Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word Bài 3 HÀM S? LIÊN T?C doc Trang 1 BÀI GIẢNG HÀM SỐ LIÊN TỤC Mục tiêu Kiến thức + Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn + Nắm được các định lí[.]
BÀI GIẢNG HÀM SỐ LIÊN TỤC Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn + Nắm định lí hàm số liên tục Kĩ + Chứng minh hàm số liên tục điểm, liên tục khoảng, liên tục đoạn + Nắm vững phương pháp giải dạng tốn tìm tham số để hàm số liên tục Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số liên tục điểm Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián Định nghĩa đoạn điểm x0 Cho hàm số y f x xác định khoảng K x0 K Hàm số y f x gọi liên tục x0 lim f x f x0 x x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn Định nghĩa Hàm số y f x gọi liên tục Hàm số liên tục khoảng a; b khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y f x gọi liên tục đoạn a; b liên tục khoảng a; b lim f x f a , lim f x f b x a x b Hàm số không liên tục khoảng a; b Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liên” khoảng Một số định lí Định lí a) Hàm đa thức liên tục b) Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí Giả sử y f x y g x hai hàm số liên tục điểm x0 Khi a) Các hàm số y f x g x , y f x g x y f x g x liên tục x0 ; b) Hàm số f x g x liên tục x0 g x0 Định lí TOANMATH.com Trang Nếu hàm số y f x a; b f a f b liên tục đoạn với số thực M nằm f a f b , tồn điểm c a; b cho f c M Hệ Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn điểm c a; b cho f c Nói cách khác: Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b f a f b phương trình f x có nghiệm nằm khoảng a; b II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục điểm, tập Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa hàm số y f x xác định Ví dụ Cho hàm số khoảng K x0 K Hàm số liên tục x0 lim f x f x0 x x0 x3 27 f x x x 27 , x , x Xét tính liên tục hàm số điểm x Hướng dẫn giải Bước Tìm giới hạn hàm số lim f x x x0 f x0 Hàm số xác định Ta có f 3 27 lim f x lim x 3 x 3 lim x 3 x 3 x x x3 27 lim x x x 3 x 3 x x x 27 x2 f x f 3 nên hàm số liên tục Bước Nếu tồn lim f x ta so sánh Ta thấy lim x 3 x x0 lim f x với f x0 x3 x x0 TOANMATH.com Trang Hàm số liên tục tập ta sử dụng định nghĩa định lí Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm lim f x k lim f x lim f x k x x0 x x0 x x0 f x , x x0 Hàm số y liên tục g x , x x0 x x0 lim f x g x0 x x0 f x , x x0 Hàm số f x liên tục g x , x x0 điểm x x0 lim f x lim g x f x0 x x0 x x0 Ví dụ mẫu x3 Ví dụ Cho hàm số f x x x 12 x Xét tính liên tục hàm số điểm x x Hướng dẫn giải Ta có lim f x lim x 1 x 3 lim lim x 3 x 3 x 3 x3 2x lim x 3 2x 3 Do lim f x lim f x x 3 x 3 Vậy hàm số gián đoạn x 4x , Ví dụ Cho hàm số f x x a , x Tìm a để hàm số liên tục điểm x x Hướng dẫn giải Hàm số xác định TOANMATH.com Trang Ta có f a lim f x lim x 2 x2 4x lim x 2 x2 4x 4x Vậy để hàm số liên tục điểm x lim f x f a x 2 x4 5x2 Ví dụ Cho hàm số f x x3 m x 2mx 3 x 1 x 1 Tìm m để hàm số liên tục điểm x 1 Hướng dẫn giải Hàm số xác định x 1 x x4 5x2 lim 2 Ta có: lim f x lim x 1 x 1 x 1 x3 x2 x lim f x lim m x 2mx m 2m f 1 x 1 x 1 Hàm số liên tục x 1 lim f x lim f x f 1 m 2m m x 1 x 1 x2 , x 1 Ví dụ Cho hàm số f x x 2, x 1 Xét tính liên tục hàm số toàn tập xác định Hướng dẫn giải Hàm số xác định D Với x 1 f x x2 x hàm số liên tục tập xác định x 1 Do hàm số liên tục ; 1 1; x2 lim x 1 2 x 1 x x 1 Với x 1 ta có lim f x lim x 1 Vì f 1 lim f x x 1 Vậy hàm số liên tục khoảng ; 1 1; ; hàm số không liên tục điểm x 1 a2 x 2 Ví dụ Cho hàm số f x x 1 a x TOANMATH.com x x Trang Tìm a để hàm số liên tục tập xác định Hướng dẫn giải Hàm số xác định Với x ta có f x a2 x 2 x2 2 hàm số liên tục khoảng xác định Do hàm số f x liên tục 2; Với x ta có f x 1 a x hàm số liên tục tập xác định Do hàm số f x liên tục ; Với x ta có lim f x lim 1 a x 1 a f x 2 x2 lim f x lim x 2 x2 a2 x 2 x2 2 lim a x2 x 4a Hàm số liên tục hàm số liên tục x , nên a 1 lim f x lim f x 4a 1 a x 2 x2 a Vậy a 1; a giá trị cần tìm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Hàm số có đồ thị hình bên gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? A B C D Câu 2: Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên Chọn khẳng định TOANMATH.com Trang A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục ; C Hàm số liên tục 1; D Hàm số liên tục 1; Câu 3: Hàm số f x x2 liên tục khoảng sau đây? x2 5x A ; 3 B 2; 2019 C 3; D 3; 3 x x 1 Khẳng định sau đúng? Câu 4: Cho hàm số f x x x 1 A f x liên tục B f x liên tục ; 1 C f x liên tục 1; D f x liên tục x 1 x 2a Câu 5: Giá trị a để hàm số f x x x A B 2 x Câu 6: Cho hàm số y f x x a x 1 A A k 2 B k x C liên tục x D x x B x 12 , Câu 7: Cho hàm số f x x 3, k , x Giá trị a để hàm số liên tục x0 C D x 1 x Tìm k để f x gián đoạn x x 1 C k 2 D k 1 Câu 8: Cho hàm số f x x Tìm khẳng định khẳng định sau: (I) f x liên tục x TOANMATH.com Trang (II) f x gián đoạn x (III) f x liên tục đoạn 2; 2 A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Câu 9: Tìm khẳng định khẳng định sau (I) f x x5 x liên tục (II) f x x2 liên tục 1; 1 (III) f x x liên tục 2; A Chỉ (I) (III) B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) (III) Câu 10: Tìm khẳng định khẳng định sau: (I) f x x 1 liên tục với x x 1 (II) f x sin x liên tục (III) f x x x liên tục x A Chỉ (I) B Chỉ (I) (II) C Chỉ (I) (III) D Chỉ (II) (III) x x cos Khẳng định sau nhât? Câu 11: Cho hàm số f x x x A Hàm số liên tục x x 1 B Hàm số liên tục x , không liên tục x 1 C Hàm số không liên tục x x 1 D Hàm số liên tục x 1 , không liên tục x x2 x Câu 12: Cho hàm số f x x Tìm khẳng định khẳng định sau: 2 x (I) f x liên tục x (II) f x gián đoạn x (III) f x liên tục A Chỉ (I) (II) B Chỉ (II) (III) C Chỉ (I) (III) D Cả (I), (II), (III) Câu 13: Hàm số sau không liên tục x TOANMATH.com Trang x2 x A f x x 3 x x x x B f x 2 x x x2 x C f x x 2 x x D f x x 2 x x x x Câu 14: Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số ax , f x x 4 x 5b, A a 5b x liên tục x x B a 10b C a b 2x Câu 15: Cho hàm số f x x 1 x 2mx 3m D a 2b x x Tìm giá trị tham số thực m để hàm số liên tục A m B m C m D m x2 , x 1 2x , x Khẳng định sau đúng? Câu 16: Cho hàm số f x x x sin x, x A f x liên tục B f x liên tục \ 0 C f x liên tục \ 1 D f x liên tục \ 0; 1 2x , Câu 17: Giá trị a để hàm số f x x x 1 a, A B B x C D 2x 3x 2 TOANMATH.com B , x liên tục điểm x x D 4x , Câu 19: Giá trị a để hàm số f x ax 2a 1 x 3, A liên tục điểm x C f x Câu 18: Giá trị a để hàm số f x a, A x C x liên tục điểm x x D Trang 3x , x2 Câu 20: Cho hàm số f x a x 2 x , A B x liên tục điểm x x 1 C D x4 2 , x x Câu 21: Cho hàm số f x m tham số mx x , x Tìm m để hàm số liên tục x A m B m 4x , Câu 22: Cho hàm số f x x ax 3, A a 1 B a B x 2 D m Tìm a để hàm số liên tục x 3 x , x Câu 23: Cho hàm số f x m, 3 , x A C m C a D a 0 x9 Giá trị m để f x liên tục 0; x0 x9 C D sin x, x Tìm giá trị a, b để hàm số liên tục Câu 24: Cho hàm số f x ax b, x 2 a A b a B b x2 Câu 25: Cho hàm số f x x x b a C b x 3; x 2 a D b Giá trị b để f x liên tục x x 3; b A TOANMATH.com B C 3 D 3 Trang 10 x 3x , Câu 26: Cho hàm số f x x 1 ax, x Giá trị a để hàm số liên tục x0 x A -3 B C 2 D -2 x 2017 x Câu 27: Cho hàm số f x 2019 x x 2019 k x A k 2020 B k 2019 2020 sin x, Câu 28: Cho hàm số f x 1 cos x, x Tim k để hàm số f x liên tục x C k cos x cos x D k 20018 2020 2019 Hàm số f có điểm gián đoạn khoảng 0; 2019 ? A 2018 B 1009 C 542 D 321 Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp giải * Để chứng minh phương trình f x có Ví dụ nghiệm D, ta chứng minh hàm số y f x liên tục D chứa đoạn a; b Chứng minh phương trình x 2020 3x5 có nghiệm cho f a f b Hướng dẫn giải Ta có hàm số f x x 2020 x5 liên tục f f 1 3 Suy phương trình f x có nghiệm thuộc 0; 1 * Để chứng minh phương trình f x có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y f x liên tục D tồn k đoạn ; 1 i 1, 2, 3, , k nằm D cho f f 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh phương trình x sin x x cos x có nghiệm TOANMATH.com Trang 11 Hướng dẫn giải Ta có hàm số f x x sin x x cos x liên tục f f Suy phương trình f x có nghiệm thuộc 0; Ví dụ Chứng minh phương trình x x 3 x có nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x Ta có x3 x 3 x x3 x 3 x Xét hàm số f x x3 x 3 x liên tục ; 3 19 3 f 0 f f 4 3 0, f 2 2 Do phương trình f x có nghiệm Giả sử phương trình f x có hai nghiệm x1 ; x2 Khi f x1 f x2 x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 0 x1 x2 B x 3x 0) x1 x2 (vì B x1 2 x1 x2 Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x5 x3 15 x 14 x x x có năm nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với x5 x3 15 x 14 x x x 1 x5 x x3 18 x 12 x 1 Xét hàm số f x 5 9 x x3 18 x 12 x liên tục 19 1 Ta có: f 2 95 0, f 1 0, f 32 2 f 0, f 47, f 10 7921 Do phương trình f x có năm nghiệm thuộc khoảng TOANMATH.com Trang 12 2; 1 , 1; 1 , ; , 0; , 2; 10 2 Mặt khác f x đa thức bậc năm nên có tối đa năm nghiệm Vậy phương trình cho có năm nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong khẳng định sau (I) f x liên tục đoạn a; b f a f b phương trình f x có nghiệm (II) f x không liên tục a; b f a f b phương trình f x vô nghiệm (III) f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn số c a; b cho f c (IV) f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn số c a; b cho f c Số khẳng định A B C D Câu 2: Cho hàm số f x xác định a; b Khẳng định sau đúng? A Nếu hàm số f x liên tục a; b f a f b phương trình f x khơng có nghiệm khoảng a; b B Nếu f a f b phương trình f x có nghiệm khoảng a; b C Nếu hàm số f x liên tục, tăng a; b f a f b phương trình f x khơng có nghiệm khoảng a; b D Nếu phương trình f x có nghiệm khoảng a; b hàm số f x phải liên tục a; b Câu 3: Cho phương trình x x x Khẳng định sau đúng? A Phương trình cho khơng có nghiệm khoảng 1; 1 B Phương trình cho có nghiệm khoảng 2; 1 C Phương trình cho có nghiệm khoảng 0; D Phương trình cho khơng có nghiệm khoảng 2; Câu 4: Tìm giá trị tham số m cho phương trình x3 x 2m x m có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 1 x2 x3 A m 5 B m 5 C m 5 D m 6 Câu 5: Cho số thực a, b, c thỏa mãn 4a c 2b a b c 1 Khi số nghiệm thực phân biệt phương trình x3 ax bx c TOANMATH.com Trang 13 A B C D Câu 6: Cho phương trình x3 ax bx c (1) a, b, c tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình (1) vơ nghiệm với a, b, c B Phương trình (1) có nghiệm với a, b, c C Phương trình (1) có hai nghiệm với a, b, c D Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt với a, b, c Câu 7: Tìm giá trị tham số m để phương trình m x x 2019 x 2020 x x có nghiệm A m 2; 3 TOANMATH.com B m \ 2; 3 C m D m Trang 14 ĐÁP ÁN Dạng Hàm số liên tục điểm, tập 1-B 2-D 3-B 4-C 5-A 6-B 7-A 8-B 9-A 10-D 11-A 12-C 13-C 14-B 15-C 16-A 17-A 18-C 19-C 20-D 21-B 22-D 23-C 24-D 25-D 26-C 27-A 28-D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn điểm x Câu 2: Dựa vào hình vẽ đồ thị ta thấy hàm số liên tục 1; Câu 3: x 2 Điều kiện xác định hàm số x x x 3 Do hàm số cho gián đoạn điểm có hồnh độ -2 -3 Câu 4: Hàm số xác định Ta có: f 1 0; lim f x lim x 1 0, lim f x lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy f 1 lim f x lim f x x 1 x 1 Vậy hàm số cho liên tục nửa khoảng 1; khoảng ; 1 Câu 5: Hàm số xác định Ta có: f 1, lim f x lim x x 1 x 0 x 0 Hàm số cho liên tục điểm x lim f x lim x 2a a x 0 x 0 Câu 6: Hàm số xác định Ta có: f 1 0, lim f x lim x x 1 x 1 2x a Hàm số cho liên tục điểm x0 lim f x lim 0a2 x 1 x 1 x Câu 7: Hàm số xác định Ta có: lim f x lim x 1 4, lim f x lim x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy hàm số cho gián đoạn x f 1 k k 2 TOANMATH.com Trang 15 Câu 8: x 2 Điều kiện xác định: x x Ta có: f lim f x lim x Do hàm số cho liên tục x x2 x2 f 2 lim f x lim x Do hàm số cho liên tục x 2 x2 x 2 Câu 9: (I) f x x5 x hàm số có tập xác định Do hàm số f x liên tục (II) f x x 1 có tập xác định D ; 1 1; Do f x gián đoạn khoảng 1; 1 (III) Hàm số f x x có tập xác định D 2; Ta có: f lim f x lim x Do hàm số liên tục 2; x 2 x 2 Câu 10: x 1 có tập xác định D 1; Do (I) sai x 1 (I) f x (II) f x sin x có tập xác định D Do f x liên tục (III) f x x x có tập xác định D \ 0 Do f x liên tục x Câu 11: 1 x x 1 x x cos x f x cos f x x Khi ta có: x x x x +) f 1 cos 0, lim f x lim 1 x Suy f 1 lim f x x 1 x 1 x 1 2 Do hàm số liên tục x 1 +) f 1 cos 0, lim f x lim x 1 Suy f 1 lim Do hàm số liên tục x x 1 x 1 x 1 2 Câu 12: Tập xác định: D Ta có: f x x x2 lim x 3, lim f x lim lim x x x x x x TOANMATH.com Trang 16 Do hàm số liên tục x Vậy hàm số liên tục Câu 13: 2x2 x Xét f x x 2 x x có tập xác định D x 1 x 1 x 2x x 1 2 lim lim x Ta có: f 1 1, lim f x lim x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 Suy f 1 lim f x Do hàm số gián đoạn điểm x x 1 Câu 14: Ta có f 5b ax lim x 0 x lim f x lim x 0 x 0 ax ax lim x 0 a ax a Hàm số liên tục x f lim f x 5b x 0 a a 10b Câu 15: Ta có: f 3, lim f x lim x 2 x2 x , lim f x lim x 2 x2 x 1 x 2mx 3m 2 Hàm số f x liên tục hàm số f x liên tục x lim x 2 x 1 3 3 m5 6m x 2mx 3m 2 Câu 16: Ta có lim x lim x 1 x 1 Ta ó\có lim x 0 x3 lim f x lim f x f 1 nên hàm số liên tục x x 1 x 1 1 x x3 lim x sin x lim f x lim f x f 1 nên hàm số liên tục x x 0 x 0 x x 0 Câu 17: 2x lim x 0 x x 1 x 1 Ta có lim x 0 2x 1 Suy a f hàm số liên tục điểm x Câu 18: Ta có lim x 1 2x 3x TOANMATH.com lim x 1 3x 2x 6 2x Trang 17 Vậy f 1 hàm số liên tục x Câu 19: Ta có lim x 0 4x lim x ax 2a 1 x ax 2a 1 x 2a Hàm số liên tục x 3a 2a Câu 20: Ta có lim a x2 2 x3 x 1 a 3x , lim lim x x 1 x2 x 1 Để hàm số liên tục x 3x a 3 a Câu 21: x4 2 lim x 0 x Ta có lim x 0 1 ; lim mx x x 4 x x 0 Để hàm số liên tục x 2m 1 m0 4 Câu 22: Ta có lim x 2 4x lim ; f 2a x 2 x2 16 x x Để hàm số liên tục 2a a 3 Câu 23: Ta có lim x 9 3 9 x 1 ; lim f nên hàm số liên tục x x x x 3 Ta có lim x 0 3 9 x 1 lim f m x 0 x x Vậy để hàm số liên tục 0; m Câu 24: Ta có lim sin x 1; lim sin x 1; lim ax b x x x a a b; lim ax b b 2 x a b a Để hàm số liên tục a b 1 b TOANMATH.com Trang 18 Câu 25: x2 3 Để hàm số liên tục x b b 3 3 x x6 Ta có lim x 3 Câu 26: Ta có lim x 1 x 3x x7 2 3x lim lim x x 1 x 1 x 1 x 1 lim x 1 x 7 23 x lim x 1 3 3x 1 12 f 1 a Để hàm số liên tục x a Câu 27: Ta có lim x 1 lim x 2016 x 2017 x 2019 x x 2019 x 2015 x 1 x 1 lim x 1 x 2017 2019 x x 2019 2019 x x 2019 lim x 1 2018 lim x 1 x 1 2019 x x 2019 2019 x x 2019 2018 2017 2020 2020 2020 1009 1009 Để hàm số liên tục x k 2020 Câu 28: sin x, Xét hàm số f x đoạn 0; 2 , f x 1 cos x, 3 x 0; ; 2 2 3 x ; 2 Ta có lim f x f ; lim f x f 2 x 2 x 0 3 3 Hàm số rõ ràng liên tục khoảng 0; ; ; ; 2 2 2 Ta xét x lim f x lim 1 cos x 1; lim f x lim sin x 1; f 2 x x x x 2 2 TOANMATH.com 2 2 Trang 19 Như lim f x lim f ( x f nên hàm số f x liên tục điểm x 2 x x 2 Ta xét x 2 3 lim f x lim sin x 1; lim f x lim 3 x Vì 3 x 3 x 3 x 1 cos x lim f x lim f x nên hàm số f x gián đoạn điểm x 3 x 3 x Do đó, đoạn 0; 2 hàm số gián đoạn điểm x 3 3 Do tính chất tuần hoàn hàm số y cos x y sin x suy hàm số gián đoạn điểm x 3 k 2 , k Ta có x 0; 2018 3 1009 k 2 2018 k 320, 42 4 Vì k nên k 0, 1, 2, , 320 Vậy hàm số f có 321 điểm gián đoạn khoảng 0; 2018 Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm 1-B 2-C 3-C 4-B 5-C 6-B 7-D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 2: Vì f a f b nên f a f b dương âm Mà f x liên tục, tăng a; b nên đồ thị hàm f x nằm nằm trục hoành a; b Vậy phương trình f x khơng có nghiệm khoảng a; b Câu 3: Đặt f x x x x , hàm số f x liên tục 0; Ta có f 1; f 1 1 f f 1 nên phương trình cho có nghiệm khoảng 0; Câu 4: Đặt f x x x 2m x m Ta thấy hàm số liên tục Điều kiện cần: af 1 m m 5 Điều kiện đủ: với m 5 ta có +) lim f x nên tồn a 1 cho f a x TOANMATH.com Trang 20 ... 11: Cho hàm số f x x x A Hàm số liên tục x x 1 B Hàm số liên tục x , không liên tục x 1 C Hàm số không liên tục x x 1 D Hàm số liên tục x 1 , không liên tục... b Hàm số không liên tục khoảng a; b Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liên? ?? khoảng Một số định lí Định lí a) Hàm đa thức liên tục b) Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên. .. x x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn Định nghĩa Hàm số y f x gọi liên tục Hàm số liên tục khoảng a; b khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y f x gọi liên tục đoạn a; b liên tục