Skkn phát triển tư duy học sinh qua việc khai thác các yếu tố hình học của một số hình tứ diện đặc biệt

Microsoft Word 318d ed62 0b65 7b5b SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ ******************* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ ******************* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ HÌNH TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT Lĩnh vực: Toán học HÀ DUY NGHĨA A B D A' C B' D' C' H2 H1 H3 P Đăk Lăk, tháng năm 2020 skkn MỤC LỤC Phần mở đầu 1.1 Lý chon đề tài 1.2 Mục tiêu nhiệm vụ đề tài 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Giới hạn đề tài 1.5 Phương pháp nghiên cứu 2 Phần nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Nội dung hình thức giải pháp 2.3.1 Các khái niệm liên quan đến hình tứ diện 2.3.2 Bài tốn liên quan đến hình tứ diện vuông 2.3.3 Bài tốn liên quan đến hình tứ diện trực tâm 13 2.3.4 Bài tốn liên quan đến hình tứ diện gần 17 2.3.5 Bài tốn liên quan đến hình hộp ngoại tiếp hình tứ diện 20 2.3.6 Các toán hệ tọa độ Oxyz liên quan đến hình tứ diện đặc biệt 23 2.3.7 Bài tập luyện tập 29 Phần kết luận 31 3.1 Kết luận 31 3.2 Kiến nghị 31 Tài liệu tham khảo 32 skkn PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ năm học 2016-2017, kì thi THPT quốc gia mơn tốn thi hình thức trắc nghiệm, từ dần làm cho học sinh rời bỏ dần thói quen đào sâu khai thác vấn đề tốn học Đặc biệt mơn hình học điều thể rõ hơn, tốn trắc nghiệm khơng thể khai thác sâu yếu tố hình học mà vận dụng nhanh cơng thức có sẵn để làm tốn, từ dẫn đến việc dạy toán chuyển sang hướng thực dụng làm cho việc dạy học toán phần thú vị Nhằm giúp cho học sinh u thích mơn học, biết phân tích định hướng tìm tịi lời giải, biết khai thác, đào sâu, tìm mối liên hệ yếu tố hình học cách hiệu Trong trình giảng dạy tìm hiểu học hỏi tơi viết đề tài “PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ HÌNH TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT” 1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Giúp học sinh tiếp cận toán với cách tư linh hoạt, bao quát vấn đề, suy luận logic để tìm lời giải nhanh nhất, tránh kiểu tư rập khn, máy móc Hơn nữa, thơng qua việc phân tích bình luận lời giải tốn giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, thành thạo kĩ giải toán, đồng thời khắc phục sai lầm thường gặp q trình làm tốn Thơng qua tính chất đẹp đẽ hình tứ diện giúp cho em u thích mơn học hơn, ơn tập tham gia vào kì thi HSG tỉnh nhà tổ chức Đề tài tạo điều kiện cho giáo viên có trao đổi chun mơn, giao lưu học hỏi lẫn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các tốn hình học khơng gian đề thi HSG tỉnh, toán đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn liên quan đến hình tứ diện 1.4 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu Đề tài đề đề cập đến dạng tốn nâng cao liên quan đến hình tứ diện Ngoài phần mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, đề tài gồm mục chính, mục tác giả trình bày tốn theo bố cục nêu đề bài, phân tích tìm mối liên hệ tốn cần giải với tốn khác để tìm lời giải, lời giải trình bày theo hướng suy luận tự nhiên nhằm phát huy lực tư học sinh khơng áp đặt máy móc, mục cuối tập luyện tập nhằm giúp học sinh cố phát triển lực tự học skkn 1.5 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Phương pháp quan sát; phương pháp tổng kết kinh nghiệm; phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết skkn PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Trong chương trình THPT, mơn Tốn giữ vai trị quan trọng Mơn Tốn coi mơn học cơng cụ, cung cấp tri thức để người học học tập môn học khác Thông qua học tốn, người học hình thành, rèn luyện phát triển tư Thực tế, có nhiều người dùng trực tiếp kiến thức toán học vào thực tiễn sống, không phủ nhận rằng, người học tốn tốt thường có tư tốt Vì thế, người ta dùng kiểm tra tốn nhiều hình thức khác dùng thành tích học tập mơn Tốn thước đo nhiều kì thi Vì tham gia thi kì thi tốt, kì thi HSG tỉnh lớp 12 kì thi tương đối nhẹ mang tinh chất trao dồi kiến thức nên học sinh bị áp lực làm bài, từ em dễ phát huy lực sở trường 2.2 Thực trạng Học sinh hay gặp khó khăn ngại khó học tốn hình học không gian Học sinh dừng lại việc lĩnh hội kiến thức sách giáo khoa mà chưa vận dụng nó, chưa đào sâu kiến thức thường giải tập theo kiểu trắc nghiệm túy 2.3 Nội dung hình thức giải pháp 2.3.1 Các khái niêm liên quan đến hình tứ diện Trong phần tơi trình bày vắn tắt khái niệm liên quan đến hình tứ diện với chất để làm sở cho việc trình bày lời giải phần sau a) Khái niệm hình tứ diện +Hình chóp có đáy tam giác gọi hình tứ diện, hình tứ diện với miền gọi khối tứ diện +Trong hình tứ diện, mặt là tam giác, mặt có đỉnh đối diện; hình tứ diện có đỉnh cạnh, hai cặp cạnh gọi đối diện chúng khơng có điểm chung + Hình tứ diện có cạnh gọi tứ diện +Hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc gọi tứ diện vng đỉnh O +Tứ diện ABCD có cặp cạnh đối vng góc gọi tứ diện trực tâm + Tứ diện ABCD có cặp cạnh đối gọi tứ diện gần b) Trọng tâm tứ diện +Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD GA  GB  GC  GD  skkn +Trọng tứ diện, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng quy trung điểm cạnh trọng tâm tứ diện Trong tứ diện, đường thẳng nối từ đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện đồng quy trọng tâm tứ diện chia đoạn theo tỉ số (GA=3GG’, A đỉnh G’ trọng tâm tam giác đáy tứ diện) c) Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện + Mặt cầu gọi ngoại tiếp tứ diện qua đỉnh tứ diện + Mặt cầu gọi nội tiếp tứ diện tiếp xúc tất mặt tứ diện tâm mặt cầu nằm hình tứ diện + Mặt cầu gọi bàng tiếp tứ diện tiếp xúc tất mặt tứ diện tâm nằm ngồi hình tứ diện + Mặt cầu gọi nội tiếp khung tứ diện tiếp xúc cạnh tứ diện + Mặt cầu gọi bàng tiếp khung tứ diện tiếp xúc đường thẳng chứa cạnh tứ diện có tiếp điểm không thuộc cạnh tứ diện Trong tứ diện, gọi d trục đường tròn đáy ( đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đáy) tâm mặt cầu ngoại tiếp giao điểm trục tùy ý giao điểm trục mặt phẳng trung trực cạnh bên (nếu có cạnh bên OA d đồng phẳng dựng đường trung trực cạnh bên OA mp (d,OA) Tứ diện đều, có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp giao điểm đường cao trọng tâm tứ diện d) Tứ diện nội tiếp hình hộp +Nếu chọn đỉnh đỉnh hình hộp cho hai đỉnh khơng thuộc cạnh đỉnh tạo thành tứ diện gọi tứ diện nội tiếp hình hộp Chẳng hạn tứ diện BDAC  tứ diện nội tiếp hình hộp ABCD ABCD +Mỗi tứ diện tùy ý ln có hình hộp ngoại tiếp tứ diện + Hình hộp ngoại tiếp hình tứ diện gần hình hộp chữ nhật +Thể tích khối hộp gấp lần thể tích tứ diện nội tiếp skkn 2.3.2 Bài tốn liên quan đến hình tứ diện vng Phần chủ yếu khai thác toán định lượng liên quan nhiều đến hệ thức định lý Pythagore, bất đẳng thức hình học liên quan đến cạnh, góc tạo cạnh bên mặt đáy, diện tích mặt hình tứ diện tốn liên quan hay xuất kì thi HSG tỉnh lớp 12 Đa phần lời giải trình bày theo hướng thác triển đề toán Bài tập 2.1 Cho tứ diện vng O.ABC đỉnh O, có OA  a, OB  b, OC  c đường cao OH, Gọi S  S ABC , S1  S OAB , S  S OBC , S  S OCA Chứng minh: a) 1 1    , (2.1.1) 2 OH OA OB OC b) S  S12  S22  S32 ,(2.1.2) Phân tích lời giải a) Chứng minh 1 1    2 OH OA OB OC Đây đẳng thức quen thuộc trình bày dạng tập SGK lớp 11 khơng phần quan trọng việc khai thác yếu tố định lượng tứ diện vuộng, đồng thời việc chứng minh hình thành O cho học sinh nhiều yếu tố tư việc khai thác giải A H C thiết tốn Dù tốn cho H hình chiếu K O lên mặt phẳng (ABC) thực ẩn yếu tố vị B trí H, nên làm cho học sinh lúng túng cách khai thác toán, học sinh cần xác định vị trí hình chiếu H ? Từ học sinh dễ định vị H thông qua mp (OAH) vng góc BC Từ suy H trực tâm tam giác ABC Gọi K chân đường cao kẻ từ A tam giác ABC OK chân đường cao tam giác OBC kẻ từ O, áp dụng hệ định lý Pythagore ta có được: 1   , OK OB OC tiếp tục áp dụng hệ thức cho tam giác vuông AOK ta 1   2 OH OA OK skkn Từ suy 1 1    2 OH OA OB OC  b) Chứng minh S  S12  S22  S32 ,(2.1.2) với S  S ABC , S1  S OAB , S  S OBC , S  S OCA Đẳng thức (2.1.1) gợi ý cho học sinh suy nghĩ O việc áp dụng định lí Pythgore vào tốn, đẳng thức làm cho em lúng túng tiếp cận Có nhiều hướng chứng minh (2.1.2) tơi trình bày theo hướng thác triển của toán (2.1.1) cách tự nhiên Nhận thấy S OBC A  OA2 OB đó, quy đồng vế phải (1) ta OA2OB  OB 2OC  OA2OC  H C K B OA2OB 2OC OH 4OA2OB 2OC vấn đề lại tốn chứng minh Tức S  S  S  OH 2 2 4OA2OB 2OC  S2 OH Rất dễ nhận thấy 4OA2OB 2OC AH AK OK BC AK OK BC AK HK AK BC 2      AK BC  OH HA.HK HK HK 4OA2OB 2OC  S2 Từ ta có điều cần chứng minh: OH  Nhận xét: Một hướng khác để giải toán áp dụng cơng thức hình chiếu S  S  cos  , (2.2) Thật dễ nhân thấy tam giác HBC hình chiếu vng góc tam giác OBC lên mặt phẳng (ABC), nên S OBC  S OHC cos OKH , phép biến đổi đơn giản học sinh có điều cần chứng minh Ngồi học sinh khai thác S2ABC  SABC (SHBC  SHBA  SHCA ) kết tương tự skkn Bài tập 2.2 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA  a, OB  b, OC  c Gọi S  S ABC , S1  S OAB , S  S OBC , S  S OCA r bán kính đường trịn nội tiếp hình tứ diện Chứng minh r  S1  S  S3  S (2.2) abc Phân tích lời giải : Trong tứ diện vuông tồn mặt cầu nội tiếp nên tơi khơng trình việc chứng minh tồn mặt cầu ngoại tiếp mà trình bày khai thác đẳng thức (2.1.2) thơng qua bán kính mặt cầu này.Nếu gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện học sinh nhận bán kính r O I A chiều cao khối chóp I.ABC, từ ta có đẳng thức C H B VOABC  VIABC  VIOBC  VIOAB  VIOAC Hay VOABC  r  S1  S2  S3  S  Điều suy r  3V Từ có nhiều hướng đề khai thác vấn đề S1  S  S  S này, hướng sử dụng (2.1.2) cơng thức thể tích tứ diện vng V  abc ta có: 3V abc  S1  S  S3  S  abc  S1  S  S3  S   S1  S  S3  S     S1  S  S3  S  S1  S  S3 2  S S1S2  S3 S  S1S3 abc Vậy ta có điều cần chứng minh r  S1  S2  S3  S abc  Bài tập 2.3 Cho tứ diện vuông O.ABC đỉnh O, có OA  a, OB  b, OC  c đường cao OH, Gọi S  S ABC , S1  S OAB , S  S OBC , S  S OCA Chứng minh: a) S  b) abc  a  b  c  , (2.1.4) S32 S12 S 22    ,(2.1.5) 2 2 2 S  S1 S  S S  S3 Phân tích lời giải : Chỉ cần chút thay đổi diện mạo làm cho tự tin người khác bối rối tếp xúc Với tốn thay đổi hình thức làm thay đổi hồn tồn định hướng lời giải Chính thế, tiếp cận vấn đề mà cụ skkn thể làm tốn việc phải thực bình tĩnh, tìm hiểu phân tích đề Ở này, cần chút nhìn nhận thấy kết hợp hài hòa đẳng thức (2.1.2) với bất đẳng thức AM-GM , cịn khơng học sinh bị sa vào việc thiết lập diện tích S theo cơng thức Hê-rơng tốn kiểm sốt Thật vậy: Khai thác từ đẳng thức (2.1.2), ta có: S  2 2 a b  c b  a c , từ dễ dàng nhận thấy a 2b  c 2b  a c Hay S  AM  GM  abc(a  b  c) abc  a  b  c  ,đẳng thức xảy a  b  c  S32 S12 S 22    , (2.1.4) e) Chứng minh 2 2 S  S1 S  S S  S3 Phân tích lời giải : Một cách thác triển để tạo bất đẳng thức đẹp phải sử dụng bất đẳng thức kinh điển vào toán Bài tập thác triển khác (2.1.2) thông qua bất đẳng thức Schwarz, cụ thể sau: Từ dạng BĐT Schwarz 1    thay x  S  S12 , y  S  S22 , z  S  S32 x y z  x  y  z Ta được:  S  S12  S  S 22  S  S32  1    9, (4.1) 2 S  S1 S  S S  S 32 Sử dụng S  S12  S22  S32 ta có được: S2 S2 S2 (4.1)     2 S  S1 S  S S  S3 S32 S12 S 22  1 1 1   3 2 S  S1 S  S2 S  S3 S32 S12 S 22  1 1 1   3 2 S  S1 S  S2 S  S3  S32 S12 S 22    2 2 2 S  S1 S  S2 S  S3 Đẳng thức xảy xem tâp  skkn Bài tập 4.2 ( HSGT Đăk Lăk-2016) Cho hình tứ diện gần ABCD.Chứng minh trọng tâm tứ diện tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp tứ diện Phân tích lời giải Như ta biết G trọng A tâm tứ diện, G trung điểm MN Một cách liên hệ để chứng minh G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ta chứng minh GA  GB  GC  GD Từ học sinh tính được: M G B D 1 GB  GA2  ( MN  AB )  ( MN  CD )  GD  GC 4 H N C Vậy G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tương tự trên, để chứng minh G tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ta phải chứng minh d (G,(DBC))  d (G,(DBA))  d (G,(DAC))  d (G,(BAC)) Một công việc quen thuộc (2.2) ta có: Ta có d (G, ( ABC ))  3VGABC SABC VABCD  , mặt tứ diện có diện tích nên S ABC 3 VABCD VABCD 4   d (G, ( DBC ))  d (G, ( DBA))  d (G, ( DAC )) ta suy : d (G, ( ABC ))  SABC SDBC Vậy trọng tâm tứ diện tâm mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tư diện  Bài tốn 4.3 Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh tứ diện ABCD tứ diện gần diện tích mặt tứ diện Phân tích lời giải: Dễ dàng suy phần thuận tốn mặt hình tứ diện có có cạnh a , b, c Còn phần đảo, ta nhận thấy gọi H, K A M hình chiếu A, B lên CD, gọi M, N trung điểm AB, HK đó: TH1: H  K suy H  K  N Dễ dàng suy NM D B đường vng góc chung AB CD K TH2 H  K Ta có AHK  BKH suy AN  BN hay NM  AB 18 skkn C N H Và ta có AHB  AKB suy HM=KM suy NM  CD Từ ta thấy rằng, diện tích mặt tứ diện đường vng góc chung cặp cạnh đối diện qua trung điểm cạnh Và ta tiếp tục chứng minh cặp cạnh đối Thật vậy, giả sử MN đường vng góc chung AB CD, phép đối xứng trục MN biến A thành B, biến C thành D suy biến AC thành BD Hay ta có AC=BD Từ ta có kết luận: Nếu diện tích mặt tứ diện cặp cạnh đối Từ suy điều phải chứng minh  Bài tập 4.4 Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh tứ diện ABCD có tổng góc phẳng đỉnh 1800 tứ diện gần Phân tích lời giải: Dễ thấy, tứ diện ABCD có D cặp đối theo ta có mặt chúng có diện tích Khi tổng góc phẳng đỉnh D tổng góc tam giác ABC nên tổng D2 chúng 180 Ngược lại, giả sử tứ diện ABCD có góc đỉnh có tổng 1800 AD  a, BC  a, D1 C A CA  b, BD  b, B D3 AB  c, DC  c Trên mặt phẳng (ABC) lấy điểm D1 nằm khác phía điểm A với đường thẳng BC cho tam giác D1 BC DBC , lấy điểm D , D3 tương tự cho D2 AC DAC D3 AB DAB ( Khai triển tứ diện mặt phẳng (ABC)) Khi ta thấy D3 AB  BAC  CAD2  1800 , hay điểm D2 , A, D3 thẳng hàng Tương tự chúng minh D1 , B, D3 điểm D2 , C , D1 thẳng hàng Từ suy tam giác D2 D3 D1 có cạnh AC, AB, BC đường trung bình nên chúng nửa độ dài cạnh đáy hay AC  D1 B  DB , tương tự ta có điều phải chứng minh  Nhận xét: Từ ta thấy cần đỉnh có tổng góc 1800 có cặp cạnh đối diện ta suy cặp cạnh lại 19 skkn ... hiểu học hỏi tơi viết đề tài “PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ HÌNH TỨ DIỆN ĐẶC BIỆT” 1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Giúp học sinh tiếp cận toán với cách... thành tứ diện gọi tứ diện nội tiếp hình hộp Chẳng hạn tứ diện BDAC  tứ diện nội tiếp hình hộp ABCD ABCD +Mỗi tứ diện tùy ý ln có hình hộp ngoại tiếp tứ diện + Hình hộp ngoại tiếp hình tứ diện. .. khơng phần quan trọng việc khai thác yếu tố định lượng tứ diện vuộng, đồng thời việc chứng minh hình thành O cho học sinh nhiều yếu tố tư việc khai thác giải A H C thiết toán Dù toán cho H hình chiếu