Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH
Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình khơng gian tốn khơng khó đề thi TSĐH ln làm cho nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề hy vọng giúp bạn học sinh hiểu rõ chất toán để từ tìm chìa khóa giải triệt để dạng toán Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính tốn ⊻ Trong tam giác vng ABC (vng A) đường cao AH ta ln có: - b = c tan B , c = b tan C , AH = HB.HC - 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AC AB AC AB + AC A B H C ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = b2 + c2 − a2 2bc Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: - S ∆ABC = 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - S = p.r (Trong p chu vi, r bán kính vịng trịn nội tiếp tam giác) - S= abc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN ⊻ Thể tích khối đa diện: - Vchop = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - VLT = B.h Phần 2) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vng với đáy chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến Loại 3: Khối chóp có mặt kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề - Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng trịn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vịng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC Việc xác định chân đường cao yếu tố đặc biệt quan trọng để giải câu hỏi tốn hình khơng gian cổ điển - Phần 3: Các tốn tính thể tích A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Để giải tốt dạng tập em cần nắm dấu hiệu để xác định đường cao sử dụng cơng thức + Vchóp = B.h + VLT = B.h Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , có AB = AD = a, CD = a Góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD ’’ NGUYỄN TRUNG KIÊN Vì mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với đáy ABCD mà ( SBI ) ( SCI ) có giao tuyến SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Kẻ IH ⊥ BC ta có góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) ˆ = 600 Từ ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a SHI a 3a 2S 2 IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên IH = ∆IBC = 2 BC 3 15 a Từ tính VSABCD = a 5 S A B I D H C Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn B ' C ' , I giao điểm BM B ' C Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao toán là:’’ I nằm mặt bên ( BCC ' B ') vng góc với đáy ( ABC ) ’’ Ta có: - ABCA ' B ' C ' lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC IH ⊥ ( ABC ) I trọng tâm tam giác BB ' C ' ⇒ IH CI 4a = = ⇒ IH = BB ' CB ' 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a VIABC = 1 4a IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 C' A' M B' I O C A H B Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải: +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Ta có: AC = AB + BC = a + 2a = a 3; BM = AB + AM = a + 2a a = Gọi O = AC ∩ BD ;do I giao điểm hai đường trung tuyến AO BM nên trọng tâm tam giác ABD Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: AI = a a ; BI = BM = AO = AC = 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN Nhận xét: AI + BI = Do BM ⊥ AI a 2a + = a = AB , suy tam giác AIB vuông I 3 (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) Từ (1) (2) suy BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB khối chóp NAIB Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Điểm N nằm mặt phẳng ( SAC ) vng góc với đáy ( ABCD ) ’’ Do NO đường trung bình tam giác SAC nên ta có: NO / / SA NO = a SA = 2 Do NO đường cao tứ diện ANIB Diện tích tam giác AIB là: S AIB 1 a a a2 = AI BI = = 2 3 1 a 2 a a3 Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB NO = = 3 36 S N M A D I O B C NGUYỄN TRUNG KIÊN Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ ta có lời giải sau: Gọi O hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) I , H , J hình chiếu O AB, BC , CA Theo định lý ba đường vng góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC , SJO , SHO góc hợp mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) mặt đáy Suy ra: SIO = SJO = SHO = 600 Theo giả thiết ta có: SIO Các tam giác vng SOI , SOJ , SOH nên OI = OJ = OH Do O tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC tam giác cân A nên AH vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, H thẳng hàng H trung điểm BC Tam giác ABH vng H , ta có: AH = AB − BH = 9a − a = 2a Diện tích tam giác ABC là: S ABC = Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ⇒r= 1 BC AH = 2a.2a = 2a 2 2 ( AB + AC + BC ) = 4a r : bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC S ABC 2a 2 a = = = OH 4a p NGUYỄN TRUNG KIÊN Tam giác SOH vng O , ta có: SO = OH tan 600 = a 1 a 2a 3 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC SO = 2a 2 = 3 S I A B O H J C Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AB = a 3, AC = a Biết đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C khoảng cách từ đỉnh B đến mặt 6a phẳng (C’AC) Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a tính cosin góc tạo mặt 15 phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng đáy ( ABC ) Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C ⇔ C ' A = C ' B = C ' C ’’ C' B' A' N H B C M I A K NGUYỄN TRUNG KIÊN - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Suy H tâm vòng ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vng A nên H trung điểm BC Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = Ta có: HM = 3a d B /( ACC ') = 15 a AB = ⇒ C ' H = a từ tính CC ' = 2a 2 1 1 a3 Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H dt ( ABC ) = a .a 3.a = 3 2 AC suy I trung điểm AB Tam giác ABC vuông A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo ( ABB ' A ') - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) C ' HKA ' hình chữ nhật Gọi I = HK ∩ AB OI / / = đáy ( ABC ) A ' IK Ta có: cos A ' IK = IK = IK Tính A' I a a 13 IK 13 ⇒ cos = HK = ; A ' I = IK + A ' K = A ' IK = 2 A'I 13 = 600 Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD SAB tam giác Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu vng góc H lên mặt a 15 phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = điểm K nằm tam giác SCD Giải: Bài toán cho theo kiểu giả thiết mở Dấu hiệu để tìm đường cao khối chóp là:’’ SAB tam giác Tức SA = SB '' NGUYỄN TRUNG KIÊN S B C 120° K H E F D A Gọi E trung điểm CD, F trung điểm ED Với giả thiết SA = SB ta suy chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) Ta có: VSABCD = 2VSHCD = HK dt ( SCD ) Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = SF CD; Mà SF = SK + KF ; SK = SH − HK ; KF = HF − HK SH đường cao tam giác SAB suy ra: SH = a 3, HF đường cao tam giác HDE suy ra: HF = a 3 15a Thay số ta có: SF = 10 Vậy: VSABCD = a 3 15a 3a3 2a = 10 NGUYỄN TRUNG KIÊN Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = a = SCB = 900 Tính thể tích khối chóp khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB S.ABC theo a Giải: Đây toán dễ làm cho học sinh bối rối xác định đường cao hình chóp S K C H A B AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA Hạ SH ⊥ ( ABCD ) AB ⊥ SA Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC hình vng Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a Mặt khác ta có: HK = HC + HS ⇒ SH = HK HC HC − HK =a 1 3a 6a Thể tích khối chóp VSABC = SH S ∆ABC = a = 3 2 Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 10 ... A D H O B C Hạ SH ⊥ BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ ∆SHA = ∆SHC ⇒ SA = SC Từ giả thi? ??t ta suy ∆ASC = ∆ADC = ∆ABC ⇒ OB = SO = OD ⇔ ∆SBD vng S Tính BD = a 3, SH = SB.SD SB + SD 1 a a2 VSABCD = SH S ABCD =... = = = VABCD VSABC SA.SB.SC NGUYỄN TRUNG KIÊN 12 1 3 Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD ) = SA AD AB.sinDABˆ = a.a.a = a3 3 V( SAB′C ? ?D? ??) = 3 a (đvtt) 18 S D'' C'' I A'' D A O B C Ví d? ?? 4) (D? ?? bị A 2007)... ) = d ( S , ( ABC ) ) 1 d ( P, ( ABC ) ) Do đó: VPCIJ = SCIJ d ( P, ( ABC ) ) = CI CJ sin BCD 3 3 d ( S , ( ABC ) ) = CB CD.sin BCD 2 1 d ( S , ( ABC ) ) = V = CB.CD.sin BCD