CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Tailieumontoan.com  Hà Vũ CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC Su tm tng hp Cực trị hình học Trang - CỰC TRỊ HÌNH HỌC Kiến thức trọng tâm A-Phương pháp giải toán cực trị hình học 1- Hướng giải tốn cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề u cầu Ví dụ : Cho đường trịn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB dây vng góc với OP P , dây CD C dây qua P không trùng với AB ( h.1) O Kẻ OH ⊥ CD H ∆OHP vuông H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB B A P D h GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Như tất dây qua P , dây vng góc với OP P có độ dài nhỏ +Cách : Xét dây AB qua P ( h.2) Kẻ OH ⊥ AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: A AB nhỏ ⇔ OH lớn O Ta lại có OH ≤ OP H OH = OP ⇔ H ≡ P P Do maxOH = OP B h Khi dây AB vng góc với OP P B-Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1- Sử dụng quan hệ đường vng góc , đường xiên , hình chiếu a-Kiến thức cần nhớ: A B A K A C h.3 a a b H B C H h.5 h.4 B a1) ∆ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB + AB < AC ⇔ HB < HC Dấu “=” xảy ⇔ B ≡ H a3)( h.5 ) A,K ∈a; B, H ∈b; a // b ; HK ⊥ a ⇒ HK ≤ AB Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ K B ≡ H b-Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Giải : B A B C H O A O≡H C D D h.6 GV Vị Hµ - THCS long xuyên h.7 website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Xét hình bình hành ABCD có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O giao điểm hai đường chéo Kẻ BH ⊥ AC Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 ⇔ BH ≡ BO ⇔ H ≡ O ⇔ BD ⊥AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ E K Giải : A B ∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GHD F ⇒ HE = EF = FG = GH ⇒ EFGH hình thoi O H  = BEF  AHE  + AEH =  + AEH = ⇒ AHE 900 ⇒ BEF 900 C D  = 900 G ⇒ HEF ⇒ EFGH hình vng h.8 Gọi O giao điểm AC EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG , O tâm hai hình vng ABCD EFGH ∆HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 ⇒ HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do chu vi EFGH nhỏ ⇔ OE nhỏ Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK ⇔ E ≡ K Do minOE = OK Như , chu vi tứ giác EFGH nhỏ E,F,G,H trung điểm AB , BC, CD, DA GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ x y Tính diện tích tam giác D Giải: Gọi K giao điểm CM DB = B = 900 , AMC  = BMK  MA = MB ; A ⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK Mặt khác DM ⊥CK 1 = D 2 ⇒ ∆DCK cân ⇒ D H C A Kẻ MH ⊥ CD ∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a ⇒ SMCD = CD.MH ≥ 12 B M K 1 AB.MH = 2a.a= a2 2 h.9  = 450 ; SMCD = a2 ⇔ CD ⊥ Ax AMC  =450 BMD Vậy SMCD = a2 Các điểm C,D xác định Ax; By cho AC = BC = a  góc tù , điểm D di chuyển cạnh BC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn Giải: A Gọi S diện tích ∆ABC Khi D di chuyển cạnh BC ta có : E SABD + SACD = S Kẻ BE ⊥AD , CF ⊥ AD C 2 ⇒ AD.BE + AD.CF = S H B D h.10 2S ⇒ BE +CF = AD Do BE + CF lớn ⇔ AD nhỏ ⇔hình chiếu HD nhỏ  >900 ) HD = HB ⇔ D ≡ B Do HD ≥ HB ( ABD F Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị h×nh häc Trang - 2- Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ:  điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ví dụ 5:Cho góc xOy Ox, điểm C thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Giải: m Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy y  = xOA  Trên tia Om lấy điểm D cho yOm D cho OD = OA Các điểm D A cố định  = BOA  OD =OA, OC = OB , COD C A ⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB O Do AC +AB = AC +CD B x h.11 Mà AC +CD ≥ AD ⇒AC +AB ≥ AD Xảy đẳng thức C ∈AD Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy , B thuộc tia Ox cho OB = OC Ví dụ 6:Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải : F A B I K E M D F A B I G E K G C H h.12 M D H C h.13 Gọi I ,K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG , EH (h.12) ∆AEF vng A có AI trung tuyến ⇒ AI =1/2EF GV Vị Hµ - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang ∆CGH vng C có CM trung tuyến ⇒ CM =1/2GH IK đường trung bình ∆EFG ⇒ IK = 1/2FG KM đường trung bình ∆EGH ⇒ KM = 1/2EH Do : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng    nên EF//DB , tương tự Khi ta có EH//AC,FG//AC, AEI = EAI = ADB GH//DB Suy tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng bất đẳng thức đường tròn a-Kiến thức cần nhớ: C D C A H A O B B K h.14 O O C D C D B B A D h.15 A h.16 h.17 a1) AB đường kính , CD dây ⇒ CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD ⇔ OH ≤ OK (h.15)  ≥ COD  (h.16) a3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AOB  ≥ CD  (h.17) a4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD ⇔ AB b-Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ∆ACD có chu vi lớn Giải: GV Vị Hµ - THCS long xuyªn A D O n C’ m B C O’ D website: tailieumontoan.com h.18 Cực trị hình học Trang -  = sđ AmB  ; sđ D  = sđ AnB  sđ C 2 ⇒ số đo góc ∆ACD khơng đổi ⇒ ∆ACD có chu vi lớn cạnh lớn , chẳng hạn AC lớn AC dây đường tròn (O) , AC lớn AC đường kính đường trịn (O), AD đường kính đường trịn (O’) Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn Xác định  có giá trị lớn dây AB qua P cho OAB Giải:  lớn Xét tam giác cân OAB , góc đáy OAB  nhỏ góc đỉnh AOB B’ O  = sđ AB  AOB ) A H P  nhỏ ⇔ Cung AB  nhỏ ⇔ Góc AOB dây AB nhỏ ⇔ Khoảng cách đến tâm OH lớn A’ h.19 Ta có OH ≤ OP OH =OP ⇔ H ≡ P nên max OH = OP ⇔ AB ⊥ OP Suy dây AB phải xác định dây A’B’ vng góc với OP P 4- Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai a-Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2 ≥ ; −A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = A x E f = − A2 + m ≤ m ; max f = m với A = b-Các ví dụ: Ví dụ 9: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: 4-x 4-x B F H D G h.20 GV Vũ Hà - THCS long xuyên B website: tailieumontoan.com C Cực trị hình học Trang ∆AHE = ∆BEF = ∆CFG = ∆DGH ⇒ HE = EF = FG = GH , HEF = 900 ⇒ HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ Đặt AE = x HA = EB = 4-x ∆HAE vng A nên : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4 − x)2 = 2x2 − 8x +16 = 2(x − 2)2 +8 ≥ HE = =2 ⇔ x = Chu vi tứ giác EFGH nhỏ cm , AE = cm Ví dụ 10: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải: ADME hình chữ nhật A Đặt AD = x ME = x x D 8- x EM CE x CE ME //AB ⇒ = ⇒ = ⇒ CE = x E AB CA B ⇒ AE = − x C M h.21 4 Ta có : SADME = AD AE = x ( − x ) = 8x − x2 3 = − (x − 3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12 cm2 ⇔ x =3 Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 ,khi D trung điểm AB , M trung điểm BC E trung điểm AC 5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si a-Kiến thức cần nhớ: x+y ≥ xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có : Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau : GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com Cực trị hình học Trang - + Dạng 1: x + y 2 ( x + y) ≥ ( x + y) + Dạng 2: ( x + y) ≥4 x +y ; 2 ≤2 Dấu “=” xảy x = y ≥ xy xy 2 ; xy ( x + y) x + y2 ( x + y) ≤ ≥ 2 Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y b-Các ví dụ: Ví dụ 11: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ Giải : Đặt MA =x , MB = y Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) O O’ M B • • Gọi S S’ theo thứ tự diện A y x tích hai hình trịn có đường kính MA MB Ta có : h.22 x + y2 x y S +S’ = π   + π   = π 2 2 2 Ta có bất đẳng thức : x + y ( x + y) S +S’ ≥ π ( x + y) ≥ 2 nên : AB2 = π 8 Dấu đẳng thức xảy x = y AB2 Khi M trung điểm AB Do (S+S’) = π Ví dụ 12: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc GV Vũ Hà - THCS long xuyên website: tailieumontoan.com