Môđun chính tắc và vành gorenstein trong trường hợp chiều cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MẠNH CỬU MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ MẠNH CỬU MƠĐUN CHÍNH TẮC VÀ VÀNH GORENSTEIN TRONG TRƯỜNG HỢP CHIỀU CAO Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải nội xạ tối tiểu chiều nội xạ 1.2 Môđun Cohen-Macaulay 12 Mơđun tắc 16 2.1 Mơđun tắc 16 2.2 Môđun tắc vành nửa nhóm biến 26 Vành Gorenstein 33 3.1 Vành Gorenstein 33 3.2 Tính chất Gorenstein vành nửa nhóm biến 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Lời mở đầu Vành Gorenstein cấu trúc quan trọng đại số giao hốn hình học đại số Lớp vành có quan hệ chặt chẽ với vành quy, vành giao đầy đủ, vành Cohen-Macaulay theo sơ đồ Chính quy ⇒ giao đầy đủ ⇒ Gorenstein ⇒ Cohen-Macaulay Grothendieck người đưa định nghĩa nghiên cứu vành Gorenstein, tên Gorenstein đặt theo tên nhà toán học Daniel Gorenstein (1923 - 1992) cơng trình ơng đối ngẫu đường cong đại số Vành Gorenstein nhiều nhà tốn học nghiên cứu, kể đến cơng trình Macaulay, Serre, Grothendieck hay Bass Trong đó, Bass người có đóng góp nhiều việc nghiên cứu vành này, định nghĩa vành Gorenstein tài liệu hầu hết ông (xem thêm báo [4] Huneke) Có nhiều cách để định nghĩa vành Gorenstein, tiêu biểu thơng qua tính hữu hạn chiều nội xạ Trong luận văn, chọn cách định nghĩa thơng qua mơđun tắc có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết đối ngẫu phạm trù mơđun Mục đích luận văn trình bày lại số kết mơđun tắc vành Gorenstein địa phương trường hợp chiều dương dựa theo tài liệu [3] D Eisenbud [5] H Matsumura Trường hợp chiều xét luận văn Vũ Thị Duyên [2] Luận văn chia làm ba chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ môđun Cohen-Maccaulay Đây công cụ dùng cho định nghĩa chứng minh hai chương sau Chương dành để trình bày mơđun tắc vành Cohen-Macaulay địa phương Chương chia làm hai phần Tiết chương, chúng tơi trình bày mơđun tắc vành Cohen-Macaulay địa phương Kết tiết Định lý 2.1.7 Định lý trình bày điều kiện cần đủ để môđun hữu hạn sinh vành Cohen-Macaulay địa phương mơđun tắc thơng qua độ sâu, chiều nội xạ cấu trúc vành tự đồng cấu Tiết sau chương, chúng tơi xét mơđun tắc vành nửa nhóm biến Định lý 2.2.6 cho phép ta mơ tả mơđun tắc vành nửa nhóm cách cụ thể Chương cuối luận văn, chúng tơi trình bày vành Gorenstein địa phương Tiết đầu chương này, sau định nghĩa vành Gorenstein qua mơđun tắc, chúng tơi trình bày đặc trưng Gorenstein vành địa phương thông qua chiều nội xạ tính triệt tiêu môđun Ext Đây nằm đặc trưng quan trọng vành Gorenstein Tiết chương, trở lại với vành nửa nhóm biến Dựa vào mơ tả mơđun tắc vành nửa nhóm biến chương 2, chứng minh đặc trưng tính chất Gorenstein vành thơng qua tính chất tổ hợp nửa nhóm tương ứng (Định lý 3.2.1) Dựa vào đặc trưng đó, chúng tơi đưa số ví dụ cụ thể vành nửa nhóm Gorenstein Vì điều kiện thời gian nên luận văn cịn thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cơ, bạn học viên, độc giả quan tâm để luận văn hoàn thiện Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Đồn Trung Cường, Viện Tốn học Thầy dành nhiều thời gian công sức giúp tơi hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn TS Trần Nguyên An, PGS TS Lê Thanh Nhàn tạo điều kiện giúp đỡ nắm kiến thức sở Tôi xin cảm ơn thầy Viện Tốn học, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả luận văn Lê Mạnh Cửu Xác nhận khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, dãy quy, độ sâu môđun Cohen-Macaulay phục vụ cho việc tìm hiểu mơđun tắc vành Gorenstein trình bày hai chương sau Trong quan trọng Mệnh đề 1.1.9 cho ta cách xây dựng giải nội xạ tối tiểu môđun M/xM vành A/(x) biết giải nội xạ tối tiểu môđun M vành A Kết sử dụng thường xuyên chứng minh phương pháp quy nạp 1.1 Giải nội xạ tối tiểu chiều nội xạ Trong tồn luận văn chúng tơi ln xét vành giao hốn có đơn vị Khái niệm môđun nội xạ R Baer phát vào năm 1940 Từ tới lớp mơđun trở thành cơng cụ quan trọng đại số, có đại số giao hốn Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn, A−mơđun E nội xạ với đơn cấu f : N → M A−môđun đồng cấu g : N → E, tồn đồng cấu h : M → E cho g = h ◦ f Một tính chất mơđun nội xạ tính chất nội xạ bảo tồn địa phương hóa iđêan ngun tố vành Và nội dung mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.2 Cho A vành Noether, M A−môđun hữu hạn sinh p iđêan nguyên tố A Khi HomA (M, N )p ∼ = HomAp (Mp , Np ), Ap −môđun Hệ là, I A−mơđun nội xạ Ip Ap −mơđun nội xạ Chứng minh Vì M A−mơđun hữu hạn sinh nên ta có tồn cấu ϕ : Ar → M , Ker ϕ A−mơđun hữu hạn sinh nên tồn toàn cấu ψ : As → Ker ϕ Do dãy ψ ϕ As − → Ar → − M → (1) khớp Địa phương hóa dãy khớp iđêan nguyên tố p ta dãy khớp ψ ϕ Asp − → Arp → − Mp → 0, (2) ψ ϕ hai đồng cấu cảm sinh tương ứng ψ ϕ Hơn nữa, ta biểu đồ sau giao hoán As  Asp ϕ / Ar ϕ / Arp  ψ ψ / / / / M  Mp Tác động hàm tử HomA (−, N ) vào (1) ta dãy khớp → HomA (M, N ) → HomA (Ar , N ) → HomA (As , N ) Địa phương hóa dãy khớp p ta dãy khớp → HomA (M, N )p → HomA (Ar , N )p → HomA (As , N )p Tác động hàm tử HomAp (−, Np ) vào (2) ta dãy khớp → HomAp (Mp , Np ) → HomAp (Arp , Np ) → HomAp (Asp , Np ) Ta biểu đồ giao hoán với dòng khớp −→ HomA (M, N )p  f1 ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 −−→ HomA (Ar , N )p −−→ HomA (As , N )p   f2 f3 −→ HomAp (Mp , Np ) −−→ HomAp (Arp , Np ) −−→ HomAp (Asp , Np ), ϕ1 ϕ2 cảm sinh ψ ϕ, ϕ3 ϕ4 cảm sinh ψ ϕ, f2 f3 đẳng cấu Ta chứng minh f1 đẳng cấu Giả sử x ∈ HomA (M, N )p mà f1 (x) = Suy f2 (ϕ1 (x)) = ϕ3 (f1 (x)) = ϕ3 (0) = Do ϕ1 (x) ∈ Ker(f2 ) = nên x = Suy f1 đơn cấu Tiếp theo, ta chứng minh f1 toàn cấu Giả sử y ∈ HomAp (Mp , Np ) Suy ϕ3 (y) ∈ Ker(ϕ4 ), nên tồn z ∈ HomA (Ar , N )p cho f2 (z) = ϕ3 (y) Suy z ∈ Im ϕ1 , nên tồn x ∈ HomA (M, N )p mà ϕ1 (x) = z Ta có ϕ3 (f1 (x)) = f2 (ϕ1 (x)) = f2 (z) = ϕ3 (y) Vì ϕ3 đơn cấu nên f1 (x) = y Do f1 tồn cấu Vậy HomA (M, N )p ∼ = HomA (Mp , Np ) p Nếu I A−mơđun nội xạ hàm tử HomA (−, I) từ phạm trù A−môđun hữu hạn sinh tới phạm trù A−môđun hàm tử khớp Do HomA (−, I)p từ phạm trù Ap −mơđun hữu hạn sinh tới phạm trù Ap −môđun hàm tử khớp Do HomAp (−, Ip ) khớp Ip Ap −môđun nội xạ Ứng với mơđun có mơđun nội xạ quan trọng bao nội xạ mơđun Khái niệm trình bày phần cho phép ta xây dựng giải nội xạ tối tiểu môđun Định nghĩa 1.1.3 Cho M A−môđun khơng tầm thường vành giao hốn A Một A−mơđun nội xạ E gọi bao nội xạ M M ⊆ E môđun với mơđun khác khơng N E ln có N ∩ M = Ta kí hiệu bao nội xạ M E(M ) Định nghĩa 1.1.4 Cho M A−môđun không tầm thường vành giao hốn A Một giải nội xạ A− mơđun M dãy khớp → M → E0 → E1 → E2 → , Ei nội xạ, với i ≥ Tiếp theo định nghĩa giải nội xạ tối tiểu, công cụ quan trọng để nghiên cứu mơđun tắc Định nghĩa 1.1.5 Cho M môđun vành giao hoán A Một giải nội xạ M → M → E0 → E1 → giải nội xạ tối tiểu với n > 0, ta đặt Mn = Coker(En−1 → En ) En+1 ∼ = E(Mn ) ánh xạ En → En+1 hợp thành hai ánh xạ tự nhiên En → Mn → En+1 = E(Mn ) Ngoài định nghĩa trên, giải nội xạ tối tiểu cịn có cách định tương đương khác sau Bổ đề 1.1.6 Cho M mơđun vành giao hốn A Một dãy A−mơđun nội xạ E• : E0 → E1 → → En → En+1 → (iii) Theo định nghĩa linh hóa tử ta có AnnA (A /A) = f (t) ∈ A|f (t)A ∈ A = (tc , tc+1 , ) ⊂ A Để mô tả môđun tắc vành nửa nhóm biến A = k[[tΓ ]] ta cần hai bổ đề sau Bổ đề 2.2.4 Với k trường, A vành nửa nhóm biến liên a−α t−α |a−α ∈ k, ∀α Khi ω kết với nửa nhóm Γ Kí hiệu ω = α∈Γ / A−mơđun k((t)) tk[[t]] ⊆ ω Chứng minh Ta thấy ω chứa toàn đa thức mà số mũ dương ngồi chứa thêm số mũ âm khác Nên hiển nhiên tk[[t]] ⊂ ω, ω A−mơđun k((t)) Giả sử Γ nửa nhóm sinh 3, 5, 6, c = ω sinh t−4 , t−2 , t−1 , t, t2 , t3 , Bổ đề 2.2.5 Cho A vành nửa nhóm biến liên kết với nửa nhóm Γ a−α t−α |a−α ∈ k, ∀α Đặt ω = V = {f ∈ k((t))|(f σ)(A) ⊂ k[[s]]} α∈Γ / c với s = t , σ ánh xạ biến ti thành i không chia hết cho c thành si/c i chia hết cho c Khi ω ∼ = V Chứng minh Trước hết ta tìm hiểu cấu trúc V Ta xét phần tử bj tj ∈ k((t)) với n ∈ Z Khi f ∈ V f = j≥n f σ(u) ∈ k[[tc ]], ∀u ∈ A Hay f ∈ V f σ(tα ) ∈ k[[tc ]], ∀α ∈ Γ Do f ∈ Γ tương đương bj = với α ∈ Γ j + α không bj tj ∈ k((t)) chia hết cho c j +α = mc với m ≥ Tức là, V = j≥n j + α không chia hết cho c j + α = mc với m ≥ 29 Ta chứng minh hai tương ứng ϕ : V −→ ω, tj −→ tj+c ψ : ω −→ V, ti −→ ti−c ánh xạ Thật vậy, giả sử tồn tj ∈ V mà tj+c ∈ V hay −(j + c) ∈ Γ j + (−j − c) = −c σ(tj ) ∈ / k[[t]] Do tj ∈ / V , mâu thuẫn với giả thiết tj ∈ V nên tj+c ∈ V Vậy ϕ đồng cấu Tiếp theo ta chứng minh ψ đồng cấu Giả sử ti ∈ ω, suy −i ∈ / Γ Nếu ti−c ∈ / V tồn γ ∈ Γ cho i − c + γ = mc với m < Suy −i = −mc − c + γ ∈ Γ, mâu thuẫn với giả thiết ti ∈ ω Vậy ti−c ∈ V , chứng tỏ ψ đồng cấu Hơn nữa, ϕ ◦ ψ = idω ψ ◦ ϕ = idV Nên ω ∼ = V Định lý sau kết tiết Nó cho ta mơ tả cụ thể mơđun tắc vành nửa nhóm biến Định lý 2.2.6 (Mơđun tắc vành nửa nhóm biến) Cho A vành nửa nhóm liên kết với nửa nhóm Γ Định nghĩa 2.2.1, ω không gian véctơ xác định Bổ đề 2.2.4 Khi ωA ∼ = ω Chứng minh Giả sử s = tc , k[[t]] A môđun hữu hạn sinh k[[s]] Theo Mệnh đề 2.1.10 ta có ωA ∼ = Homk[[s]] (A, k[[s]]) nên ta cần chứng minh Homk[[s]] (A, k[[s]]) ∼ = ωA Vì ta cần tìm hiểu Homk[[s]] (A, k[[s]]) Trước hết ta chứng minh Homk[[s]] (A, k[[s]]) = ϕ ∈ Homk((s)) (k((t)), k((s)))|ϕ(A) ⊂ k((t)) Thật vậy, dễ có ϕ ánh xạ tuyến tính k((s)), ϕ|A : A → k((s)) ϕ(A) ⊂ k[[t]] Do ϕ : A → k((s)) Tiếp theo ta chứng minh Homk((s)) (k((t)), k((s))) sinh ánh xạ σ biến ti thành i không chia hết cho c thành si/c i chia hết cho c Đầu tiên ta chứng minh σ tuyến tính k((s)) Vì σ hàm cộng 30 tính nên ta cần chứng minh σ(f (t).ti ) = f (t)σ(ti ) với f (t) ∈ k((s)) Ta có σ(tc+i ) tc+i i chia hết cho c thành i không chia hết cho c nên σ(tc+i ) = tc σ(ti ) Giả sử f (t) = a0 + a1 tc + a2 t2c + + an tnc + Suy σ(f (t)ti ) = σ(a0 ti + a1 tc+i + a2 t2c+i + + an tnc+i + ) = a0 σ(ti ) + a1 σ(tc+i ) + a2 σ(t2c+i ) + + an σ(tnc+i ) + = a0 σ(ti ) + a1 tc σ(ti ) + a2 t2c σ(ti ) + + an tnc σ(ti ) + Do σ(f (t).ti ) = f (t)σ(ti ) Và ta cần chứng minh, với ψ ∈ Homk((s)) (k((t)), k((s))) cho trước tồn f (t) ∈ k((t)) cho ψ = σf (t) Với ≤ r < c, giả sử có ψ(tr ) = σ(tr f (t)) ta xác định hệ số chuỗi lũy thừa hình thức biểu diễn f (t) cách cho r chạy từ tới c − Thật vậy, cho r = ta xác định hệ số mà lũy thừa t có dạng nc − với n ngun ψ cho trước, với r = ta xác định hệ số mà lũy thừa t có dạng nc − Quá trình tiếp tục ta có f (t) mong muốn Vì ψ tuyến tính nên ta có ψ = σf (t) Do σ sinh Homk((s)) (k((t)), k((t))) k((t))−mơđun, với cấu trúc môđun cho f σ(g) = σ(f g) Vậy ωA = f σ ∈ Homk((s)) (k((t)), k((s)))|(f σ)(A) ⊂ k[[s]] ∼ = {f ∈ k((t))|(f σ)(A) ⊂ k[[s]]} Theo Bổ đề 2.2.5 ta có ω ∼ = ωA Ví dụ 2.2.7 Xét nửa nhóm Γ = {0, 2, 4, 5, 6, } = N0 \ {1; 3} Khi c = ω sinh t−3 , t−1 , t, t2 , t3 , Theo Định lý 2.2.6 ta có mơđun 31 tắc vành nửa nhóm sinh Γ ω Như ta tính tốn cách trực tiếp mơđun tắc vành nửa nhóm Điều thuận lợi cho việc xét tính chất Gorenstein vành 32 Chương Vành Gorenstein Chương dành để trình bày vành Gorenstein Trường hợp vành Gorenstein chiều xét luận văn [2] Vũ Thị Duyên Dựa trường hợp kết mơđun tắc Chương 2, Tiết 1, định nghĩa vành Gorenstein có chiều dương chứng minh số đặc trưng quan trọng qua tính hữu hạn chiều nội xạ vành qua tính triệt tiêu mơđun Ext Tiết dành để xét tính Gorenstein vành nửa nhóm biến Đây nguồn ví dụ phong phú cụ thể vành Gorenstein chiều 3.1 Vành Gorenstein Có nhiều cách định nghĩa vành Gorenstein luận văn chọn cách định nghĩa vành Gorenstein thơng qua mơđun tắc Định nghĩa 3.1.1 Cho (A, m, k) vành Cohen-Macaulay địa phương với mơđun tắc ωA Khi A vành Gorenstein A ∼ = ωA 33 Bổ đề sau hữu ích cho việc chứng minh số định lý quan trọng đặc trưng vành Gorenstein trình bày sau Bổ đề 3.1.2 Cho (A, m, k) vành Noether địa phương chiều n Khi inj dim A = n ExtiA (k, A) ∼ =   0 i = n  k i = n Chứng minh Với n = ta có depth A = nên A khơng có phần tử quy Suy m ∈ Ass(A) hay tồn x ∈ m cho m = (0 :A x) Do x ta có dãy khớp → k → − A Tác động hàm tử HomA (−, A) vào dãy x khớp ta dãy khớp A ∼ − HomA (k, A) → Suy = HomA (A, A) → HomA (k, A) sinh phần tử x HomA (k, A) = nên A.x ∼ = A/Ann(x) ∼ = A/m Nên HomA (k, A) ∼ = k A môđun nội xạ nên ExtiA (k, A) = 0, với i > Vậy phát biểu cho trường hợp n = Nếu n > 0, m chứa phần tử quy x Đặt B = A/xA Khi theo Mệnh đề 1.1.9 dim B = inj dimB B = inj dimA A − = n − Theo giả thiết quy nạp ∼ ExtiA (k, A) = Exti−1 B (k, B) =   0 i = n  k i = n Định lý sau đặc trưng quan trọng vành Gorenstein thông qua chiều nội xạ vành Định lý 3.1.3 Cho (A, m, k) vành Noether địa phương chiều n Khi điều sau tương đương: 34 (i) A vành Gorenstein (ii) Chiều nội xạ A hữu hạn (iii) Chiều nội xạ A n Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì A vành Gorenstein nên A ∼ = ωA mà ωA có chiều nội xạ hữu hạn nên A có chiều nội xạ hữu hạn (ii) ⇒ (iii) Giả sử inj dimA A = r Nếu p iđêan nguyên tố nhỏ A cho ht(m/p) = n, p ∈ Ass A Nên pAp ∈ Ass(Ap ) hay pAp không chứa phần tử Ap −chính quy Vậy depth(pAp ) = nên Ext0Ap (k(p), Ap ) = Theo Bổ đề 1.2.7 ExtnA (k, A) = áp dụng Bổ đề 1.2.5 ta có r ≥ n Nếu r = 0, r ≥ n nên n = Suy Mệnh đề Nếu r > 0, đặt ExtrA (−, A) = T , T hàm tử phản biến khớp phải Vì r ≥ n nên theo Bổ đề 1.2.5 tồn iđêan nguyên tố p cho T (A/p) = Giả sử p = m tồn phần tử x ∈ m mà x x∈ / p → A/p → − A/p dãy khớp Tác động hàm tử T vào dãy khớp x ta có dãy khớp T (A/p) → − T (A/p) → nên T (A/p) = theo Bổ đề Nakayama, điều mâu thuẫn Do p = m T (k) = Ta chứng minh m ∈ / Ass(A), m ∈ Ass(A) tồn x ∈ A cho m = (0 :A x) Do dãy → k → A khớp, tác động hàm tử T vào dãy ta dãy khớp T (A) = ExtrA (A, A) = → T (k) → Suy T (k) = 0, mâu thuẫn Do m chứa phần tử x A−chính quy Đặt B = A/xA, theo Mệnh đề 1.1.9 inj dimB B = inj dimA A − Theo giả thiết quy nạp theo r ta có r − = dim B = n − 1, nên r = n (iii) ⇒ (i) Theo Mệnh đề 1.2.2 Bổ đề 3.1.2 depth A = inf i|ExtiA (k, A) = = n = dim A 35 Vậy A vành Cohen-Macaulay Để chứng minh A Gorenstein ta chứng minh A ∼ = ωA Ta chứng minh quy nạp theo chiều A Với n = ta có HomA (k, A) ∼ = k Nên theo [2, Định lý 3.1.3(iii)] A = (0 :A m) ∼ vành Gorenstein Với n = ta có inj dimA/(x) A/(x) = dim A/(x) = n − Theo giả thiết quy nạp A/(x) vành Gorenstein nên A/(x) ∼ = ωA/(x) Vậy A mơđun tắc vành A Suy A vành Gorenstein Vẫn đặc trưng vành Gorenstein thơng qua tính triệt tiêu môđun Ext nội dung định lý sau Định lý 3.1.4 Cho (A, m, k) vành Noether địa phương chiều n Khi điều sau tương đương: (i) A vành Gorenstein (ii) ExtiA (k, A) = với i > n (iii) ExtiA (k, A) ∼ =   0 i < n  k i = n (iv) A vành Cohen-Macaulay ExtnA (k, A) ∼ = k Chứng minh (i) ⇒ (ii) Theo Định lý 3.1.3 ta có inj dimA A = n theo Bổ đề 3.1.2 ExtiA (k, A) ∼ =   0 i = n  k i = n Do ExtiA (k, A) = với i > n (ii) ⇒ (i) Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử tồn i > n mà ExtiA (k, A) = Nếu n = m iđêan nguyên tố A 36 Vì ExtiA (k, A) = với i > n nên inj dim A < i < ∞ Theo Định lý 3.1.3 ta có A vành Gorenstein Nếu n > 0, lấy p iđêan nguyên tố khác m, đặt d = ht(m/p) B = Ap Khi đó, theo Bổ đề 1.2.7 ta có Exti−d B (κ(p), B) = Và dim B ≤ n − d < i − d nên theo giả thiết quy nạp B vành Gorenstein Suy inj dimB B ≤ n − d < i, với A−mơđun M ta có (ExtiA (M, A))p = ExtiB (Mp , B) = Nếu đặt T (M ) = ExtiA (M, A) Supp(T (M )) ⊆ {m}, T (M ) A−môđun hữu hạn sinh nên (T (M )) < ∞ Ta dùng giả thiết để chứng minh cho T (A/p) = với iđêan nguyên tố p Thật vậy, T (A/p) = với p đó, ta chọn p lớn thỏa mãn tính chất Bởi giả thiết T (k) = ExtiA (k, A) = nên p = m, ta chọn x ∈ m\p Và ta có dãy khớp x → A/p → − A/p → A/(p + Ax) → Do A vành Noether nên viết A/(p + Ax) = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇ Ms = với Mi /Mi+1 ∼ = A/pi pi iđêan nguyên tố chứa x p cách thực Vì T (A/(p + Ax)) = 0, suy dãy → T (A/p) → − T (A/p) khớp Nên ánh xạ nhân đơn ánh, (T (A/p)) < ∞ nên tồn ánh Theo Bổ đề Nakayama ta có T (A/p) = 0, mâu thuẫn với điều giả sử Do T (A/p) = ExtiA (A/p, A) = với iđêan nguyên tố p Theo Bổ đề 1.2.5 ta có inj dimA A < i < ∞ nên A vành Gorenstein (i) ⇒ (iii) Vì A vành Gorenstein nên theo Bổ đề 3.1.2 ta có   0 i < n i ∼ ExtA (k, A) =  k i = n Vậy (iii) chứng minh 37 (iii) ⇒ (iv) Từ (iii) suy depth A = dim A = n ExtnA (k, A) ∼ = k nên (iv) chứng minh (iv) ⇒ (i) Trước hết, ta chứng minh ExtiA (k, A) = với i > n Ta chứng minh điều quy nạp theo dim A Giả sử dim A = 0, ta có Socle(A) ∼ = k nên theo [2, Định lý 3.1.3(iii)] A = HomA (k, A) ∼ vành Gorenstein Nếu dim A > depth A > 0, nên tồn x1 ∈ A A−chính quy Theo Mệnh đề 1.1.9 ta có Exti (k, A/x1 A) ∼ = A/(x1 ) Exti+1 A (k, A), với i ≤ Suy ExtiA/(x1 ) (k, A/x1 A) ∼ =   0 i < n −  k i = n − Theo giả thiết quy nạp suy ExtiA/(x1 ) (k, A/x1 A) = 0, với i > n − nên Exti+1 A (k, A) = với i > n − Do inj dimA A = n nên theo Định lý 3.1.3 A vành Gorenstein Ở chương hai ta biết mơđun tắc bảo tồn địa phương hóa Câu hỏi đặt tính Gorenstein vành có bảo tồn địa phương hóa iđêan nguyên tố không Mệnh đề 3.1.5 Cho A vành Cohen-Macaulay địa phương p iđêan nguyên tố A Nếu A vành Gorenstein Ap vành Gorenstein Chứng minh Theo Hệ 2.1.11 (ωA )p mơđun tắc Ap Suy (ωA )p ∼ = Ap nên Ap vành Gorenstein Định lý sau cho ta lớp quan trọng vành Gorenstein Chứng minh chi tiết xem [3, Corollary 21.19] 38 Định lý 3.1.6 Nếu A = R/I R vành địa phương quy I iđêan sinh dãy quy A vành Gorenstein Các vành A = R/I mà R vành địa phương quy I iđêan sinh dãy quy gọi vành giao đầy đủ Và nói riêng vành quy vành Gorenstein 3.2 Tính chất Gorenstein vành nửa nhóm biến Trong chương 2, ta có mơ tả mơđun tắc vành nửa nhóm biến Trong tiết tìm hiểu nửa nhóm tương ứng với vành nửa nhóm Gorenstein Định lý 3.2.1 Cho A vành nửa nhóm biến sinh nửa nhóm Γ Khi điều kiện sau tương đương: (i) A vành Gorenstein (ii) γ ∈ Γ c − − γ ∈ / Γ (iii) card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ} = card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} Nửa nhóm Γ thỏa mãn điều kiện gọi nửa nhóm đối xứng Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử A vành Gorenstein, theo Định lý 2.2.6 ω ∼ a−α t−α |a−α ∈ k, ∀α Do đó, tồn = ωA ∼ = A với ω = α∈Γ / 39 f (t) ∈ ω cho ω = A.f Ta có t1−c ∈ ω, suy tồn g(t) ∈ A cho t1−c = f.g Do f (t) ∈ ω, g(t) ∈ A nên để thỏa mãn t1−c = f.g f (t) = t1−c + g(t) = + Suy g(t) khả nghịch f = g −1 t1−c Suy ω = A.t1−c Điều tương đương t1−c tγ ∈ ω hay t1−c+γ ∈ ω với tγ ∈ A Vậy γ ∈ Γ c − − γ ∈ / Γ (ii) ⇒ (i) Nếu tγ ∈ A tγ+1−c ∈ ω với tα ∈ ω ta có tα = (tα+c−1 ).t1−c tα+c−1 ∈ A (Tức ω = t1−c A) Suy ω ∼ = A Vậy A vành Gorenstein (ii) ⇒ (iii) Giả sử x ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ, y = c − − x ∈ [0, 1, 2, , c − 1] y ∈ / Γ Tức tồn song ánh từ tập {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ} tới tập {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} Vậy card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ} = card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} (iii) ⇒ (ii) Nếu γ ∈ Γ c−1−γ ∈ Γ (c−1−γ)+γ = c−1 ∈ Γ Điều mâu thuẫn với tính nhỏ c nên c − − γ ∈ / Γ Ngược lại, giả sử γ ∈ Γ, γ > c − c − − Γ < Suy c−1−γ ∈ / Γ Vì ta cần xét γ ∈ [0, 1, 2, , c − 1] Do γ ∈ Γ suy c − − γ ∈ / Γ nên ta có đơn ánh từ {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} tới {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ}, biến x thành c − − x Hơn nữa, card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ} = card {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} Nên đơn ánh trở thành song ánh Do đó, c − − γ ∈ / Γ γ ∈ Γ Từ Mệnh đề 3.2.1 cho ta kết đẹp tính chất Gorenstein vành nửa nhóm Để xét tính chất Gorenstein vành nửa nhóm ta 40 cần so sánh lực lượng hai tập {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ / Γ} {α ∈ [0, 1, 2, , c − 1]|α ∈ Γ} Ta mơ tả nửa nhóm Γ Γ = {0 = a0 , a1 , , an−1 , an = c, c + 1, }, với < a1 < a2 < < an−1 < c − Khi đó, k[[Γ]] vành Gorenstein c = 2n số chẵn Ta có số ví dụ cụ thể với c nhỏ sau Ví dụ 3.2.2 Cho A vành nửa nhóm biến liên kết với nửa nhóm Γ = {0, c, c + 1, } Khi đó, theo Định lý 3.2.1 A vành Gorenstein card {α ∈ [ 0, 1, , c − ]|α ∈ / Γ} = Do c = Γ = {0, 2, 3, 4, } Ví dụ 3.2.3 Cho A vành nửa nhóm biến liên kết với nửa nhóm Γ = {0, a1 , c, c + 1, }, với < a1 < c Khi đó, theo Định lý 3.2.1 A vành Gorenstein card {α ∈ [ 0, 1, , c − ]|α ∈ / Γ} = Do c = Γ = {0, 2, 4, 5, } Ví dụ 3.2.4 Cho A vành nửa nhóm biến liên kết với nửa nhóm Γ = {0, a1 , a2 , c, c + 1, }, với < a1 < a2 < c Khi đó, theo Định lý 3.2.1 A vành Gorenstein card {α ∈ [ 0, 1, , c − ]|α ∈ / Γ} = Do c = Γ = {0, 2, 4, 6, 7, } Γ = {0, 3, 4, 5, } Ví dụ 3.2.5 Cho A vành nửa nhóm liên kết với nửa nhóm Γ, Γ = {0, 2, 4, 5, } Khi c = nên số nhỏ thuộc Γ gồm 0, không thuộc Γ 1, nên A vành Gorenstein Bây ta xét vành nửa nhóm A liên kết với nửa nhóm Γ mà Γ = {0, 3, 4, 5, } Khi c = số nhỏ thuộc vào Γ có 0, cịn khơng thuộc Γ mà nhỏ có 1, nên A không vành Gorenstein 41 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại số kết mơđun tắc vành Gorenstein viết hai sách [3] [5] Nội dung luận văn bao gồm: (1) Hệ thống lại số kiến thức giải nội xạ tối tiểu, chiều nội xạ, độ sâu môđun, môđun Cohen-Maccaulay vành (2) Định nghĩa nêu đặc trưng mơđun tắc trường hợp chiều cao thông qua độ sâu, chiều nội xạ chiều vành Xét tính mơđun tắc (sai khác đẳng cấu) tính chất mơđun tắc qua địa phương hóa (3) Mơ tả cụ thể mơđun tắc vành nửa nhóm biến, có ví dụ minh họa (4) Định nghĩa vành Gorenstein thông qua mơđun tắc; Trình bày số đặc trưng vành Gorenstein qua tính hữu hạn chiều nội xạ tính triệt tiêu mơđun Ext (5) Đặc trưng tính chất Gorenstein vành nửa nhóm biến thơng qua tính chất tổ hợp nửa nhóm tương ứng Từ đưa số ví dụ cụ thể vành nửa nhóm biến Gorenstein 42 Tài liệu tham khảo [1] M.F Atiyah and I.G Macdonald, Introduction to Commutative Algebara Addition - Wesley, Reading, Mass, 1969 [2] Vũ Thị Dun, Mơđun tắc vành Gorenstein trường hợp chiều thấp Luận văn tốt nghiệp cao học k20, chuyên ngành đại số, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên [3] D Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer, 1995 [4] C Huneke, Hyman Bass and Ubiquity: Gorenstein Ring Algebra, K - theory, groups and education (New York, 1997), 55 - 78, contemp Math 234, Amer Math Soc., providence, RI, 1999 [5] H Matsumura, Commutative ring theory Cambridge University Press, 1986 [6] R.Y Sharp, Steps in commutative algebra Cambridge University Press, 1990 43 ... A = R/I R vành địa phương quy I iđêan sinh dãy quy A vành Gorenstein Các vành A = R/I mà R vành địa phương quy I iđêan sinh dãy quy gọi vành giao đầy đủ Và nói riêng vành quy vành Gorenstein. .. k) vành địa phương chiều không Một A? ?môđun hữu hạn sinh ωA gọi mơđun tắc A ωA bao nội xạ trường thặng dư A/m Trong trường hợp chiều vành lớn khơng, ta định nghĩa mơđun tắc quy nạp theo chiều vành. .. cực đại với chiều vành quan hệ môđun CohenMacaulay cực đại với mơđun tắc vành trường hợp chiều Đây kết đẹp trường hợp Mệnh đề 2.1.4 Cho (A, m, k) vành Cohen-Macaulay địa phương Nếu M A? ?môđun Cohen-Macaulay