Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học Của Sinh Viên Bất Đẳng Thức Morrey Cho Các Hàm Sobolev Có Giá Trị Trung Bình Bằng 0.Pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN BẤT ĐẲNG THỨC MORREY CHO CÁC HÀM SOBOLEV CĨ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH BẰNG Mã số đề tài: S2020.639.04 Lĩnh vực nghiên cứu: Khoa học tự nhiên (Chun ngành Tốn học Thống kê) Bình Định, 04/2022 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Lebesgue 1.1.1 Khái niệm số tính chất 1.1.2 Bất đẳng thức Holder 10 1.1.3 Tích chập 11 Không gian Sobolev 13 1.2.1 Đạo hàm yếu 13 1.2.2 Không gian Sobolev W k,p (Ω) 14 1.2.3 Sự xấp xỉ hàm trơn 16 Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình 19 2.1 Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình 19 2.2 Ứng dụng 23 2.2.1 Giới hạn gradient 23 2.2.2 Hội tụ yếu 24 Tài liệu tham khảo 26 S THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: - Mã số: S2020.639.04 - Sinh viên thực hiện: - Nguyễn Hữu Thuần1 - Nguyễn Đặng Thanh Giang1 - Đỗ Phương Oanh - Nguyễn Thị Hà Tiên - Đoàn Khánh Duy Lớp Sư phạm Toán K43B 1 Khoa: Sư phạm Năm thứ: Số năm đào tạo: - Người hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Thành Mục tiêu đề tài: - Bất đẳng thức Morrey cho phép nhúng lớp không gian Sobolev vào không gian phù hợp có nhiều ứng dụng, đặc biệt lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Thơng thường bất đẳng thức phát biểu cho hàm Sobolev số đánh giá phụ thuộc vào số mũ, kí hiệu p Gần đây, nghiên cứu giới hạn p dần vơ nghiệm phương trình p-Laplace với điều kiện Neumann, người ta cần đánh giá với số không phụ thuộc vào p p lớn Trong nghiên cứu này, hướng đến việc xem xét lại dẫn đánh giá kiểu Morrey tốt hơn, không phụ thuộc vào p p lớn cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Sau đó, chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức Morrey hội tụ yếu khơng gian Sobolev Tính sáng tạo: ˆ Hằng số đánh giá tốt so với số C(d, n, p) chứng minh [15, p.556] Kết nghiên cứu: ˆ Đã dẫn số tốt hơn, không phụ thuộc vào p p vô bất đẳng thức Morrey ˆ Đồng thời, đưa ứng dụng bất đẳng thức Morrey hội tụ yếu gradient không gian Sobolev Đóng góp mặt kinh tế-xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: Một tài liệu tham khảo hữu ích bất đẳng thức Morrey khơng gian Sobolev dành cho sinh viên, học viên cao học ngành Tốn ứng dụng, Sư phạm Tốn Cơng bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài: Từ kết nghiên cứu được, chúng tơi hồn thành thảo dạng báo khoa học với tên "A novel formula for Lobachevsky-type integrals" Ngày 17 tháng 04 năm 2022 Sinh viên chịu trách nhiệm Nguyễn Hữu Thuần Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài: Nhóm sinh viên thực đề tài dành nhiều thời gian, công sức để tập trung tìm tịi nỗ lực đọc hiểu kĩ tài liệu tiếng Anh với lượng kiến thức lớn liên quan đến biến ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ, phân phối liên tục tuyệt đối, đặc biệt kiến thức hàm đặc trưng tính chất Tơi đánh giá cao phương pháp tinh thần chủ động học tập Hơn nữa, nhóm sinh viên giành nhiều thời gian để nghiên cứu học cách trình bày kết nghiên cứu dạng báo tiếng Anh Chính vậy, tơi dành lời khen lớn thái độ, tinh thần làm việc, say mê nghiên cứu nhóm sinh viên Một lần nữa, tơi cho nhóm sinh viên thực đề tài hồn thành xuất sắc cơng việc mà người hướng dẫn đặt ban đầu Ngày 17 tháng 04 năm 2021 Trưởng khoa Giảng viên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thành Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài: Trong giải tích cổ điển, có nhiều tiêu chuẩn để định nghĩa độ trơn hàm số Tiểu chuẩn có lẽ tính liên tục Một khái niệm mạnh liên tục tính khả vi (bởi hàm số khả vi liên tục) khái niệm mạnh khả vi khả vi liên tục (những hàm số kí hiệu C ) Hàm số khả vi đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực, đặc biệt phương trình vi phân Vào kỷ XX, người ta thấy không gian C hay C , v.v không gian phù hợp để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Các khơng gian Sobolev thay toán học đại cho khơng gian cổ điển tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó, giải tích việc nghiên cứu hội tụ, hội tụ dãy vấn đề quan trọng Trong không gian hữu hạn chiều cần tìm cách chứng minh dãy bị chặn đủ để suy có dãy hội tụ Tuy nhiên không gian vô hạn chiều dãy bị chặn chưa có dãy hội tụ Nhờ có phép nhúng compact không gian X vào không gian Y mà ta kiểm tra dãy {xk } bị chặn X suy có dãy hội tụ Y Trong trình tìm hiểu phép nhúng không gian Sobolev khác vào không gian khác, nhà khoa học sử dụng đến cơng cụ giải tích gọi "bất đẳng thức kiểu Sobolev" Họ bắt đầu chứng minh với hàm trơn, sau đến việc ước lượng cho hàm khơng gian Sobolev tương ứng dựa trù mật hàm trơn Nhìn khía cạnh phép nhúng bất đẳng thức Morrey cho phép nhúng không gian Sobolev W 1,p (với p > n) vo khụng gian Hăolder phự hp Bt đẳng thức Morrey có nhiều ứng dụng, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Đối với họ phương trình p-Laplace, người ta thường làm việc với hàm có giá trị trung bình 0, đề tài này, tập trung đánh giá Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Lý chọn đề tài : Khi nghiên cứu giới hạn p dần vơ nghiệm phương trình p5 Laplace với điều kiện Neumann, người ta cần đánh giá với số không phụ thuộc vào p p lớn Việc nghiên cứu số nhỏ số tìm trước vấn đề thú vị Chính vậy, thực đề tài nghiên cứu nhằm đưa số bất đẳng thức Morrey hàm Sobolev có giá trị trung bình nhỏ so với số trước Mục tiêu đề tài : Trong nghiên cứu này, hướng đến việc xem xét lại dẫn đánh giá kiểu Morrey tốt hơn, không phụ thuộc vào p p lớn cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Sau đó, chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức Morrey hội tụ yếu không gian Sobolev cho họ phương trình p-Laplace p dần vô Phương pháp nghiên cứu: Sinh viên đọc hiểu tài liệu tham khảo bất đẳng thức Morrey phép chứng minh cho hàm Sobolev có giá trị trung bình vấn đề liên quan Qua đó, sinh viên nghiên cứu áp dụng kiến thức nhằm dẫn đánh giá với số tốt hơn, không phụ thuộc vào p p lớn Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev - Phạm vi nghiên cứu: Tập trung dẫn số đánh giá tốt cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Chương Kiến thức chuẩn bị Không gian Lebesgue không gian Sobolev hai nội dung quan trọng lý thuyết độ đo phương trình đạo hàm riêng Trong chương này, chúng tơi trình bày số nội dung liên quan đến hai không gian Lebesgue không gian Sobolev cần thiết cho đề tài 1.1 1.1.1 Không gian Lebesgue Khái niệm số tính chất Khơng gian Lebesgue Lp Giả sử hàm f : Rn → R hàm đo Cho p ∈ [1, ∞), chuẩn Lp f xác định Z p 1/p |f | ∥f ∥p := ∈ [0, ∞] Rn Với p = ∞, ta định nghĩa chuẩn L∞ f sau: ∥f ∥∞ := inf If n o If := c ∈ [0, ∞) : tập hợp {|f | > c} có độ đo Bởi inf ∅ = ∞ nên ∥f ∥∞ ∈ [0, ∞] Định nghĩa 1.1.1 Giả sử p ∈ [1, ∞) Một hàm đo f : Rn → R thỏa mãn ∥f ∥p < ∞ gọi p-khả tích Lp -hàm, với p = gọi khả tích Định nghĩa 1.1.2 (Khơng gian Lp ) Giả sử Ω tập đo Lebesgue Rn ≤ p < ∞ Ta ký hiệu Lp (Ω) tập hợp tất hàm số f : Ω → R cho ∥f ∥p hàm p-khả tích Trong khơng gian ta đồng hàm hầu khắp nơi Không gian Lp với chuẩn ∥.∥p tạo thành không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Lp địa phương) Cho Ω ⊂ Rn tập đo Lebesgue ≤ p < ∞ Ta ký hiệu Lploc (Ω) tập hợp tất hàm số f : Ω → R cho f χK ∈ Lp (Ω) với tập compact K chưa Ω Trong đó: χK kí hiệu cho hàm đặc trưng K    x ∈ K χK =   x ∈ Ω \ K Sự hội tụ không gian Lp Định nghĩa 1.1.4 (Sự hội tụ Lp ) Dãy {fn } không gian Lp gọi hội tụ đến f ∈ Lp lim ∥fn − f ∥p = n→∞ Kí hiệu: fn → f lim fn = f n→∞ Mệnh đề 1.1.1 Nếu lim fn = f lim ∥fn ∥p = ∥f ∥p n→∞ n→∞ Mệnh đề 1.1.2 Giả sử lim fn = f, lim gn = g không gian Lp lim λn = λ n→∞ n→∞ n→∞ R Khi đó: lim (fn + gn ) = f + g n→∞ lim λn fn = λf n→∞ Định nghĩa 1.1.5 Dãy {fn } gọi dãy Cauchy Lp với ε > tồn n0 ∈ N cho với m, n ∈ N, m, n ≥ n0 ta có: ∥fm − fn ∥p < ε Chú ý 1.1.1 Nếu {fn }, {gn } dãy Cauchy không gian Lp λn dãy Cauchy R dãy {fn + gn }, {λn fn } dãy Cauchy Lp Định nghĩa 1.1.6 (Sự hội tụ yếu) Với p ∈ [1, ∞) Ω ⊂ Rn tập có độ đo Một dãy hàm {fn } ⊂ Lp gọi hội tụ yếu đến f ∈ Lp , kí hiệu fn ⇀ f Z lim (fn − f )ϕ = n→∞ Ω với ϕ ∈ Lq với q liên hợp Hăolder ca p, tc l q = p p1 Định lý 1.1.1 Cho dãy {fn } ∈ Lp , p > bị chặn Lp Khi đó, tồn dãy {fnk } {fn } hội tụ yếu Lp Nhận xét 1.1.1 ˆ Sự hội tụ theo chuẩn Lp gọi hội tụ mạnh ˆ Trong không gian hữu hạn chiều, hội tụ mạnh suy hội tụ yếu ngược lại Tuy nhiên, điều lại không với không gian vô hạn chiều, cụ thể hội tụ mạnh suy hội tụ yếu chiều ngược lại chưa xảy Chúng xin phát biểu không chứng minh định lý sau: Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho tập Ω ⊂ Rn đo {fn } dãy hàm đo thỏa mãn ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ với x ∈ Ω Khi đó:  Z Z  lim fn (x)dx = lim fn (x) dx n→∞ Ω Ω n→∞ Định lý 1.1.3 (Định lý hội tụ bị trội) Cho Ω ⊂ Rn tập đo {fn } dãy hàm đo hội tụ điểm hầu khắp nơi đến hàm đo f Nếu tồn hàm g ∈ L1 (Ω) cho |fn (x)| ≤ |g(x)| với n với x ∈ Ω  Z Z  lim fn (x)dx = lim fn (x) dx n→∞ Ω Ω n→∞ Định lý 1.1.4 (Bổ đề Fatou) Cho Ω ⊂ Rn tập đo {fn } dãy hàm khơng âm đo Khi  Z  Z lim inf fn (x) dx ≤ lim inf fn (x) dx Ω n→∞ n→∞ Ω Không gian Lp không gian Banach Định lý 1.1.5 Không gian Lp (Ω) với chuẩn ∥.∥p định nghĩa không gian Banach với p ∈ [1, ∞) Chứng minh Giả sử ≤ p < ∞ {fn } dãy Cauchy Lp (Ω) Khi đó, tồn dãy {fnk } {fn } cho ∥fnk+1 − fnk ∥ ≤ Đặt gm (x) = m X , 2k k = 1, |fnk+1 (x) − fnk (x)| Khi đó: k=1 ∥gm ∥p ≤ n X 0, tồn N cho với m, n ≥ N ∥fm − fn ∥p < ε Theo bổ đề Fatou, ta có: Z p |f (x) − fn (x)| dx = Ω Z Z p lim |unk (x) − un (x)| dx ≤ lim inf Ω k→∞ k→∞ |unk (x) − un (x)|p dx ≤ εp Ω Thế nên: f = (f − fn ) + fn ∈ Lp (Ω) ∥f − fn ∥p → n → ∞ Vậy định lý chứng minh Định lý 1.1.6 C0 (Rn ) tập trù mật Lp (Rn ) 1.1.2 Bất đẳng thức Holder Định nghĩa 1.1.7 (Liên hợp Holder) Hai số thực p, q ∈ [1, ∞) với 1 + = p q gọi liên hợp Holder Định lý 1.1.7 (Bất đẳng thức Holder) Giả sử p, q ∈ [1, ∞) liên hợp Holder f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ) Khi tích f g hàm khả tích Z |f g| ≤ ∥f ∥p ∥g∥q Rn Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1 Giả sử p > 1, q > thỏa mãn αβ ≤ 1 + = Khi với α ≥ 0, β ≥ ta có: p q αp β q + p q Dấu đẳng thức xảy αp = β q 12 Định nghĩa 1.1.8 Với f : Rn → R hàm bất kì, ta định nghĩa supp f sau: supp f = {x ∈ Rn |f (x) ̸= 0} Mệnh đề 1.1.3 Cho hàm f ∈ L1 (Rn ) hàm g ∈ Lp (Rn ) với ≤ p cho trước, ta lấy hàm f1 ∈ Cc (Rn ) cho ∥f − f1 ∥p < ε Theo mệnh đề 1.1.5, ta biết (ρn ∗ f ) hội tụ đến f tập compact Rn Mặt khác, theo mệnh đề 1.1.4, ta có: supp(ρn ∗ f1 ) ⊂ B(0, 1/n) + supp f1 ⊂ B(0, 1) + supp f1 Suy ra: ∥(ρn ∗ f1 ) − f1 ∥p → n → ∞ Cuối cùng, theo định lý 1.1.7, ta có: (ρn ∗ f ) − f = [ρn ∗ (f − f1 )] + [(ρn ∗ f1 ) − f1 ] + (f1 − f ) ⇒ ∥(ρn ∗ f ) − f ∥p ≤ 2∥f1 − f ∥p + ∥(ρn ∗ f1 ) − f1 ∥p Vậy ta kết luận lim sup∥(ρn ∗ f ) − f ∥p = lim ∥(ρn ∗ f ) − f ∥p = n→∞ n→∞ 1.2 Không gian Sobolev Trong phần giới thiệu không gian Sobolev với số mũ nguyên thiết lập vài tính chất quan trọng Khơng gian Sobolev phần xác định miền xác định Ω ⊂ Rn có biên trơn trơn khúc không gian vecto không gian Lp 1.2.1 Đạo hàm yếu Giả sử ta có hàm u ∈ C (Ω) Khi ϕ ∈ Cc∞ (Ω) với Cc∞ (Ω) không gian hàm ϕ khả vi vô hạn lần có giá compact Ω Theo cơng thức tích phân phần, ta có: Z Z uϕxi dx = − Ω u xi ϕ (i = 1, 2, , n) Ω Một cách tổng quát hơn, k số số nguyên dương, u ∈ C k (Ω) α = (α1 , , αn ) đa mục (multi-index) có cấp |α| = α1 + α2 + + αn = k, Z Z α |α| uD ϕ dx = (−1) vϕ dx Ω Ω (1) 14 Tiếp theo xem xét công thức (1), với u ∈ C k (Ω), câu hỏi đặt liệu (1) có cịn kể u không khả vi liên tục k lần Ω Vế trái (1) có nghĩa u khả tích địa phương u khơng thuộc C k Dα u bên vế phải (2) khơng có nghĩa Vấn đề giải tồn hàm khả tích địa phương v thay cho Dα u để (1) có nghĩa Chính điều dẫn đến khái niệm đạo hàm yếu Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) α = (α1 , , αn ) đa mục Ta gọi v đạo hàm riêng yếu thứ α u, kí hiệu Dα u = v, Z Z α |α| uD ϕ dx = (−1) vϕ dx Ω Ω với hàm ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Trong đó: |α| = α1 + α2 + + αn cấp đạo hàm Với u, v ∈ L1 (Ω), định nghĩa đạo hàm yếu định nghĩa tương tự Bổ đề 1.2.1 Nếu u ∈ L1loc (Ω) có đạo hàm yếu v v v = v hầu khắp nơi Ω Chứng minh Vì v v đạo hàm yếu u nên ta có: Z Z Z α |α| |α| uD ϕ dx = (−1) vϕ dx = (−1) vϕ dx Ω Ω Ω với ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Khi đó: Z (v − v)ϕ dx = Ω với ϕ ∈ Cc∞ (Ω), đó: v − v = hầu khắp nơi Nhận xét 1.2.1 Trong không gian C k (Ω), hàm số u : Ω → R có đạo hàm yếu đến cấp k đạo hàm yếu đạo hàm mạnh u 1.2.2 Không gian Sobolev W k,p (Ω) Với ≤ p < ∞ k số nguyên không âm Chúng ta xác định không gian hàm cụ thể cho thành phần có đạo hàm yếu nằm không gian Lp Định nghĩa không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.2 (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev W k,p (Ω) tập hợp bao gồm tất hàm khả tích địa phương u : Ω → R cho với đa mục α thỏa |α| ≤ k, Dα u tồn dạng yếu thuộc Lp (Ω) 15 Định nghĩa 1.2.3 (Chuẩn không gian Sobolev) Với u ∈ W k,p (Ω), ta xác định chuẩn sau: ∥u∥W k,p (Ω) =   1/p  Z   X    |Dα u|p dx (1 ≤ p < ∞) Ω |α|≤k    α    max ∥D u∥L∞ (Ω) |α|≤k (p = ∞) Sự hội tụ không gian Sobolev k,p Định nghĩa 1.2.4 (Sự hội tụ W k,p ) Cho {um }∞ (Ω) Ta nói um hội m=1 , u ∈ W tụ đến u W k,p (Ω), lim ∥um − u∥W k,p (Ω) = m→∞ Kí hiệu: um → u W k,p (Ω) Định nghĩa 1.2.5 Kí hiệu W0k,p (Ω) bao đóng Cc∞ (Ω) W k,p (Ω) Do u ∈ W k,p (Ω) tồn hàm um ∈ Cc∞ (Ω) cho um → u W k,p (Ω) Ta định nghĩa W0k,p (Ω) tập hợp gồm hàm u ∈ W k,p (Ω) cho Dα u = ∂Ω với |α| ≤ k − Không gian Sobolev không gian Banach Định lý 1.2.1 Với k = 1, , ≤ p < ∞, không gian Sobolev W k,p (Ω) không gian Banach Chứng minh Đầu tiên ta kiểm tra ∥u∥W k,p (Ω) chuẩn Rõ ràng ∥λu∥W k,p (Ω) = |λ|∥u∥W k,p (Ω) ∥u∥W k,p (Ω) = u = 16 Giả sử u, v ∈ W k,p (Ω) Với ≤ p < ∞, bất đẳng thức Minkowski tương ứng 1/p  X ∥u + v∥W k,p (Ω) =  ∥Dα u + Dα v∥pLp (Ω)  |α|≤k 1/p  ≤ X
p ∥Dα ∥Lp (Ω) u + ∥Dα v∥Lp (Ω)  |α|≤k 1/p  ≤ X ∥Dα u∥pLp (Ω)  1/p  X + |α|≤k ∥Dα v∥pLp (Ω)  |α|≤k = ∥u∥W k,p (Ω) + ∥v∥W k,p (Ω) Cuối cùng, ta chứng minh W k,p (Ω) đầy đủ Giả sử {um }∞ m=1 dãy Cauchy p W k,p (Ω) Khi đó, với |α| ≤ k, {Dα um }∞ m=1 dãy Cauchy L (Ω) Vì Lp (Ω) khơng gian Banach, nên tồn uα ∈ Lp (Ω) cho Dα um → uα Lp (Ω) Cho nên với α = (0, , 0), ta có: um → u(0,0 ,0) = u Lp (Ω) Ta chứng minh u ∈ W k,p (Ω), Dα u = uα với |α| ≤ k Thật vậy, lấy ϕ ∈ Cc∞ (Ω) Khi Z Z α uD ϕ dx = lim um Dα ϕ dx m→∞ Ω Ω Z |α| Dα um ϕ dx = lim (−1) m→∞ Ω Z = (−1)|α| uα ϕ dx Ω Đẳng thức cho ta điều phải chứng minh Do đó, Dα um → Dα u Lp (Ω) với |α| ≤ k um → u W k,p (Ω) Vậy W k,p (Ω) không gian Banach 1.2.3 Sự xấp xỉ hàm trơn Định lý 1.2.2 Cho u ∈ W 1,p (Ω) với ≤ p < ∞ Khi đó, tồn dãy {un } ∈ Cc∞ (Rn ) cho (1) un|Ω → u Lp (Ω) 17 ∇un|ω → ∇u|ω Lp (ω)n , ∀ω ⊂⊂ Ω (2) Trong đó: ω ⊂⊂ Ω tập mở Rn ω ⊂ Ω ω tập compact Trong trường hợp Ω = Rn u ∈ W 1,p (Rn ) với ≤ p < ∞, tồn dãy {un } ∈ Cc∞ (Rn ) cho un → u Lp (Rn ) ∇un → ∇u Lp (Rn )n Để chứng minh định lý 1.2.2, sử dụng hai bổ đề sau Bổ đề 1.2.2 Cho ρ ∈ L1 (Rn ) v ∈ W 1,p (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ Khi đó: ρ ∗ v ∈ W 1,p (Rn ) ∂ ∂v (ρ ∗ v) = ρ ∗ , ∀i = 1, 2, , n ∂xi ∂xi Bổ đề 1.2.3 Với hàm f xác định Ω, ta đặt    f (x) x ∈ Ω f (x) =  0 x ∈ Rn \ Ω Cho hàm u ∈ W 1,p (Ω) hàm α ∈ Cc1 (Ω) Khi ∂ ∂u ∂α (αu) = α + u ∂xi ∂xi ∂xi    u(x) x ∈ Ω Chứng minh (Định lý 1.2.2) Đặt u(x) =  0 x ∈ Rn \ Ω αu ∈ W 1,p (Ω) và đặt = ρn ∗ u với ρn dãy hàm mềm Theo mệnh đề 1.1.4 định lý 1.1.8, ta có ∈ C ∞ (Rn ) → u Lp (Rn ) Ta chứng minh ∇vn|ω → ∇u|ω Lp (ω)n , ∀ω ⊂⊂ Ω Thật vậy, với ω ⊂⊂ Ω cho trước, lấy hàm α ∈ Cc1 (Ω) cho ≤ α ≤ α = lân cận ω Với n đủ lớn, ta có: ρn ∗ (αu) = ρn ∗ u ω (3) Khi đó, với n đủ lớn supp(ρn ∗ (αu) − ρn ∗ u) = supp(ρn (1 − α)u)  ⊂ supp ρn + supp(1 − α)u ⊂ B 0, n ⊂ (ω)c  + supp(1 − α) 18 Từ bổ đề 1.2.2 1.2.3, ta có: Suy ra: ∂ ∂u ∂α (ρn ∗ αu) = ρn ∗ α + u ∂xi ∂xi ∂xi ∂α ∂ ∂u (ρn ∗ αu) → α + u Lp (Rn ) ∂xi ∂xi ∂xi đặc biệt ∂ ∂u (ρn ∗ αu) → Lp (ω) ∂xi ∂xi ∂ ∂u (ρn ∗ u) → Lp (ω) ∂xi ∂xi Cuối cùng, ta nhân dãy (vn ) với dãy hàm (ζn ) định nghĩa sau: Theo (3), ta có: ζn (x) = ζ(x/n) với n = 1, Trong đó: ζ ∈ Cc∞ (R) cho ≤ ζ ≤    |x| < ζ(x) =   |x| ≥ Khi dãy un = ζn thỏa tính chất cần có: un ∈ Cc∞ (Rn ), un → u Lp (Ω) ∇un → ∇u Lp (ω)n với ω ⊂⊂ Ω Trong trường hợp Ω = Rn , dãy un = ζn (ρn ∗ u) thỏa tính chất cần có Định lý 1.2.3 (Sự xấp xỉ toàn hàm trơn) Giả sử Ω miền bị chặn u ∈ W k,p (Ω) với ≤ p < ∞ Khi đó, tồn hàm um ∈ C ∞ (Ω) ∩ W k,p (Ω) cho: um → u W k,p (Ω) Định lý 1.2.4 (Sự xấp xỉ toàn hàm trơn lên đến biên) Giả sử Ω miền bị chặn, ∂U C Giả sử u ∈ W k,p (Ω) với ≤ p < ∞ Khi đó, tồn hàm um ∈ C ∞ (Ω) ∩ W k,p (Ω) cho: um → u W k,p (Ω) Chương Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Trong chương này, chúng tơi trình bày phép chứng minh bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình với đánh giá tốt so với chứng minh trước ứng dụng liên quan đến hội tụ yếu nghiệm phương trình p-Laplace p vơ 2.1 Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Bổ đề 2.1.1 Cho Ω miền lồi, bị chặn RZn p > n Khi đó, với hàm u = thỏa mãn bất đẳng thức số u ∈ W 1,p (Ω) có giá trị trung bình 0, tức Ω sau ∥u∥L∞ (Ω) dn ≤ ω 1−1/p |Ω|(n + − n/p)  p−1 p−n 1−n/p d1−n/p ∥∇u∥Lp (Ω) 2π n/2 diện tích mặt cầu đơn vị Rn , Γ hàm gamma, |Ω| Γ(n/2) độ đo Lebesgue Ω d := diam(Ω) ωn = Nhận xét 2.1.1 Bất đẳng thức lấy ý tưởng ước lượng (B.1.3) [15,p.556] cho hàm trơn có giá trị trung bình Tuy nhiên, bất đẳng thức tối ưu so với bất đẳng thức [15,p.556] Và việc tìm số nhỏ cho bất đẳng thức vấn đề thú vị 19 20 Chứng minh: Đặt: dn C(d, n, p) := ωn1−1/p n + − n/p  p−1 p−n 1−1/p d1−n/p Ta chia phép chứng minh thành bước Bước 1: Lấy x ∈ Rn , ta chứng minh hàm W ∈ L∞ (Rn ; Rn ) có độ đo nhận giá trị Rn , với p > n, ta có Z1 Z |W (x + tz)||z| dt dz ≤ C(d, n, p)∥W ∥Lp (B(x,d)) , B(0,d) B(y, d) hình cầu Euclid tâm y, bán kính d Rn Để chứng minh điều đó, sử dụng phương pháp đổi biến tọa độ cực song ánh (xem mục [8, Section 2.7]) B(0, d) \ −→ (0, d] × ∂B(0, 1) Φ : ′ z 7−→ Φ(z) := (r, z ) =  z |z|, |z|  Cụ thể hơn, ta có: Zd Z g(z) dz = r n−1 B(0,d) Z g(rz ′ ) dS(z ′ ) dr (2.3) ∂B(0,1) Z1 |W (x + tz)||z| dt B(0, d) dòng thứ g(z) = Áp dụng (2.3) với g(z) := 1−n |W (x + z)||z| B(0, r) cho dòng thứ 5, ta có: Z1 Z |W (x + tz)||z| dt dz B(0,d) Zd = r r Z Z1 |W (x + trz ′ )|r dt dS(z ′ ) dr ∂B(0,1) Zd = n−1 n−1 Z Zr ∂B(0,1) |W (x + τ z ′ )| dτ dS(z ′ ) dr (đặt τ = rt) ... xỉ hàm trơn 16 Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình 19 2.1 Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev có giá trị trung bình 19 2.2 Ứng dụng ... cứu: Bất đẳng thức Morrey cho hàm Sobolev - Phạm vi nghiên cứu: Tập trung dẫn số đánh giá tốt cho hàm Sobolev có giá trị trung bình Chương Kiến thức chuẩn bị Không gian Lebesgue không gian Sobolev. .. Việc nghiên cứu số nhỏ số tìm trước vấn đề thú vị Chính vậy, chúng tơi thực đề tài nghiên cứu nhằm đưa số bất đẳng thức Morrey hàm Sobolev có giá trị trung bình nhỏ so với số trước Mục tiêu đề tài