Sáng kiến kinh nghiệm dãy số và giới hạn số

Microsoft Word SKKN HOANCHINH doc TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI Người thực hiện NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2011 2012 skkn Dãy số và giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 2 I PHẦN MỞ ĐẦU 1[.]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2011-2012 skkn I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, học tập chuyên đề giảng viên, chuyên gia Toán Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chun viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hoàn chỉnh, cụ thể hố chun đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng cịn phân chia hai bảng A, B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó khối lượng kiến thức nhiều gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chuyên đề việc cần thiết tình hình Được ủng hộ thầy tổ Tốn trường THPT Chuyên Tiền Giang thực viết chuyên đề: “ Dãy số giới hạn dãy số” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng kiến thức Dãy số mà học sinh chuyên Toán học như: Phương pháp sai phân, phương trình sai phân, dãy trung bình Cesaro, giới hạn kẹp, liên hệ dãy số hàm số , giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng lý thuyết dãy số vào giải toán hàm số, phương trình hàm đồng thời định hướng trình suy nghĩ giải vấn đề, rèn Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn luyện tư sáng tạo toán học khả vận dụng sáng tạo giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống kiến thức dãy số, phân dạng tập hướng dẫn giải tập áp dụng Tùy theo nội dung vấn đề dãy số, chọn lọc số tập có kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức, phương trình hàm, … mà kỳ thi học sinh giỏi tốn thường hay gặp Vì chun đề nâng cao dãy số để rèn luyện kỹ giải Tốn cho học sinh giỏi nên chúng tơi khơng trình bày hệ thống lý thuyết dãy số, coi học sinh chun Tốn phải biết chương trình khóa dãy số để làm sở cho việc học chuyên đề Rèn luyện tư giải tốn thơng qua giải tập dãy số áp dụng dãy số để giải toán đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu - Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống toán Dãy số giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi học sinh giỏi Tốn - Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại tập, nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để học sinh trao đổi nghiên cứu - Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có hướng dẫn - Chúng tơi khơng trình bày chi tiết lời giải mà định hướng cách giải, phần giải dành cho học sinh.Tuy nhiên trước hướng dẫn cho học sinh tự giải vấn đề cách độc lập để phát từ em nhiều cách giải hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn - Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán Một số kết đạt Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải tập Dãy số giới hạn dãy số đồng thời áp dụng dãy số để giải toán hàm số Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức Dãy số giới hạn dãy số kiến thức khác : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Tổ hợp,… Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Các tập Dãy số giới hạn dãy số thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chuyên đề Dãy số phong phú nên viết chuyên đề: “ Dãy số giới hạn dãy số” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CĨ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Trong chương sau phần trình bày vấn đề có liên quan hệ thống tập có hướng dẫn Dù cố gắng nhiều đề tài khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CĨ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN I.1 Định nghĩa sai phân Cho hàm số y  f ( x ) xác định D Giả sử giá trị f ( x ) điểm x0 , x0  h, x0  2h, , x0  nh, ( h số) tương ứng là: y0 , y1 , y2 , , yn , Khi ta gọi hiệu: yi  yi  yi 1 sai phân cấp hàm f với i = 1, 2, …  yi  yi  yi 1  ( yi  yi 1 )  ( yi 1  yi  )  yi  yi 1  yi 2 sai phân cấp hàm f với i = 1, 2, …Cứ ta định nghĩa sai phân cấp cao I.2 Tính chất sai phân: - Sai phân cấp có tính tuyến tính tức  k ( f  g )   k ( f )   k ( g ) - Sai phân cấp k đa thức bậc n k > n; số k=n n - Tổng  y i  ( y1  y0 )  ( y2  y1 )   ( yn  yn 1 )  yn  y0 i 1 n Do để tìm tổng T   uk ta thường biểu diễn số hạng tổng quát uk  ak  ak 1 với k 1 n n k = 1,2,…,n Khi T   uk   (ak  ak 1 )  an  a0 k 1 k 1 I.3 CÁC BÀI TOÁN: 1 Bài 1: Cho dãy số (an ) thỏa a0  ; ak  ak 1  ak21 (k  1,2, , n) n CMR:   an  n Hướng dẫn: Ta có  a0  a1   an Từ n (ak  ak 1 )  ak21  n(ak  ak 1 )  ak ak 1  ak21  ak ak 1  (n  ak 1 )(ak  ak 1 )  ak ak 1 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn  1   ( 1) Vì ak  nên ak 1 ak n  ak 1 n 1 1 1    (  )      an  Mặt khác ak 1 ak n ak a0 an k 1 ak 1 1 1 1 n        an   ak 1 ak n  ak 1 n  a0 an n  n Nhận xét: Để chặn an ta biến đổi đẳng thức cho (1) nhằm xuất hiệu 1  sau áp dụng phương pháp sai phân để tính tổng ak 1 ak Bài 2: Cho dãy số (an ) thỏa a1  ; an1  an  an (n  1) Tìm phần nguyên 100 n 1 an  T  Hướng dẫn: an 1  an (an  1)  1 1 1       an1 an (an  1) an an  an  an an1 100 1 1   2 Vì a101  nên  T   [T ]  a  a a a n 1 n 101 101 Từ suy T   Nhận xét: Phần nguyên số thực a số nguyên lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Do n số nguyên n  a  n  [a] = n xn Bài 3: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  ; xn 1  2(2 n  1) xn  2001 Tính  x ( QG 2001) i i 1 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn Hướng dẫn: xn  0, n Đặt un  ta xn un1  4(2n  1)  un  un 1  un  4(2n  1)  un  4n  xn  1 4002    S 2001    un 2n  2n  4003 4003 Nhận xét: Bài dùng đổi biến để áp dụng phương pháp sai phân 1 Bài 4: Cho an     CMR: 2n  Hướng dẫn: 1  (2k  1)ak (2k  1)(a  k 1 n  (2k  1)a k k 1 )a 2k  k  2 1   (2k  1)ak 1ak ak 1 ak n i 1 ui n Bài 5: Cho dãy số (un ) thỏa u1  2; un1  u  un  Tìm lim  Hướng dẫn: (un ) dãy tăng un  2, n nên (un ) bị chặn tồn lim un  a Khi a  a  a   a  ( Vô lý).Vậy (un ) khơng bị chặn lim un   Ta có un1   un (un  1)  un1   n 1 1     1 1 un (un  1) un  un u u  k 1 k n 1 Nhận xét: - Dãy (un ) tăng bị chặn (un ) giảm bị chặn tồn giới hạn hữu hạn lim un ( ta nói dãy (un ) hội tụ) - Dãy (un ) tăng không bị chặn lim un   n n Bài 6: Cho a > dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn 1  ax  xn Tìm lim  i 1 xi xi 1 Hướng dẫn: ( xn ) dãy tăng xn  1, n nên ( xn ) bị chặn tồn lim xn  b Khi b  ab  b  b  ( Vô lý).Vậy ( xn ) không bị chặn Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn 10 lim xn   Ta có xk 1  xk xk2 x 1 1  xk 1  ax  xk  xk 1  xk  ax   a  k     xk xk 1 xk xk 1 xk 1 a  xk xk 1  k k n xk 1   1   x a x a k 1 k 1 n 1    Bài 7: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  Tìm n lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Ta có xn1  xn2  3xn  quy nạp chứng minh xn  3n 1 , n  suy lim xn   xn1   ( xn  1)( xn  2)  1 1 1    yn    xn  xn  xn1  xn1  n Bài 8: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  3; xn1  xn2  3xn  Tìm lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) dãy tăng lim xn   Ta có n 1 1    1 1 xn  xn  xn1  xn1  k 1 xk  n 1 Bài 9: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  ( xn2  1) Tìm lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) dãy tăng lim xn   Ta có n 1 1    1 1 xn  xn  xn1  k 1 xk  xn1  n i 1 ui Bài 10 : Cho dãy số (un ) thỏa u1  1; un1   u1u2 un 1un Tìm lim  Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn ... DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ... Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO... 24 = Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh skkn 18 Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ III.1.Tính chất 1: Cho hàm số f : D  D dãy số (un ) thỏa un1  f (un )  Nếu f hàm số tăng