pháp qui nạp: (Đề số phụ lục trang 26) Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán 3: Dự đoán số hạng tổng quát dãy số chứng minh phương pháp qui nạp Kết sau: Số lượng giỏi, khá, trung bình có tăng lên chưa nhiều tôi, điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn tốn, tạo niềm vui hưng phấn bước vào học toán Một số học sinh khá, giỏi biết vận dụng vào tốn mức độ khó Chất lượng giải kĩ giải toán tốt so với năm trước Cụ thể: Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém SL % SL % SL % SL % 11A1 44 9,09 11,3 29 66 13,6 Như vậy, chất lượng kiểm tra tăng lên rõ rệt SL % Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận - Trong giai đoạn giáo dục nay, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội nguồn nhân lực thực thụ Bản thân mong muốn làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh nên ln cố gắng tìm tịi ứng dụng vào việc giảng dạy cở sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp 17 download by : skknchat@gmail.com - Loại toán chứng minh phương pháp qui nạp tài liệu tham khảo thường đề cập cách sơ sài nhỏ lẻ, nên cố gắng tập hợp, giải toán chứng minh phương pháp qui nạp cách đơn giản để học sinh dễ hiểu Qua ứng dụng SKKN giảng dạy cho học sinh nhận thấy toán chứng minh phương pháp qui nạp học sinh thông hiểu nhiều - Như vậy, với SKKN dù hay nhiều giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy tơi, góp phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt phương pháp qui nạp vào giải tốn, nâng cao chất lượng học mơn tốn trước Đối với thân tôi, giáo viên đứng lớp viết SKKN giúp ích nhiều việc tự học trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ - Mặc dù SKKN tơi viết tập chung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn lớp 11 việc áp dụng vào giảng dạy có tác dụng tốt, thời gian tới tơi phát triển thêm SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi với toán nâng cao - Từ trình áp dụng SKKN tơi thấy học kinh nghiệm rút giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng tự nhiên, khơng nên gị ép, áp đặt, phải đưa phương pháp giải loại tốn có học sinh hứng thú học tập u thích mơn tốn 3.2 Kiến nghị Loại tốn chứng minh phương pháp qui nạp cịn nhiều dạng, tài liệu trình bày phần nhỏ Thời gian tiến hành làm đề tài khơng nhiều, cịn hạn chế trình độ chuyên môn số lượng tài liệu tham khảo nên chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Trong q trình thực SKKN, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp tổ tốn trường THPT Đơng Sơn 2, mong nhận thêm đóng góp quý báu khác từ đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 26 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 18 download by : skknchat@gmail.com Trần Thị Huyền Phụ lục Đề số ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số lớp 11 Câu 1 : Chứng minh với * ta có đẳng thức: (1) 19 download by : skknchat@gmail.com Câu 2 : Chứng minh với * ta có chia hết cho 133 (2) *) Đáp án – biểu điểm Câu Nội dung Thang điểm 0,75 Đặt vế trái Bước 1: Với n = 1, ta có vế trái 1, vế phải , hệ thức Bước 2: Giả sử đẳng thức (1) với điểm , nghĩa là: (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh (1) với 0,25 0,5 , tức 0,25 0,75 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 0,5 0,5 0,75 0,5 Vậy hệ thức (1) với * 0,25 Đặt Bước 1: Với n = 1, Bước 2: Giả sử với ta có chia hết cho 133 (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh , tức 20 download by : skknchat@gmail.com 0,75 0,25 0,5 0,25 0,5 điểm Thật vậy, ta có 0,75 0,75 0,5 Vì Vậy nên 0,5 chia hết cho 133 với * 0,25 Đề số ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số lớp 11 Câu 1 : Chứng minh với * ta có đẳng thức: (1) Câu 2 : Chứng minh với * ta có 21 download by : skknchat@gmail.com chia hết cho 133 Câu 3: Cho dãy số (2) , biết với Dự đốn cơng thức tổng qt chứng minh phương pháp qui nạp *) Đáp án – biểu điểm Câu Nội dung Thang điểm 0,5 Đặt vế trái Bước 1: Với n = 1, ta có vế trái 1, vế phải , hệ thức điểm Bước 2: Giả sử đẳng thức (1) với là: , nghĩa 0,5 (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh (1) với tức , 0,25 0,5 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy hệ thức (1) với Đặt Bước 1: Với n = 1, Bước 2: Giả sử với * 0,25 0,5 ta có 22 download by : skknchat@gmail.com chia hết cho 133 (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh 0,5 , tức điểm 0,5 Thật vậy, ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì Vậy nên 0,5 chia hết cho 133 với * Ta có 0,5 điểm Dự đoán (3) Chứng minh phương pháp qui nạp Bước 1: Với n = 1, công thức (3) 0,25 Bước 2: Giả sử công thức (3) với n = k, tức 0,25 Ta phải chứng minh công thức với , tức 0,25 0,25 0,25 Thật vậy, ta có Vậy cơng thức (3) với * , với 0,25 23 download by : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] Phương pháp qui nạp toán học Nguyễn Hữu Điển NXB Giáo dục, 2000 [2] Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT - SỐ HỌC Hà Huy Khoái NXB Giáo dục, 2008 [3] Chuyên đề chọn lọc - DÃY SỐ VÀ ÁP DỤNG Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn NXB Giáo dục, 2008 [4] Một số vấn đề SỐ HỌC CHỌN LỌC Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận NSB Giáo dục, 2008 24 download by : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ VẬN DỤNG "PHƯƠNG PHÁP QUY NẠY TOÁN HỌC" TỐT HƠN Người thực hiện: Trần Thị Huyền Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn 25 download by : skknchat@gmail.com THANH HỐ NĂM 2018 ... nghiệm: “ Giúp học sinh tiếp cận vận dụng phương pháp quy nạp tốt hơn? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết, tiếp cận vận dụng phương pháp quy nạp toán học toán chứng minh... download by : skknchat@gmail.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ VẬN DỤNG "PHƯƠNG PHÁP QUY NẠY TOÁN HỌC" TỐT HƠN Người... nghiệm ? ?phương pháp qui nạp toán học? ?? với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu vể phương pháp rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, lí tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Giúp học