� MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2 Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác[.]
MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Dạng Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ 2 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Giải phương trình lượng giác Dạng Giải phương trình lượng giác dạng mở rộng Dạng Giải phương trình lượng giác có điều kiện xác định Dạng Giải phương trình lượng giác khoảng (a; b) cho trước 10 10 11 11 11 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 15 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 15 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Giải phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng Giải phương trình bậc sinx cosx Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng Phương trình chứa sin x ± cos x sin x · cos x C 16 16 17 17 18 19 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 23 A B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình bậc hai (ba) hàm số lượng giác Dạng Biến đổi asinx + bcosx Dạng Biến đổi đưa phương trình tích Dạng Một số toán biện luận theo tham số 23 23 24 24 25 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 28 A Đề số 28 B Đề số 31 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 34 Trang i Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R y • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R • Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng − π2 −π π π x Đồ thị hàm số y = sin x • Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π , nghĩa sin(x + k2π ) = sin x, với k ∈ Z Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R y • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R • Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng − π2 −π π x π Đồ thị hàm số y = cos x • Hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π , nghĩa cos(x + k2π ) = cos x, với k ∈ Z y Hàm số y = tan x π • Điều kiện cos x 6= ⇔ x 6= + kπ , k ∈ Z nπ o Tập xác định: D = R\ + kπ , k ∈ Z • Tập giá trị: R −π − π2 • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π , nghĩa tan(x + kπ ) = tan x, với k ∈ Z Trang O π π x Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = cot x y • Điều kiện sin x 6= ⇔ x 6= kπ , k ∈ Z Tập xác định: D = R \ {kπ , k ∈ Z} • Tập giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π , nghĩa cot(x + kπ ) = cot x, với k ∈ Z 3π − π2 −π O π π x Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = π + k2π cos O B′ sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π A′ A cos O sin x = ⇔ x = kπ Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x A O sin sin sin cos cos x = ⇔ x = k2π B A′ O cos cos x = −1 ⇔ x = π + k2π B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải Ta ý số điều kiện sau: f (x) xác định ⇔ g(x) 6= g(x) p y = 2n f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, n ∈ N∗ y = y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) 6= π + kπ , k ∈ Z y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) 6= kπ , k ∈ Z Trang O B′ cos x = ⇔ x = cos π + kπ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC # Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = sin x + cos x b) y = + cos x − cos x c) y = + cos 2x sin x d) y = + cos x + sin x e) y = sin x − cos x + f) y = sin x + cos x + g) y = sin x + sin x − j) y = √ sin x − sin x + √ cos x − k) y = + cos x − cos x h) y = i) y = sin l) y = … x−1 x+2 + cos x − cos x # Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = tan x + π c) y = cot x + +1 b) y = tan 2x − sin x # Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số sau có tập xác định R a) y = √ m − cos x b) y = √ sin x − m # Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số y = định R c) y = p sin x − cos x + m cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác { DẠNG Tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp giải Ta thực bước sau: Tìm tập xác định D hàm số – Tập D phải đối xứng Tính f (−x) (chỗ có biến x, ta thay −x) thu gọn kết Khi • Nếu f (−x) = f (x): hàm số cho hàm chẵn • Nếu f (−x) = − f (x): hàm số cho hàm lẻ • Nếu khơng rơi vào trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ CHÚ Ý ① Hàm số y = sin x hàm số lẻ ② Hàm số y = cos x hàm số chẵn ③ Hàm số y = tan x hàm số lẻ ④ Hàm số y = cot x hàm số lẻ # Ví dụ Xét tinh chẵn lẻ hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x # Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y = tan7 2x · sin 5x Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ Phương pháp giải Ta thường dùng phương pháp sau: Sử dụng bất đẳng thức ① −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R; ② −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R; ③ ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R; ④ ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R ⑥ Bunhiacopxki: ⑤ Cô – si: √ a + b ≥ ab, với a, b ≥ Dấu xảy a = b (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d ) Dấu xảy a c = b d Sử dụng điều kiện có nghiệm ① sin x = f (m) có nghiệm −1 ≤ f (m) ≤ ② cos x = f (m) có nghiệm −1 ≤ f (m) ≤ ③ sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên hàm số, từ đó, kết luận # Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau a) y = sin x + − 2sin2 x b) y = c) y = d) y = sin x cos x + 1; e) y = − sin2 2x f) y = (3 − sin x)2 + g) y = sin4 x + cos4 x h) y = sin6 x + cos6 x √ + cos x − # Ví dụ Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − đạt giá trị nhỏ √ # Ví dụ Tìm x để hàm số y = − − cos2 x đạt giá trị nhỏ # Ví dụ 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau √ a) y = sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = sin x + cos x # Ví dụ 11 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = 2sin2 x − sin x + b) y = 2cos2 x + cos x − c) y = cos 2x − sin x + √ # Ví dụ 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos2 x − sin x cos x + # Ví dụ 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + sin x − cos x + C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm tậpnxác định D củao hàm số y = − tan x π A D = R \ B D = R \ {kπ , k ∈ Z} + kπ , k ∈ Z Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C D = R \ {k2π , k ∈ Z} D D = R \ nπ o + k2π , k ∈ Z Câu Tìm tập định o hàm số y = cot x n xác π A D = R\ k |k ∈ Z C D = R\{k2π |k ∈ Z} B D = R\{kπ |k ∈ Z} nπ o + kπ |k ∈ Z D D = R\ − cos x Câu Điều kiện xác định hàm số y = sin x π A x 6= + kπ , k ∈ Z B x 6= k2π , k ∈ Z kπ , k ∈ Z C x 6= D x 6= kπ , k ∈ Z 2 sin x + Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = − cos x π A x 6= k2π B x 6= kπ C x 6= + kπ D x 6= π Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = tan 2x − 5π π π π + kπ A x 6= + k B x 6= C x 6= + kπ D x 6= 12 π + k2π 5π π +k 12 Câu Tập giá trị hàm số y = cos x tập hợp sau đây? A R B (−∞; 0] C [0; +∞] D [−1; 1] Câu Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] D [0; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn Câu Tìm hàm số lẻ hàm số sau: A y = sin2 x B y = x cos 2x C y = x sin x D y = cos x Câu 10 Tìm điều kiện xác định hàm số y = tan x + cot x π kπ , k ∈ Z A x 6= kπ , k ∈ Z B x 6= + kπ , k ∈ Z C x 6= D x ∈ R 2 cos 3x − Câu 11 Tập xác định hàm số y = cos x + A D = R \ {π + kπ ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π ; k ∈ Z} π C D = R \ { + kπ ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π ; k ∈ Z} Câu 12 Mệnh đề sai? A Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π Câu 13 Hàm số y = sin 2x có chu kỳ π A T = 2π B T = Câu 14 Hàmsố nàolà hàm số chẵn? π π A y = sin x + B y = cos x + 2 B Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π D Hàm số y = sin 2x tuần hồn với chu kì π C T = π D T = 4π C y = sin 2x D y = tan x − sin 2x Câu 15 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số hàm số nào? Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y −π π x 2π O −1 A y = + sin x B y = − sin x C y = sin x D y = cos x Câu 16 Đường cong hình vẽ bên đồ thị bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? y −π A y = cos x + − π O π π x B y = − sin x C y = cos x D y = cos2 x + √ Câu 17 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + A max y = y = B max y = y = C max y = y = −2 D max y = y = −1 √ Câu 18 Tìm tập √ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau√y = sin x +√3 A max y = √5, y = B max y = √5, y = C max y = 5, y = D max y = 5, y = π Câu 19 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = + sin 2x − A y = −2, max y = B y = 2, max y = C y = −2, max y = D y = −1, max y = Câu 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = − cos2 3x A y = 1, max y = B y = 1, max y = C y = 2, max y = D y = −1, max y = √ Câu 21 Tìm tập giá trị lớn nhất, sin 2x √ giá trị nhỏ hàm số sau y = + + √ A y = 2, max y = + √3 B y = 2, max y = + C y = 1, max y = + D y = 1, max y = Câu 22 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = A y = , max y = 4 C y = , max y = + 2sin2 x B y = , max y = 3 D y = , max y = Câu 23 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin2 x + cos2 2x A max y = 4, y = B max y = 3, y = C max y = 4, y = D max y = 3, y = Câu 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x + A max y = 6, y = −2 B max y = 4, y = −4 C max y = 6, y = −4 D max y = 6, y = −1 Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x − A y = −6; max y = B y = −6; max y = C y = −3; max y = D y = −6; max y = Câu 26 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x − A max y = 4, y = −6 B max y = 6, y = −8 C max y = 6, y = −4 D max y = 8, y = −6 Câu 27 Gọi T tập giá trị hàm số y = sin2 x − cos 2x + Tìm tổng giá trị nguyên T A B C D Câu 28 Hàm số y = cos2 x + sin x + có giá trị lớn giá trị nhỏ 9 A 3; B 1; −1 C ; D ; 4 Câu 29 Giá √ trị lớn hàm số √ y = cos x − sin 2x√+ √ A + B − C D − sin x + cos x + Câu 30 Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin x + cos x + A M = −2 B M = −3 C M = D M = —HẾT— Trang Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình sin x = a Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1} sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = Trường hợp a ∈ β ◦ tương ứng π O + k2π A′ cos A O B′ sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π cos sin x = ⇔ x = kπ √ √ ´ ;± Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a góc α ± ;± 2 ® ① Cơng thức theo đơn vị rad: đ x = α + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − α + k2π ② Công thức theo đơn vị độ: ñ x = β ◦ + k360◦ sin x = a ⇔ ,k∈Z x = 180◦ − β ◦ + k360◦ sin N a O Trường hợp a ∈ [−1; 1] khác số ñ x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − arcsin a + k2π Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) g(x) sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ ñ f (x) = g(x) + k2π ,k∈Z f (x) = π − g(x) + k2π Phương trình cos x = a Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1} Trang M ... Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R y • Tập giác. .. hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] D [0; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số. .. 2x c Bài Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x Trang 16 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp giải