Skkn phát triển tư duy và kỹ năng của học sinh qua bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất dựa vào đạo hàm

I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số nói riêng bất đẳng thức nói chung chủ đề quan trọng hấp dẫn chương trình giảng dạy học mơn tốn trường phổ thơng Trong đề thi mơn tốn kì thi đại học, cao đẳng, tôt nghiệp thi học sinh giỏi cấp năm gần toán liên qua đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số thường xuyên có mặt thường câu hỏi khó đề thi Để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số hay biểu thức có nhiếu phương pháp như: Sử dụng bất đẳng thức cô si, bất đẳng thức Bunhia; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp miền giá trị; phương pháp đồ thị hình học; phương pháp chiều biến thiên… Nhưng tơi thấy năm gần đây, đề thi việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ thường xuyên sử dụng, q trình giảng dạy tơi muốn hình thành cho học sinh có tư kỹ sử lí tốn dựa vào đạo hàm.Nên tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển tư kỹ học sinh qua tốn tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ dựa vào đạo hàm” Mục đích nghiên cứu: Khi tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức có nhiền ẩn tơi nhận thấy:  Học sinh sợ, bỏ qua, không hứng thú  Lúng túng, thụ động, khơng biết xử lí từ đâu Vậy vấn đề đặt là:  Cần giúp cho học sinh hệ thống ghi nhớ đầy đủ kiến thức liên quan : đạo hàm bất đẳng thức si, bunhiacơpxki  Giúp học sinh hình thành phát triển tư linh hoạt, sáng tạo toán liên quan Đối tượng nghiên cứu: Để giải vấn đề tơi đề xuất ý tưởng sau:  Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau buổi học từ khắc sâu kiến thức  Từ toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết kinh nghiệm giải tốn qua tự tìm thuật giải cho lớp toán khác  Cho học sinh thấy mối liên hệ kiến thức học với thực tiễn sống Phương pháp nghiên cứu:  Xuất pháp từ toán cụ thể, cho học sinh nhìn rõ vấn đề tìm phương pháp giải cụ thể cho tốn có sử dụng đạo hàm  Đúc kết thuật tốn lớp tốn khác có sử dụng đạo hàm  Thực nghiệm sử dụng đạo hàm tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số skkn II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Cơ sở sáng kiến kinh nghiệm: 1.1 Bất đẳng thức cô si : Cho hai số khơng âm,ta có : Dấu xảy a = b Tổng quát: Cho n số không âm a1, a2, …, an Ta có: Dấu xảy a1 = a2 = …= an 1.2 Bất đẳng thức Bunhia_ Côpski: Cho hai cặp số ( a; b) ( c ; d ), ta có: Dấu xảy ra : 1.3 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất : Cho hàm số y = f (x) xác định tập D  Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D nếu : tồn x0 Kí hiệu :  Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D nếu : tồn x0 Kí hiệu : m = Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Sau học xong khái niệm đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, buổi ôn tập đặt ví dụ để học sinh tự giải Sau thời gian từ năm đến mười phút thực kiểm chứng 47 học sinh lớp 12a7năm học 2016 -2017 Đặc điểm lớp thực nghiệm là: Số học sinh lớp: 47 Kết học tập mơn tốn năm học 2015 – 2016 là: học sinh có học lực giỏi 13 học sinh có học lực 23 học sinh có học lực trung bình học sinh có học lực yếu Nhận biết(nắm vững lý thuyết) Số học sinh 47 Phần trăm 100% Thơng hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt dụng lý thuyết để thực giải toán hành ) Số học Phần trăm Số học Phần trăm sinh sinh 27 57,4% 10 21,3% skkn Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Hình thành tư kỹ học sinh qua việc giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhổ nhất: Bài tốn 1 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D Đây cách sử dụng trực tiếp chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, toán thường gặp đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng khối D, B Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số D :  Tính y’ tìm điểm tới hạn  Tính giới hạn vơ cực giới hạn vơ cực (nếu có) Bước 2: So sánh giá trị hàm số điểm đặc biệt ( thông thường điểm cực đại, cực tiểu, điểm không tồn tịa đạo hàm ).Từ phép so sánh để tìm giá trị lớn nhỏ phải tìm Ví dụ 1 : ( Đại học khối D năm 2011 ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : Giải: Ta có : Bảng biến thiên : t y’ o + + Y Vậy : Chú ý : Đối với tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn ta cịn áp dụng phương pháp sau đây : Bước 1: Tìm điếm x1, x2, xn xác định Bước 2: Tính f(a), f( x1), f(x2), … , f(xn) f’(x) = f’(x) không skkn Bước 3: Tìm số lớn M số nhỏ m số kết luận: Các toán thực đơn giản, học sinh không cần hiểu chất tốn tìm kết tốn Ta làm sau : Ta có Trong nghiệm thỏa mãn đoạn [0 ; 2] x= Ta có Vậy Ví dụ 2: (Đại học khối D năm 2010 ) Tìm giá trị nhỏ hàm số : miền xác định Ta thấy tốn khác so với ví dụ tốn chưa cho ta biết tìm giá trị nhỏ hàm số tập nào, nên bước ta phải tập xác định hàm số Giải Tập xác định hàm số D= [-2 ;5] Ta có : Bảng biến thiên : Vậy x - -2 y’ - + + y Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : Ta thấy : Trong ví dụ khó ví dụ 2, tập xác định hàm số tập R, lập bảng biến thiên học sinh phải có kiến thức vè giới hạn vô cực Giáo viên nhắc lại kiến thức giới hạn vô cực: Cho hàm số với f(x) g(x) đa thức skkn  Nếu bậc f(x) > bậc g(x) : kết vô cực  Nếu bậc f(x) = bậc g(x) : với a,b hệ số x có số mũ cao đa thức f(x) g(x)  Nếu bậc f(x) < bậc g(x) : Giải : Tập xác định: R Giới hạn : Ta có : Bảng biến thiên : - x + - y’ + - + y - Vậy Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số khoảng ( 0 ; ) Giải : Xét hàm số khoảng ( 0 ; 1) Ta có : Giới hạn : Bảng biến thiên : skkn x g'(x) - -1+ + - g(x) + + 3+2 Vậy Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : Ta thấy : Đối với hàm số ta tính đao hàm hàm số lượng giác lập bảng biến thiên khó khăn, nên ta kết hợp với việc đặt ẩn phụ để đưa ví dụ Giải : Đặt t = cosx, Hàm số trở thành : với Ta có : Bảng biến thiên : x y’ -2 -1 + 0 1 + - y Vậy max y = đạt t = y = đạt t = - Chú ý : Việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số có nhiều ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có tham số, xuất nhiều đề thi đại học năm gần đây, đề thi đại học khối B năm 2004 sau : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : Giải: Đặt t= Phương trình trở thành : m( t + 2) = – t2 – t , với t skkn Xét hàm số : Bảng biến thiên : x f'(x) + - f(x) -1 Khi đó : Phương trình có nghiệm Như vậy, tốn cơng việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tâp D không khó khăn nhiều với học sinh Học sinh vượt qua mức độ tư kỹ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức có ẩn Hoc sinh gặp tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức có nhiều ẩn học sinh phải làm nào ? Bài tốn 2 : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức có nhiều ẩn: Đây tốn khó đề thi đại học,cao đẳng năm gần đề thi học sinh giỏi cấp Bài tốn có nhiều phương pháp giải quyết, nêu sử dụng phương pháp chiều biến thiên ( sử dụng đạo hàm ) học sinh phải làm được :  Bước 1: Biến đổi, đánh giá ( sử dụng bất dẳng thức ) để đưa biểu thức có nhiều ẩn biểu thức có ẩn  Bước 2: Tìm điều kiện đầy đủ ẩn số  Bước 3: Quay lại toán ( xét hàm số tập ) Ví dụ 6: Cho hai số x, y thỏa mãn : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Ta thấy : Biểu thức P có hai ẩn x, y ta phải biến đổi P chứa ẩn xy sau : skkn Vấn đề ta phải tìm điều kiện xy nào ?   Ta có : Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Ta có : Bảng biến thiên: t - + f'(t) F(t) Vậy đạt đạt Chú ý : Khi gặp tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhât biểu thức P có nhiều ẩn mà sử dụng đạo hàm học sinh thương gặp khó khăn :  Biến đổi, đánh giá biểu thức P có nhiều ẩn biểu thức có ẩn  Tìm điều kiện đầy đủ ẩn.( Học sinh hay mắc sai lầm khó khăn cơng việc này)  Xét dấu đạo hàm Ví dụ 7 : Cho x>0, y>0, z>0 x+y+x Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= Giải : Ta có skkn Đặt Xét hàm số: f(t) = với f'(t) = với Bảng biến thiên : t f’(t) - f(t) Vậy đạt Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Với x, y khác Giải: Đặt : Khi đó : Biểu thức P trở thành : Xét hàm số : Ta có: Suy f’(t) đồng biến Khi đó : suy f(t) đồng biến skkn suy f(t) nghịch biến Bảng biến thiên : => f(x) = -2 Vậy P = -2 với t = -2 x f’(x) + f(x) -2 - + + + -2 đạt Chú ý : Bài tốn có khó khăn xét dấu f’(x) Việc tìm điều kiện ẩn khơng khó khăn với x, y Trong ví dụ 6, 7, học sinh dự đốn kết toán giá trị lớn giá trị nhỏ đạt ẩn bẳng Với tốn đơi ta sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ví dụ 7 : Ta có T Nhưng với tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đạt ẩn nhận giá trị khác phương pháp đạo hàm hiệu Ta mở rộng tốn thay đổi điều kiện x, y sau : Cho x, y thỏa mãn : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất : P= Giải : Đặt t= Với Xét hàm số : , f(u) = u + f’(u) = - với