CHỈNH HỢP LẶP - TỔ HỢP LẶP

CHỈNH HỢP LẶP - TỔ HỢP LẶP

CH NH H P L P - T H PL P Tr n Th Thanh Hư ng, Tr n ð c Duy, Mai H u Nhân, 11T THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long Bài tốn m đ u Có cách x p viên bi gi ng vào h p khác L i gi i tốn bày có th li t kê trư ng h p có th x y sau: G i s viên bi x p vào h p 1, h p 2, h p 3, l n lư t x, y, z Các trư ng h p có th x y ñ i v i ( x, y, z ) là: (4;0;0), (0;4;0), (0;0;4), (1;1;2), (1;2;1), (2;1;1), (1;3;0), (1;0;3), (0;1;3), (0;3;1), (3;0;1), (3;1;0), (0;2;2), (2;2;0), (2; 0; 2) V y có 15 cách x p Nh n xét V i tốn có th li t kê t t c trư ng h p, v i nh ng toán tương t th s bi s h p l n r t nhi u s g p nhi u khó khăn vi c li t kê V y có m t phương pháp giúp gi i nh ng tốn th đơn gi n khơng? Sau tìm hi u v “T h p l p – Ch nh h p l p”, chúng s giúp gi i toán ph c t p m t cách d dàng Ch nh h p l p a) ð nh nghĩa Cho t p X g m n (n ∈ N * ) ph n t! M t dãy có đ dài m (m ∈ N * ) ph n t! c"a X , ñó m#i ph n t! có th l p l i nhi u l n, s$p x p theo th t nh t ñ nh g i m t ch nh h p l p ch p m c"a n ph n t! Ký hi u s ch nh h p l p ch p m c"a n ph n t! Fnm b) Công th c Fnm = n m Ch ng minh Cho X = {x1 ; x2 ; ; xn } Dãy có ñ dài m a1a2 .am (m ∈ N * ) a1 có n cách ch n , a2 có n cách ch n (vì a2 có th gi ng a1 ), am có n cách ch n V y dãy có đ dài m có n m cách ch n, hay Fnm = n m c) Các ví d Ví d Bi n đăng kí tơ có ch s ch ñ u tiên 26 ch (không dùng ch O I ) H&i s ô tơ đư c đăng kí nhi u nh t bao nhiêu? L i gi i G i X t p h p ch dùng b ng đăng kí, suy X có 24 ph n t! ( khơng dùng O I ) Vì v y ta có F242 = 242 cách ch n cho hai ch ñ u tiên G i Y t p h p ch s dùng b ng đăng kí, suy Y có 10 ph n t! Vì v y có F106 = 106 cách ch n cho ch s l i Do ñó có t t c 106.242 bi n s Ví d H&i có s có 10 ch s mà ch s ñ u ch s cu i tương ng gi ng nhau? L i gi i Ta th y v i cách ch n cho ch s ñ u ch có cách ch n cho ch s cu i đ chúng tương ng gi ng Ta có F103 = 103 cách ch n tùy ý cho ch s ñ u Ta ph i lo i trư ng h p s ñ ng ñ u, suy có F102 = 102 cách b lo i Như v y ta có F103 − F102 = 103 −102 = 900 cách ch n cho ch s ñ u Nên ta có 900 cách ch n cho ch s ñ u ch s cu i tương ng gi ng Ta l i tr ng, mà t' tr ng ta l p ñư c F104 = 104 = 10000 V y ta có 900.10000 = 9000000 s c n tìm Nh n xét T' ta có th t ng quát toán lên sau: Cho n > 2m > (n, m ∈ N * ) H&i có s có n ch s mà m ch s ñ u m ch s cu i tương ng gi ng L i gi i Chúng ta lí lu n Ta có đư c ( F10m − F10m−1 ).F10n−2 m s c n tìm T h p l p a) ð nh nghĩa M#i cách ch n k v t t' n lo i v t khác (trong ñó m#i lo i v t có th ñư c ch n l i nhi u l n) ñư c g i t h p l p ch p k c"a n S t l p ch p k c"a n ñư c ký hi u K nk b) Công th c K nk = Cnk+k −1 c) Các ví d Ví d( ñ u tiên s m t h qu quan tr ng Ví d Gi s! có n viên bi gi ng m h p, ta x p bi vào h p G i xi v i i = 1, 2, , m s bi ) h p i Ch ng minh r*ng a) S cách x p khác n viên bi vào m h p Cmn +n−1 b) Trong Cmn +n−1 cách x p có Cnm−−11 cách x p cho t t c h p ñ u có bi L i gi i a) Ta bi u di n m h p t' m + g ch th+ng đ ng, cịn viên bi bi u di n b*ng (*) Ch+ng h n |**|*|***|*|…….|***| Như v y ) ln ln v ch th+ng đ ng, cịn l i m −1 v ch th+ng đ ng n viên bi ñư c s$p x p theo th t tùy ý Như v y s cách s$p x p khác b*ng s cách ch n n ph n t! t p h p m −1 + n ph n t! (c v ch sao) Cmn +n−1 b) Trư ng h p m#i h p có nh t viên bi tương ng v i cách bi u di n m#i v ch ph i bao g m gi a hai ngơi Nhưng có t t c n −1 kho ng tr ng gi a n Vì v y ph i x p m −1 v ch vào n −1 kho ng tr ng V y có t t c Cnm−−11 cách x p Nh n xét T' toán ta suy m t h qu thú v a) S nghi m t nhiên c"a phương trình x1 + x2 + + xm = n (n, m ∈ N * ) Cmn +n−1 b) S nghi m nguyên dương c"a phương trình x1 + x2 + + xm = n ( m ≤ n, n, m ∈ N * ) Cnm−−11 ð th y ñư c ng d(ng c"a h qu ta xét ví d( sau Ví d Tìm s nghi m ngun khơng âm c"a phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (1) th&a ñi u ki n x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > (*) L i gi i Ta vi t ñi u ki n ñã cho thành x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ Xét ñi u ki n sau x2 ≥ 2; x3 ≥ (**), x1 ≥ 4; x2 ≥ 2; x3 ≥ (***) G i p, q, r l n lư t s nghi m ngun khơng âm c"a phương trình (1) th&a ñi u ki n (*), (**), (***) Ta có p = q − r ð t x1, = x1 ; x2, = x2 − 2; x3, = x3 − 5; x4, = x4 , k t h p v i (**), phương trình (1) tr) thành x1, + x2, + x3, + x4, = 13 (2) S nghi m ngun khơng âm c"a phương trình (1) th&a ñi u ki n (**) b*ng s nghi m nguyên khơng âm c"a phương trình (2) Theo h qu s nghi m K 413 = C413+13−1 = C1613 V y q = C1613 Lý lu n tương t , ta có r = K 49 = C49+9−1 = C129 Suy p = q − r = C1613 − C129 = 560 − 220 = 340 V y s nghi m nguyên không âm c"a phương trình (1) th&a u ki n (*) 340 Ví d Tìm s cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p 1có nh t bi, bi t r*ng h p h p không ch a bi L i gi i Trư c h t ta tìm s cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p có nh t bi Nh n xét r*ng ta c n l y bi ñ x p trư c vào h p 1, s bi cịn l i 25 Suy s cách x p trư ng h p b*ng s cách x p 25 bi vào h p mà khơng có ñi u ki n thêm S cách x p ñó K 525 = C525+25−1 = C2925 = 23751 Tương t ta có: - S cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p ch a nh t bi, h p ch a nh t 18 bi K 518 = C518+18−1 = C22 - S cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p ch a nh t bi, h p ch a 18 nh t bi K 518 = C518+18−1 = C22 - S cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p ch a nh t bi, m#i h p ch a nh t bi K 511 = C511+11−1 = C1511 S! d(ng công th c A ∪ B = A + B − A ∩ B ta suy s cách x p 30 viên bi gi ng vào h p khác cho h p ch a nh t bi, đ ng th i h p hay h p ch a nh t bi 18 18 K 518 + K 518 − K 511 = C22 + C22 − C1511 = 13265 (2) Theo yêu c u c"a toán, x p 30 viên bi vào h p h p ph i có nh t bi m#i h p ph i có khơng q bi Do ñó s cách x p s b*ng hi u c"a hai cách x p (1) (2), t c b*ng: 23751−13265 = 10486 Bài t p Bài Tìm s nghi m ngun khơng âm c"a phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 40 m#i trư ng h p sau a) x1 ≥ 3, x2 ≤ , b) x1 > 3, x2 < , c) ≤ x1 ≤ 8, x2 ≤ 4, x3 > 3, x4 < Bài [ð thi ñ i h c năm 2007 ] Có b ba s ngun khơng âm ( x1 , x2 , x3 ) th&a ñi u ki n x1 + x2 + x3 ≤ 15 , v i x1 > , x2 < Bài M#i khóa g m vịng s ghi 0, 1, 2, … ,9 M#i dãy ch s cho m t cách đ m) khóa Có khóa có cách m) khác Bài Có cách phát 100 ph n thư)ng gi ng cho 60 h c sinh M#i h c sinh có nh t ph n thư)ng Bài Có s có ch s mà a) Ch s ñ u ch s cu i gi ng b) Ch s ñ u ch s cu i gi ng c) Hai ch s ñ u hai ch s cu i gi ng Bài Có cách x p kn v t khác thành k nhóm, m#i nhóm có n v t? Bài Ngư i ta làm m t bó hoa t' 18 hoa Cho bi t khơng có bó hoa dư i hoa H&i có cách làm m t bó hoa? Bài Trong t" có n đơi găng tay L y t' m t cách ng,u nhiên 2r chi c găng tay (2r < n) Tìm xem có kh s t t l y a) Không l$p thành m t đơi c b) Có đơi c) Có đơi Tài li u tham kh o [1] Nguy n Vũ Thanh, “Chuyên ñ b i dư ng chuyên toán c p 2-3 S H c”, Nhà xu t b n tr-, 2001 [2] Ngơ Th Phi t, “250 tốn Gi i Tích T H p”, Nhà xu t b n ð ng Nai,1994 [3] TS.Tr n Văn Hoài, “[pdf] T h p phép ñ m”, 2007–2008 [4] TS Nguy n Vi t ð ng, “[pdf] T p h p, ánh x , phép ñ m” Và tài li u trên: www.diendantoanhoc.net www.onthi.com.vn http://en.wikipedia.org/wiki/Combinations “It’s at first you don’t success try Try again.”