Chuyên đề giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Microsoft Word ÐS9 C3 CD5 GI?I TOÁN B?NG CÁCH L?P H? PHUONG TRÌNH docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com CHUYÊN ĐỀ GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bước chung Bước[.]

CHUN ĐỀ GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bước chung Bước 1: Lập hệ phương trình: -Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng - Biểu diễn đại lượng chưa biết toán theo ẩn (chú ý đơn vị) - Dựa vào kiện, điều kiện toán để lập hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Nhận định, so sánh kết nghiệm hệ phương trình với điều kiện toán Kết luận, trả lời, nêu rõ đơn vị đáp số B.CÁC DẠNG TOÁN Dạng Bài toán Chuyển động + Dựa vào đại lượng: quãng đường (S), vận tốc (V), thời gian (T) vật công thức: S  V.T; V  S S ;T  T V + Chú ý xem vật chuyển động chiều, ngược chiều, hay chuyển động xuôi ngược, xuất phát trước hay xuất phát sau, có thay đổi vận tốc đường hay khơng + Cần chọn mốc thời gian, chọn chiều dương chuyển động + Dựa vào nguyên lý cộng vận tốc: Ví dụ giải tốn chuyển động thuyền sơng, đạp xe ngược gió, xi gió Khi ta có: vxi dịng= vdịng nước+ vthực vngược dịng = vthực - vdịng nước Ví dụ minh hoạ 1: Một xe tải từ Tp Hồ Chí Minh đến Tp Cần Thơ, biết quãng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách từ Tp Cần Thơ Tp Hồ Chí Minh gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải 13 km Hướng dẫn giải: Phân tích đề: Đổi đơn vị: 48 phút = Sơ đồ hố thơng tin tốn: 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      V (km/h) Xe tải X Xe khách Y Quan hệ y  x  13 T(h) 1 S(km) 14  5 14 x 9 y 14 x  y  189 5 Giải: Gọi x (km/h) vận tốc xe tải (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xe khách (y > 13) Thời gian xe tải từ lúc khởi hành đến lúc gặp là:  14  5 Quãng đường xe tải từ lúc khởi hành đến lúc gặp Thời gian xe khách từ lúc xuất phát đến lúc gặp 14 x (km) Quãng đường xe khách từ lúc xuất phát đến lúc gặp y 9 14 14  x  y  189  x  y  189 Theo ra, ta có hệ phương trình:  5 5  y  x  13  x  y  13  x  36 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thỏa mãn điều kiện)  y  49 KL: Vận tốc xe tải là: 36 (km/h) Vận tốc xe khách là: 49 (km/h) 2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Ví dụ minh hoạ 2: Một ô tô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A Hướng dẫn giải: Phân tích đề: Trong đề này, cần ý đến câu hỏi tính độ dài quãng đường thời gian (thời điểm xuất phát) Do đó, ta đặt ẩn hai đại lượng Dựa vào mối tương quan vận tốc, thời gian đi, ta suy phương trình cần tìm Bảng phân tích tóm tắt: V(km/h) Dự định T(h) S(km) x y Nếu xe chạy chậm 35 x2 35  x   Nếu xe chạy nhanh 50 x 1 50  x  1 Giải: Gọi y (km) độ dài quãng đường AB (y > 0) Gọi x (h) thời gian từ A đến B theo dự định  x  1 Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h), đến B chậm so với dự định nên ta có phương trình: 35  x    y 1 Nếu xe chạy với vận tốc 50 (km/h), đến B sớm so với dự định nên ta có phương trình: 50  x  1  y   Từ (1) (2), ta có hệ phương trình: 35x  70  y  y  35x  70 35  x    y    50x  50  y  y  50x  50 50  x  1  y  y  350 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện) x  KL: Quãng đường AB dài: 350 (km) Thời điểm ô tô xuất phát A là: 12 - = sáng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng chuyển động ngược chiều Bài 1: Hai người hai địa điểm A B cách 3,6km khởi hành lúc, ngược chiều gặp điểm cách A 2km Nếu hai giữ nguyên vận tốc trường hợp trên, 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      người chậm xuất phát trước người phút họ gặp quãng đường Tính vận tốc xe Bài 2: Bác Tài xe đạp từ thị xã làng, cô ba Ngân xe đạp từ làng lên thị xã Họ gặp bác Tài 1h 30 phút, cịn ba Ngân Một lần khác, hai người từ hai địa điểm họ khởi hành đồng thời; sau 15 phút họ cịn cách 10,5km Tính vận tốc người, biết khoảng cách từ làng đến thị xã 38km Bài 3: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km, đoạn xuống dốc dài 5km Một người xe đạp từ A đến B 40 phút từ B A 41 phút Biết vận tốc lúc lên dốc xuống dốc không đổi Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc Bài 4: Hai xe khởi hành lúc từ hai địa điểm A, B cách 130km gặp sau Tính vận tốc xe, biết xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A km/h Dạng chuyển động chiều Bài 5: Một ô tô quãng đường AB với vận tốc 50km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài quãng đường AB BC 165km thời gian tơ qng đường AB thời gian ô tô quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ qng đường AB BC Dạng chuyển động chiều ngược chiều Bài 6: Hai vật chuyển động đường tròn đường kính 20cm, xuất phát lúc, từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp lần Nếu chuyển động ngược chiều giây chúng lại gặp Tính vận tốc vật Bài 7: Ga Huế cách ga Quảng Trị 65km Một xe tải từ Quảng Trị vào Huế, xe khách từ Huế Quảng Trị Biết xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút sau 24 phút chúng gặp Nếu hai xe khởi hành đồng thời Hà Nội (đi chiều) sau 13 hai xe gặp Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải Bài 8: Một ca nơ xi dịng qng sơng dài 12km ngược dịng qng sơng 30 phút Nếu quãng sơng ấy, ca nơ xi dịng 4km ngược dịng 8km hết 20 phút Tính vận tốc ca nơ vận tốc riêng dịng nước Dạng toán thay đổi vận tốc đường Bài 9: Một người xe đạp từ A đến B với thời gian định sẵn Khi cách B 30km, người nhận thấy đến B muộn nửa giữ nguyên vận tốc Do đó, người tăng vận tốc thêm 5km/h đến B sớm nửa so với dự định Tính vận tốc lúc đầu người Bài 10: Một tơ từ A đến B với vận tốc xác định Nếu vận tốc tăng thêm 30km/h thời gian giảm Nếu vận tốc giảm 15km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc ơtơ HƯỚNG DẪN GIẢI 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Bài 1: Phân tích đề: Đổi đơn vi: phút  10 Khi khởi hành lúc: Khi người chậm (B) xuất phát trước: Bảng phân tích tóm tắt: V (km/h) Quãng đường Quãng đường khởi hành lúc khởi hành khác T1  T2  km  T1   T2  km  10 Người xuất phát từ A x 1,8 Người xuất phát từ B y 1,6 1,8 1,  x y 1,8 1,8   x 10 y Quan hệ Giải: Gọi x (km/h) vận tốc người từ A (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc người từ B (y > 0) Khi hai người xuất phát lúc, gặp địa điểm cách A 2km, ta có: 5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Thời gian người A từ lúc người xuất phát đến gặp x Thời gian người B từ lúc người xuất phát đến gặp 1, y Vì thời gian hai người nên ta có phương trình 1,  1 x y Vì xuất phát lúc, người B quãng đường ngắn nên suy vận tốc B nhỏ A: xy Khi người từ B xuất phát trước phút  giờ, hai người gặp điểm quãng 10 đường cách A B 1,8km, ta có: Thời gian người B từ lúc B xuất phát đến gặp 1,8 y Thời gian người A từ lúc A xuất phát đến gặp 1,8 x Do B xuất phát trước phút nên ta có phương trình 1,8 1,8    2 x 10 y  1,  1, x  y x  y    Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   1,8   1,8 1,8  1,8   y 10  x 10 y  x  x  4,5 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  3, KL: Vận tốc người xuất phát từ A là: 4,5 (km/h) Vận tốc người xuất phát từ B là: 3,6 (km/h) Bài 2: Đổi: 15 phút  Gọi x (km/h) vận tốc bác Tài (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc cô Ba Ngân (y > 0) Lần thứ nhất: Quãng đường bác Tài là: l,5x (km) Quãng đường cô Ba Ngân là: 2y (km) Hai người gặp nhau, nên tổng quãng đường hai người độ dài quãng đường từ làng đến thị xã, ta có: 1,5x  2y  38 1 6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Lẩn thứ hai: Quãng đường bác Tài x  km  Quãng đường cô Ba Ngân y  km  Hai người sau 15 phút cịn cách 10,5 km nên ta có phương trình 5 x  y  10,5  38   4 1,5x  2y  38  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  5  x  y  10,5  38  x  12 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  10 KL: Vận tốc bác Tài là: 12 (km/h) Vận tốc cô Ba Ngân là: 10 (km/h) Bài 3: Đổi: 40 phút = 40 41 41 phút = 60 60 Gọi x (km/h) vận tốc lên dốc xe (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xuống dốc xe (y > 0) Khi từ A đến B: đoạn lên dốc dài km, xuống dốc dài km Thời gian đoạn lên dốc : x Thời gian đoạn xuống dốc là: y Tổng thời gian từ A đến B 40 phút, ta có 40   1 x y 60 Khi từ B A: đoạn lên dốc dài km, xuống dốc dài km Thời gian đoạn lên dốc : x 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Thời gian đoạn xuống dốc y Tổng thời gian từ B A 41 phút, ta có: 41    2 x y 60  40  x  y  60  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:     41  x y 60  x  12 (thoả mãn điều kiện) Giải hệ phương trình ta nghiệm   y  15 KL: Vận tốc xe lên dốc là: 12 (km/h) Vận tốc xe xuống dốc là: 15 (km/h) Bài 4: Gọi x (km/h) vận tốc xe khởi hành từ A (x > 0) Gọi y (km/h) vận tốc xe khởi hành từ B (y > 5) Hai xe khởi hành lúc, sau gặp nên: Quãng đường xe từ A là: 2x (km) Quãng đường xe từ A là: 2y (km) Hai xe gặp nên tổng độ dài quãng đường hai xe 130km, ta có: 2x  2y  130 1 Xe từ B có vận tốc nhanh xe từ A 5km/h, suy y  x    2x  2y  130 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  y  x   x  35 Giải hệ phương trình ta nghiệm  (thoả mãn điều kiện)  y  30 KL: Vận tốc xe từ A là: 35 (km/h) Vận tốc xe từ B là: 30 (km/h) Dạng chuyển động chiều Bài 5: Gọi x (h) thời gian ô tô quãng đường AB (x > 0) Gọi y (h) thời gian ô tô quãng đường BC (y > 0) Quãng đường AB có độ dài: 50x (km) Quãng đường BC có độ dài: 45y (km) 8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Theo đề bài, ta có tổng quãng đường AB BC dài 165 km, nên ta có phương trình 50x  45y  165 1 Thời gian tơ qng đường AB thời gian ô tô quãng đường BC 30 phút, ta có x   y  2 50x  45y  165  Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   x   y  x  1,5 Giải hệ phương trình ta  y  KL: Thời gian để ô tô hết quãng đường AB là: 1,5 Thời gian để ô tô hết quãng đường BC là: Dạng chuyển động chiều ngược chiều Bài 6: Phân tích đề: - Nếu hai vật xuất phát lúc, từ điểm, chuyển động chiều với quỹ đạo trịn hai vật gặp quãng đường vật chuyển động nhanh nhiều quãng đường vật vòng - Nếu hai vật chuyển động ngược chiều, xuất phát lúc từ điểm, với quỹ đạo chuyển động quỹ đạo trịn chúng gặp tổng qng đường chúng vịng Bảng thơng tin: Vận tốc Vật x m / s Quãng đường Quãng đường chuyển động chuyển động ngược chiều chiều 20x (cm) 4x (cm) 20y (cm) 4y (cm) 20x  20y  chu vi 4x  4y  chu vi  x  y  0 Vật y (m/s) Phương trình Lời giải: Gọi x (m/s) vận tốc vật chạy nhanh (x > y > 0) Gọi y (m/s) vận tốc vật chạy chậm (y > 0) Chu vi quỹ đạo trịn, có đường kính 20cm C  20  cm  Khi hai vật chạy chiều: Tính theo chu kì 20 giây chúng gặp nhau: 9. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Vật thứ được: 20x (cm), vật thứ hai 20y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình 20x  20y  20 1 Khi hai vật chạy ngược chiều: Tính theo chu kì giây chúng gặp nhau: Vật thứ được: 4x (cm), vật thứ hai 4y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình: 4x  4y  20   20x  20y  20 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình  4x  4y  20  x  3 Giải hệ phương trình ta   y  2 KL: Vận tốc vật thứ : 3 (cm/s) Vận tốc vật thứ hai : 2 (cm/s) Bài 7: Phân tích đề: Đổi đơn vị: 24 phút = Khi hai xe ngược chiều, mô tả sơ đồ Khi hai xe chiều: Giải: 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ... ta có phương trình 1,8 1,8    2 x 10 y  1,  1, x  y x  y    Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:   1,8   1,8 1,8  1,8   y 10  x 10 y  x  x  4,5 Giải hệ phương trình. .. 4y (cm) chúng lại gặp Do đó, ta có phương trình: 4x  4y  20   20x  20y  20 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình  4x  4y  20  x  3 Giải hệ phương trình ta   y  2 KL: Vận tốc vật... đường Huế - Quãng Trị Nên ta có phương trình 13x  13y  65   2  x  y  65 Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:  13x  13y  65  x  50 Giải hệ phương trình ta được:   y  45 KL: Vận