Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ������������ LLÊÊ MMẠẠNNHH CCỬỬUU MÔĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MẠNH CỬU MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MẠNH CỬU MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải nội xạ tối tiểu chiều nội xạ 1.2 Môđun Cohen-Macaulay 12 Mơđun tắc 16 2.1 Mơđun tắc 16 2.2 Mơđun tắc vành nửa nhóm biến 26 Vành Gorenstein 33 3.1 Vành Gorenstein 33 3.2 Tính chất Gorenstein vành nửa nhóm biến 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Lời mở đầu Vành Gorenstein cấu trúc quan trọng đại số giao hốn hình học đại số Lớp vành có quan hệ chặt chẽ với vành quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay theo sơ đồ Chính quy ⇒ giao đầy đủ ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay Grothendieck người đưa định nghĩa nghiên cứu vành Gorenstein, tên Gorenstein đặt theo tên nhà toán học Daniel Gorenstein (1923 - 1992) cơng trình ơng đối ngẫu đường cong đại số Vành Gorenstein nhiều nhà tốn học nghiên cứu, kể đến cơng trình Macaulay, Serre, Grothendieck hay Bass Trong đó, Bass người có đóng góp nhiều việc nghiên cứu vành này, định nghĩa vành Gorenstein tài liệu hầu hết ông (xem thêm báo [4] Huneke) Có nhiều cách để định nghĩa vành Gorenstein, tiêu biểu thơng qua tính hữu hạn chiều nội xạ Trong luận văn, chúng tơi chọn cách định nghĩa thơng qua mơđun tắc có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết đối ngẫu phạm trù mơđun Mục đích luận văn trình bày lại số kết mơđun tắc vành Gorenstein địa phương trường hợp chiều dương dựa theo tài liệu [3] D Eisenbud [5] H Matsumura Trường hợp chiều xét luận văn Vũ Thị Duyên [2] Luận văn chia làm ba chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ môđun Cohen-Maccaulay Đây công cụ dùng cho định nghĩa chứng minh hai chương sau Chương dành để trình bày mơđun tắc vành Cohen-Macaulay địa phương Chương chia làm hai phần Tiết chương, trình bày mơđun tắc vành Cohen-Macaulay địa phương Kết tiết Định lý 2.1.7 Định lý trình bày điều kiện cần đủ để môđun hữu hạn sinh vành Cohen-Macaulay địa phương mơđun tắc thơng qua độ sâu, chiều nội xạ cấu trúc vành tự đồng cấu Tiết sau chương, xét môđun tắc vành nửa nhóm biến Định lý 2.2.6 cho phép ta mơ tả mơđun tắc vành nửa nhóm cách cụ thể Chương cuối luận văn, chúng tơi trình bày vành Gorenstein địa phương Tiết đầu chương này, sau định nghĩa vành Gorenstein qua mơđun tắc, chúng tơi trình bày đặc trưng Gorenstein vành địa phương thơng qua chiều nội xạ tính triệt tiêu môđun Ext Đây nằm đặc trưng quan trọng vành Gorenstein Tiết chương, trở lại với vành nửa nhóm biến Dựa vào mơ tả mơđun tắc vành nửa nhóm biến chương 2, chúng tơi chứng minh đặc trưng tính chất Gorenstein vành thơng qua tính chất tổ hợp nửa nhóm tương ứng (Định lý 3.2.1) Dựa vào đặc trưng đó, chúng tơi đưa số ví dụ cụ thể vành nửa nhóm Gorenstein Vì điều kiện thời gian nên luận văn cịn thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cơ, bạn học viên, độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Đồn Trung Cường, Viện Tốn học Thầy dành nhiều thời gian công sức giúp tơi hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn TS Trần Nguyên An, PGS TS Lê Thanh Nhàn tạo điều kiện giúp đỡ nắm kiến thức sở Tôi xin cảm ơn thầy Viện Tốn học, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả luận văn Lê Mạnh Cửu Xác nhận khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, dãy quy, độ sâu mơđun Cohen-Macaulay phục vụ cho việc tìm hiểu mơđun tắc vành Gorenstein trình bày hai chương sau Trong quan trọng Mệnh đề 1.1.9 cho ta cách xây dựng giải nội xạ tối tiểu môđun M/xM vành A/(x) biết giải nội xạ tối tiểu môđun M vành A Kết sử dụng thường xuyên chứng minh phương pháp quy nạp 1.1 Giải nội xạ tối tiểu chiều nội xạ Trong tồn luận văn chúng tơi ln xét vành giao hốn có đơn vị Khái niệm môđun nội xạ R Baer phát vào năm 1940 Từ tới lớp mơđun trở thành công cụ quan trọng đại số, có đại số giao hốn Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn, A−mơđun E nội xạ với đơn cấu f : N → M A−môđun đồng cấu g : N → E, tồn đồng cấu h : M → E cho g = h ◦ f Một tính chất mơđun nội xạ tính chất nội xạ bảo tồn địa phương hóa iđêan nguyên tố vành Và nội dung mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.2 Cho A vành Noether, M A−môđun hữu hạn sinh p iđêan nguyên tố A Khi HomA (M, N )p ∼ = HomAp (Mp , Np ), Ap −môđun Hệ là, I A−mơđun nội xạ Ip Ap −mơđun nội xạ Chứng minh Vì M A−mơđun hữu hạn sinh nên ta có tồn cấu ϕ : Ar → M , Ker ϕ A−mơđun hữu hạn sinh nên tồn toàn cấu ψ : As → Ker ϕ Do dãy ψ ϕ As − → Ar → − M → (1) khớp Địa phương hóa dãy khớp iđêan nguyên tố p ta dãy khớp ψ ϕ Asp − → Arp → − Mp → 0, (2) ψ ϕ hai đồng cấu cảm sinh tương ứng ψ ϕ Hơn nữa, ta biểu đồ sau giao hoán As Asp ϕ / Ar ϕ / Arp ψ ψ / / / / M Mp Tác động hàm tử HomA (−, N ) vào (1) ta dãy khớp → HomA (M, N ) → HomA (Ar , N ) → HomA (As , N ) Địa phương hóa dãy khớp p ta dãy khớp → HomA (M, N )p → HomA (Ar , N )p → HomA (As , N )p Tác động hàm tử HomAp (−, Np ) vào (2) ta dãy khớp → HomAp (Mp , Np ) → HomAp (Arp , Np ) → HomAp (Asp , Np ) Ta biểu đồ giao hốn với dịng khớp −→ HomA (M, N )p yf1 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 −−→ HomA (Ar , N )p −−→ HomA (As , N )p yf2 yf3 −→ HomAp (Mp , Np ) −−→ HomAp (Arp , Np ) −−→ HomAp (Asp , Np ), ϕ1 ϕ2 cảm sinh ψ ϕ, ϕ3 ϕ4 cảm sinh ψ ϕ, f2 f3 đẳng cấu Ta chứng minh f1 đẳng cấu Giả sử x ∈ HomA (M, N )p mà f1 (x) = Suy f2 (ϕ1 (x)) = ϕ3 (f1 (x)) = ϕ3 (0) = Do ϕ1 (x) ∈ Ker(f2 ) = nên x = Suy f1 đơn cấu Tiếp theo, ta chứng minh f1 toàn cấu Giả sử y ∈ HomAp (Mp , Np ) Suy ϕ3 (y) ∈ Ker(ϕ4 ), nên tồn z ∈ HomA (Ar , N )p cho f2 (z) = ϕ3 (y) Suy z ∈ Im ϕ1 , nên tồn x ∈ HomA (M, N )p mà ϕ1 (x) = z Ta có ϕ3 (f1 (x)) = f2 (ϕ1 (x)) = f2 (z) = ϕ3 (y) Vì ϕ3 đơn cấu nên f1 (x) = y Do f1 tồn cấu Vậy HomA (M, N )p ∼ = HomA (Mp , Np ) p Nếu I A−mơđun nội xạ hàm tử HomA (−, I) từ phạm trù A−môđun hữu hạn sinh tới phạm trù A−môđun hàm tử khớp Do HomA (−, I)p từ phạm trù Ap −môđun hữu hạn sinh tới phạm trù Ap −môđun hàm tử khớp Do HomAp (−, Ip ) khớp Ip Ap −môđun nội xạ Ứng với mơđun có mơđun nội xạ quan trọng bao nội xạ mơđun Khái niệm trình bày phần cho phép ta xây dựng giải nội xạ tối tiểu môđun Định nghĩa 1.1.3 Cho M A−mơđun khơng tầm thường vành giao hốn A Một A−môđun nội xạ E gọi bao nội xạ M M ⊆ E môđun với môđun khác không N E có N ∩ M 6= Ta kí hiệu bao nội xạ M E(M ) Định nghĩa 1.1.4 Cho M A−môđun không tầm thường vành giao hốn A Một giải nội xạ A− mơđun M dãy khớp → M → E0 → E1 → E2 → , Ei nội xạ, với i ≥ Tiếp theo định nghĩa giải nội xạ tối tiểu, cơng cụ quan trọng để nghiên cứu mơđun tắc Định nghĩa 1.1.5 Cho M môđun vành giao hoán A Một giải nội xạ M → M → E0 → E1 → giải nội xạ tối tiểu với n > 0, ta đặt Mn = Coker(En−1 → En ) En+1 ∼ = E(Mn ) ánh xạ En → En+1 hợp thành hai ánh xạ tự nhiên En → Mn → En+1 = E(Mn ) Ngoài định nghĩa trên, giải nội xạ tối tiểu cịn có cách định tương đương khác sau Bổ đề 1.1.6 Cho M mơđun vành giao hốn A Một dãy A−mơđun nội xạ E• : E0 → E1 → → En → En+1 → ... k) vành địa phương chiều không Một A? ?môđun hữu hạn sinh ωA gọi mơđun tắc A ωA bao nội xạ trường thặng dư A/m Trong trường hợp chiều vành lớn khơng, ta định nghĩa mơđun tắc quy nạp theo chiều vành. .. Lớp vành có quan hệ chặt chẽ với vành quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay theo sơ đồ Chính quy ⇒ giao đầy đủ ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay Grothendieck người đưa định nghĩa nghiên cứu vành. .. định nghĩa vành Gorenstein qua mơđun tắc, chúng tơi trình bày đặc trưng Gorenstein vành địa phương thơng qua chiều nội xạ tính triệt tiêu môđun Ext Đây nằm đặc trưng quan trọng vành Gorenstein