Skkn phát triển tư duy của học sinh qua khai thác bài toán hình học cơ bản trong sách giáo khoa toán lớp 9

1 MỤC LỤC Nội dung Phần một: Đặt vấn đề Trang 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Thời gian nghiên cứu Phần hai: Giải vấn đề Chương I: Cơ sở khoa học Phương pháp dạy học Bài tập hình học Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên Chương II: Cơ sở thực tiễn giải pháp thực Tình hình học tập mơn hình học trường THCS Ngun nhân Khai thác toán từ toán Đề xuất số tập 22 Kết học kimh nghiệm 23 Phần: Kết luận 25 skkn PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài: Mơn Tốn, mợt những môn khoa học bản mang tính trừu tượng, có ứng dụng rất rộng rãi và gần gũi mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng Hơn nữa, trường trung học sở Toán mơn khoa học có vị trí quan trọng hệ thống giáo dục đào tạo góp phần trang bị cho hệ trẻ - đội ngũ người lao động tương lai kiến thức tốn học phổ thơng bản, làm sở cho việc tiếp thu kiến thức khoa học công nghệ đại tiên tiến giới Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy Tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học để từ tìm phương pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh chương, phần Đó cơng việc cần phải làm thường xuyên Đối với học sinh THCS, mơn hình học phân mơn mang tính trừu tượng lạ Hầu hết với học sinh đại trà, em nắm kiến thức hình học sở rời rạc, chưa đủ khả khái qt hố kiến thức học em chưa định hình kiến thức mơn Hơn học mơn hình học địi hỏi khơng nắm kiến thức sau học cụ thể, vận dụng lý thuyết vào tập mà địi hỏi ghi nhớ kiến thức trước cách hệ thống, liên tục đặc biệt tư logic Vì việc vận dụng lý thuyết vào tập gặp nhiều khó khăn Để giải tốn hình phải dựa phương diện lý luận sử dụng trực quan hình vẽ Nghĩa với trường hợp toán cho ta kết luận nhận xét riêng có trường hợp đặc biệt học sinh thường hay ngộ nhận Đặc biệt hình vẽ suy biến kẻ thêm đường phụ trở thành tốn khác hẳn khó khăn việc tìm tịi giải tốn Có lí thường gặp học sinh giải xong tốn coi hồn thành nhiệm vụ mà em tư khai thác tốn, nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác để phát triển thành tốn khác Việc hình thành cho học sinh thói quen tìm hiểu, khai thác phát triển từ toán quen thuộc qua số thao tác thay đổi vài yếu tố đưa thành tốn nhằm phát triển tư hình học học sinh Vấn đề đặt là làm thế nào có thể giúp cho học sinh nắm kiến thức bản, biết cách khai thác kiến thức học, phát triển tìm tịi kiến thức để em chủ động, sáng tạo, hứng thú việc học tập Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân lại được nhà trường nhiều năm skkn giao trách nhiệm dạy Tốn lớp 9, tơi cũng rất trăn trở về vấn đề này Với mong muốn góp phần nhỏ bé vào việc đổi phương pháp dạy học nói chung dạy mơn tốn nói riêng, nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn học Tơi mạnh dạn tiến hành nghiên cứu đề tài: " Phát triển tư học sinh qua khai thác toán hình học sách giáo khoa Tốn lớp " Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu thực trạng dạy học tốn hình học lớp Trên sở kết nghiên cứu đạt được, tơi tìm cách khai thác, phát triển số tập hình sách giáo khoa Tốn lớp trước hết nhằm củng cố kiến thức cho học sinh, giúp cho học sinh có kĩ để giải tốn hình học Sau thơng qua khai thác toán giúp học sinh biết nghiên cứu sâu tốn cách tìm mối qua hệ yếu tố toán, thay đổi vài yếu tố từ toán ban đầu, từ phát triển thành tốn lên mức độ cao hơn; cho em tập dượt dùng số thao tác tư duy: Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hóa… để qua rèn lực tư cho học sinh Đối tượng, phương pháp nghiên cứu đối tượng khảo sát: Đối tượng nghiên cứu: Bài tập sách giáo khoa Toán lớp 9, sách tập sách nâng cao Đối tượng khảo sát: Đối tượng khảo sát học sinh lớp 9A2, 9A5 với mức độ tư mức trung bình Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, tương tự, đặc biệt hóa - Phương pháp kiểm tra, đánh giá Giới hạn phạm vi nghiên cứu: Giới hạn phạm vi Sáng kiến kinh nghiệm sâu nghiên cứu, khai thác số tập hình sách giáo khoa Toán lớp Thời gian nghiên cứu: skkn PHẦN HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: CƠ SỞ KHOA HỌC Phương pháp dạy học Phương pháp dạy học cách thức hình thức hoạt động giáo viên học sinh điều kiện dạy học xác định nhằm mục đích dạy học, thơng qua giáo viên học sinh lĩnh hội thực tự nhiên xã hội xung quanh điều kiện học tập cụ thể Quy luật trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng, có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo chủ thể Quá trình giáo dục trình nhận biết - thuyết phục - vận dụng để tiếp thu kiến thức từ chưa biết, chưa biết sâu sắc đến biết, biết sâu sắc vận dụng vào thực tiễn Trong cách mạng giáo dục, quan trọng đổi phương pháp Đổi phương pháp dạy học nói chung phải phát huy tính tích cực dạy học, tích cực hố hoạt động người học Người giáo viên, từ vị trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trị tự tìm lấy kiến thức, cịn học trị từ vị trí thụ động tiếp thu kiến thức phải trở thành người chủ động tìm hiểu kiến thức, tự học, tự nghiên cứu, trau dồi kiến thức Vì vậy, người giáo viên phải đề cao việc rèn tư động sáng tạo, phát huy lòng say mê ham thích học tập học sinh Dạy học theo phương pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều q trình chiếm lĩnh tri thức tốn học Dạy học tốn thơng qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy, quan điểm cho dạy toán phải dạy cách suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá … để học sinh tự tìm tịi, tự phát hiện, dự đốn kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh định lý Vì vậy, giảng dạy tốn hình học, tơi ln hướng dẫn học sinh tìm tịi, khai thác phát triển từ tập bản, chí tập sách giáo khoa, thành toán nhằm phát huy lực tư sáng tạo đồng thời kích thích niềm say mê học tập cho học sinh Bài tập hình học skkn Như biết, xuất hiện, hình học khoa học đo đạc qua số đối tượng, vật cụ thể thực tiễn khái quát thành khái niệm trừu tượng Với ba khái niệm khơng định nghĩa: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng Hình học trở thành môn khoa học suy diễn, tức môn khoa học mà kết luận đắn chứng minh lập luận chặt chẽ không cách qua thực nghiệm mơn khoa học thực nghiệm khác Mơn hình học thân mang tính lập luận, tính trừu tượng cao Để học sinh tiếp thu được, hiểu nhiều phải dùng trực quan thơng qua mơ hình, hình vẽ, vật cụ thể từ học sinh nắm bắt hiểu chất vấn đề Từ trực quan đến tư trừu tượng, từ tư trừu tượng đến thực tiễn Quá trình tư người tuân theo quy luật Do vậy, dạy học mơn Tốn cho học sinh, đặc biệt hình học, truyền thụ kiến thức cho em mà quan trọng dạy tư Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên có xu hướng vươn lên làm người lớn, muốn tự tìm hiểu, khám phá trình nhận thức Hình thành phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học tốn cho học sinh q trình lâu dài, thông qua tiết học, thông qua nhiều năm học, thơng qua tất khâu q trình dạy học nội khoá ngoại khoá Dựa vào đặc điểm trên, tiết học, thường động viên, khích lệ em phát huy tính tích cực chủ động tư sáng tạo việc làm tập, đặc biệt tập hình CHƯƠNG II: CƠ SỞ THỰC TIỄN VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Tình hình học mơn hình trường trung học sở Trong q trình giảng dạy mơn tốn bậc THCS, với nhiều năm nghề tơi thấy tình trạng chung học sinh khơng thích chí sợ mơn hình Vì lí khó hiểu, q trừu tượng, lúng túng q trình tìm tịi lời giải tốn, phương hướng khơng biết để chứng minh tốn đâu, làm Khi giảng dạy mơn hình tiết học người thầy khơng thường xun tạo thói quen, rèn thói quen cho học dùng phương pháp phân tích lên để tìm lời giải tốn học sinh học sinh khó tiếp thu, khơng tự giải tốn hình Ngun nhân: skkn Trong trường THCS nay, tình hình phổ biến đại đa số học sinh khơng thích học mơn hình học Điều theo tơi nghĩ nhiều nguyên nhân, có số nguyên nhân sau: - Học sinh chưa nắm khái niệm - Học sinh thường không học lí thuyết, học thuộc định lí tính chất mà khơng hiểu rõ chất vấn đề - Học sinh ngại vẽ hình, chí khơng bết vẽ hình vẽ hình khơng xác - Sách giáo khoa biên soạn theo hệ thống kiến thức đường thẳng, không tổng hợp loại, dạng làm cho học sinh khó nắm bắt cách giải toán - Trong sách giáo khoa toán mẫu thường ít, hướng dẫn gợi ý chưa thật đầy đủ nên khó tiếp thu nghiên cứu Ngồi ngun nhân trên, theo tơi cịn người giáo viên chưa chuẩn bị cách chu đáo luyện tập, thơng qua củng cố kiến thức cho học sinh, rèn kĩ vận dụng kiến thức vào tập, kĩ trình bày, rèn tính sáng tạo, phát triển tư tốn học cho học sinh Thời điểm Lớp Khi chưa áp dụng SKKN (2019-2020) 9A2 Kết Giỏi (%) Khá (%) T.bình (%) Yếu (%) 23% 30% 28% 19% Như muốn có luyện tập tốt, theo tơi phải lưu ý vấn đề sau: - Chọn hệ thống tập cho luyện tập; - Phải xếp hệ thống câu hỏi từ dễ đến khó (có gợi mở); - Phải tổ chức tốt thể vai trò chủ đạo người thầy; - Sau cần tập dượt cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải (nếu có) Để làm điều đó, việc khai thác tốn hình theo nhiều khía cạnh khác vơ cần thiết Tôi xin đề cập đến vấn đề: " Phát triển tư học sinh qua khai thác tốn hình học sách giáo khoa Toán lớp " Khai thác toán từ tốn Nội dung viết tơi số tốn đơn giản chương trình lớp bậc THCS phát triển rộng mức độ tương đương, phức tạp cao phù hợp với tư lơgíc em để tạo cho em niềm say mê học tập mơn tốn đặc biệt mơn hình học Bài tốn 1: Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Gọi Ax, By tia vng skkn góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: = 900, CD = AC + BD Tích AC.BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn (Bài tập 30 - trang 116 SGK Toán - Tập NXB GD năm 2006) Giải: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm C, ta có: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến xuất phát từ điểm D, ta có: Do đó: 2 Hay = 900 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM DB = DM Nên CD = CM + MD = CA + DB Theo câu 1, = 900, hay tam giác COD vuông O Mặt khác: (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng COD, ta có: khơng đổi * Đối với học sinh trung bình ta khai thác toán câu hỏi sau: Chứng minh COD AMB đồng dạng với ? Gợi ý: Ta có: COD AMB (g.g) * Khi COD AMB ta nghĩ đến tỉ số diện tích tam giác nên có thêm câu hỏi: Tính tỉ số AC = ? Gợi ý: Theo cách chứng minh câu 3, ta có OM2 = MC MD hay MC MD = R2 mà MC = AC = = R2: Từ suy ra: MD = => CD = CM + DM = Theo COD  AMB => = skkn : 2R = = 2R + 2R = = k (k tỷ số đồng dạng) Vì tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng, nên ta có: = k2 => = Gọi K giao điểm AD BC chứng minh MK Gợi ý: Ta có AC//BD (gt) Áp dụng hệ định lý Thalets vào tam giác AKC, ta có: AB (1) AC, CM tiếp tuyến nửa (O) nên: CM = CA (2) tương tự ta có DB = DM (3) Từ (1), (2), (3) ta có: (Theo định lý Thalets đảo) Sau chứng minh , chứng minh CD.KM = CM.BD Gợi ý: hay MK // AC, dễ thấy CKM  CBD suy CD.KM = CM.BD Giả sử MK AB H, so sánh MK KH ? Gợi ý: Gọi I giao điểm BM Ax Ta có: CA = CM = = CI = CM = CA Do MH // IA, áp dụng định lý Thales ta có: = = mà CI = CA MK = KH * Từ giả thiết toán nghĩ đến tứ giác nội tiếp có thêm câu hỏi sau Chứng minh tứ giác CMOA; DMOB nội tiếp đường tròn 10 Cho OC cắt AM E OD cắt BM F Hãy xác định tâm đường tròn qua điểm O; E; M; F Gợi ý: Chứng minh tứ giác OEOF hình chữ nhật nên tâm đường trịn qua điểm O;E;M;F giao điểm OM EF * Từ kết chứng minh câu 10, ta khai thác thêm câu hỏi quỹ tích dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi sau: skkn 11 a Gọi P tâm đường tròn qua điểm O; E; M; F Hãy tìm quỹ tích điểm P, M chạy nủa đường trịn tâm O, đường kính AB Gợi ý: Từ kết câu 10, ta có: PO = PO = OM = Do điểm O cố định, khơng đổi nên quỹ tích P nửa đường trịn đồng tâm với (O) có bán kính nửa bán kính (O) 11 b Gọi N trung điểm CD Tìm quỹ tích điểm N M di chuyển nửa đường tròn tâm O, đường kính AB (M khơng trùng với A B) Gợi ý: Vì ON đường trung bình hình thang ACDB nên ON // Ax // By Do N thuộc tia Ot song song cách hai tia Ax By Gọi M’ giao điểm tia Ot nửa đường trịn Nếu Do quỹ tích điểm N tia M’t * Từ toán gốc liên tưởng đến tốn cực trị khơng? Đối với ta khai thác câu hỏi 12 a Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất? Gợi ý: Chu vi tứ giác ACDB = AB +AC + CD + DB Mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Do AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ CD nhỏ CD Ax CD By, CD // AB Suy M điểm cung AB 12b Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất? Gợi ý: Tứ giác ACDB hình thang, có diện tích là: S = S nhỏ (AC + BD).AB (AC + BD ) nhỏ nhất: Mà AC + BD = CD (câu 2) skkn 10 Vậy CD nhỏ CD // AB Khi M điểm cung AB * Cũng khai thác tốn gốc theo hướng khó hơn: 13 a Biết Tính diện tích theo R Gợi ý: DM = DB DMB cân Do nên Gọi F giao điểm OD với MB DF = MB DF = ; BM.DF = MAB vuông có AM = R; AB = 2R nên MB2 = AB2 – AM2 = 4R2 – R2 = 3R2 MB = R = = (đvdt) * Nếu gọi r bán kính đường trịn nội tiếp cao sau: 13 b Chứng minh < COD ta có câu hỏi nâng < Gợi ý: Để chứng minh câu hỏi này, ta áp dụng bổ đề sau “Trong tam giác vng cạnh huyền a, cạnh góc vng b c, đường cao h, bán kính đường trịn nội tiếp r ah = r (a+b+c) = 2S” Khi áp dụng vào tam giác COD vng O, ta có CD.OM = r (OC + OD + CD) CD R = r (OC + OD + CD) = Mà OC + OD > CD (quan hệ ba cạnh trong tam giác) nên = < = Mặt khác: OC + OD + CD < 3CD Do đó: < = > = < *Khơng dừng lại mà tốn cịn mở rộng theo góc nhìn khác, chẳng hạn ta thấy ; nên điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính AO; F thuộc nửa đường trịn đường kính OB Từ ta có tốn sau: Bài tập 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung với Tiếp tuyến chung A cắt BC M Gọi E giao điểm OM AB; F giao điểm O’M AC Chứng minh: skkn 13 - Nếu H thuộc đoạn BC, theo (*) ta có: - Nếu H thuộc tia đối CB (H vị trí H’ hình vẽ) Khi BC = BH’ – H’C *Qua chứng minh câu Nếu ý tí, có thêm câu hỏi: Chứng minh với H thuộc đoạn BC Thật vậy, từ hệ thức ta có: 10 Gọi N giao điểm IB KC, dễ thấy tứ giác ABNC hình chữ nhật Vậy liệu điểm N, M, A có thẳng hàng khơng? Gợi ý: skkn 14 Vì cân O Tứ giác ABNC hình chữ nhật, suy ra: nên A Mà Suy N, M, A thẳng hàng A * Từ tứ giác ABNC hình chữ, ta có đường trịn đường kinh IK, ta có câu hỏi sau: 11 Chứng minh rằng: AN2 = IA.AK , nên N thuộc nửa * Nếu từ A kẻ AH BC Có thể chứng minh AH, O’B, OC đồng quy trung điểm AH khơng? Từ ta có thêm câu hỏi 12 Từ A kẻ AH BC Chứng minh AH, O’B, OC đồng quy D D trung điểm AH? Gợi ý: Gọi D giao điểm OC AH Ta có OB//O’C//AH (cùng vng góc với BC) - Theo định lý Thales ta có: Tương tự: Vậy DA = DH Suy OC qua D Tương tự O’B qua D Nên đường thẳng OC, O’B, AH đồng quy D 13 Khi tính tỉ số diện tích tứ giác BCO’O tam giác NIK ? skkn 15 Gợi ý: Vậy * Vẫn không ngừng khai thác, sử dụng kiến thức độ dài đường tròn, diện tích hình trịn, ta phát triển tiếp để có tốn hấp dẫn như: 14 a Hãy chứng minh độ dài nửa đường tròn đường kính IK tổng độ dài hai nửa đường đường kính IA nửa đường đường kính AK Gợi ý: Áp dụng công thức C= d (d độ dài đường kính ) IA + AK = IK, ta có: Từ IA + AK = IK, nhân hai vế với , ta có: Suy điều phải chứng minh 14 b Vậy tính diện tích phần giới hạn ba nửa đường trịn khơng? Gợi ý: Gọi bán kính đường trịn đường kính IK R’, ta có: Diện tích nửa hình trịn đường kính IK là: S1 = O Diện tích nửa hình trịn đường kính IA là: S2 = Diện tích nửa hình trịn đường kính AK là: S3 = skkn A 16 Diện tích phần giới hạn là: S = S1- S2- S3 = -( + ) * Từ câu hỏi 11 câu hỏi 14 b, ta nâng cao nữa: 14 c.Chứng minh diện tích phần giới hạn với A IK diện tích hình trịn đường kính AN Gợi ý: Diện tích phần giới hạn là: Vậy diện tích phần giới hạn diện tích hình trịn đường kính AN Bài tập 3: Các đường cao hạ từ đỉnh A B tam giác ABC cắt H (góc C khác 900) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D E Chứng minh rằng: CD = CE BHD CD = CH ( Bài tập 95 – trang 105 SGK Toán tập 2) * Hướng dẫn cách giải: Gọi M, N thứ tự giao điểm AD với BC BE với AC Ta có (cùng phụ với ) CE = CD Vì suy BM phân giác vừa đường cao nên BHD cân B Vì BHD cân B, nên BM đường trung trực HD => CH = CD * Đối với học sinh trung bình ta khai thác tốn câu hỏi sau 4.Chứng minh tứ giác AQHN; ACMQ tứ giác nội tiếp Chứng minh hai tam giác ANQ ABC đồng dạng (hay chứng minh AQ.AB =AN.AC) * Đối với học sinh hơn, ta khai thác tốn cách phân tích kết chứng minh từ toán gốc skkn 17 Nhận xét 1: Gọi giao CH với AB Q, với đường tròn (O) F Từ câu ta có CE = CD, nên hai cung CD cung CE nhau, suy hay FC phân giác góc Tương tự DA phân giác góc , EB phân giác góc * Ta khai thác câu hỏi sau: Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp Nhận xét 2: Từ câu câu ta dễ dàng chứng minh được: ABF = AHB; BDC= BHC; AEC = AHC Với nhận xét hai tam giác bán kính đường trịn ngoại tiếp FDE * Ta khai thác câu hỏi sau: Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác AHC có bán kính Nhận xét 3: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Từ câu ta có CE = CD, nên OC đường trung trực DE Từ câu suy M trung điểm HD; tương tự ta có N trung điểm HE; nên đường trung bình HDE =>MN//DE * Ta khai thác câu hỏi sau: Chứng minh OC MN Nhận xét 4: Từ kết chứng minh câu hỏi Có: +) Tứ giác AQHN nội tiếp, nên (hai góc nội tiếp chắn cung QH), +) Tương tự tứ giác CMHN nội tiếp ; tứ giác ACMQ nội tiếp => NH phân giác góc * Ta khai thác câu hỏi sau: Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp skkn QMN AHB; BHC; 18 * Cũng bổ sung thêm yếu tố cho toán gốc để khai thác toánsâu 10 Vẽ đường kính AP, gọi K trung điểm BC Chứng minh K, H, P thẳng hàng Gợi ý : AP đường kính , mà BH AC, nên BH//PC +) Tương tự có CH//BP Vậy tứ giác CHBP hình bình hành, hai đường chéo BC HP cát trung điểm K BC, suy K, H, P thẳng hàng 11 Nối AK, cắt OH G Chứng minh G trọng tâm Gợi ý : Nối OK , mà AH BC, nên AH//OK (so le trong); mà (đối đỉnh) Vậy GAH ABC GKO đồng dạng (1) Mà OK đường trung bình APH (2) Từ (1) (2) hay G trọng tâm ABC * Từ kết câu 11 Ta thấy AH = 2OK, BC cố định, điểm A di chuyển cung BC lớn độ dài AH khơng đổi, Vậy ta có thêm câu hỏi sau: 12 Khi BC cố định, chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác QHN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A Gợi ý : +) Từ kết câu 11 Ta thấy AH = 2OK +) Tứ giác AQHN nội tiếp đường trịn đường kính AH, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác QHN OK (khơng đổi) nên khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A 13 Gọi I trung điểm QN Chứng minh KI // OA skkn 19 Gợi ý : +) Chứng minh tương tự câu Ta có OA QN (1) +) Chứng minh tứ giác BCNQ nội tiếp đường tròn đường kính BC => KI QN (quan hệ đường kính dây cung) (2) Từ (1) (2) tao có KI//OA * Đối với học sinh giỏi, ta khai thác toán cách cho thêm yếu tố động địi hỏi em phải có tư linh hoạt 14 Khi BC cố định, điểm A di chuyển cung lớn BC điểm H di chuyển đường nào? Gợi ý : Trong đường trịn (O) Khi BC cố định nên khơng đổi, suy khơng đổi Giả sử Vậy điểm H ln nhìn đoạn BC cố định góc khơng đổi nên H nằm cung chứa góc dựng đoạn BC 15 Khi BC cố định, điểm A di chuyển cung lớn BC, tìm vị trí A để chu vi ABC lớn nhất? Gợi ý : +) Trên tia đối tia AB lấy điểm T, cho AT=AC => AB+AC = BT Chu vi ABC lớn AB+AC lớn  BT lớn +) Vì AT=AC => ACT cân A Khi BC cố định khơng đổi, suy khơng đổi Giả sử Vậy T nằm cung chứa góc (có tâm O1) dựng đoạn BC Vậy BT lớn  BT đường kính đường trịn (O1)  A điểm cung BC 16 Tìm điều kiện ABC để QN tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp QHM NHM? skkn 20 Gợi ý : Gọi (O1) đường tròn ngoại tiếp NHM +) QN tiếp tuyến (O1) (góc tạo tiếp tuyến với dây góc nội tiếp chắn cung NH) +) Tứ giác BCNQ nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn cung QB) Vậy => CQ phân giác góc C, mà CQ đường cao, ABC cân C +) Tương tự ABC cân B Vậy ABC tam giác 17 Khi BC cố định, điểm A di chuyển cung lớn BC Chứng minh đường trịn ngoại tiếp MNQ ln qua điểm cố định Gợi ý : Chứng minh: Vì Vậy tứ giác QMKN nội tiếp (do đỉnh N đỉnh K nhìn cạnh QM góc nhau) => Đường trịn ngoại tiếp QMN ln qua điểm K cố định 18 Khi BC cố định, điểm A di chuyển cung lớn BC Tìm vị trí điểm A để chu vi MNQ đạt giá trị lớn Gợi ý: Chứng minh 2SABC = R(MN+QM+QN) +) Vì R(MN + QM + QN) = 2SABC , mà R không đổi nên (MN + QM + QN) đạt gía trị lớn SABC lớn +) Ta có SABC = AM.BC BC khơng đổi nên SABC lớn AM lớn nhất, mà AM lớn A điểm cung lớn BC Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R), dây CD cố định Từ điểm M thuộc tia đối tia CD kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) , A, B tiếp điểm Gọi I trung điểm CD, nối BI cắt đường tròn E Nối OM cắt AB H Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn Chứng minh AE//CD Chứng minh OH.OM = R2; OH HM = HA2 skkn 21 Chứng minh MA2 = MC.MD Hướng dẫn cách giải: Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I thuộc đường tròn Gợi ý: Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I thuộc đường trịn đường kính MO M Chứng minh AE//CD Gợi ý: Chứng minh A E I C D H O Chứng minh OH.OM = R2; B OH HM = HA2 Gợi ý: Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông MAO Chứng minh MA2 = MC.MD Gợi ý: Chứng minh MAC  MDA (g.g) => MA2 = MC.MD * Từ kết câu câu 4, ta có câu hỏi sau: Chứng minh OH OM + MC MD = MO2 MC MD – HO HM = MH2 Gợi ý: Từ kết câu câu 4,và áp dụng định lý Pitago, ta có: OH OM + MC MD = OA2 + MA2= MO2 MC MD – HO HM =MA2 - AH2= MH2 Nhận xét 1: Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng MAO, ta có MA = MH MO Mặt khác theo câu 4: MA2 = MC.MD, MC MD = MH MO từ chứng minh được: MHC  MDO (c g.c) nên tứ giác CDOH tứ giác nội tiếp đường tròn Ta đề xuất câu hỏi sau: Chứng minh tứ giác CDOH tứ giác nội tiếp hoặc: Chứng minh, cát tuyến MCD thay đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác HCD ln qua điểm cố định Nhận xét 2: A Vì MHC  MDO (cmt) I D C (1) M H skkn O B 22 Tứ giác CDOH nội tiếp, nên Xét (O) có: Vậy hay (2) Từ (1) (2) Từ chứng minh: *Ta đề xuất câu hỏi sau: Chứng minh HA phân giác góc CHD hoặc: Chứng minh HA HM hai tia phân giác góc góc ngịai tam giác CHD F Nhận xét 3: Kéo dài OI, cắt dường thẳng AB F Ta chứng minh cặp tam giác đồng dạng: A OHF  OIM (g.g) D I OIH  OMF (c.g.c) C M *Ta đề xuất câu hỏi sau: Chứng minh: OI OF = OH OM H O 10 Chứng minh tứ giác FIHM nội tiếp B Nhận xét 4: Vì tứ giác MAIB nội tiếp nên dễ dàng chứng minh , IM phân giác AIB, mà nên IM IF hai tia phân giác góc góc ngồi AIB, kết hợp tính chất tia phân giác tam giác, ta đề xuất câu hỏi: 11 Chứng minh Nhận xét 5: Khai thác câu 9, ta có: OI OF = OH OM, mà OH OM = R2 nên: OI OF = R2 Khi điểm M di chuyển tia đối tia CD OI khơng đổi, mà OF khơng đổi, chứng minh F điểm cố định *Ta đề xuất câu hỏi sau: skkn nên 23 12 Chứng minh điểm M di chuyển tia đối tia CD AB ln qua điểm cố định Nhận xét 6: Từ nhận xét 2, ta có nên F tứ giác FOHC nội tiếp Tương tự: , nên tứ giác FHOD nội tiếp Do năm điểm F, C, O, H, D thuộc đường trịn đường kính FO góc A M C N I D *Ta đề xuất câu hỏi sau: H O 13 Chứng minh năm điểm F, C, O, H, D thuộc đường tròn 14 Chứng minh FC, FD tiếp tuyến B đường tròn (O) * Như vậy, sau giải xong toán gốc, nên tiếp tục suy nghĩ, khai thác triệt để yếu tố từ hình vẽ thay đổi, thêm bớt yếu tố, từ đặt câu hỏi, tốn việc dạy học đạt hiệu cao Đề xuất số tập vận dụng: Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán tập 1) Cho đường trịn (O) đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK Bài tốn 2: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua C O) (O’) Dây chung MN (O) vng góc với AB trung điểm P AB MC kéo dài cắt (O’) Q a Chứng minh ba điểm B, Q, N thẳng hàng b Chứng minh PQ tia tiếp tuyến (O’) Kết học kinh nghiệm 5.1 Kết quả: Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: : " Phát triển tư học sinh qua khai thác tốn hình học sách giáo khoa Toán lớp " vào giảng dạy, đặc biệt vào tiết Luyện tập tiết Ôn tập chương nhà trường, số năm gần thu kết đáng khích lệ Thực tế khảo sát kiểm tra nội dung kiến thức phần cho thấy học skkn 24 sinh nắm cách sâu hơn, kĩ làm tốt Kết cụ thể sau: Bảng tổng hợp kết kiểm tra Tốn phần Hình học : Thời điểm Lớp Khi chưa áp dụng SKKN (2019-2020) 9A2 Sau áp dụng SKKN (2021-2022) 9A5 Kết Giỏi (%) Khá (%) T.bình (%) Yếu (%) 23% 30% 28% 19% 40% 40% 15% 5% 5.2 Bài học kinh nghiệm Qua việc thực hiện chuyên đề vào việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Bản thân đã rút được một số bài học kinh nghiệm sau: Để đạt kết cao công tác giảng dạy Học sinh là nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, là nhân tố giữ vai trò quyết định sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng Vì chính các em mới là người học, là người thi Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn Một sự quyết tâm cao học tập vượt lên khả của bản thân mình Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có quyết tâm lớn công việc học tập của mình Đặc biệt là với những học sinh tham gia thi học sinh giỏi bộ môn Toán, là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi mơn này Cũng chính vì lí đó, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán càng trở nên khó khăn nhiều Vì địi hỏi người giáo viên phải tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với đối tượng gây hứng thú lòng say mê học tập cho học sinh Muốn có tố chất cần thiết người thầy, người giáo viên dạy tốn phải khơng ngừng rèn luyện đáp ứng yêu cầu sau: Một là, người giáo viên dạy tốn phải có lịng u nghề, niềm say mê cơng việc, tình cảm u thương q mến học sinh, phải khơng ngừng học tập nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm để truyền đạt đến học sinh skkn 25 phương pháp học tập môn cách đơn giản nhất, truyền cho em tình cảm u thích mơn học niềm say mê học tập Hai là, kiến thức của người thầy phải vững vàng, người thầy thực sự phải là người giỏi toán, phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán bậc học của mình, nắm vững những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả Ba là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, cụ thể Bồi dưỡng kịp thời kiến thức cho học sinh, kích thích được niềm say mê hứng thú mơn tốn, phát huy tố chất tố học sinh, từ em tự giác học tập công việc học tập của các em đạt được kết cao PHẦN BA: KẾT LUẬN skkn 26 Trên là một số kinh nghiệm " Phát triển tư học sinh qua khai thác tốn hình học sách giáo khoa Toán lớp " Trong năm làm công tác giảng dạy môn Tốn lớp 9, tơi ln trăn trở, suy nghĩ tìm phương pháp giảng dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh cùa nhà trường Để giúp học sinh làm tốt tập hình học , tơi xin có số khuyến nghị sau đây: Khuyến nghị: - Đối với cấp lãnh đạo: + Tăng cường chuyên đề, lớp tập huấn công tác chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên để nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho giáo viên + Nâng cao chất lượng sinh hoạt chuyên môn nghiệp vụ, đặc biệt nâng cao chất lượng sinh hoạt nhóm chun mơn trao đổi vấn đề liên quan đến giải nội dung khó + Phổ biến nhân rộng sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt nghành giáo viên học tập - Đối với giáo viên: + Thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ + Tăng cường dự đồng nghiệp, dự chuyên đề nhà trường quận, thành phố để học tập Trên số kinh nghiệm khai thác tập hình học mà tơi đúc kết q trình giảng dạy mơn Tốn lớp Ngoài những phương pháp nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tơi khơng tránh khỏi những thiếu xót Chính vì vậy, rất mong có sự đóng góp, bổ sung của các cấp lãnh đạo đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết, không chép Xin trân trọng cảm ơn! Tài liệu tham khảo: skkn 27 Sách giáo khoa Toán Tập 1; tập - Nhiều tác giả NXB Giáo dục Sách tập Toán Tập 1; tập - Nhiều tác giả NXB Giáo dục Một số vấn đề phát triển Đại số lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Sách bồi dưỡng thường xuyên chu kì III, 1, NXB Giáo dục Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn, NXB Giáo dục skkn ... 26 Trên là một số kinh nghiệm " Phát triển tư học sinh qua khai thác tốn hình học sách giáo khoa Toán lớp " Trong năm làm cơng tác giảng dạy mơn Tốn lớp 9, tơi ln trăn trở, suy nghĩ tìm phương... tác tư duy: Khái qt hố, đặc biệt hố, tư? ?ng tự hóa… để qua rèn lực tư cho học sinh Đối tư? ??ng, phương pháp nghiên cứu đối tư? ??ng khảo sát: Đối tư? ??ng nghiên cứu: Bài tập sách giáo khoa Toán lớp 9, sách. .. từ tập bản, chí tập sách giáo khoa, thành toán nhằm phát huy lực tư sáng tạo đồng thời kích thích niềm say mê học tập cho học sinh Bài tập hình học skkn Như biết, xuất hiện, hình học khoa học đo