ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005 GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC ĐIỂM §1 MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC Động học là phần cơ h[.]
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005 GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC ĐIỂM §1 MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC Động học phần học nghiên cứu tính chất hình học chuyển động vật, khơng kể đến quán tính (khối lượng) lực tác dụng lên chúng để vật chuyển động Khi nghiên cứu phần động học ta cần ý đến điểm sau đây: Mơ hình vật thể động học động học điểm vật rắn chuyển động Động học điểm điểm hình học chuyển động khơng gian, qua thời gian Vật rắn chuyển động tập hợp nhiều động điểm mà khoảng cách cặp điểm không đổi chuyển động Chuyển động xảy không gian theo thời gian Không gian học không gian Euclide ba chiều Tất phép đo lường không gian xác định theo phương pháp hình học Euclide Đơn vị chiều dài để đo khoảng cách mét (m) Thời gian học coi thời gian trôi không phụ thuộc vào hệ quy chiếu khảo sát Đơn vị đo thời gian giây (s) Thời gian xem đối số độc lập khảo sát chuyển động vật thể Để xác định vị trí vật (hoặc điểm) chuyển động người ta gắn với vật chuẩn dùng để khảo sát chuyển động hệ toạ độ mà với tạo thành hệ quy chiếu Nếu toạ độ tất điểm vật hệ quy chiếu chọn ln khơng đổi ta nói vật đứng yên Còn toạ độ điểm thay đổi theo thời gian ta nói vật chuyển động hệ quy chiếu Khảo sát mặt chuyển động điểm hay vật rắn tìm cách xác định vị trí điểm hệ quy chiếu chọn thời điểm, đồng thời tìm cách mơ tả chuyển động theo thời gian Muốn vậy, người ta dùng khía niệm sau đây: a) Thơng số xác định vị trí điểm hay vật rắn hệ quy chiếu chọn b) Phương trình chuyển động điểm hay vật rắn chuyển động biểu thức liên hệ thông số định vị nói với thời gian mà ta xem đối số độc lập Chương I Động học điểm Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC c) Vận tốc chuyển động đại lượng biểu thị hướng tốc độ chuyển động điểm hay vật rắn thời điểm xét Nói chung, vận tốc chuyển động đại lượng biến thiên theo thời gian d) Gia tốc chuyển động đại lượng biểu thị tốc độ thay đổi vận tốc chuyển động (phương chiều, độ lớn) theo thời gian Gia tốc chuyển động hàm thời gian Động học chia làm hai phần chính: - Động học điểm - Động học vật rắn §2 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM A- Khảo sát chuyển động điểm phương pháp véctơ (vector) Phương trình chuyển động điểm: Xét chuyển động điểm M z hệ quy chiếu Oyxz Rõ ràng vị trí M xác định r r r V véctơ định vị r = OM , ta gọi véctơ bán kính động điểm r W hệ quy chiếu y Khi động điểm chuyển động, véctơ biến thiên liên tục theo thời gian hướng lẫn độ dài ta x vit : Hỗnh 1.1 r r r = r (t) (1.1) Biểu thức (1.1) phương trình chuyển động điểm viết dạng véctơ Quỹ tích vị trí chuyển động điểm không gian quy chiếu gọi : Quỹ đạo chuyển động điểm hệ quy chiếu Phương trình (1.1) phương trình quỹ đạo dạng thơng số Chương I Động học điểm Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Vận tốc chuyển động điểm : r V M,t Giả thuyết thời điểm t động điểm r M có véc tơ định vị r , thời điểm t’=t+∆t động điểm vị trí M’ ∆r r có véctơ định vị r r r r r Véctơ MM ' = r ' - r =∆ r mô tả gần M',t' r r r' hướng quãng đường động điểm thời gian O Hình 1.2 ∆t , gọi véctơ tốc độ lồi điểm r ∆r gọi vận tốc trung bình động điểm thời gian ∆t Kí Đại lượng ∆t r hiệu VTB Nếu ∆t nhỏ độ xác cao người ta định nghĩa : r Vận tốc tức thời thời điểm t động điểm véctơ V xác định sau: r r r r ∆r dr r& = =r V = lim VTB = lim ∆t → ∆t → ∆ t dt (1.2) nghĩa : Vận tốc tức thời động điểm đạo hàm cấp theo thời gian véctơ r định vị động điểm (Ký hiệu r& (t)-từ sau ta hiểu đạo hàm theo thời gian) r Về mặt hình học tới giới hạn, vận tốc tức thời V phải hướng tiếp tuyến với quỹ đạo động điểm M thuận theo chiều chuyển động qua động điểm Đơn vị vận tốc m/s (mét/giây) Gia tốc động điểm : r V r Nói chung, véctơ V biến đổi hướng độ lớn theo r r thời gian V = V (t) Đaị lượng : r r dV ∆V = lim cho ta biết tốc dt ∆t →0 ∆t M ∆V V' M' r độ biến đổi véctơ V phương chiều lẫn độ lớn thời điểm xét, nghĩa Chương I Động học điểm V' Hình 1.3 Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC đặc trưng cho tốc độ đổi hướng đổi hướng đôi độ nhanh chuyển động điểm Vì vậy, người ta định nghĩa: r Gia tốc tức thời W động điểm đại lượng véctơ đạo hàm cấp theo thời gian vận tốc: r r& r W = V = && r (1.3) r Về mặt hình học, ý véctơ ∆V hướng vào bề lõm quỹ đạo Đơn vị để tính gia tốc m/s2 Một số tính chất suy trực tiếp từ biểu thức cảu vận tốc gia tốc: r r r r a) Nếu V ∧ W đồng triệt tiêu V W ln ln phương Do r V có phương khơng đổi nên chuyển động điểm chuyển động thẳng r r - Nếu V ∧ W không đồng triệt tiêu chuyển động chuyển động cong r V đổi phương b) Tính hay biến đổi chuyển động Chuyển động hay biến đổi tuỳ theo giá trị vận tốc V không đổi hay tăng giảm theo thời gian - Nếu trị số vận tốc tăng giảm theo thời gian khoảng thời gian ta nói điểm chuyển động nhanh chậm dần khoảng thời gian Chú ý thay đổi V2 đặc trưng cho thay đôi độ lớn V ta có: r r dV d (V ) r r V = (V ) , = = 2V W dt dt Ta rút kết luận sau: r r - Nếu V W ≡ động điẻm chuyển động quỹ đạo (có thể thẳng hay cong) r r - Nếu V W ≠ chuyển động biến đổi, cụ thể : r r + V W > : Nhanh dần r r + V W < : Chậm dần Chương I Động học điểm Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC B- Khảo sát chuyển động điểm toạ độ Descartes Phương trình chuyển động động điểm: Xét chuyển động z điểm toạ độ Descartes Oxyz Vị trí điểm xác M(x,y,z) định toạ độ x,y,z Vì vậy: Phương trình r r chuyển động điểm : O ⎧ x = x(t ) ⎪ ⎨ y = y (t ) ⎪ z = z (t ) ⎩ r V (V x , V y , V z ) y r W (W x ,W y , W z ) (1.4) x Hỗnh 1.4 (1.4) phương trình quỹ đạo viết dạng tham số Vận tốc chuyển động điểm : Gọi i, j, k véctơ đơn vị ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz : r r r r r r r r = xi + yj+zk i , j , k Ta có : ⎧Vx = x& ⎪ Vậy : ⎨Vy = y& ⎪V = z& ⎩ z r r d r r r r r r V = r& = ( xi + yj+zk) = xi + yj+zk dt r r r r V = Vx i + Vy j + Vz k (1.5) Vận tốc động điểm hệ Descartes từ (1.5) xác r định giá trị hướng V V = x& + y& + z& r V r Vy r V cos(Ox,V ) = x , cos(Oy,V ) = , cos(Oz,V ) = z V V V Chương I Động học điểm Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC 3.Gia tốc chuyển động điểm : r r r Tương tự vận tốc, W = V = r ta có: ⎧Wx = V&x = && x ⎪ & y ⎨Wy = Vy = && ⎪ W = V& = && z z ⎩ z (1.6) Gia tốc toạ độ Descartes từ (1.6) ta xác định giá trị hướng W sau : x + && y + && z2 W = && r Wy r r W W cos(Ox,W ) = x , cos(Oy,W ) = , cos(Oz,W ) = z W W W r r Cuối dựa vào hình chiếu vận tốc V gia tốc W ta mơ tả đặc điểm thẳng hay cong, hay biến đổi chuyển động điểm C- Khảo sát chuyển động điểm toạ độ tự nhiên Phương trình chuyển động : Khi biết quỹ đạo chuyển động điểm ta thường khảo sát chuyển động điểm phương pháp tạo độ tự nhiên (-) Chọn điểm O tuỳ ý O quỹ đạo làm gốc xem quỹ đạo trục toạ độ cong định chiều (+) M Hình 1.5 dương Gọi OM=s toạ độ cong động điểm quỹ đạo Rõ ràng s thơng số định vị điểm M quỹ đạo Vậy phương trình chuyển động M có dạng : s = s (t ) Chương I Động học điểm Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Một số tính chất hình học quỹ đạo : a) Hệ toạ độ tự nhiên Hệ toạ độ tự nhiên hệ ba trục vng góc xác định sau: Trục tiếp tuyên M có hướng r b r τ dương chọn trùng với hướng dương chọn quỹ đạo, véctơ r đơn vị trục ký hiệu τ Lấy cung vô r n bé ds = MM ' nằm mặt phẳng Hình 1.6 qua Mτ chứa tiếp tuyến M Mặt phẳng π M gọi mặt phẳng mật tiếp Trong mặt phẳng π ta điểm M kẻ pháp tuyến quỹ đạo định hướng dương vào bề mặt lõm quỹ đạo Pháp tuyến r gọi pháp tuyến M Kí hiệu n r Trục vng góc với mặt phẳng gọi trục trùng pháp tuyến, ký hiệu b r véctơ đơn vị, chọn b cho Mτnb tam diện thuận b) Độ cong bán kính cong quỹ đạo r T M Độ cong quỹ đạo M số r τ dương K : ∆ϕ dϕ K = lim = ∆s → ∆ s ds Nếu quỹ đạo đường ∆s ∆ϕ trịn Suy rộng đường cong T' T" : ds = = R bán kính đường trịn K dϕ Chương I Động học điểm M’ Hình 1.7 = ρ gọi bán kính cong quỹ đạo K Trang GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT PHẦN ĐỘNG HỌC Xác định vận tốc gia tốc chuyển động : a) Xác định hướng vận tốc điểm M Vì hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo điểm M, nên ta viết : r r V = Vτ τ (a) Mặt khác ta có : r drr drr ds V= = dt ds dt r r dr ∆r r = lim =τ ds ∆s →0 ∆s r ds r V = τ (b) dt : Vậy : Từ (a) (b) ta viết : r ds V = V = Vτ = = s& dt Xét quan hệ Vτ ds : dt r r - Khi M chuyển động theo chiều dương V τ chiều, nghĩa Vτ>0 s tăng theo thời gian có nghĩa s& >0 Vτ s& dấu r r - Khi M chuyển động theo chiều âm V τ trái chiều, nên Vτ