Microsoft Word CAC CHUYEN DE 5 Thay Minh PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011 2012 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 1 BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC Thầy[.]
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC Thầy: Đinh Cơng Minh LỜI NĨI ĐẦU Trong chương trình tốn THPT KHỐI LỚP 12, học sinh biết đến số phức biểu thức có dạng: z a bi , ta gọi dạng đại số số phức, đó: a gọi phần thực số phức z b gọi phần ảo số phức z i đơn vị ảo, số lạ lẫm với tính chất bí hiểm: i 1 Cách tiếp cận số phức dạng z a bi giúp cho hầu hết học sinh làm phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai số phức với suy nghĩ tự nhiên là: Làm tốn với số phức hồn tồn giống làm tốn với số thực, có điều đặc biệt cần nhớ là: i 1 Về nói hầu hết học sinh phần chạm vào số phức Tuy nhiên, học sinh khó mà hiểu chất số phức, chí tin số phức số có thật số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực Số phức toán học ngày thuộc lĩnh vực rộng lớn lĩnh vực số thực Với khả hạn chế mình, người viết hy vọng giúp người đọc thấy vài điều thú vị số phức, điều quan trọng thấy chất số phức Nội dung viết bao gồm: Sự đời số phức Việc xây dựng số phức Cách biểu diễn số phức Sơ lược hàm số biến số phức Bài viết không vào ứng dụng đa dạng số phức Chắc chắn viết không tránh khỏi có sai sót, tác giả xin chân thành đón nhận đóng góp người đọc giúp cho tác giả dịp tự điều chỉnh học hỏi thêm Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về: GV: Đinh Cơng Minh, Tổ toán tin – trường THPT Chuyên Tiền Giang Email: tuminhkhoi@yahoo.com Phone: 0958.040.525 Trường THPT Chuyên Tiền Giang, ngày 05 tháng 02 năm 2012 Đinh Cơng Minh TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER) -1 SỰ RA ĐỜI CỦA SỐ PHỨC 1.1 Số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number), số giả tưởng tính chất bí hiểm đáng ngờ Số phức đời từ kỷ 16 Ta biết phương trình bậc hai: x 1 (1.1) khơng có nghiệm thực, tức vơ nghiệm xét trường số thực , , Các nhà toán học mong muốn phương trình có nghiệm, họ cịn muốn phương trình đa thức phải có nghiệm, điều xảy nghiệm khơng thể số thực mà phải thuộc loại số Điều làm nảy sinh ý tưởng phải mở rộng trường số thực thành trường số , , để trường số phương trình (1.1) có nghiệm Năm 1545, nhà toán học Italia G.Cardano giải vấn đề nghiệm phương trình (1.1) cách dùng ký hiệu 1 , hiển nhiên 1 , để thể nghiệm hình thức phương trình Tiếp tục phương pháp hình thức vậy, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức phương trình: x b b b 1 Cuối cùng, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức phương trình: x a b2 a, b a b 1 G Cardano gọi đại lượng a b 1 a, b đại lượng ảo, ngầm ý đại lượng khơng có thực, tức đại lượng giả tưởng Năm 1572, nhà toán học Italia Bombelli định nghĩa phép tốn số học đại lượng ảo mà ơng gọi số ảo (tên gọi số phức nhà toán học người Đức K.Gauss đặt vào năm 1831) Ông xem người sáng tạo nên lý thuyết số ảo, người thấy ích lợi việc đem số ảo vào tốn học cơng cụ hữu ích Q trình thừa nhận số phức cơng cụ toán học diễn chậm chạp: năm 1545, G.Cardano đưa ký hiệu cho ký hiệu 1 đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ L.Euler đặt tên 1 số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) i Điều có nghĩa là: i : 1, i 1 Tên gọi đơn vị ảo ký hiệu i : 1 gây nhiều tranh cải nghi ngờ giới toán học Chẳng hạn, nhà toán học I Newton không thừa nhận số ảo Đẳng thức đáng ngờ tính chất lạ lẫm đến bí hiểm: i 1 (1.2) phá quan hệ thứ tự tập hợp số quen thuộc TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC Nhà toán học người Đức K Gauss người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để đại lượng ảo Tuy nhiên, nhà toán học người Irland W.Hamilton người có cơng lao biến số phức từ số giả tưởng với tính chất bí hiểm: i 1 thành số có thật Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lý thuyết số phức cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề hóa để từ số phức trở thành số quen thuộc với người làm toán số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực G.Hamilton xét tập hợp z a, b / a, b gồm cặp số thực z a, b trang bị hai phép tốn cộng nhân thỏa bốn tiên đề T1 , T2 , T3 , T4 Khi đó, cặp số thực z a, b gọi số phức, dáng vẻ số phức chẳng cịn xa lạ với người làm tốn dựa hồn toàn số quen thuộc số thực Với z1 a1 , b1 , z2 a2 , b2 , ta có: T1 : (Tiên đề đồng hai số phức) a a2 z1 z2 b1 b2 T2 : (Tiên đề phép cộng hai số phức) z1 z2 a1 a2 , b1 b2 T3 : (Tiên đề phép nhân hai số phức) z1 z2 a1a2 b1b2 , a1b2 a2 b1 T4 : (Tiên đề đồng số thực số phức) a,0 a, a Ta xem bốn tiên đề nói lên điều làm Tiên đề T1 thức chất lặp lại định nghĩa đồng hai phần tử tích Descartes hai tập hợp Tiên đề T2 T3 cho thấy phép toán cộng nhân hai số phức hồn tốn xác định: phép cộng nhân hai số phức có kết số phức Với ba tiên đề T1 , T2 , T3 , ta kiểm tra cấu trúc đại số , , trường gọi trường số phức Trường số phức , , có tính chất đặc biệt sau đây: (1) Phần tử không phép cộng 0,0 (2) Phần tử đối z a, b phép cộng z a, b TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Do đó, , , ta định nghĩa phép toán trừ hai số phức sau: a1 , b1 a2 , b2 a1 , b1 a2 , b2 a1 , b1 a2 , b2 a1 a2 , b1 b2 (1.3) (3) Phần tử đơn vị phép nhân 1,0 , tức 1,0 a, b a, b 1,0 a, b , a, b (4) Phần tử đảo z a, b 0,0 phép nhân z 1 a b , z a b a b2 Do đó: zz 1 1,0 , z \ 0,0 Do đó, ta định nghĩa phép chia số phức z1 a1 , b1 cho số phức z2 a2 , b2 0,0 sau: a a bb a b a b a a1 , b1 b 1 a1 , b1 a2 , b2 a1 , b1 2 , 2 22 12 , 21 12 a2 b2 a2 , b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 (1.4) Tiên đề T4 tiên đề đặc biệt mà ta cần khảo sát kỹ lưỡng Trước tiên, ta thấy ánh xạ sau đơn ánh: 2 a a,0 Ngoài ra: Do T2 , T4 nên ta có: a b a b,0 a,0 b,0 a b Do T3 , T4 nên ta có: ab ab,0 a.b 0.0, a.0 0.b a,0 b,0 a b Do đó, đơn cấu trường nên phép nhúng trường số thực , , vào trường số phức , , Nói cách khác: Trường số thực , , đẳng cấu với trường trường số phức , , Do đó, ta đồng nhất: Trường số thực , , trường trường số phức , , Như phép đồng số thực a với số phức a,0 tiên đề T4 hồn tồn có nghĩa Khi đó: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Phần tử khơng phép cộng số phức số thực Phần tử đơn vị phép nhân số phức số thực Phương pháp tiên đề hoá để xây dựng khái niệm hệ tiên đề đòi hỏi tiên đề hệ phải độc lập với tương thích với nhau, nghĩa chúng hỗ trợ lẫn không mâu thuẫn với không mâu thuẫn với khái niệm cũ bao hàm khái niệm xác định hệ tiên đề Về bản, mà quan trọng nhất, điều phải thể chỗ: phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số phức z1 a1 ,0 z2 a2 ,0 phải có kết trùng với kết phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số thực a1 a2 Ta thấy yêu cầu nói nhà toán học W.Hamilton đáp ứng đầy đủ hệ tiên đề T1 , T2 , T3 , T4 xây dựng trường số phức Thật vậy: + Theo tiên đề T2 , T4 , ta có: a1 ,0 a2 ,0 a1 a2 ,0 a1 a2 (phép cộng số thực bảo toàn) + Theo tiên đề T3 , T4 , ta có: a1 ,0 a2 ,0 a1a2 0.0, a1.0 0.a2 a1a2 ,0 a1a2 (phép nhân số thực bảo toàn) + Do a, b a, b z1 z2 z1 z2 nên với tiên đề T3 , T4 , ta có: a1 ,0 a2 ,0 a1 ,0 a2 , 0 a1 a2 ,0 a1 a2 ,0 a1 a2 (Phép trừ số thực bảo toàn) b 1 a + Do: a, b , , a, b \ 0,0 a b2 a b và: a1 , b1 a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 , a2 b22 a2 , b2 a22 b22 nên với tiên đề T3 , T4 , ta có: a1 , a2 \ 0 : a1 ,0 a1a2 00 a2 a1 a1 a1 , ,0 a2 ,0 a22 02 a22 02 a2 a2 (Phép chia số thực bảo tồn) TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Ngồi ra, tiên đề T1 , T4 , ta cịn có: a1 ,0 a2 ,0 a1 a2 (phép đồng số thực bảo toàn) Bây giờ, ta thấy số giả tưởng i , số đơn vị ảo, với tính chất bí hiểm: i 1 đề cập trước qua hệ tiên đề W.Hamilton, trở thành số thật, quen thuộc tính chất đắn, thú vị khơng có bí hiểm cả! Xem i a, b a b 1 a i 1 a, b a, b 1,0 aa bb, ab ba 1,0 b ab Vậy, chọn i 0, 1 i 0,1 W.Hamilton đặt tên cho mà ta gọi đơn vị ảo i bởi: i 0,1 Vậy, số đơn vị ảo i đơn giản cặp thứ tự hai số thực vô quen thuộc Thật thú vị vai trò hai số thực đây: phần tử không phép cộng số thực, phần tử đơn vị phép nhân số thực! Tính chất bí hiểm: i 1 số đơn vị ảo i hoá giải, đưa ánh sáng! Kế đến, từ tiên đề T3 , T4 , ta có: a, b a,0 0, b a,0 b 0,1 a bi Đây dạng đại số số phức mà chương trình tốn 12 THPT dùng làm định nghĩa số phức Dạng đại số số phức tiện lợi phép tốn số học số phức Ta nói sau vấn đề Như số phức a, b tổng số thực thứ a với tích số thực thứ hai b với đơn vị ảo i Tiếp nữa, theo tiên đề T3 , T4 , ta có: a, b ,0 a, b a b, b 0.a , tức là: , a, b : a, b a, b Các phép tính số học số phức thực số thực Trong phần này, ta bàn phép tính số học cộng, trừ, nhân , chia số phức dạng đại số a bi thực thể chúng số thực mà học sinh THPT học Ta thấy rằng: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Các phép tốn số học số phức phép toán biểu thức thực biến i , i 1 Để chứng minh điều này, ta đối chiếu kết việc tính tốn cách hình thức phép tốn số học số phức có dạng a bi với kết việc tính tốn hệ tiên đề T1 , T2 , T3 , T4 hai kết (1.3), (1.4) Tính tốn hình thức phép cộng: a1 b1i a2 b2i a1 a2 b1 b2 i Tính tốn hình thức phép trừ: a1 b1i a2 b2i a1 a2 b1 b2 i Tính tốn hình thức phép nhân: a1 b1i a2 b2i a1a2 a1b2i a2 b1i b1b2i a1a2 b1b2 a1b2 a2 b1 i Tính tốn hình thức phép chia: a1 b1i a1 b1i a2 b2i a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i a2 b2i a2 b2i a2 b2i a22 b22 Rõ ràng, kết việc tính tốn hình thức số phức có dạng đại số a bi hoàn toàn trùng khớp với tính tốn số phức có dạng a, b theo hệ tiên đề W.Hamilton BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Cửa cịn đóng Khơng vào Cửa mở Mọi người tự (Đinh Cơng Minh) Quả vậy, nhờ có hệ tiên đề T1 , T2 , T3 , T4 nhà toán học W.Hamilton mà số phức từ bóng tối bí hiểm bước ngồi ánh sáng rực rỡ: Cửa mở! Bao nhiêu áp lực, ức chế, hoài nghi tồn số phức cấu trúc số phức nhà toán học giải toả Các nhà tốn học tìm cách trang điểm cho số phức theo nhiều kiểu cách., nói tóm lại nhà toán học đưa nhiều cách thú vị để biểu diễn số phức dạng: cặp số thực có thứ tự, dạng đại số, dạng lượng giác, dạng vector, dạng mũ, dạng ma trận 3.1 Biểu diễn số phức cặp số thực có thứ tự Đây cách biểu diễn tự nhiên theo tinh thần hệ tiên đề số phức W Hamilton, tức số phức z cặp số thực có thứ tự a, b thỏa mãn hệ tiên đề T1 , T2 , T3 , T4 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 3.2 Biểu diễn số phức z a, b dạng điểm z a, b mpOxy Vì số phức cặp số thực có thứ tự z a, b nên biểu diễn hình học số phức thành điểm z a, b mpOxy Khi đó: mpOxy gọi mặt phẳng phức Trục hoành tập hợp điểm a,0 a gọi trục thực Trục tung tập hợp điểm 0, b b 0,1 bi gọi trục ảo Phần tử không gốc tọa độ O Phần tử đơn vị điểm 1,0 Số đơn vị ảo i điểm 0,1 Hai số phức liên hợp z a, b z a, b biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục thực 3.3 Biểu diễn số phức z a, b dạng đại số z a bi Đây định nghĩa số phức chương trình tốn THPT dạng tiện lợi phép toán số học số phức 3.4 Dạng lượng giác r cos i sin số phức z a, b Gọi r, tọa độ cực điểm z a, b thể số phức z a, b thì: a r cos , b r sin , nên ta có dạng biểu diễn sau gọi dạng lượng giác số phức: z r cos i sin Chú ý rằng: r a b2 z module số phức z Ox, Oz gọi argument số phức z , ký hiệu arg z Argument có tính chất giống tính chất logarit sau đây: arg z1 z2 arg z1 arg z2 arg z1 arg z1 arg z2 z2 z2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Dạng lượng giác số phức tiện lợi phép tính nhân, chia, lũy thừa, khai số phức 3.5 Biểu diễn số phức z a, b dạng vector Oz a, b mpOxy Khi đó, module z z z a b2 số phức z a, b module vector Oz a, b Đây cách biểu diễn hình học số phức tiện lợi tính tốn cộng, trừ, nhân, chia số phức w y w y y z1 z2 z2 z1 O Hình z2 t z1 x O z x Hình O x Hình + Trước tiên, phép cộng hai số phức phép cộng hai vector hình + Phép trừ phép toán ngược phép cộng nên phép trừ hai số phức phép trừ hai vector + Phép nhân hai số phức z1 z2 cho hình Dựng điểm w cho tam giác Oz2 w đồng dạng thuận với tam giác O1z1 arg w arg z1 z2 Ta chứng minh w z1 z2 , tức chứng minh: w z1 z2 Thật vậy, ta có: w z w z1 z2 z2 arg w Ox, Ow Ox, Oz2 Oz2 , Ow arg z2 arg z1 arg z1 z2 + Phép chia số phức z1 cho số phức z 0,0 định hình học nên ta cần xác định z1 z1 phép nhân biểu diễn z z xong z Hình minh họa hình học cách xác định điểm với z 0,0 cho trước trường hợp z : z TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Dựng t hai giao điểm đường trịn đơn vị với đường vng góc với tia Oz Tiếp tuyến với đường tròn S cắt tia Oz w w z Ta chứng minh: w , tức chứng minh: z arg w arg z Hiển nhiên arg w arg z Hai tam giác Ozt Otw đồng dạng nên ta có: w t , w t z z Trường hợp z , ta hốn vị vai trị z w hình dựng Trường hợp z ta dựng z z z z Hai số phức liên hiệp đối xứng qua trục hoành nên z z z z z 3.6 Dạng mũ z rei số phức có dạng lượng giác z r cos i sin Đây dạng quan trọng giải tích phức, để xây dựng khảo sát hàm số biến số phức Trong giải tích phức, hàm số biến số phức nói chung hàm đa trị, chẳng hạn hàm f z n z n * có n giá trị phân biệt z Các nhà giải tích xây dựng hàm số tổng quát như: lũy thừa,căn thức, đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, loga, cho thu hẹp hàm trường số thực chúng hàm số thực quen thuộc Các công thức khai triển Taylor hàm sin, cos, exp giải tích thức thu hẹp công thức khai triển Taylor hàm phức cos z,sin z, e z sau đây: 1 2n z2 z4 z6 cos z z 2! 4! 6! n 2n ! n 1 n1 z3 z5 z7 sin z z z 3! 5! 7! n 2n 1 ! n zn z z z3 z4 1! 2! 3! 4! n 0 n ! ez TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10 skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Từ đây, ta có: iz iz iz z2 z4 z6 cos z 2! 4! 6! 2! 4! 6! iz iz iz iz z3 z5 z7 i sin z iz i i i 3! 5! 7! 1! 3! 5! 7! iz iz Do đó: iz iz cos z i sin z 1! 2! iz 3! 4! 5! eiz Ta công thức Euler: eiz cos z i sin z z công thức quan trong lý thuyết hàm biến phức Trở lại vấn đề dạng mũ số phức mà ta bàn Trong công thức Euler: eiz cos z i sin z z , chọn z được: ei cos i sin , Từ đây, với dạng lượng giác số phức: z r cos i sin , ta suy ra: r z z r cos i sin rei , arg z Dạng biểu diễn z rei z ei arg z gọi dạng mũ số phức Dạng mũ số phức tiện lợi tính tốn lũy thừa, khai số phức quan trọng dạng mũ số phức sử dụng để xây dựng khảo sát hàm số biến số phức lý thuyết hàm biến phức a b 3.7 Dạng ma trận số phức z a, b b a Số phức có dạng biểu diễn thú vị dạng biểu diễn thành ma trận vuông cấp hai a b Xét tập M / a , b với hai phép tốn cộng nhân ma trận thơng thường b a Có thể chứng minh M , , trường, đó: TỔ TỐN TRƯỜNG THPT CHUN TIỀN GIANG trang 11 skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN 0 Phần tử không ma trận 0 1 Phần tử đơn vị ma trận 0 a Phần tử đối phần tử z b NĂM HỌC 2011-2012 0 0 b a b phần tử z a b a a b a b Phần tử đảo phần tử z ma trận nghịch đảo z 1 a b2 b a b a Bây giờ, ta xác định gương mặt ma trận phần tử đơn vị ảo i thỏa: i 1 a b Muốn vậy, trước tiên ta tìm dạng ma trận z M đồng với số b a thực a Xét tập M / a M với hai phép toán cộng nhân ma trận cảm sinh M a Nhận xét ta có đẳng cấu: M0 a 0 0 a a a 0 Do đó, đồng số thực a với ma trận M a a 0 Xem i thỏa i 1 , tức là: 0 a a b a b 1 b a b a 1 a b2 2ab 1 a b2 1 a 2 ab a b ab b 1 1 Có thể chọn a 0, b đơn vị ảo ma trận i 1 Khi đó, số phức z tương ứng với ma trận: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 12 skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 a b a b a 1 z b a bi b a a b a 1 Ta tìm lại dạng đại số số phức! SƠ LƯỢC VỀ HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC Tương tự số thực, ta có hàm số nhiều biến phức nhận giá trị phức Mỗi hàm số biến phức w f z phép đặt tương ứng giá trị z D với nhiều giá trị w Nói chung, hàm biến phức hàm đa trị Với z x yi w u vi , tức là: x Re z, y Im z, u Re f z , v Im f z , ta viết: w f z u x, y iv x, y Do đó, việc cho hàm phức biến số phức w f z tương đương với việc cho hai hàm thực hai biến số thực u u x, y v v x, y Việc nghiên cứu hàm biến phức thuộc lĩnh vực Giải tích phứclà lĩnh vực rộng lớn Ta không đề cập TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nhập mơn giải tích phức, TS Nguyễn Hữu Anh, ĐH Tổng Hợp TP HCM, 1979 [2] Hàm phức toán tử Laplace, TS Võ Đăng Thảo, Đ.H.B.K TP HCM, 2004 [3] Hàm biến phức – Lý thuyết ứng dụng, TS Đậu Thế Cấp, NXB GD, 1999 [4] Hàm biến phức phép biến đổi Laplace, TS Phan Bá Ngọc, ĐHBK Hà Nội, 1996 [5] Số phức ứng dụng, Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Nguyễn Thủy Thanh, NXB GD, 2009 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 13 skkn ... TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC Nhà toán học người Đức K Gauss người đầu tiên,... TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 Các phép toán số học số phức phép tốn biểu thức thực biến... 1 Khi đó, số phức z tư? ?ng ứng với ma trận: TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 12 skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MƠN TỐN NĂM HỌC 2011-2012 a b