Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word Bài 1 GI?I H?N C?A DÃY S? doc Trang 1 GIỚI HẠN BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ Mục tiêu Kiến thức + Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số + Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, c[.]
GIỚI HẠN BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ Mục tiêu Kiến thức + Hiểu khái niệm giới hạn dãy số + Biết số định lí giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn Kĩ + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí giới hạn dãy số vào giải tập + Biết cách tính giới hạn dãy số + Biết cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số un có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số un có giới hạn dãy số nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Khi ta viết: lim un un u có giới hạn n b) Dãy số không đổi un , với un có giới hạn (Kí hiệu “ lim un ”, đọc dãy số un có giới n hạn n dần đến vô cực) 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh rằng: a) lim 0; n 0; n b) lim c) lim 0; n d) Dãy số khơng đổi un với un có giới hạn e) Nếu q lim q n Định lí sau thường sử dụng để chứng minh số dãy số có giới hạn Cho hai dãy số un Nếu un với n lim lim un Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số un có giới hạn số thực L, Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn khoảng cách từ điểm un đến điểm L un L số thực L lim un L gần miễn chọn n đủ Khi ta viết lim un L un L lớn Tức biểu diễn số hạng trục số Tức lim un L lim un L ta thấy n tăng điểm un tụ quanh 2.2 Các định lý giới hạn hàm số điểm L Định lí 1: Giả sử lim un L Khi đó: - Có dãy số khơng có giới hạn hữu hạn TOANMATH.com Trang lim un L un L Chẳng hạn dãy số Nếu un 0, n * L lim un L 1 , n tức dãy số: 1;1; 1;1; Định lí 2: Giả sử lim un L;lim M c - Nếu C số lim C C số Khi lim un L M lim un L M lim un L.M lim cun cL lim un L (nếu M ) M Định lí (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số un , , wn số thực L Nếu un wn với n lim un lim wn L lim L Định lí 4: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn 2.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi lùi vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn điều kiện q Tổng số hạng: S u1 u2 u3 u1 u1q u1q u1q u1 , 1 q q 1 Dãy số có giới hạn vơ cực Nhận xét: Nếu lim un lim un 3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực Chú ý: Định nghĩa: Các dãy số có giới hạn Ta nói dãy số un có giới hạn với gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy dần đến vơ cực số, kể từ số hạng trở đi, lớn số Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy dương số có giới hạn hữu hạn Khi ta viết lim un un Nhận xét: Ta nói dãy số un có giới hạn với Từ định nghĩa, ta có kết sau: a) lim n số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, b) lim n TOANMATH.com Trang kể từ số hạn trở đi, nhỏ số âm c) lim n d) lim n k k Khi ta viết lim un un e) lim q n q 1 Định lí: Nếu lim un lim un 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim un ;lim lim un Nếu lim un ;lim lim un Nếu lim un ;lim lim un Nếu lim un ;lim lim un Quy tắc Nếu lim un ;lim L L lim un L Nếu lim un ;lim L L lim un L Quy tắc Nếu lim un L , lim Khi lim un L lim un 0, n 0, n Khi lim un L lim un 0, n 0, n 3.3 Một số kết a) lim Mở rộng: n qn lim n , với q q n Ta có lim b) Cho hai dãy số un , qn nk lim , với q k nk qn số nguyên dương Nếu un với n lim un lim Nếu lim un L lim lim TOANMATH.com un Trang Nếu lim un (hoặc ) lim un L lim un (hoặc ) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Dãy số un có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đơi nhỏ số dương lim Trường hợp k 0 nk lim q n với q thường gặp Cho hai dãy số un un lim un lim TOANMATH.com Trang Dãy số có giới hạn Định nghĩa hữu hạn Dãy số un có giới hạn số thực L lim un L lim un L M lim un L.M Phép tính giới hạn lim cun cL Các định lí lim un L M 0 M Cho ba dãy số un , , wn Nguyên lí kẹp un wn Nếu lim un lim wn L Thì lim L Tổng cấp số nhân lùi vô hạn TOANMATH.com S u1 u1q u1q q1q u1 q 1 1 q Trang Dãy số có giới hạn vơ cực Dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Định nghĩa Dãy số un có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm lim un , lim lim un lim un , lim lim un lim un , lim lim un lim un , lim lim un Định nghĩa lim un L lim un lim L L lim un L lim un lim L L lim un L lim un 0, n 0, n lim un L lim un 0, n 0, n lim un L lim TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn định nghĩa Bài toán Chứng minh dãy số có giới hạn định nghĩa Phương pháp giải Cách 1: Áp dụng định nghĩa Ví dụ: Chứng minh dãy số un sau có Cách 2: Sử dụng định lí sau: giới hạn Nếu k số thực dương lim k n a) un Với hai dãy số un 1 n 3n b) un sin 4n n3 hướng dẫn giải un với n lim lim un Nếu q lim q n a) Với số dương tùy ý cho trước, ta có un 1 n 3n 1 3n 3n 1 n 3 1 Đặt n0 n0 * un , n n0 3 Vậy lim un b) Ta có n * sin 4n un sin 4n 1 n3 n3 n n Áp dụng cho định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1 ” ta lim k n n Từ suy lim un Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số un sau có giới hạn sin n a) un 4n b) un 1 n n 1 5n 1 hướng dẫn giải sin n 2 a) Ta có n sin n un 4n 4n 4n 2n * TOANMATH.com Trang Áp dụng định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1 ” ta lim Từ suy k n n lim un b) Ta có un 1 n n 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n , n n 1 5 2 n Vì lim 1 lim n 2 Từ suy lim un Bài toán Giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức Phương pháp giải Để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức: lim un Ví dụ: Chứng minh rằng: lim n 1 Hướng dẫn giải Nếu un ; hàm đa thức theo biến n chia Ta có tử số mẫu số cho n p , p số mũ lớn Sau áp dụng: lim k (với k ) n 1 lim n 1 n n Từ suy điều cần chứng minh Nếu un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau sử dụng cơng thức: lim q n với q Chú ý: Thông thường, ta biến đổi dãy số tổng quát dãy số có giới hạn quen thuộc Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn a) un 2n 2n b) un n2 n2 Hướng dẫn giải a) Ta có 2n 2n 2n 2n Mà 2n 2n 2n 2n 3 2n 2n 3 3 lim n 2n 2n 2n 2n 2 n n Từ suy điều cần chứng minh TOANMATH.com Trang b) Ta có n2 n2 n2 n2 Mà n n n 2 n 2 4 n2 n2 2 lim n2 n2 n2 n2 Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn cos n a) un n4 1 b) un n n n d) un n 1, 01 sin n cos n n 1 c) un cos Hướng dẫn giải a) Ta có b) Ta có cos n 1 lim Từ suy điều cần chứng minh n4 n4 n n 1 n cos n cos n 1 lim n n 1 n 1 n 1 n Từ suy điều cần chứng minh n n n lim (do ) 4n 4n 4 cos c) Ta có Từ suy điều cần chứng minh n n n d) Ta có lim 1, 01 n n 1, 01 1, 01 1, 01 sin Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh dãy số sau có giới hạn a) lim 2n 3n 4n b) lim an n! hướng dẫn giải 2n 3n 2 3 a) Ta có lim lim lim (do ) n 4 4 4 n n Từ suy điều cần chứng minh b) Gọi m số tự nhiên thỏa m a Khi với n m TOANMATH.com Trang 10 ... nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số un có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số un có giới hạn dãy số nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, ... giới hạn với gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy dần đến vô cực số, kể từ số hạng trở đi, lớn số Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy dương số có giới. .. Trang Dãy số có giới hạn vơ cực Dãy số un có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Định nghĩa Dãy số un có giới hạn với số âm tùy