Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word BÃ�i 3 ỨNG DỤNG CỦA TÃ�CH PHÃ�N doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững công thức tính[.]
CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay + Ghi nhớ kiến thức phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip + Nắm định nghĩa, tính chất phương pháp tính tích phân Kĩ + Hiểu rõ ứng dụng tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể, vật thể tròn xoay + Lập phương trình đường thẳng, parabol, đường trịn elip để xử lí tốn liên quan + Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay trường hợp cụ thể TOANMATH.com Trang A ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y f x liên tục đoạn a; b , trục hoành hai đường thẳng x a , x b (với a b ) xác định theo công thức: b S f x dx a Chú ý Nếu f x khơng đổi dấu đoạn a; b b S f x dx a b Phần tơ màu đen diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x dx y f x liên tục đoạn a; b , trục a • Nếu phương trình f x có nghiệm x c thuộc hồnh hai đường thẳng x a , x b (với a b ) khoảng a; b Đặc biệt: b c b a a c S f x dx f x dx f x dx c b a c f x dx f x dx • Nếu phương trình f x có hai nghiệm c1 c2 thuộc • Nếu f x , x a; b b b a a S f x dx f x dx • Nếu f x , b b a a x a; b S f x dx f x dx khoảng a; b b c1 a c S f x dx f x dx c2 f x dx c1 b f x dx c2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong Diện tích hình phẳng C1 : H giới hạn đồ thị hai hàm số y f x , C2 : y g x liên tục đoạn a; b hai đường thẳng x a , x b (với a b ) xác định theo công thức: b S f x g x dx a Phần gạch chéo hình hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số C1 : y f x ; C2 : y g x liên tục đoạn a; b hai đường TOANMATH.com Trang thẳng x a , x b (với a b ) Đặc biệt: ° Nếu f x g x , x a; b (đồ thị Chú ý • Nếu phương trình f x g x vô nghiệm khoảng a; b b C1 b S f x g x dx f x g x dx a a b có: S f x g x dx a • Nếu phương trình f x g x có nghiệm x c c b a c thuộc a; b S f x g x dx f x g x dx nằm phía đồ thị C2 ) ta c b a c f x g x dx f x g x dx b f x g x dx a • Nếu f x g x , x a; b (đồ thị C1 nằm phía đồ thị C2 ) ta b • Nếu phương trình f x g x có hai nghiệm c1 c2 thuộc có: S f x g x dx a khoảng a; b b b c1 a c S f x dx f x g x dx f x g x dx c2 f x g x dx c1 a b f x g x dx c2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA TOANMATH.com Trang Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y f x liên tục đoạn a; b , trục hoành hai đường thẳng x a , x b (với a b ) xác định theo công thức: b S f x dx a Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn hai đường cong Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hai hàm số y f x , C2 : y g x liên tục đoạn a; b hai đường thẳng x a , x b (với a b ) xác định theo C1 : b công thức: S f x g x dx a II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường cong Phương pháp giải C : y f x Ox : y Xét hình phẳng H : x a x b a b Ví dụ: Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị Khi diện tích hình phẳng H là: Hướng dẫn giải b S f x dx a hàm số C : y Tính S Hồnh độ giao điểm trục hoành 3 x 1 0 x x 1 Do diện tích hình phẳng S 3x 1 x dx x ln x x dx TOANMATH.com C nghiệm phương trình: Trong loại này, thiếu cận a b ta tìm cách giải phương trình f x 3 x hai trục tọa độ S x 1 ln Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x , x A B C D Hướng dẫn giải 2 Ta có S x dx x x dx 1 x Vì phương trình x x khơng có nghiệm 1; nên S x 3 dx Chọn A Lưu ý: Các phần tính tích phân, học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết Ví dụ 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , trục hoành hai đường thẳng x 3 , x (như hình vẽ bên) Đặt a 3 f x dx , b f x dx Mệnh đề sau đúng? A S a b B S a b C S a b D S b a Hướng dẫn giải Ta có S 2 3 3 f x dx f x dx f x dx f x dx a b Chọn D Ví dụ 3: Gọi S diện tích hình phẳng giới han đường y ln x , y , x , x e Mệnh x2 đề đúng? e ln x dx x2 A S e ln x dx x2 B S e ln x C S dx x 1 e ln x D S dx x 1 Hướng dẫn giải Diện tích hình phẳng giới han đường y e S ln x , y , x , x e là: x2 e ln x ln x ln x dx dx , x 1; e x x x Chọn B TOANMATH.com Trang Ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ln x , y đường thẳng x B e A e D e C 2e Hướng dẫn giải Ta có ln x x e Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y ln x , y đường thẳng x là: e S ln x dx e ln x 1 dx e e e 1 x ln x 1 dx x e2 Chọn D Ví dụ 5*: Gọi H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e x , trục hoành đường thẳng x 1 , x Với k 1;1 , đường thẳng x k chia hình phẳng H thành hai hình phẳng có diện tích S1 S (như hình vẽ bên) Giá trị k để S1 S2 A ln 1 B ln e e 1 C ln e ln e D ln Hướng dẫn giải Vì e x với x nên ta có k k 1 1 S1 e x dx e x 1 k k ek e1 S e x dx e x e ek 1 1 S1 S2 e k e 1 e e k 2ek e e k e 2 e e 1 1 1 k ln e ln e ln 2 e e Chọn C Chú ý: a x b x log a b Ví dụ 6*: Cho hàm số y f x có đồ thị 2;6 hình vẽ bên Biết miền A, B, x có diện tích 32; 2; Tích phân f x 1 dx 2 A 45 B 41 C 37 D 41 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang f x 1 dx Ta có 2 Xét I1 f x dx 2 f x dx 2 Đặt t x dt dx dx dt Đổi cận: x 2 t 2 ; x t Suy I1 f t dt 2 Gọi x1 ; x2 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f x với trực hoành 2 x1 x2 Ta có x x2 1 I1 f t df f t df f t df 2 x1 x2 33 32 3 2 Vậy f x 1 dx I 4 2 S A S B SC 33 41 4 2 Chọn D Ví dụ 7*: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x hình bên Đặt g x f x x 1 Mệnh đề đúng? A g 3 g 3 g 1 B g 3 g 3 g 1 C g 1 g 3 g 3 D g 1 g 3 g 3 Hướng dẫn giải Ta có g x f x x 1 g x f x x Đây phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số f x đường thẳng d: y x x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy: g x f x x x 3 Bảng biến thiên: TOANMATH.com Trang x –3 g x – + g x – + g 1 g 3 g 3 Suy g 3 g 1 g 3 g 1 Gọi S1 , S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x , đường thẳng d: y x đoạn 3;1 1;3 ta có: +) Trên đoạn 3;1 ta có f x x nên S1 g x dx 3 +) Trên đoạn 1;3 ta có f x x nên S g x dx 1 f x x 1 dx 3 x 1 f x dx 1 Dựa vào đồ thị ta thấy S1 S2 nên ta có: g x g x g 1 g 3 g g 1 g 3 g 3 3 Vậy g 1 g 3 g 3 Chọn D Lưu ý: - Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f x đường thẳng d: y x nghiệm phương trình g x - Lập bảng biến thịên ta thấy g 1 lớn g 3 Ta cần so sánh g 3 g 3 - So sánh diện tích dựa vào đồ thị Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Phương pháp giải C1 : y f x C : y g x Xét hình phẳng H : x a x b a b Ví dụ: Tính diện tích phần gạch chéo hình vẽ sau Khi diện tích hình phẳng H là: b S f x g x dx a TOANMATH.com Trang Trong loại này, thiếu cận a b ta tìm cách giải phương trình f x g x Lưu ý: Kĩ phá dấu giá trị tuyệt đối, quan sát hình vẽ để xác định diện tích Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy x x x x 1; 2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ S x 3 x x 1 dx 1 2 x x dx 1 2 x x2 4x 1 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x3 3x , y x Tính S A S B S C S D S Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x 2 x3 x x x x x Vậy S x x dx 2 x x dx Chọn B Ví dụ 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my x , mx y (với m ) Tìm giá trị m để S A m TOANMATH.com B m C m D m Trang Hướng dẫn giải Vì m nên từ my x ta suy y x2 0; m Từ mx y nên x y mx Xét phương trình x x2 mx x m3 x m x m Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: m S mx m x2 x2 dx mx dx m m 0 2 m x3 x x 3m m Yêu cầu toán S 2 m m 3 m m m (vì m ) Chọn C Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm y x2 y 2x S a b ln với a, x 1 b số hữu tỷ Giá trị a b A B 2 C D Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm C1 : y x2 C2 : y 2x x 1 x 2x x x 1 x x x x 1 x 1 x 2 TOANMATH.com Trang 10 ... hình vẽ bên) Diện tích hình H A 15 53 120 B 15 53 240 C 15 53 60 D 15 53 30 Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Phương pháp giải Các kiến thức sử dụng giải tốn: • Đường trịn... x f x x 1 Mệnh đề đúng? A g 3? ?? g ? ?3? ?? g 1 B g ? ?3? ?? g 3? ?? g 1 C g 1 g ? ?3? ?? g 3? ?? D g 1 g 3? ?? g ? ?3? ?? Hướng dẫn giải Ta có g x f x... hình vẽ Đặt g x f x x Mệnh đề đúng? A g 3? ?? g ? ?3? ?? g 1 B g 1 g 3? ?? g ? ?3? ?? C g 1 g ? ?3? ?? g 3? ?? D g ? ?3? ?? g 3? ?? g 1 Câu 10: Cho hai hàm số f x