Giáo trình cơ học lý thuyết phần 2

CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 95 CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC Yêu cầu: Nắm đại lượng đặc trưng cho hệ chuyển động khối tâm, động lượng, xung lượng lực, momen động lượng, động năng, công lực Nắm định lý tổng quát động lực học áp dụng chúng giải toán động lực học 7.1 Định lý chuyển động khối tâm: 7.1.1 Các đặc trưng hình học hệ: 7.1.1.1 Khối tâm: 1.- Định nghóa: Khối tâm điểm hình học hệ, ký hiệ u C xác định sau (Hình 7.1): rC = m r k k (7.1) k M đó: rC vectơ định vị khối tâm C rk vectơ định vị chất điểm thứ k mk khối lượng chất điểm thứ k M =  mk khối lượng hệ k Nếu chiếu (7.1) lên hệ trục tọa độ Oxyz, ta có:   mk x k x = k  C M   mk y k  k  yC = M    mk z k z = k  C M  z mk C rk (7.2) rC O x Hình 7.1 (7.2) biểu thức xác định khối tâm dạng tọa độ Đề y 96 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2.- Xác định khối tâm: Nếu hệ trường trọng lực, ý rằng: P = mg nên biểu thức (7.1) (7.2) nhân tử số mẫu số với g, ta được: rC = P r k k (7.3) k P   Pk xk x = k  C P  k Pk yk   yC = P    Pk zk z = k  C P  (7.4) (7.3) (7.4) biểu thức xác định tọa độ trọng tâm Vậy trường trọng lực, khối tâm trùng với trọng tâm hệ phương trình xác định trọng tâm sử dụng lại để tính khối tâm Chú ý: Trọng tâm tồn trường trọng lực, khối tâm luôn tồn khắp nơi 7.1.1.2 Momen quán tính hệ: 1.- Định nghóa: • Momen quán tính hệ trục z tổng tích khối lượng chất điểm hệ với bình phương khoảng cách từ chất điểm đến trục z Ký hiệu J z z zk h k mk (Hình 7.2) J z =  mk hk2 (7.5) k đó: O đến trục z yk y xk mk khối lượng chất điểm thứ k hk khoảng cách từ chất điểm thứ k rk x Hình 7.2 • Momen quán tính hệ điểm O tổng tích khối lượng chất điểm hệ với bình phương khoảng cách từ chất điểm đến điểm O Ký hiệu J O (Hình 7.2) J O =  mk rk2 k (7.6) CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 97 Ta có: J z  0; J O  có thứ nguyên tích khối lượng với bình phương độ dài Đơn vị momen quán tính hệ SI kg.m2 Từ Hình 7.2, ta lấy O làm gốc hệ tọa độ Oxyz, ta coù: J z =  mk hk2 =  mk ( xk + yk ) k (7.7) k J x =  mk ( yk + zk ) ; J y =  mk ( zk + xk ) Tương tự: k k Từ suy ra: J x + J y + J z = J O (7.8) Trong kỹ thuật người ta thường biểu diễn momen quán tính vật trục tích khối lượng với bình phương bán kính quán tính  : (7.9) Jz = M2 Ngoài ra, người ta đưa khái niệm tích quán tính J xy , J yz , J zx đại lượng xác định theo công thức: J xy =  mk xk yk ; J yz =  mk yk zk ; J zx =  mk zk xk k k k Dễ dàng thấy raèng: J xy = J yx ; J yz = J zy ; J zx = J xz Momen quaùn tính vật trục đặc trưng cho tính quán tính vật chuyển động quay quanh trục 2.- Momen quán tính số vật đồng chất: a.- Thanh đồng chất: Giả sử AB có khối lượng M, chiều dài l, bỏ qua chiều dày chiều rộng Từ A ta lập hệ tọa độ Đề vuông góc Axy với Ax trục dọc theo AB, Ay ⊥ AB (Hình 7.3) y xk mk x x B A l Hình 7.3 Ta chia vô số phần tử, với phần tử mk có chiều dài xk, cách A M xk khoảng xk Ta có: mk = l J y =  mk xk2 =  k k M xk xk2 l Tổng xác xk → Cho qua giới hạn xk → 0, ta được: l M M x3 Ml  M  = J y = lim   xk xk2  =  x dx = xk →0 l  k l  l l J z = J y ; J x = (bỏ qua chiều dày chiều rộng) (7.10) 98 CƠ HỌC LÝ THUYẾT b.- Vành tròn đồng chất: Giả sử vành tròn đồng chất có khối lượng M, bán kính R có tâm O Ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox Oy đường kính vành tròn, Oz vuông góc với mặt phẳng chứa vành tròn Để tính momen quán tính trục z, ta chia vành tròn thành phần tử có khối lượng mk (Hình 7.4) z y O R mk x Hình 7.4 J z =  mk R = R  mk = MR k (7.11) k Để tính J x J y , ta có: J O = J x + J y + J z Chú ý: J x = J y ; J z = J O Vaäy: J O = J x + J x + J O  J x = J y = J O MR = 2 (7.12) c.- Tấm tròn đồng chất: Cho tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R, để tính momen quán tính trục Oz qua tâm O vuông góc với mặt phẳng tấm, ta chia phần tử hình vành khăn đồng tâm O có khối lượng mk, bán kính rk bề dày rk (Hình 7.5) mk = z O x y rk mk rk Hình 7.5 M 2M 2 rk rk = rk rk R R J z =  mk rk2 = k 2M R2  r r k k k Cho qua giới hạn rk → 0, ta được: 2M Jz = R R 2M MR r  r = r dr = k k R2  k Tương tự, ta tính được: J x = J y = MR (7.13) (7.14) 3.- Momen quán tính vật trục song song: Định lý Huygen: Momen quán tính vật trục momen quán tính vật trục qua khối tâm song song với trục cộng với tích khối lượng với bình phương khoảng cách truïc J zO = J zC + M d (7.15) CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 99 Chứng minh: Hai trục cần lấy momen quán tính vật song song với nhau, ta chọn hệ tọa độ Ox’y’z’ Cxyz (C khối tâm vật) cho Oy Cy trùng (Hình 7.6) Theo định nghóa momen quán tính vật trục, ta có: z' z d z'k zk h k mk r'k C O rk yk  y'k y y' xk x'k x' x Hình 7.6 J zO =  mk ( xk2 + yk2 ) k J zC =  mk ( xk2 + yk2 ) k  xk = xk Do cách chọn hệ tọa độ, ta có:  (d khoảng cách trục)  y y = d +  k k Vaäy: J zO =  mk  xk2 + ( yk + d )  =  mk ( xk2 + yk2 ) +  mk d +  mk 2d yk   k k k k Chuù yù:  m 2d y k k k = 2d  mk yk = 2d M yC (với yC tọa độ khối tâm C k trục y hệ trục Cxyz nên yC = Vaäy: J zO = J zC + M d Từ định lý Huygen, ta nhận thấy momen quán tính vật rắn trục song song momen quán tính vật trục qua khối tâm nhỏ Người ta áp dụng định lý Huygen (công thức (7.15)) để tính momen quán tính trục momen quán tính vật trục song song với Ví dụ: Trong ví dụ tính momen quán tính đồng chất, ta tính momen quán tính trục qua đầu Ml Jy = y' y C l x l Hình 7.7 x' 100 CƠ HỌC LÝ THUYẾT Từ ta dễ dàng suy công thức tính momen quán tính trục vuông góc qua điểm (khối tâm C) (Hình 7.7) Theo định lý Huygen, ta có: l +M  2 J y = J C y 2 Suy ra: J C y Ml Ml Ml l = J y − M   = − = 12 2 4.- Momen quán tính vật rắn trục qua gốc tọa độ: Cho vật rắn với hệ trục tọa độ Đề vuông góc Oxyz Ta cần tính momen quán tính trục O (Hình 7.8) Theo định nghóa (7.5), ta có: z  zk J  =  mk hk2 Hk k với:   hk khoảng cách từ chất điểm mk đến trục O ( OMk2 = OMk ) 2 k k xk = ( rk ) = xk2 + yk2 + zk2 x + y + z = (x + y + z k   hk2 = OMk2 − OHk2 Chú ý: k k k )( cos  + cos 2 với: rk y yk C x  + cos  ) OH = ( rk ,  ) = ( xk cos  + yk cos  + zk cos  ) 2 k Mk Hình 7.8  vectơ phương trục     , góc trục  Ox, Oy, Oz Vậy: J  =  mk ( xk2 + yk2 + zk2 )( cos2  + cos2  + cos2  ) − ( xk cos  + yk cos  + zk cos  )    k =  mk ( yk2 + zk2 ) cos2  +  mk ( zk2 + xk2 ) cos2  +  mk ( xk2 + yk2 ) cos2  k k k − 2 mk xk yk cos  cos  −2 mk yk zk cos  cos  − 2 mk zk xk cos  cos  k k k = J x cos  + J y cos  + J z cos  − J xy cos  cos  − J yz cos  cos  − J zx cos  cos  2 Từ đó, ta có định lý sau: Momen quán tính vật rắn trục  qua gốc tọa độ xác định biểu thức: J  = J x cos2  + J y cos2  + J z cos2  − −2 J xy cos cos  − J yz cos  cos  − J zx cos  cos đó:    , góc phương trục  hệ tọa độ Oxyz (7.16) CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 101 5.- Momen quán tính tiết diện phẳng: Trong số trường hợp, ta cần tính momen quán tính tiết diện phẳng trục nào, ta coi tiết diện có khối lượng đơn vị diện tích đơn vị nên ta thay khối lượng M công thức tính momen quán tính diện tích S tiết diện Ví dụ: Momen quán tính tiết diện tròn trục Oz vuông góc với diện tích qua tâm O tính công thức: MR SR ( R ) R  R4 = = = = 2 2 Theo (7.13): J Oz Bảng 7.1: Momen quán tính số vật đồng chất Dạng Vật đồng chất Thanh mảnh khối lượng M, dài l Momen quán tính trục Ml Jx = Jz = 12 Jy = lz y C x z Vành tròn khối lượng M, bán kính R MR Jx = Jy = 2 J z = MR y O R x z Mặt tròn khối lượng M, bán kính R MR Jx = Jy = MR Jz = y O R x y Tấm chữ nhật khối lượng M, kích thước b b b x O a z Trụ tròn khối x lượng M, bán kính R, cao h b2 a2 ; Jy = M 12 12 2 a +b Jz = M 12 Jx = M a R R Trục đặc: J y = x h z z M Jx = Jz =  h2  R +    Trục rỗng mỏng: J y = MR h Jx = Jz = y MR 12 y M  h2  R +    102 CƠ HỌC LÝ THUYẾT Dạng Vật đồng chất Quả cầu khối lượng M, bán kính R Momen quán tính trục Quả cầu đặc: z z Jx = J y = Jz = O x y O x y MR Voû cầu mỏng: Jx = J y = Jz = MR 6.- Trục quán tính trục quán tính trung tâm: Định nghóa: Trục Oz gọi quán tính O thỏa mãn điều kiện sau: J zx = J zy = Trục Oz gọi quán tính trung tâm trục quán tính qua khối tâm Chú ý: Nếu trục Ox Oy vuông góc trục quán tính trục Oz vuông góc với chúng trục quán tính ➢ Tính chất trục quán tính chính: – Người ta chứng minh điểm vật rắn tồn trục quán tính vuông góc với – Vật rắn đồng chất có trục đối xứng trục trục quán tính trung tâm – Vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng trục quán tính điểm giao củ a mặt phẳng đối xứng trục Chú ý: Vì khối tâm vật rắn có mặt phẳng đối xứng nằm mặt phẳng đối xứng nên trục quán tính trung tâm trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng qua khối tâm Từ tính chất nêu trên, ta thấy để tính momen quán tính vật rắn trục ta cần biết momen quán tính trục quán tính vuông góc khối tâm (tức hệ trục quán tính trung tâm) Trong sổ tay kỹ thuật người ta thường cho sẵn giá trị momen quán tính vật rắn trục quán tính trung tâm CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 103 7.1.2 Định lý chuyển động khối tâm: 7.1.2.1 Định lý: Khối tâm hệ chuyển động chất điểm tập trung khối lượng toàn hệ tác động lực vectơ ngoại lực tác dụng lên hệ Chứng minh: Giả sử hệ có n chất điểm khối lượng m1 , m2 , , mn Mỗi chất điểm chịu tác dụng ngoại lực Fke nội lực Fki Áp dụng định luật Newton cho chất điểm: (k = 1, n ) mk ak = Fke + Fki (*) Lấy tổng vế đẳng thức (*) từ đến n : m a =  F +  F k e k k k k i k k Chú ý: Từ M rC =  mk rk suy M aC =  mk ak k k F i k = (vì nội lực k hệ cặp ngược chiều) nên ta có: M aC =  Fke (7.17) k Định lý chứng minh 7.1.2.2 Phương trình vi phân chuyển động khối tâm: 1.- Chiếu phương trình vectơ (7.17) lên trục hệ tọa độ Oxyz:  e  M xC =  Fk x k  e  M yC =  Fk y k   M zC =  Fke z  k (7.18) (7.18) gọi phương trình vi phân chuyển động khối tâm dạng tọa độ Đề Nó giải với điều kiện đầu khối tâm C: 0   xC = xC ; yC = yC ; zC = zC t = 0:  0   xC = xC ; yC = yC ; zC = zC (7.19) 2.- Trong trường hợp biết quỹ đạo chuyển động khối tâm, ta chiếu phương trình (7.17) lên trục hệ tọa độ tự nhiên C nb: 104 CƠ HỌC LÝ THUYẾT  d xC e  M dt =  Fk x k   VC =  Fken M k   e 0 =  F kb  k  (7.20) (7.20) gọi phương trình vi phân chuyển động khối tâm dạng tọa độ tự nhiên 7.1.2.3 Định lý bảo toàn chuyển động khối tâm: 1.- Từ (7.17), ta nhận thấy vectơ hệ ngoại lực 0: F e k = thì: k aC =  vC = const = vC0 hoaëc vC = (7.21) Tức là: khối tâm hệ chuyển động thẳng đứng yên 2.- Từ (7.17), ta nhận thấy hình chiếu vectơ hệ ngoại lực lên trục tọa độ 0, ví dụ:  Fkex = theo trục khối tâm chuyển động thẳng k đứng yên: xC =  xC = const = xC0 hoaëc xC = (7.22) 7.1.3 Áp dụng: y Ví dụ 7.1: Xác định phản lực lên trục quay mô tơ mô hình khối lượng lệch tâm đoạn OM = e với khối lượng lệch tâm m2 Vỏ mô tơ có khối lượng m1 Trục quay quay với vận tốc góc  Bài giải: Do phản lực động gắn chặt với có phản lực N x N y  O  b P2 x2 P1 Ny Nx A (Hình 7.9) Khảo sát chuyển động động cơ: P1 , P2 , N x , N y ( M y2 ) x a Hình 7.9 Chú ý: P1 = m1 g ; P2 = m2 g trọng lượng vỏ động khối lượng lệch tâm Áp dụng định lý chuyển động khối tâm (7.18):  M xC = N x   M yC = N y − P1 − P2 (a) 170 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 12.1.1.2 Vận tốc gia tốc theo điểm M vận tốc gia tốc “trùng điểm” M * điểm M hệ cố định O1x1y1z1 Ký hiệu vận tốc gia tốc theo ve ae Ta có: ) ( d  * ve = dt O1M  a = d O M*  e dt ( (12.2) ) Trùng điểm M* điểm M điểm thuộc hệ Oxyz mà thời điểm trùng với M Ví dụ: người toa tàu chuyển động, gọi điểm M đế giầy người trùng điểm M* điểm vết mà đế giầy để lại sàn tàu 12.1.1.3 Vận tốc gia tốc tuyệt đối điểm M vận tốc gia tốc điểm M tọa độ cố định O1x1y1z1 Ta ký hiệu vận tốc gia tốc tuyệt đối va , a a ta coù: ( ) d  v O1M = a  dt  a = d O M  a dt ( (12.3) ) 12.1.2.Các định lý hợp vận tốc hợp gia tốc: 12.1.2.1 Định lý hợp gia tốc: Vectơ vận tốc tuyệt đối điểm M tổng vectơ vận tốc tương đối vận tốc theo nó: va = vr + ve (12.4) Chứng minh: Ta gọi i , j , k vectơ phương hệ Oxyz x,y,z tọa độ điểm M hệ tọa độ Oxyz ta có: ( ) vr = d x.i + y j + z.k = x.i + y j + z.k dt ve = d d O1O + x.i + y j + z.k = v0 + x.i + y j + z.k dt dt va = d d d O1M = O1O + x.i + y j + z.k = dt dt dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( = v0 + x.i + y j + z.k + x.i + y j + z.k So sánh (b) (c), ta có: (a) va = v r + v e (b) ) (c) CHƯƠNG XII: ĐỘNG LỰC HỌC CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 171 12.1.2.2 Định lý hợp gia tốc: Vectơ gia tốc tuyệt đối điểm M tổng vectơ gia tốc tương đối, gia tốc theo gia tốc Coriolis (12.5) aa = ar + ae + ac đó: ac = (e  vr ) gọi gia tốc Coriolis Chứng minh: Theo định nghóa gia tốc tương đối ar gia tốc theo ae , ta coù: ( ) d2 OM = x.i + y j + z j dt d2 d2 O1O + x.i + y j + z.k = a0 + x.i + y j + z.k ae = O1M* = dt dt ar = ( ) ( ) ( ) Ta tính gia tốc tuyệt đối: aa = ( ) ( d2 d2 d = O1O + x.i + y j + z.k + x.i + y j + z.k O M 2 dt dt dt ( = a0 + x.i + y j + z.k + x.i + y j + z.k + x.i + y j + z.k ( = ae + ar + x.i + y j + z.k ) ) ) Chuù yù raèng: i = e  i ; j = e  j ; k = e  k neân: ( ) ( ) x.i + y j + z.k =  x (e  i ) + y (e  j ) + z e  k    ( ) = 2e  x.i + y j + z.k = (e  vr ) với:  e vectơ vận tốc góc hệ động Đại lượng (e  vr ) = ac gọi vectơ gia tốc Coriolis Nó có quay hệ động Vậy, ta chứng minh được: aa = ar + ae + ac 12.1.2.3 Phương pháp thực hành để xác định gia tốc Coriolis: Giả sử vectơ  e vr hợp với góc  Ta có trị r số ac tính sau: ac = e vr sin Chiều ac có cách lấy thành phần hình chiếu vr lên phương vuông góc với  e quay góc 900 theo chiều quay  e (Hình 12.2) ac  Hình 12.2 vr 172 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 12.1.2.4 Chú ý: Trong trường hợp hệ động Oxyz chuyển động tịnh tiến e = , ac = Định lý hợp gia tốc có dạng: aa = a r + ae (12.6) 12.2 Phương trình vi phân c/động c/điểm chuyển động tương đối: 12.2.1 Xét chất điểm M có khối lượng m chịu tác dụng lực F , phản lực liên kết R chuyển động hệ quy chiếu Oxyz, đồng thời hệ quy chiếu Oxyz lại chuyển động so với hệ quy chiếu cố định Ox1y1z1 Theo định luật II Newton, hệ quy chiếu cố định, ta có: m.aa = F + R Chú ý: theo định luật hợp gia tốc (12.5), ta có: aa = ar + ae + ac Vaäy: m ( ar + ae + ac ) = F + R mar = F + R + ( −m.ae ) + ( −m.ac ) Đặt: −m.ae = Feqt ; − m.ac = Fcqt lực quán tính theo lực quán tính Coriolis, ta coù: mar = F + R + Feqt + Fcqt (12.7) Phương trình (12.7) phương trình vi phân chuyển động chất điểm chuyển động tương đối Vậy, để viết phương trình vi phân chuyển động chất điểm chuyển động tương đối, ta cần thêm vào lực quán tính theo lực quán tính Coriolis 12.2.2.Phương trình cân tương đối chất điểm: Từ (12.7), ta thấy chất điểm đứng yên hệ quy chiếu Oxyz vr = ; ar = nên (12.7) có dạng: F + R + Feqt = (12.8) gọi phương trình cân tương đối chất điểm (12.8) CHƯƠNG XII: ĐỘNG LỰC HỌC CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 173 12.3 Áp dụng: Ví dụ 12.1: Một toa tàu chuyển động nhanh dần đường ray thẳng nằm ngang với gia tốc a Trong toa tàu treo lắc toán học Tìm vị trí cân tương đối lắc tìm chu kỳ dao động bé lắc quanh vị trí cân tương đối (Hình 12.3) O a M  m.g Bài giải: Hình 12.3 Xét chất điểm M cân tàu có gia tốc a ( (Hình 12.4) Các lực tác dụng lên M: m g , T , F qt e ) y ~0 Hay: m g + T + Feqt = (a) với: Feqt = m.a O T  Fe qt M x m.g Hình 12.4 Chọn hệ trục Mxy chiếu (a) lên trục x y: T sin  − ma = T sin  = ma a   tan  =  g −mg + T cos = T cos = mg (b) a = const , tức  không đổi Vậy tàu chạy với vận g tốc a không đổi, lắc lệch với phương thẳng đứng theo phía ngược với a a góc  = arctan = const g a số nên tan  = Bây ta tìm chu kỳ T dao động bé lắc quanh vị trí cân tương đối Giả sử lắc chuyển động lệch khỏi vị trí cân góc  (Hình 12.5) Phương trình vi phân chuyển động M có dạng: mar = m.g + T + Feqt (c) Fcqt = hệ động chuyển động tịnh tiến nên ac =    + M Fe qt O T  m.g Hình 12.5 Chiếu phương trình (c) lên trục M (vì biết quỹ đạo chuyển động tương đối M đường tròn tâm O, bán kính l), ta được: m dvr = −mg sin ( +  ) + ma cos ( +  ) dt Chú ý: vr = l. với l chiều dài lắc Ta được: ml. = −mg (sin cos + sin cos ) + ma ( cos cos − sin sin ) Từ (b), ta coù: a = sin  g cos  174 CƠ HỌC LÝ THUYẾT Dao động bé: lấy sin   Cuối ta nhận được: l. + Đặt k = g  =0 cos hay:  + g  =0 l.cos  (d) g , (d) trở thành:  + k 2 = l cos Nghiệm phương trình là:  = Asin ( kt +  ) với tần số dao động: k= g l cos Chu kỳ dao động: T = Vì tan  = 2 l cos = 2 k g a  cos = = g + tan  Cuối cùng, ta có: T = 2 l g + a2 g g + a2 hay: a = 16 l − g2 T Nhờ công thức cuối cùng, ta tính gia tốc tàu nhờ đo chu kỳ dao động bé lắc Ví dụ 12.2: Ống AB gắn cứng vào trục quay thẳng đứng CD với góc lệch  Trục CD quay với vận tốc góc không đổi  Lúc đầu, chất điểm M nằm cách O đoạn OM 0=a có vận tốc đầu tương đối v (0) = Xác định luật chuyển động M dọc theo ống tìm điều kiện để M đứng yên ống Bỏ qua ma sát (Hình 12.6) M0  a ~=const Hình 12.6 Bài giải: CHƯƠNG XII: ĐỘNG LỰC HỌC CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 175 Xét chuyển động chất điểm M chuyển động tịnh tiến tương đối dọc theo ống AB Chọn trục Oz dọc theo AB ) ( (Hình 12.7) Lực tác dụng: m g , N , Feqt , Fcqt Phương trình vi phân chuyển động tương đối M (dạng (12.7)): mar = mg + N + F + F qt e qt c z N ae M0  Fc qt M m.g (a) Feqt = −m.ae ; aen = OM.sin .2 Fcqt = −m.ac ; ac = 2e  vr Vectơ Fcqt ⊥ mặt phẳng chứa CD AB Fe qt z ~=const Hình 12.7 Chiếu (a) lên trục Oz: mz = −mg cos + Feqt sin   mz = −mg cos  + m.OM.sin   sin  Hay: z −  sin  z = − g cos  (b) Đây phương trình vi phân tuyến tính không với điều kiện ban z = a đầu: t = :  z = Nghiệm phương trình (b) có dạng: z ( t ) = z* ( t ) + z ( t ) với: • z* ( t ) nghiệm tổng quát phương trình tuyến tính tương ứng có dạng: z* ( t ) = C1e kt + C2 e − kt ( k =  sin  ) • z (t ) = g cos  g cos  = 2 k2  sin  Vaäy: z ( t ) = C1ekt + C2 e − kt + g cos  k2  z ( t ) = C1kekt − C2ke−kt  z ( ) = a vào (c) (d) để tính C1 , C2 , ta được: Thay  = z 0 ( )  g cos   g cos   1 a = C1 + C2 + k  C1 = C2 =  a −   k2  2  0 = C1k − C2 k 1 g cos   kt g cos  − kt Vaäy nghieäm: z ( t ) =  a −  (e + e ) + k k2 2  (c) (d) 176 CƠ HỌC LÝ THUYẾT g cos   g cos   Hay: z ( t ) =  a −  cosh ( kt ) + k k2   với: cosh ( kt ) = kt e + e− kt ) gọi hàm cosin hyperbolic ( Chú ý: hàm cosh ( kt ) hàm đồng biến với t t  Do chiều chuyển g cos    động M phụ thuộc vào  a −  k2   g cos g cos  cos  g z tăng  hay a − 2     2  sin  k sin  a theo t, tức chất điểm khỏi trục quay • Nếu a − • Nếu a − vào khỏi trục quay cos  g g cos   2  z giảm theo t, tức chất điểm ñi sin  a k g cos cos  g g cos  =  2 = z = 2 , tức chất điểm sin  a k  sin  g cos  đứng yên vị trí có z = OM = 2 (chuyển động cân tương đối) (ta  sin  tìm điều kiện cân tương đối phương trình cân tương đối dạng (12.8)) • Nếu a − 12.4 Câu hỏi ôn tập: Thế chuyển động tuyệt đối, chuyển động tương đối, chuyển động theo Xây dựng biểu thức vận tốc gia tốc tương đối, vận tốc gia tốc theo; vận tốc gia tốc tuyệt đối Phát biểu định lý định lý hợp vận tốc hợp gia tốc Thế gia tốc Coriolis Biểu thức ý nghóa Viết phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ tọa độ động Ý nghóa lực quán tính theo quán tính Coriolis Viết phương trình cân tương đối chất điểm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Văn Khang – Cơ Học, Tập 1: Tónh học Động học – Nhà xuất giáo dục – 2006 [2] Đỗ Sanh – Cơ Học, Tập 2: Động lực học – Nhà xuất giáo dục – 2004 [3] Ferdinand P.Beer, E Russell Johnston, Jr – McGraw Hill – 1988 [4] R.C.HIBBELER – Engineering Mechanics – MacMillan – 1990 [5] X.M.Targ – Giáo trình giản yếu học lý thuyết – Nhà xuất giáo dục – 1994 MỤC LỤC trang LỜI NÓI ĐẦU BÀI MỞ ĐẦU PHẦN A: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 1.1 Các khái niệm baûn: 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối: 1.1.2 Cân bằng: 1.1.3 Lực: 1.1.4 Hệ lực: 1.1.5 Ngẫu lực: 1.1.6 Liên kết phản lực liên kết: 1.2 Hệ tiên đề tónh học: 12 1.2.1 Tiên đề (tiên đề lực cân bằng): 12 1.2.2 Tiên đề (tiên đề thêm bớt lực): 12 1.2.3 Tieân đề (định lý hình bình hành lực): 13 1.2.4 Tiên đề (tiên đề tác dụng phản tác dụng): 13 1.2.5 Tiên đề (tiên đề hóa raén): 13 1.2.6 Tiên đề (tiên đề giải phóng liên keát): 13 1.3 Câu hỏi ôn tập: 14 CHƯƠNG II: HỆ LỰC PHẲNG 15 2.1 Thu gọn hệ lực phẳng: 15 2.1.1 Vectơ hệ lực phẳng: 15 2.1.2 Mômen hệ lực phẳng điểm: 16 2.1.3 Thu gọn hệ lực phẳng: 16 2.2 Điều kiện cân hệ lực phẳng: 19 2.2.1 Điều kiện cân bằng: 19 2.2.2 Các phương trình cân bằng: 19 2.3 Các toán áp duïng: 21 2.4 Bài toán cân hệ vật: 27 2.4.1 Phương pháp tách vật: 27 2.4.2 Phương pháp hóa raén: 30 ii CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2.4.3 2.4.4 Khái niệm toán siêu tónh: 32 Định lý lực đồng phaúng: 32 2.5 Bài toán cân hệ lực phẳng với liên kết ma sát: 33 2.5.1 Ma sát trượt: 33 2.5.2 Ma sát lăn: 35 2.6 Bài toán dàn phẳng: 37 2.6.1 Liên kết thanh: 37 2.6.2 Dàn phẳng: 37 2.7 Câu hỏi ôn tập: 42 CHƯƠNG III: HỆ LỰC KHÔNG GIAN 43 3.1 Vectơ mômen chính: 43 3.1.1 Vectơ chính: 43 3.1.2 Mômen hệ lực không gian điểm: 43 3.2 Thu gọn hệ lực không gian: 45 3.2.1 Định lý dời lực song song: 45 3.2.2 Quá trình thu gọn: 45 3.2.3 Các dạng chuẩn lực không gian: 46 3.2.4 Định lý Vari-nhông: 46 3.3 Điều kiện cân hệ lực không gian: 46 3.3.1 Điều kiện cân bằng: 46 3.3.2 Các phương trình cân bằng: 46 3.4 Ví dụ minh họa: 47 3.5 Câu hỏi ôn tập: 50 CHƯƠNG IV: TRỌNG TÂM 51 4.1 Tâm hệ lực song song chiều: 51 4.1.1 Định nghóa: 51 4.1.2 Tính chất: 51 4.2 Trọng tâm vật rắn: 52 4.2.1 Trọng tâm vật rắn: 52 4.2.2 Trọng tâm vật đồng chaát: 52 4.2.3 Các phương pháp xác định tọa độ trọng tâm vật rắn đồng chất: 53 4.2.4 Các định lý Guynđanh: 55 4.3 Câu hỏi ôn tập: 57 PHẦN B: ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC 59 CHƯƠNG V: CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC VÀ CHUYỂN ĐỘNG CHẤT ĐIỂM 59 5.1 Các định nghóa khái niệm: 59 5.1.1 Các mô hình vật thể: 59 5.1.2 Các đặc trưng động học chất điểm: 59 5.1.3 Lực: 66 5.1.4 Hệ quy chiếu quán tính: 66 5.2 Các định luật động lực học (3 định luật Newton): 67 5.2.1 Định luật quán tính (Định luật I): 67 5.2.2 Định luật (Định luật II): 67 5.2.3 Định luật tác dụng phản tác dụng (Định luật III): 67 5.3 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm: 67 5.3.1 Dạng vectơ: 67 5.3.2 Daïng tọa độ Đềcác: 67 5.3.3 Dạng tọa độ tự nhiên: 68 5.3.4 Hai toán động lực hoïc: 68 5.4 Bài toán ví dụ: 68 5.5 Câu hỏi oân taäp: 73 CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 75 6.1 Chuyển động tịnh tiến: 75 6.1.1 Định nghóa: 75 6.1.2 Tính chất: 75 6.2 Chuyển động vật rắn quay quanh trục cố định: 76 6.2.1 Định nghóa: 76 6.2.2 Khảo sát chuyển động toàn vật: 76 6.2.3 Khảo sát chuyển động điểm thuộc vật: 78 6.2.4 Biểu diễn vectơ đặc trưng chuyển động quay: 79 6.2.5 Bài toán truyền chuyển động quay: 80 6.3 Chuyển động song phẳng vật rắn: 81 6.3.1 Định nghóa mô hình: 81 6.3.2 Khảo sát chuyển động hình phẳng: 82 6.3.3 Khảo sát chuyển động điểm thuộc hình phẳng: 83 6.4 Các ví dụ: 87 6.4.1 Ví dụ 1: 87 6.4.2 Ví dụ 2: 88 6.4.3 Ví duï 3: 89 6.4.4 Ví dụ 4: 90 6.4.5 Ví dụ 5: 92 iv CƠ HỌC LÝ THUYẾT 6.4.6 6.5 Ví dụ 6: 93 Câu hỏi ôn: 94 CHƯƠNG VII: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 95 7.1 Định lý chuyển động khối taâm: 95 7.1.1 Các đặc trưng hình học hệ: 95 7.1.2 Định lý chuyển động khối tâm: 103 7.1.3 Áp dụng: 104 7.2 Định lý biến thiên động lượng: 106 7.2.1 Động lượng: 106 7.2.2 Xung lượng lực: 106 7.2.3 Định lý biến thiên động lượng: 107 7.2.4 Định lý bảo toàn động lượng: 108 7.2.5 AÙp duïng: 109 7.3 Định lý biến thiên momen động lượng: 110 7.3.1 Momen động lượng: 110 7.3.2 Định lý biến thiên momen động lượng: 111 7.3.3 Định lý bảo toàn momen động lượng: 112 7.3.4 Áp dụng: 113 7.4 Định lý biến thiên động năng: 114 7.4.1 Động naêng: 114 7.4.2 Công lực: 116 7.4.3 Định lý biến thiên động năng: 118 7.4.4 Áp dụng: 119 7.4.5 Định luật bảo toàn năng: 124 7.5 Caâu hỏi ôn tập: 127 CHƯƠNG VIII: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 129 8.1 Các khái niệm bản: 129 8.1.1 Lieân keát: 129 8.1.2 Di chuyển khả dó số bậc tự hệ: 130 8.1.3 Tọa độ suy rộng heä: 131 8.2 Nguyên lý di chuyển khả dó: 133 8.2.1 Nguyeân lý di chuyển khả dó: 133 8.2.2 Phương trình cân tọa độ suy rộng đủ: 134 8.2.3 Các toán áp dụng: 135 8.3 Câu hỏi ôn tập: 141 CHƯƠNG IX: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE 143 9.1 Lực quán tính: 143 9.1.1 Định nghóa: 143 9.1.2 Lực quán tính số t/hợp vật rắn c/động đơn giản thường gặp: 144 9.2 Nguyên lý Đalambe: 145 9.2.1 Nguyên lý Đalambe chất điểm: 145 9.2.2 Nguyên lý Đalambe hệ: 146 9.2.3 Ý nghóa nguyên lý Đalambe: 146 9.3 Phương trình cân tónh động: 146 9.4 Ví dụ: 147 10 CHƯƠNG X: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ KHÔNG TỰ DO 151 10.1 Phương trình động lực học tổng quát: 151 10.1.1 Phương trình động lực học tổng quát dạng vectơ: 151 10.1.2 Phương trình động lực học tổng quát dạng tọa độ Đề các: 152 10.2 Phương trình Lagrange loại II: 152 10.2.1 Phương trình tổng quát động lực học dạng tọa độ suy rộng: 152 10.2.2 Phương trình Lagrange loại II trường lực thế: 154 10.3 Tọa độ xyclic tích phân đầu chuyển động: 154 10.3.1 Tọa độ xyclic: 154 10.3.2 Tích phân đầu chuyển động: 155 10.4 Áp dụng: 155 10.5 Câu hỏi ôn tập: 158 11 CHƯƠNG XI: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 159 11.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến: 159 11.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định: 160 11.3 Vật rắn chuyển động song phaúng: 160 11.4 Áp dụng: 160 11.5 Câu hỏi oân taäp: 168 12 CHƯƠNG XII: ĐỘNG LỰC HỌC CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 169 12.1 Khái niệm chuyển động tương đối: 169 12.1.1 Định nghóa: 169 12.1.2 Các định lý hợp vận tốc hợp gia tốc: 170 12.2 Phương trình vi phân c/động c/điểm chuyển động tương đối: 172 12.2.1 172 vi CƠ HỌC LÝ THUYẾT 12.2.2 Phương trình cân tương đối chất điểm: 172 12.3 AÙp duïng: 173 12.4 Câu hỏi ôn taäp: 176 TÀI LIỆU THAM KHẢO 177 MUÏC LUÏC i ... biệt Phát biểu định lý động dạng vi phân, dạng đạo hàm dạng hữu hạn Thế lực có thế, tính chất lực Phát biểu định lý bào toàn lượng học 128 CƠ HỌC LÝ THUYẾT CHƯƠNG VIII: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ... tác dụng lên hệ Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dó Phương trình cân tọa độ suy rộng đủ 142 CƠ HỌC LÝ THUYẾT CHƯƠNG IX: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE 143 CHƯƠNG IX: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE Yêu cầu: Nắm khái niệm... chiếu phương trình (7.17) lên trục hệ tọa độ tự nhiên C nb: 104 CƠ HỌC LÝ THUYẾT  d xC e  M dt =  Fk x k   VC =  Fken M k   e 0 =  F kb  k  (7.20) (7.20) gọi phương trình vi phân