Một Số Vấn Đề Của Lý Thuyết Nevanlinna Và Ứng Dụng Cho Đa Thức Vi Phân.pdf

VI�N H�N L�M KHOA HÅC V� CÆNG NGH� VI�T NAM VI�N TO�N HÅC NGUY�N VI�T PH×ÌNG MËT SÈ V�N �� CÕA LÞ THUY�T NEVANLINNA V� ÙNG DÖNG CHO �A THÙC VI PH�N LU�N �N TI�N S� TO�N HÅC H Nëi 2022 VI�N H�N L�M KHO[.]

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DƯNG CHO A THÙC VI PH…N LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC H  Nëi - 2022 VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DƯNG CHO A THC VI PHN Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M sè: 46 01 02 LUŠN N TI˜N Sž TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: PGS.TSKH TÔ Th Hoi An H  Nëi - 2022 Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An CĂc kát quÊ luên Ăn viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc nảu luên Ăn l trung thỹc v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh no khĂc TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng i Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TSKH TÔ Th Hoi An, mởt nh giĂo mău mỹc, nh khoa hồc tên tƠm  khổng ch nh hữợng v dẳu dưt tĂc giÊ trản ữớng nghiản cựu, m cỏn luổn quan tƠm v dÔy bÊo cho tĂc giÊ nhỳng bi hồc quỵ giĂ cuởc sống Lới Ưu tiản, tĂc giÊ xin ữủc php by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc nhĐt án ngữới cổ Ăng kẵnh TĂc giÊ xin ữủc trƠn trồng cÊm ỡn Ban lÂnh Ôo Viằn ToĂn hồc - Viằn Hn l¥m Khoa håc v  Cỉng ngh» Vi»t Nam, Trung t¥m o tÔo sau Ôi hồc, cĂc chực nông v c¡c nh  khoa håc cõa Vi»n To¡n håc ¢ gióp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi nhĐt cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Viằn TĂc giÊ cụng xin trƠn trồng cÊm ỡn Ôi số v Lỵ thuyát số  tÔo iÃu kiằn thuên lđi º t¡c gi£ ÷đc tham gia c¡c bi sinh hoÔt khoa hồc cừa liản TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Kinh tá v QuÊn tr Kinh doanh - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Khoa Khoa hồc cỡ bÊn v cĂc thƯy cổ giĂo Bở mổn ToĂn  luổn ởng viản v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt  tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn ny NhƠn dp ny tĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi PGS TS H TrƯn Phữỡng  dnh cho tĂc giÊ nhỳng tẳnh cÊm v sỹ ởng viản giúp ù quỵ bĂu Cuối cũng, xin dnh mõn qu tinh thƯn ny dƠng tng Bố, Mà, cĂc anh ch em Ôi gia ẳnh thƠn yảu, tng ngữới vủ hiÃn yảu dĐu, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn v dnh hát nhỳng tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản tĂc giÊ hon thnh kát quÊ nghiản cựu cừa mẳnh TĂc giÊ Nguyạn Viằt Phữỡng ii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Mð ¦u Khỉng iºm cõa c¡c a thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mởt số kián thực chu©n bà 7 1.1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cờ in 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi 12 1.2 ìợc lữủng khổng im cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 15 1.3 Kát luên 20 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh 22 2.1 Quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 23 2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mởt số dÔng a thực vi phƠn 26 2.3 Kát luên 37 T½nh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 3.1 CĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 39 3.2 C¡c a thùc vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ 52 3.3 Kát luên 73 Kát luên cừa luên Ăn Ti liằu tham khÊo 75 79 iii M Ưu nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số nõi rơng mởt a thực bêc n trản trữớng số phực C cõ úng n khổng im Vo nhỳng nôm cuối cừa thá k 18 Ưu thá k 19, c¡c nh  to¡n håc ¢ ph¡t triºn nhúng kát quÊ Ôt ữủc và sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực lản ối tữủng l cĂc hm nguy¶n m°t ph¯ng phùc Trong thíi gian n y, Borel  thnh cổng viằc kát hủp v cÊi tián c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar² v  Hadamard cho c¡c hm nguyản v lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bưt Ưu hẳnh thnh Lỵ thuyát ny nghiản cựu mêt ở cừa cĂc im m tÔi õ hm phƠn hẳnh nhên mët gi¡ trà cư thº Mët âng gâp nêi bªt cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cho cĂc hm phƠn hẳnh  ữủc nh toĂn hồc ngữới PhƯn Lan Rolf Nevanlinna ữa Sau ny, cĂc kát quÊ õ  gưn liÃn vợi tản tuời cừa v thữớng ữủc nhưc án vợi tản gồi Lỵ thuyát Nevanlinna Sỹ ới cừa lỵ thuyát ny ữủc Ănh giĂ l mởt nhỳng thnh tỹu àp  v sƠu sưc nhĐt ngnh giÊi tẵch phực v ngy cng cõ nhi·u ùng dưng nhúng l¾nh vüc kh¡c cõa toĂn hồc, chng hÔn nhữ lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát hồ chuân tưc, hẳnh hồc phực v lỵ thuyát số, TrÊi qua gƯn mởt trôm nôm, hữợng nghiản cựu  ữủc phĂt trin rĐt mÔnh m v  chựng kián sỹ õng gõp to lợn cừa cĂc nh toĂn hồc nữợc ngoi nhữ Gol'dberg, Ostrovskii, Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi, v  c¡c nh toĂn hồc nữợc nhữ L V Thiảm, H H Kho¡i,   Th¡i, S  Quang, T V TĐn, T T H An, Tuy nhiản, vợi tƯm quan trồng giÊi tẵch phực, hữợng nghiản cựu ny văn ang tiáp tửc thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa c¡c nh  to¡n håc Mưc ti¶u cõa c¡c nh  to¡n hồc l ữa cĂc bĐt ng thực giỳa hm ám, hm xĐp x v hm c trững cừa hm phƠn hẳnh, thổng qua cĂc bĐt ng thực õ cõ thº xem x²t sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c hm phƠn hẳnh v tẳm cĂc ựng dửng cừa cĂc kát quÊ õ Bi toĂn quan trồng lỵ thuyát n y l  nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡c khỉng im, cỹc im cừa mởt hm v Ôo hm cừa hm õ Nôm 1922, Põlya [43]  chựng mẳnh rơng náu hm phƠn hẳnh f cõ ẵt nhĐt hai cỹc im thẳ vợi mội số nguyản dữỡng k ừ lợn, Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh õ cõ ẵt nhĐt mởt khổng im Liản quan tợi kát quÊ õ, Gol'dberg [19]  t giÊ thuyát sau: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C v  k ≥ l  mët sè nguy¶n Khi â, ta câ N (r, f ) ≤ N r,
f (k) + o(T (r, f )), r → ∞ ngo i mët tªp câ ë o húu hÔn, õ T (r, f ) l hm c trững Nevanlinna, N (r, f ) l hm ám c¡c cüc iºm khỉng t½nh bëi cõa f v  N r, f (k) l 
h m ¸m c¡c khỉng iºm cừa Ôo hm cĐp k cừa hm f tẵnh cÊ GiÊ thuyát cừa Gol'dberg ch úng vợi cĂc Ôo hm cõ cĐp ẵt nhĐt l hai, xt v½ dư ìn gi£n l  h m f (z) = tan z , â h m f câ væ sè cüc im Ôo hm cĐp mởt f khổng cõ khổng im Nôm 1986, Frank v Weissenborn [18] Â chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg bơng phữỡng phĂp Wronskian ối vợi trữớng hủp hm phƠn hẳnh f ch cõ cĂc cüc iºm ìn Sau â, Langley [25] ¢ chùng minh rơng náu f l mởt hm phƠn hẳnh cĐp hỳu hÔn thọa mÂn iÃu kiằn Ôo hm cĐp hai f 00 cõ hỳu hÔn khổng im thẳ f cõ hỳu hÔn cỹc im Nôm 2013, bơng viằc xƠy dỹng hm xĐp x hiằu chnh v ữa cĂc chn cho hm xĐp x õ, Yamanoi [33] Â tÔo mởt bữợc ởt phĂ lỵ thuyát Nevanlinna vợi chựng minh hon ton giÊ thuyát Gol'dberg v thêm chẵ kát quÊ cừa ữa cỏn mÔnh hỡn giÊ thuyát ban Ưu Viằc chựng minh giÊ thuyát Gol'dberg cõ ỵ nghắa rĐt lợn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr, nõ Â giúp cho cĂc nh toĂn hồc vữủt qua nhiÃu khõ khôn viằc giÊi quyát cĂc bi toĂn quan trồng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm phƠn hẳnh GiÊ sỷ f l mởt hm phƠn hẳnh trản C v a C Kẵ hiằu (a, f ) = lim inf r→∞ m r, f −a
= − lim sup T (r, f ) N r, f −a r→∞
T (r, f ) l  sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v  Θ(a, f ) = − lim sup r→∞ N r, f −a
T (r, f ) l  phƠn nhĂnh ton phƯn cừa f Tứ cĂc nh nghắa trản, dng thu ữủc cĂc chn sau: ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ Mt khĂc, nh lỵ cỡ bÊn thự hai cừa Nevanlinna cho chóng ta th§y têng t§t c£ c¡c sè khuyát cừa mởt hm phƠn hẳnh luổn b chn trản bi v Ơy l b chn tốt nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh xt trữớng hủp tờng quĂt Tuy nhiản, ối vợi mởt số lợp hm hàp hỡn, chn trản ny cõ th ữủc giÊm xuống Thêt vêy, vợi ỵ rơng tĐt cÊ cĂc cỹc im cừa Ôo hm cĐp k cừa hm phƠn hẳnh f Ãu cõ ẵt nhĐt l k + 1, Hayman [21]  ch rơng, vợi mồi k N, X Θ(a, f (k) ) ≤ + a∈C k+1 Nôm 1971, Mues [41]  chựng minh dĐu bơng bĐt ng thực trản xÊy f l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati vợi cĂc hằ số hơng iÃu õ chựng tọ bĐt ng thực trản cừa Hayman l tốt nhĐt Khi thay phƠn nhĂnh ton phƯn (a, f (k) ) bi số khuyát (a, f (k) ) bĐt ng thực trản thẳ chn trản thu ữủc cõ th l mởt số nhä hìn thüc sü Cư thº, Mues ¢ chùng minh r¬ng X δ(a, f (k) ) ≤ a∈C k + 5k + < + k + 4k + k+1 vỵi måi k ∈ N Ngoi ra,  t giÊ thuyát rơng chn trản õ phÊi l 1, v  chựng minh ữủc giÊ thuyát õ vợi k v hm phƠn hẳnh f cõ ẵt cỹc im Nôm 1990, Yang [36] v Ishizaki [23]  ởc lêp ữa mởt chn trản tốt hỡn cho tờng số khuyát cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh l 2k+2 2k+1 án nôm 1992, Yang v Wang [37]  chựng minh giÊ thuyát Mues úng vợi mồi k K(f ), vợi K(f ) l mởt số nguyản dữỡng ch phử thuởc vo hm f Sau õ, giÊ thuyát ny  ữủc Wang [30] chựng minh l úng vợi mồi k 0, ngoÔi trứ nhiÃu nhĐt bốn giĂ tr cừa k Chẳa khõa cĂc chựng minh ữủc ữa bði c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ·u câ mët iºm chung â l  hå cè g­ng t¼m mèi liản hằ giỳa số cỹc im cừa hm phƠn hẳnh v số khổng im cừa Ôo hm cừa hm phƠn hẳnh õ dÔng yáu hỡn giÊ thuyát Gol'dberg Nôm 2013, Yamanoi [33]  chựng minh thnh cổng giÊ thuyát Gol'dberg, v tứ õ thu ữủc giÊ thuyát Mues nhữ mởt hằ quÊ VĐn à tỹ nhiản ữủc t â l  têng qu¡t gi£ thuy¸t Gol'dberg v  gi£ thuyát Mues theo hữợng nhữ sau: 1) Tẳm mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v  sè khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa hm phƠn hẳnh õ 2) Tẳm quan hằ số khuyát cừa a thực vi phƠn cừa mởt hm phƠn hẳnh Liản quan án vĐn à thự hai trản, Jiang v  Huang [24] ¢ x²t cho c¡c ìn thùc vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh f cõ dÔng f l (f (k) )n , â l, n, k l  cĂc số nguyản lợn hỡn Hồ  nhên ữủc chn trản cho tờng cĂc số khuyát cừa ỡn thực vi ph¥n n y l  + nk+n+l Tuy nhiản, chn ny cõ th ữủc lm tốt hỡn, Ơy l mởt nhỳng mửc tiảu cừa luên vôn ny Ta nâi r¬ng mët gi¡ trà a ∈ C l  mởt giĂ tr Picard cừa hm phƠn hẳnh f náu f a khổng cõ khổng im nh lỵ Picard ch rơng mởt hm phƠn hẳnh khĂc hơng ch¿ câ thº câ nhi·u nh§t hai gi¡ trà Picard hỳu hÔn Nôm 1959, Hayman  chựng minh rơng Ôo hm cĐp k (k 1) cừa mởt hm phƠn hẳnh bĐt ký cõ th cõ nhiÃu nhĐt mởt giĂ tr Picard hỳu hÔn ối vợi trữớng hủp hm nguyản, kát quÊ cừa Milloux [22] ch rơng náu mởt h m nguy¶n si¶u vi»t câ mët gi¡ trà Picard húu hÔn thẳ cĂc Ôo hm cừa nõ nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn Kát quÊ ny sau õ ữủc m rởng cho hm phƠn hẳnh siảu viằt bi Hayman [21] Mởt im hÔn chá cĂc kát quÊ trản õ l yảu cƯu hm phƠn hẳnh cõ giĂ tr Picard hỳu hÔn Mởt cƠu họi tỹ nhiản ữủc t l liằu giÊ thiát và sỹ tỗn tÔi cừa giĂ tr Picard cõ th bọ i hay khổng náu ta xem xt mởt lợp hm phƠn hẳnh no õ? Liản quan án vĐn à ny, Hayman [21]  chựng minh rơng: Cho f l mởt hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C v n l  mët sè nguy¶n Khi â, f n f nhên mội giĂ tr hỳu hÔn khĂc khổng vổ số lƯn ặng giÊ thuyát rơng kát quÊ ny úng vợi mồi n Nôm 1979, Mues [42]  ÷a chùng minh cho tr÷íng hđp n = án nôm 1995, Bergweiler v Eremenko [10] v Chen v Fang [14]  ữa chựng minh cho trữớng hủp n = Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ỡn thực vi phƠn, Hayman [21]  ữa cƠu họi: Náu f l hm phƠn hẳnh siảu viằt trản C, n v a 6= thẳ ϕ = f − af n nhªn méi gi¡ tr hỳu hÔn vổ số lƯn? ặng  chựng minh ữủc rơng khng nh õ úng n v cụng ữa cĂc phÊn vẵ dử  ch rơng khng nh trản khổng úng n = v n = Tuy nhiản, Mues [42]  ữa cĂc phÊn vẵ dử  ch rơng kh¯ng ành â khỉng óng vỵi n = 3, bơng viằc xt hm f l nghiằm khĂc hơng bĐt ký cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati w0 = (1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vỵi η = e2πi/3 ) cho trữớng hủp n = v phữỡng trẳnh vi phƠn Riccati w0 = 2(w2 + 1) cho trữớng hủp n = Nôm 1982, Doringer [15]  chựng minh rơng kát quÊ trản ữủc thọa mÂn náu thay ϕ = f − af n bði ϕ = f (k) − af n n ≥ k + Mửc tiảu tiáp theo ữủc chúng tổi nghiản cựu luên Ăn ny õ l: Xem xt phƠn bố gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn Thổng thữớng vợi mội kát quÊ trản lỵ thuyát ph¥n bè gi¡ trà, chóng ta hy vång câ mët kát quÊ tữỡng ựng và sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Nôm 1996, Fang v Hua [17]  xem x²t sü x¡c ành nh§t cõa c¡c h m nguyản f thổng qua Ênh ngữủc cừa a thực vi phƠn f f n Sau õ, kát quÊ n y ÷đc Yang v  Hua [35] mð rëng cho tr÷íng hủp cĂc hm phƠn hẳnh Bi toĂn cho a thực vi phƠn cĐp mởt f f n (f 1) ÷đc chùng minh bði Fang v  Hong [16] f l  h m nguy¶n v  bði Lin v  Yi [27] f l hm phƠn hẳnh Nôm 2013, Boussaf v cĂc ỗng nghiằp [12]  xt bi toĂn cho trữớng hủp tờng quĂt hỡn bơng viằc ữa cĂc iÃu ki»n th½ch hđp v· sè bëi cõa c¡c khỉng iºm cừa Ôo hm cừa a thực Q(z) cho vợi hai hm phƠn hẳnh f v g , náu (Q(f ))0 v  (Q(g))0 chung mët h m nhä α t½nh c£ thẳ f = g Bản cÔnh õ mởt số tĂc giÊ khĂc chng hÔn nhữ: Bhoosnurmatha v Dyavanal [11], Zang [38], Xu ỗng nghiằp [31],  xt cho trữớng hủp a thực vi phƠn cĐp cao hỡn Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ trản Ãu xt a thực vi phƠn cõ dÔng [f n P (f )](k) v kát luên rơng náu f v g l cĂc hm phƠn hẳnh thọa mÂn [f n P (f )](k) − α v  [g n P (g)](k) − α chung khỉng iºm, vỵi α l  h m nhä v  n l số nguyản dữỡng ừ lợn, thẳ f = g Tuy nhiản, chúng tổi nhên thĐy cõ mởt số hÔn chá liản quan án cĂc kát quÊ ny Cử th, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c a thùc câ ½t nh§t mët khỉng iºm c§p õ cao v  c¡c h m nhọ phÊi cõ hỳu hÔn khổng im v cỹc im Vẳ vêy, mửc tiảu tiáp theo cừa chúng tổi l xt bi toĂn trản cho cĂc biu diạn tờng qu¡t hìn v  bä qua i·u ki»n v· t½nh húu hÔn cừa cĂc khổng im v cỹc im cừa hm nhọ ỗng thới, chúng tổi cụng ữa cĂc kát quÊ trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ khổng tẵnh Luên Ăn ữủc chia thnh ba chữỡng vợi phƯn m Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng 1, ngoi phƯn Ưu dnh cho viằc trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn ữủc dũng luên Ăn, chúng tổi ữa c¡c k¸t qu£ v· c¡c khỉng iºm cõa a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh (nh lỵ 1.2.1) nh lỵ ny ữa mối liản hằ giỳa số cỹc im cừa mởt hm phƠn hẳnh v số khỉng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n hẳnh õ Nhữ mởt hằ quÊ cừa nh lỵ 1.2.1 chúng tổi thu ữủc kát quÊ cừa Yamanoi trữớng hđp °c bi»t v  mð rëng gi£ thuy¸t Gol'dberg K¸t quÊ nghiản cựu cừa chúng tổi chữỡng ny dỹa vo bi bĂo [5] Chữỡng dnh cho viằc nghiản cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi phƠn PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa quan hằ số khuyát cho a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh (nh lỵ 2.1.1) nh lỵ ny l mởt ựng dửng trỹc tiáp cừa nh lỵ 1.2.1 Chữỡng v ỗng thới cụng cho ta mởt dÔng tờng quĂt hỡn cừa giÊ thuyát Mues cho a thực vi phƠn cừa cĂc hm phƠn hẳnh PhƯn cuối cừa chữỡng ny ữủc dnh cho viằc nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh Trong phƯn ny, cĂc nh lỵ 2.2.1, 2.2.5 v 2.2.7 l c¡c mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho c¡c a thực vi phƠn tờng quĂt hỡn Chữỡng ữủc trẳnh b y düa v o c¡c b i b¡o [5, 7] Ch÷ìng trẳnh by cĂc kát quÊ và tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi phƠn chung mởt hm nhọ PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa cĂc c trững cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ cĂc trữớng hủp tẵnh cÊ v khổng tẵnh (nh lỵ 3.1.2, nh lỵ 3.1.4 v nh lỵ 3.1.5) PhƯn cuối cừa chữỡng ữa cĂc ựng dửng cừa cĂc nh lỵ phƯn Ưu cho viằc nghiản cựu tẵnh nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh trữớng hủp cĂc a thực vi .. .VI? ?N H€N L…M KHOA HÅC V€ CỈNG NGH› VI? ?T NAM VI? ?N TON HÅC NGUY™N VI? ?T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DƯNG CHO A THÙC VI PHN Chuyản ngnh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46... ữa chựng minh cho trữớng hủp n = án nôm 1995, Bergweiler v  Eremenko [10] v  Chen v  Fang [14]  ữa chựng minh cho trữớng hủp n = Thay cho vi? ?c ch¿ x²t b i to¡n cho ìn thực vi phƠn, Hayman... ch÷ìng n y düa v o b i bĂo [5] Chữỡng dnh cho vi? ??c nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa cĂc a thực vi phƠn PhƯn Ưu cừa chữỡng ữa quan hằ số khuyát cho a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh (nh lỵ 2.1.1)