Skkn phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THTP QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌ

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THTP QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ

TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÍ CỦA TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Phạm Anh Tuấn Chức vụ: Giáo viên

Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn: Toán

THANH HÓA, THÁNG 6 NĂM 2022

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2

2.1 Cơ sở lí luận 2

2.1.1 Ứng dụng hình học của tích phân 3

2.1.2 Ứng dụng vật lí của tích phân 4

2.2 Thực trạng của đề tài 4

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện 5

2.3.1 Bài toán về diện tích hình phẳng……… 5

2.3.2 Bài toán về thể tích vật thể 8

2.3.3 Bài toán về thể tích vật thể tròn xoay………… 12

2.3.4 Bài toán về chuyển động trong vật lí 14

2.3.5 Bài tập đề nghị……… 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

3 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

Danh mục SKKN của tác giả đã được hội đồng cấp Sở GD&ĐT đánh giá 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Giáo dục đang đổi mới một cách toàn diện, cho ta quyền hi vọng vào mộtnền Giáo dục mới tân tiến, theo kịp thế giới Sản phẩm của Giáo dục sẽ là nhữngcon người với năng lực, phẩm chất đủ đáp ứng tiêu chuẩn của một công dân toàncầu, trong thế giới phẳng đang phát triển như vũ bão Sự đổi mới của Giáo dụcđang được thể hiện rõ ở mục tiêu, phương pháp, kỹ thuật dạy học Với mục tiêuthay vì chú trọng truyền thụ kiến thức đơn thuần thì nay là dạy cách làm, kỹnăng, hình thành năng lực Đào tạo con người phát triển toàn diện, có tư duysáng tạo, có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng caotrước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa hiện đại hóa gắn với phát triển nềnkinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa trong thời đại 4.0 là nhiệm vụ trọngtâm đối với ngành giáo dục Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hànhTrung ương đã đánh dấu một bước quan trọng trong quá trình đổi mới căn bản

và toàn diện giáo dục Việt Nam Nội dung trọng tâm được thể hiện tring nghị

quyết này là “ chuyển nề giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo

dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” [1] Tất cả các môn học

trong nhà trường đều có vai trò nhất định trong việc hình thành và phát triểnnăng lực đặc thù, riêng đối với môn Toán có thể phát triển được các năng lực

như: tư duy và lập luận toán học; mô hình hoá toán học; giải quyết vấn đề toán

học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ và phương tiện toán học [2] Trong số

những năng lực này, năng lực mô hình hoá toán học là năng lực đã được nhiềuquốc gia phát triển trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước, và là năng lựcquan trọng của học sinh phổ thông Các nền giáo dục tiên tiến trên thế giớikhông chỉ đánh giá về kiến thức mà còn xem xét khả năng của học sinh trongviệc áp dụng kiến thức và kinh nghiệm của mình vào giải quyết những vấn đềthực tiễn và có thể làm được những gì trên cơ sở kiến thức đã học được Quátrình mô hình hoá toán học cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đềtrong chương trình học dưới góc nhìn của toán học Do đó đòi hỏi học sinh cầnvận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, sosánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá…

Đã có nhiều đề tài và công trình nghiên cứu về mô hình hoá toán học ứngdụng trong dạy học toán ở trường phổ thông Tuy nhiên những đề tài hay côngtrình đó nghiên cứu một cách tổng quát hoặc áp dụng cho những đối tượng khác.Mặt khác trong quá trình dạy học và ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 12 tôinhận thấy hầu hết học sinh không vận dụng được các kiến thức đã học vào giải

quyết các bài toán thực tế Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán

về ứng dụng hình học và vật lí của tích phân” Với mong muốn khơi dậy niềm

đam mê trong học tập và phát triển năng lực mô hình hoá toán học giúp các emgiải quyết tốt các vấn đề dặt ra trong thực tiễn cuộc sống

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Qua nội dung của đề tài này giúp học sinh làm quen với các hoạt độngsáng tạo, hình thành kĩ năng xây dựng mô hình toán học của các bài toán thực tếđơn giản, nghiên cứu hiện tượng theo mô hình đã đưa ra, áp dụng các phươngpháp, công cụ toán học phù hợp mà ở đây là tích phân để giải quyết các vấn đềđặt ra trong mô hình và giải quyết bài toán thực tiễn từ đó phát triển năng lực

mô hình hoá toán học cho học sinh

Đề tài này cũng là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên nhằm mục đíchnâng cao nâng cao chất lượng dạy và kích thích khả năng tự học, tự sáng tạo, tựnghiên cứu của mỗi cá nhân

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu là các bài toán thực tiễn trong cuộc sống được giảiquyết trong mô hình toán học thông qua ứng dụng hình học và vật lí của tíchphân, áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương II

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu lý luận chung, nghiên cứunghị quyết của Ban Chấp hành trung ương, nghiên cứu chương trình giáo dụcphổ thông mới về các năng lực chuyên biệt của môn Toán và đặc biệt là nănglực mô hình hoá toán học cho học sinh lớp 12

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy trên lớp, khảo sát từthực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Phương thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú,thống kê điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 Cơ sở lý luận:

"Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao” [4].

“Năng lực mô hình hoá toán học ở cấp THPT thể hiện qua việc: thiết lập

được mô hình toán học (gồm công thức, mô hình, bảng biểu, đồ thị…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập; lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá…) để đưa đến những bài toán giải được” [3].

Mô hình hoá toán học có thể coi là một quy trình khép kín, nảy sinh từcác tình huống thực tiễn và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiệnvấn đề thực tiễn.

2.1.1 Ứng dụng hình học của tích phân [5].

a) Tính diện tích hình phẳng

Cho hàm số liên tục và không

âm trên đoạn Khi đó diện tích của

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng

b) Tính thể tích vật thể

Trong không gian với hệ toạ độ , cắt vật thể τ bởi hai mặt phẳng

và vuông góc với trục lần lượt tại các điểm có hoành độ với Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ với cắt τ theo thiết diện có diện tích là , giả sử là một hàm số liêntục trên đoạn Người ta chứng minh được thể tích của phần vật thể τ

giới hạn bởi hai mặt phẳng và là

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay

Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn Hình phẳng giớihạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quayquanh trục hoành tạo thành một khối tròn xoay có thể tích

Qua thực tiễn quá trình dạy học, làm bài tập hàng ngày, kiểm tra thườngxuyên, định kỳ và thông qua việc tìm hiểu, điều tra từ giáo viên và học sinh,tổng hợp các thông tin có được tôi nhận thấy còn tồn tại những thực trạng sau:

Đối với giáo viên:

Một số giáo viên trong quá trình dạy học môn toán chưa quan tâm nhiềuđến việc vận dụng ý nghĩa hình học và vậy lí của tích phân trong việc giải quyếtcác bài trong thực tiễn, cũng một phần do năng lực học sinh có hạn, một phần doquỹ thời gian dành cho hoạt động tìm tòi khám phá còn ít Nếu làm tốt điều này

sẽ giúp học sinh tư duy sáng tạo và giải quyết tốt các bài toán thực tiễn đặt rabằng năng lực mô hình hoá toán học của bản thân

Đối với học sinh:

Khi học ứng dụng của nguyên hàm tích phân thường chỉ biết áp dụng côngthức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay để giải quyết các bàitoán cơ bản trong sách giáo khoa chứ chưa giải quết các bài toán thực tiễn cuộcsống Nếu phát huy tốt năng lực mô hình hoá toán học chắc chắn sẽ giúp các em

tư duy tốt hơn và tự tin hơn khi đứng trước các bài toán thực tế trong đời sốnghàng ngày

2.3 Giải pháp thực hiện:

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến củađồng nghiệp tôi đưa ra hướng giải quyết các các bài toán thực tế theo hướngphát triển năng lực mô hình hoá toán học của người học như sau:

Giai đoạn thứ nhất là quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận

ra các yếu tố quan trọng (như biến, tham số)

Giai đoạn thứ hai là thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, mô

hình, bảng biểu, đồ thị…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thựctiễn

Giai đoạn thứ ba là áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp

để giải quyết các vấn đề toán học đã được thiết lập trong mô hình

Giai đoạn thứ tư là thông báo kết quả, đối chiếu với mô hình với thực tiễn

màu cam là nơi lát gạch; khu vực màu tím là

bậc thang lên xuống bể bơi có dạng nửa

đường tròn có tâm là một tiêu điểm của elip,

bán kính bằng ; phần còn lại là khu vực

màu xanh chứa nước của bể bơi Chi phí lát

gạch cho mỗi mét vuông là đồng thì

chi phí lát gạch ( khu vực màu cam ) là bao

nhiêu ? ( làm tròn đến hàng nghìn)

Lời

giải :

Chọn hệ trục toạ độ như

hình vẽ ( trục hoành đi qua hai tiêu

điểm , gốc toạ độ là trung

điểm đoạn thẳng ) Khi đó

phương trình của elip có dạng

dài trục bé cho nên

elip có phương trình

tiêu điểm Đường tròn tâm , bán kính có phương trình:

Vậy diện tích khu vực lát gạch (màu cam) là:

Vậy chi phí lát gạch (khu vực màu cam của bể bơi) là đ

Nhận xét: Học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mô hình toán học là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường elip, đường tròn và đường thẳng từ đó thiết lập phương trình đường elip , đường tròn

, và đường thẳng Sau đó áp dụng tích phân để tính diện tích cần tìm, từ đó tính được số tiền cần tìm.

Giá để làm phần cổng màu cam là và

giá để làm phần cổng màu xanh phía trên là

Tính số tiền gia đình đó phải trả cho

bộ cửa cổng

Lời

giải :

Chọn hệ trục toạ độ (như hình

vẽ), trục đi qua hai điểm ; trục

đi qua hai điểm Khi đó

, và , Parabol

đi qua hai điểm và có đỉnh có

dạng , suy ra ta có

Diện tích phần cửa sơn màu xanh là:

Diện tích phần cửa sơn màu cam là: , do đó tổng số tiền gia

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mô hình toán học là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol và đường thẳng từ đó chọ hệ trực toạ độ và thiết lập phương trình đường Parabol

theo giả thiếu bài toán Sau đó áp dụng tích phân để tính diện tích cần tìm, từ đó tính được số tiền làm cửa.

Ví dụ 3 [8].

Trên mảnh đất hình vuông cạnh , người ta

cần trồng một vườn hoa hồng sao cho nó tạo thành

bốn cánh hoa bằng nhau Người thiết kế đã sử dụng

bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm hình vuông

để tạo ra bốn cánh hoa bằng nhau (được tô mầu tím

như hình vẽ bên) Tính số tiền tối thiểu để trồng xong

vườn hoa Biết rằng để trồng mỗi hoa cần

đồng

Lời

giải :

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ (gốc

toạ độ là tâm của hình vuông, các trục toạ độ

song song với cạnh của hình vuông)

Bây giờ ta sẽ tính diện tích phần không

trồng hoa (phần trong hình vuông và không có

màu); nó bằng tám lần diện tích tam giác cong

giới hạn bởi đường cong parabol, trục

hoành và hai đường thẳng

Parabol đi qua gốc toạ độ có dạng

và nó đi qua điểm nên , vì vậy diện tích phần kông trồng hoa là

2.3.2 Bài toán về thể tích vật thể

Ví dụ 4 [8].

Để chuẩn bị cơ sở vật chất phục vụ

công tác phòng chống Covid-19, các

chiến sĩ ở chốt kiểm soát dựng một cái

lều (như hình vẽ) Biết rằng mặt trước và

mặt sau của lều là hai parabol bằng nhau,

nằm trên hai mặt phẳng song song và

cùng vuông góc với mặt nền Nền của lều

phẳng vuông góc với trục hoành,

cắt trục hoành tại một điểm tuỳ ý có

hoành độ thoả mãn ; mặt

phẳng cắt lều theo một thiết diện có

diện tích không đổi

Thiết diện (hay mặt cắt ngang) của lều là một

phần đường parabol

Trong mặt phẳng c họn hệ trục toạ độ

(như hình vẽ); trục đi qua hai chân của

lều, trục đi qua đỉnh lều và vuông góc với

mặt nền, suy ra và đỉnh

Gọi parabol cần tìm là ; theo

giả thiết parabol đi qua điểm và có đỉnh

nên ta có:

Diện tích thiết diện ngang của lều là:

Vậy thể tích của lều là

Nhận xét: Trong bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mô hình toán học là tính thể tích của vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song (ở đây lều được giới hạn bởi mặt trước và mặt sau nằm trên hai mặt phẳng song song); khi đó một mặt phẳng tuỳ ý song song và nằm giữa hai mặt phẳng trên sẽ cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích không đổi.

Diện tích thiết diện lại là một mô hình toán học tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một parabol và một đường thẳng Học sinh phải biết chọn hệ trục toạ độ trong mặt phẳng phù hợp để viết phương trình parabol và tính được diện tích thiết diện, từ đó tính được thể tích vật thể cần tìm.

Ví dụ 5 [9].

Một xe téc chở xăng dầu, xitec

(bình chứa xăng dầu) có thông số kĩ

thuật như hình bên Kích thước dài,

rộng, cao lần lượt là: ,

và Thiết diện

ngang của xitec là một hình elip,

dung tích của xitec là khối (

lít), (bỏ qua bề dày của thành xitec)

Theo quy định an toàn phòng chống

cháy nổ, người ta chỉ chở xăng không

quá chiều cao của xitec Hỏi xe téc

chở được tối đa bao nhiêu lít xăng ?

Gọi phương trình của elip là với

Theo giả thiết ta có:

, do đódiện tích phần chứa xăng (màu xanh) là:

Vậy thể tích xăng tối đa xe téc có thể chở được là

(lít)

Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải chuyển bài toán thực tế về mô hình toán học là tính diện tích của một phần elip, bằng cách chọn hệ trục toạ độ hợp lí để tìm được phương trình elip Từ đó sử dụng tích phân tính được diện tích phần chứa dầu

Tiếp theo chọn hệ trục toạ độ trong không gian thoả mãn vật thể (xitec) giới hạn bởi hai mặt phẳng cùng vuông góc với trục hoành Thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ tuỳ

ý với là một phần của elip có diện tích không đổi ở trên Từ đó sử dụng tích phân tính được thể tích tối đa xe téc có thể chở.

Ví dụ 6 [8].

Một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ có đường

kính đáy bằng Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có

giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với

đáy một góc Tính thể tích của khối gỗ bé (màu nâu)

được cắt ra từ khối trụ

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ ( song

song với đường kính đáy , đi qua tâm của

đáy và vuông góc với ; trục vuông góc với

mặt phẳng đáy tại ), suy ra ,

Dựng một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với

tại điểm có hoành độ , mặt

phẳng này cắt phần mặt trụ bé (màu nâu) theo một

thiết diện là tam giác vuông cân có diện tích là

Đường tròn nằm trong mặt phẳng đáy có

tâm , bán kính là nên có phương trình cho nêncạnh góc vuông của tam giác thiết diện là , do đó diện tích