Giáo trình Cơ học lý thuyết Phần 1

1 LỜI NÓI ĐẦU Trong công cải tiến giáo trình trường Đại Học, động viên kích lệ TSKH Cao Văn Phường, Hiệu trưởng trường Đại Học Bình Dương, soạn giáo trình Cơ học kỹ thuật gồm tập: tập phần Cơ học lý thuyết, tập hai phần Sức bền vật liệu nhằm giúp cho sinh viên ngành kỹ thuật, đặc biệt Kỹ thuật Xây dựng có thêm tài liệu học tập Giáo trình viết theo quan điểm đại thực hành, tăng cường nhiều ví dụ minh họa cho lý thuyết Trong một, phần động học động lực học soạn đan xen với nhau, giúp cho người đọc thuận tiện việc nhận thức kiến thức Những phần lý thuyết khó không cần thiết, không đưa vào giáo trình Những phần trùng hai môn học (các đặc trưng hình học hệ, phương trình cân lực, …) mà trước môn học đề cập đến , giáo trình này, trình bày lần, thời lượng giảng dạy giảm bớt Mỗi tập giáo trình trình bày với thời lượng đơn vị học trình Chúng xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Cao Mệnh, GS TSKH Đỗ Sanh, PGS TS Phan Ngọc Châu đọc cho ý kiến nhận xét phản biện quý báu cho giáo trình Đặt biệt xin chân thành cảm ơn TSKH Cao Văn Phường cho nhiều ý kiến đạo đóng góp giai đoạn biên soạn giáo trình để giáo trình hoàn thành theo tiêu chí nhàtrường đề Chúng xin chân thành cảm ơn thành viên hội đồng khoa học Khoa Xây dựng trường Đại học Bình Dương giúp đỡ trình biên soạn Cuốn sách chắn nhiều thiếu sót Chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bạn đọc cho nội dung sách Các ý kiến xin gởi về: TS TRẦN HUY LONG, Khoa Xây dựng, Đại học Bình Dương, số 405 Đại lộ Bình Dương, thị xã Thủ Dầu Một, tỉnh Bình Dương Điện thoại: (0650) 38 33927, DĐ: 0918 133 272, Email: Nep1952@yahoo.com Tác giả CƠ HỌC LÝ THUYẾT BÀI MỞ ĐẦU BÀI MỞ ĐẦU Chúng ta sống kỷ 21, phát triển khoa học kỹ thuật giúp cho nhà khoa học, kỹ sư giải nhiều toán kỹ thuật như: thiết kế, tính toán công trình nhà cửa, cầu đường, thiết bị máy móc, động cơ,… Các tính toán muôn màu muôn vẻ sở định luật, nguyên lý ngành học bản, quy luật chuyển động cân vật thể mà người ta gọi chung chuyển động học Khoa học nghiên cứu quy luật chuyển động cân vật thể tương tác chúng gọi Cơ học lý thuyết Các vật thể coi tuyệt đối cứng, người ta gọi Cơ học lý thuyết Cơ học vật rắn tuyệt đối Cũng dựa nguyên lý này, ta kể đến tính biến dạng vật thể, tức nghiên cứu vật biến dạng gọi Sức bền vật liệu Cơ học vật rắn biến dạng Từ nguyên lý chung này, tùy theo ngành khoa học kỹ thuật cụ thể, người ta phát triển ngành học khác Cơ học kết cấu, Cơ học móng, Cơ học đất đá môi trường rời, Nguyên lý máy, Chi tiết máy, Thủy lực, … Như vậy, nói hầu hết ngành học kỹ thuật (Kỹ thuật Xây dựng, Kỹ thuật khí,…) dựa sở lý thuyết môn học sở quan trọng Cơ học lý thuyết sức bền vật liệu mà nhiều tác giả gọi chung Cơ học kỹ thuật Nhiệm vụ Cơ học lý thuyết nghiên cứu quy luật chuyển động cân vật thể tác dụng lực Để việc nghiên cứu thuận tiện, người ta chia Cơ học lý thuyết thành phần: Tónh học, Động học, Động lực học Trong phần tónh học nghiên cứu lực điều kiện cân hay nhiều vật thể tác dụng lực Động học nghiên cứu đặc trưng chuyển động vật thể như: phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc Còn động lực học nghiên cứu toán tổng quát chuyển động: tác dụng lực, vật thể hệ hệ vật thể chuyển động Trong giáo trình này, Cơ học lý thuyết xây dựng sở phương pháp tiên đề, có nghóa từ đầu, người ta phát biểu hệ tiên đề điều hiển nhiên Sau đó, dùng phép toán toán học suy định lý, công thức, quy tắc để áp dụng giải toán thực tế kỹ thuật Vì lý thuyết xây dựng môn học đủ độ tin cậy để sử dụng Còn phần Sức bền vật liệu, việc dựa vào kết phần Cơ học lý thuyết, người ta dựa vào định luật biến dạng vật thể định luật Hooke (Húc), xây dựng số thí nghiệm để kiểm chứng tính chất vật liệu Trong toán Sức bền vật liệu, người ta tính toán ứng suất biến dạng chịu lực tác dụng Từ đưa tiêu chuẩn độ bền chế độ làm việc Tùy thuộc vào tác dụng lực, người ta chia toán: kéo nén tâm, xoắn túy, uốn phẳng, uống xiên,… Các lý thuyết, định luật học người phát sớm thông qua trình phát triển xã hội Từ trước công nguyên (cách vài nghìn năm), CƠ HỌC LÝ THUYẾT người ta biết vận dụng quy tắc mặt phẳng nghiêng để đưa tảng đá nặng hàng trăm lên cao để xây dựng tháp Ai cập, người La mã cổ đại biết sử dụng quy tắc đòn bẩy súng bắn đá,… định luật học Tuy nhiên, phải đến kỷ 15 – 16, với phát triển ngành công nghiệp hàng hải, kỹ thuật quân phát triển thiên văn học tạo điều kiện để hệ thống hóa quy luật học thành ngành hoàn chỉnh Người có công đầu phát kiến phải kể đến Galilê (1564 – 1642) Ixắc Niutơn (1643 – 1727) Trong công trình “Cơ sở toán học triết học tự nhiên” xuất năm 1687, lần Niutơn trình bày cách có hệ thống định luật học cổ điển sử dụng ngày mà người ta thường gọi định luật Niutơn Đến kỷ 18, phát triển mạnh mẽ ngành giải tích toán áp dụng vào học, đặc biệt phép tính vi, tích phân Người có công đầu lãnh vực nhà toán học học vó đại Lêona Ơle (1707 – 1783) vạch phương pháp giải toán động lực học điểm vật rắn cách thiết lập tích phân phương trình vi phân chuyển động chúng Trong số công trình khác lãnh vực này, phải kể đến công trình hai nhà bác học lỗi lạc người Pháp Đalămbe G.Lagrange (1736 – 1813) đề phương pháp giải tích tổng quát động lực học cách dựa vào nguyên lý Đalămbe nguyên lý độ dời khả dó mà ngày gọi phương trình Lagrange Ngày nay, phương pháp giải tích Lagrange phương pháp áp dụng động lực học Quá trình phát triển ngành Sức bền vật liệu gắn liền với công trình kỷ 18 Năm 1768, Húc đưa định luật vật thể đàn hồi dạng tuyến tính biểu diễn quan hệ ứng suất biến dạng vật liệu:  = E  Cũng đồng thời với Húc công trình Ơle Bécnuli toá n uốn đàn hồi, toán ổn định dọc Ơle, … Vào kỷ 19, nhu cầu phát triển công nghiệp thúc, nhà khoa học xây dựng phương pháp tính toán toán phức tạp vật rắn biến dạng, người có công đầu lãnh vực phải kể đến Ơle, Becnuli, Giurapxki, Lamê, Culông, Xanhvơnăng, … Đặc biệt sang đầu kỷ 20, ngành học vật rắn biến dạng phát triển vô rộng lớn, bao gồm lý thuyết vỏ Búpnốp Galiockin Tính mái che không dầm Lâybenzôn, lý thuyết hệ mỏng Vlasốp Đặc biệt tác phẩm Sức bền vật liệu, vỏ lý thuyết đàn hồi nhà bác học người Mỹ gốc Nga Timôsencô, v.v… Gần nhiều công trình phát triển sang lý thuyết đàn hồi dị hướng để nghiên cứu vật rắn biến dạng không đồng máy tính phát triển, giải toán với khối lượng tính toán lớn (hàng triệu phép tính giây) phương pháp tính phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên áp dụng vào Sức bền vật liệu để tính toán hệ khung phức tạp toán hệ khung hữu hiệu Vào nửa sau kỷ 20, công trình lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến phát triển mạnh BÀI MỞ ĐẦU Tóm lại, kết mà ta học môn học Cơ học kỹ thuật làm sở để học tiếp môn học chương trình như: môn Cơ học kết cấu, Cơ học đất đá, Lý thuyết móng, Động lực học công trình, Công trình ngầm, Công trình đất yếu, … Ngoài ra, thân phương pháp tư môn học giúp ta có phương pháp luận đắn để sau làm việc biết cách mô hình hóa toán thực tế tìm cách giải chúng cách hợp lý Trong môn học, phải sử dụng nhiều kết toán học, để học tốt môn Cơ học kỹ thuật, người đọc cần nắm vững kết phần toán học sau: Phép tính vi, tích phân hàm biến hàm nhiều biến; Lý thuyết giải hàm; Lý thuyết giải phương trình vi phân cấp 1, cấp 2; đặc biệt phương trình vi phân tuyến tính Ngày nay, khoa học kỹ thuật cần thiết phục vụ cho việc phát triển hoàn thiện không ngừng sản xuất khí hóa, tự động hóa môn học thiếu cho nhiệm vụ Cơ học kỹ thuật CƠ HỌC LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC PHẦN A: TĨNH HỌC CHƯƠNG I: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC Yêu cầu: Hiểu khái niệm học: Vật rắn tuyệt đối, cân lực, liên kết phản lực liên kết Nắm liên kết thường gặp vẽ phản lực liên kết Nắm hệ tiên đề tónh học 1.1 Các khái niệm bản: 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối: Vật rắn tuyệt đối tập hợp vô hạn chất điểm mà khoảng cách chất điểm luôn không thay đổi – Vật rắn tuyệt đối mô hình đơn giản vật thể – Trong nhiều trường hợp, nghiên cứu vật thể coi vật rắn tuyệt đối: ví dụ vật thể có biến dạng nhỏ, … – Trong toàn phần I này, mô hình vật thể vật rắn tuyệt đối ta gọi tắt vật rắn 1.1.2 Cân bằng: Cân trạng thái đứng yên vật thể so với vật thể khác chọn làm mốc Vật thể làm mốc gọi hệ quy chiếu Trong tónh học, hệ quy chiếu chọn phải thỏa mãn định luật quán tính Newton (hệ quy chiếu đứng yên tuyệt đối) Cân gọi cân tuyệt đối 1.1.3 Lực: Lực đại lượng vật lý hiển thị tương tác vật mà kết thay đổi trạng thái học vật Lực đặc trưng yếu tố: a Điểm đặt lực: Vị trí vật tương tác b Phương chiều lực: Phương chiều tương tác c Cường độ lực: Độ lớn đo đơn vị lực gọi Newton, ký hiệu N, bội số nó: KilôNewton (kN), … CƠ HỌC LÝ THUYẾT Mô hình toán học lực vectơ lực, đại lượng vectơ, ví dụ lực F , … Phương chiều độ lớn vectơ biểu diễn phương chiều cường độ lực Đường thẳng chứa vectơ lực gọi tác dụng lực (Hình 1.1) F Hình 1.1 1.1.4 Hệ lực: Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật Ký hiệu hệ lực:  F1, F2 , , Fn (Hình 1.2) ( ) F1 F1 F2 1 F2 2 3 Fn n Fn Hình 1.3 Hình 1.2 Hai hệ lực gọi tương đương chúng gây cho vật rắn trạng thái học  F1 , F2 , , Fn   1 , 2 , , n (Hình 1.3) ( ) ( ) ( Hợp lực hệ lực lực tương đương với hệ lực: R   F1 , F2 , , Fn ) Hệ lực cân hệ lực mà tác dụng vật rắn trạng thái cân hay nói cách khác hệ lực cân hệ lực có hợp lực baèng ( )  F1 , F2 , , Fn  1.1.5 Ngẫu lực: Ngẫu lực hệ gồm lực song song ngược chiều có cường độ a Một ngẫu lực đặc trưng yếu tố sau (Hình 1.4): – Mặt phẳng tác dụng ngẫu lực mặt phẳng P chứa lực ngẫu lực – Chiều quay ngẫu lực nằm mặt phẳng P – Cường độ ngẫu lực tỉ lệ thuận với cường độ lực khoảng cách hai lực d gọi cánh tay đòn ngẫu, đặc trưng tích Fd gọi giá trị mômen ngẫu Đơn vị đo mômen ngẫu lực Newton mét (N.m) bội số nó: kN.m, … F d P Hình 1.4 F' CHƯƠNG I: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC b Trong không gian, ngẫu lực nằm mặt phẳng khác nhau, ngẫu lực biểu diễn vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu m xác định sau (Hình 1.5): F'1 m1=(F1 d1) – Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực – Chiều: đứng theo chiều thấy ngẫu lực quay ngược chiều kim đồng hồ – Độ lớn m xác định giá trị mômen ngẫu lực Fd m=(Fd) d1 F1 P1 P F F' d Hình 1.5 Quy ước gốc vectơ m nằm mặt phẳng chứa ngẫu lực Trong trường hợp tất ngẫu lực nằm mặt phẳng, biểu diễn vectơ mômen ngẫu chúng song song với nhau, vậy, trường hợp này, ta cần dùng mômen đại số để biểu diễn ngẫu, ký hiệu m =  Fd , lấy dấu (+) quay ngược chiều kim đồng hồ, lấy dấu (–) quay ngược lại 1.1.6 Liên kết phản lực liên kết: Liên kết điều kiện cản trở di chuyển vật Trong tónh học cản trở thực việc tiếp xúc vật Vật bị cản trở gọi vật không tự Trong toán tónh học, vật rắn ta chọn nghiên cứu gọi vật khảo sát, vật rắn khác gây cản trở di chuyển vật khảo sát gọi vật gây liên kết, lực tạo vật gây liên kết tác động lên vật khảo sát gọi phản lực liên kết Phản lực liên kết có chiều ngược với chiều vật khảo sát muốn di chuyển bị cản trở vật gây liên kết Các loại liên kết thường gặp: a.- Liên kết tựa: Vật tựa lên mặt, chuyển động vật bị cản trở theo phương pháp tuyến với mặt tựa, đó, phản lực liên kết tựa có phương pháp tuyến chung mặt tiếp xúc khỏi mặt tựa (Hình 1.6) 10 CƠ HỌC LÝ THUYẾT N NB N NA B A a.- b.- c.- Hình 1.6 Chú ý: – Trong trường hợp mặt phẳng tiếp xúc điểm phản lực liên kết hướng theo pháp tuyến mặt lại (Hình 1.6b) – Gối tựa di động dạng liên kết tựa (Hình 1.6c) b.- Liên kết dây mềm: Liên kết dây mềm xuất dây mềm không dãn, bị kéo căng Phản lực liên kết gọi lực căng dây có phương dọc dây khỏi vật khảo sát thường ký hiệu T (Hình 1.7) T Hình 1.7 c.- Liên kết lề trụ: Bản lề trụ gồm lõi trụ tròn gọi trục lề vỏ trụ bao lõi trụ tròn Lõi trụ gắn với vật khảo sát vỏ trụ gắn vào vật gây liên kết (Hình 1.8) y y RA YA RA YA x x A a.- XA A XA b.- c.- Hình 1.8 Chuyển động vật khảo sát không bị cản trở theo hướng dọc trục, phản lực liên kết lề trụ có phương vuông góc với trục lề, ký hiệu RA Thường để thuận tiện ta phân RA thành thành phần theo trục Ax Ay trục tọa độ Đề vuông góc nằm mặt phẳng vuông góc với trục lề RA  X A , YA (Hình 1.8b) Gối tựa cố định dạng liên kết lề trụ (Hình ( 1.8c) ) 80 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 6.2.5 Bài toán truyền chuyển động quay: 6.2.5.1 Truyền động bánh raêng: r1 r1 ~  O1 ~  O2 ~  O1 r2 ~  O2 r2 b.- a.Hình 6.9 Tại điểm tiếp xúc, hai bánh có vận tốc, suy ra: 1 r1 = 2 r2 → 1 r2 = 2 r1 Tiếp xúc (Hình 6.9a), 1  trái dấu; tiếp xúc (Hình 6.9b): 1  dấu Kết hợp trường hợp, ta có: 1 r z =  =  , với z1 , z2 số tương ứng 2 r1 z1 (6.18) 6.2.5.2 Truyền động đai truyền, xích: ~1 O1 r1 ~2 O2 a.- ~1 O1 r2 r1 Hình 6.10 ~2 O2 r2 b.- Các điểm đai có vận tốc, suy ra: Trường hợp (Hình 6.10a), 1  chiều quay: 1 r2 = 2 r1 (6.19) CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 81 Trường hợp (Hình 6.10b), 1  ngược chieàu quay: 1 r =− 2 r1 (6.20) 6.2.5.3 Truyền động bánh – răng: ~ O r A B Hình 6.11 (6.21) v = r. 6.3 Chuyển động song phẳng vật rắn: 6.3.1 Định nghóa mô hình: 6.3.1.1 Định nghóa: Vật rắn chuyển động song phẳng vật chuyển động: điểm thuộc vật có quỹ đạo phẳng song song với mặt phẳng cố định gọi mặt phẳng quy chiếu (Hình 6.12) A (s)  6.3.1.2 Mô hình: Lấy đoạn thẳng AB thuộc vật vuông góc với mặt phẳng quy chiếu ( ) , AB song song với vật chuyển động Do đó, AB chuyển động tịnh tiến, để nghiên cứu ta cần điểm đại diện M B 0 Hình 6.12 Nếu coi vật bó đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳn g quy chiếu đại diện cho hình phẳng (s) song song với ( ) Và vật chuyển động, hình phẳng (s) chuyển động mặt phẳng chứa Vậy, mô hình chuyển động song phẳng chuyển động hình phẳng mặt phẳng chứa (Hình 6.12) 82 CƠ HỌC LÝ THUYẾT B A A O O2 O1 ~  O1 B Hình 6.13 Ví dụ: Những chuyển động sau chuyển động song phẳng (Hình 6.13): – Bánh xe chuyển động lăn mặt đường – Khâu AB chuyển động cấu khâu lề – Thanh truyền AB cấu tay quay – truyền 6.3.2 Khảo sát chuyển động hình phẳng: 6.3.2.1 Phương trình chuyển động: a.- Thông số định vị: Xét hình phẳng (s) chuyển động mặt phẳng chứa Trong mặt phẳng chứa nó, chọn hệ tọa độ cố định Ox1y1 Lấy điểm C thuộc hình phẳng (s) gắn vào hệ trục Cxy có trục Cx song song với Ox1, trục Cy song song với Oy1 (Hình 6.14) Ta có hệ trục tọa độ Cxy chuyển động tịnh tiến với hệ trục tọa độ cố định, thế, chuyển động hệ trục Cxy hoàn toàn xác định qua chuyển động điểm C gọi cực y y1 (s)   M x C x1 O Hình 6.14 Vị trí hình phẳng (s) hoàn toàn xác định góc  (góc đoạn thẳng CM (s) trục Cx) hệ trục Cxy Như vậy, hệ trục tọa độ cố định Ox1y1 (hệ quy chiếu cố định) vị trí (s) hoàn toàn xác định thông số: tọa độ điểm C: xC yC góc  b.- Phương trình chuyển động: Khi (s) chuyển động, thông số hàm thay đổi theo thời gian: xC = xC (t ) ; yC = yC (t ) ;  =  (t ) (6.22) Phương trình (6.22) phương trình chuyển động hình phẳng (s) 6.3.2.2 Vận tốc gia tốc hình phẳng: Vận tốc gia tốc hình phẳng vận tốc, gia tốc điểm cực C vận tốc góc, gia tốc góc quay quanh cực C:  =  ( t ) vC ( xC , yC ) vaø   aC ( xC , yC )  =  =  ( t ) (6.23) CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 83 6.3.3 Khảo sát chuyển động điểm thuộc hình phẳng: 6.3.3.1 Vận tốc điểm: a.- Quan hệ vận tốc điểm: Định lý 1: Vận tốc điểm M hình phẳng tổng vectơ vận tốc cực C vectơ vận tốc điểm M chuyển động quay quanh cực C vM = vC + vMC với: vMC ⊥ MC = MC. y y1 e e0 (s)   M C (6.24) d d0 Chứng minh: x x1 O Ta có: OM = OC + CM Hình 6.15 Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d OM = OM = vM ; OC + OC = vC CM với: dt dt dt dt dt Hay: vM = vC + ( ) d CM dt (a) Chú ý: C M điểm (s) → độ lớn CM số, CM = CM.d0 với d vectơ đơn vị trục ( ) ( ) ( ) d d d CM = CM.d0 = CM d0 dt dt dt ( ) d d0 =   d0 = .e0 dt với: e0 vectơ đơn vị trục Me ⊥ Cd Mà: ( ) vM d CM = CM..e0 vectơ có trị số dt CM. hướng theo trục Me, tức vuông góc với CM ta đặt vMC Nên  Me Vậy: vMC =  MC. Thay (b) vào (a), ta (Hình 6.16): ⊥ MC vM = vC + vMC với: vMC =  MC. vMC vC M (b) vC C Hình 6.16  84 CƠ HỌC LÝ THUYẾT Định lý 2: Hình chiếu vận tốc điểm hình phẳng lên phương đường thẳng nối điểm (6.25) hcAB,vA = hcAB,vB Chứng minh: Giả sử điểm A B hình phẳng có vận tốc vA vB Lấy điểm A làm cực áp dụng định lý 1, ta có: vB = vA + vBA với: vBA ⊥ BA Chiếu đẳng thức vectơ lên AB, ta được: hcAB,vB = hcAB,vA + hcAB,vBA Vì: vBA ⊥ BA nên hcAB,vBA = Vậy: hcAB,vA = hcAB,vB b.- Tâm vận tốc tức thời: Định lý 3: Tại thời điểm, hình phẳng tồn điểm có vận tốc gọi tân vận tốc tức thời phân bố vận tốc điểm khác hình phẳng giống phân bố quay quanh tâm vận tốc tức thời Chứng minh: Giả sử thời điểm khảo sát, hình phẳng có vận tốc góc  điểm A thuộc hình phẳng có vận tốc vA Ta quay vA theo chiều  góc 900 ½ đường thẳng A (Hình 6.17) Trên A, lấy ñieåm P cho: AP = vA   (6.26) vA A Ta chứng minh: P tâm vận tốc tức thời C vC Chọn A làm cực, sử dụng (6.24), ta coù: ⊥ PA vP = vA + vPA với: vPA =  PA. = vA vPA Do cách chọn P, ta có vA & vPA ngược chiều, trị số Vậy: vP = vA P  Hình 6.17 Lấy P làm cực, ta tính vC bất kỳ, áp dụng (6.24), ta có: ⊥ CP vC = vP + vCP = + vCP = vCP với vCP =  CP. → Chứng tỏ phân bố vận tốc giống chuyển động quay quanh P Ta chứng minh: điểm P CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 85 Giả sử có điểm P1 P2 có vận tốc Lấy P1 làm cực, tính vP2 : vP2 = vP1 + vP2P1 Suy ra: = + vP2P1  vP2P1 =  P2P1. = Maø  ≠ Vậy: P2 P1 = tức P2  P1 c.- Các quy tắc xác định tâm vận tốc tực thời: Trường hợp 1: Biết vận tốc điểm phương vận tốc điểm khác: vA A C Từ điểm ta kẻ đường thẳng vuông góc với phương vận tốc, chúng cắt P (Hình 6.18) vC = vP + vCP = vCP vC = vCP = CP. CP vA   vC =  AP vA = vP + vAP = vAP vA = vAP = AP. vC P Hình 6.18 Trường hợp 2: Biết vận tốc điểm có phương song song với nhau: vA A vB B Giả sử hình phẳng điểm A B có vận tốc vA vB Khi đó: vA A P vB B P Hình 6.19 ➢ Nếu vA  vB AB phải vuông góc với phương vận tốc tâm vận tốc tức thời P giao điểm đường thẳng nối AB đường thẳng nối điểm mút vA vB (Hình 6.19) ➢ Trong trường AB không vuông góc vận tốc tâm vận tốc xa vô ta có: vA hợp đường với phương tức thời P = vB  = → trường hợp hình phẳng có chuyển động tịnh tiến tức thời (Hình 6.20) vA A B vB vA A P vB P Hình 6.20 B 86 CƠ HỌC LÝ THUYẾT Trường hợp 3: Hình phẳng lăn không trượt đường cong phẳng cố định, điểm tiếp xúc hình phẳng đường cố định tâm vận tốc tức thời (Hình 6.21) P Hình 6.21 6.3.3.2 Gia tốc điểm: Định lý 4: Gia tốc điểm M hình phẳng tổng vectơ gia tốc điểm cực C cộng với gia tốc điểm M quay quanh cực C (6.27) aM = aC + aMC M → C ⊥ MC n  n  = ; aMC ; aMC với aMC = aMC = + aMC MC.  MC. Chứng minh: Theo định lý 1, ta có: vM = vC + vMC Đạo hàm vế theo thời gian: d d d ( vM ) = ( vC ) + ( vMC ) dt dt dt Hay: aM = aC + d ( vMC ) dt Chú ý: vMC = CM..e0 Ta có: Mà: de d d d ( vMC ) = CM..e0 = CM .e0 + CM. dt dt dt dt ( ) de0 =   e0 = .n0 dt Suy ra: d ( vMC ) = CM. e0 + CM. n0 dt Vaäy: aM = aC + CM. e0 + CM. n0 CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 87 e Đại lượng: CM. e0 có trị số CM. , e0 phương vuông góc với CM gọi vectơ gia tốc  tiếp tuyến, ký hiệu aMC Còn CM. n0 có trị aM số CM. , phương từ M đến điểm cực C gọi vectơ gia tốc pháp tuyến, ký hiệu n (Hình 6.22) aMC aMC aC = aMC thành phần gia tốc điểm M quay quanh cực C Trị số tính: aMC = n MC (a ) + (a )  MC n a MC d d0  C đó: aMC + a  aC M Cuối cùng, ta có: n  aM = aC + aMC + aMC  a MC n MC Hình 6.22 = MC  +  6.4 Các ví dụ: 6.4.1 Ví dụ 1: Một trục quay quay với vận tốc n = 90 vòng/phút Sau ngắt động cơ, trục quay bắt đầu quay chậm dần sau thời gian 40s dừng lại Xác định số vòng mà trục quay ngắt động Bài giải: Trục quay quay chậm dần đều, giả sử trục quay theo chiều dương:  = −  t + 0 t →  = Vận tốc góc ban ñaàu: 0 = d = − t + 0 dt n.2 90.2  rad  = = 3   60 60  s  Sau 40s,  = Suy ra: = − 40 + 3 hay  = 3  rad    40  s  Sau t1 = 40 s , truïc quay được: 3 402 + 3 40 = 60 ( rad ) 40  = −  t + 0 t = − Vậy, số voøng quay: N =  60 = = 30 ( vòng ) 2 2 88 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 6.4.2 Ví dụ 2: Trục quay có bán kính R = 10cm quay nhờ cân P treo vào sợi dây Quả cân chuyển động rơi xuống theo phương trình x = 100t (x tính cm khoảng cách từ cân đến đường nằm ngang cố định OO1) Xác định vận tốc góc , gia tốc góc  trục gia tốc điểm nằm bề mặt trục thời điểm t (Hình 6.23)  O1 x P vP x ) vO1 = R Hình 6.23 ( 200.t = 20.t rad s 10 ( Gia tốc góc trục:  =  = 20 rad s2  a MC M Xem P điểm chuyển động thẳng, vận tốc P vận tốc điểm O1 bề mặt trục: vO1 = vP = x = 200.t cm s Vận tốc góc trục:  = O anMC Bài giải: ( R ) ) Gia tốc điểm M bề mặt truïc:  aM = aM + aMn (  = R. = 10.20 = 200 cm với aM aM = ; a s ) n M ( ( = R. = 10 ( 20.t ) = 4000.t cm  + aMn = 200 + 400.t cm aM s2 ) s2 ) CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 89 6.4.3 Ví dụ 3: Cơ cấu xe tời (Hình 6.24) làm cho tải trọng B chuyển động tay quay OA quay Do phận hãm bị hỏng, B rơi xuống theo luật x = 5.t ( cm) Đường kính O A z1 z3 z2 trống d = 200mm Số trục truyền: z1 = 13 ; z2 = 39 ; z3 = 11 ; x z4 = 77 Xác định vận z4 tốc gia tốc điểm A sau B rơi 2s Biết OA=400mm B x Bài giải: Hình 6.24 Tương tự trước, ta có vận tốc góc gia tốc góc bánh 4: 4 = ( ( ) x 10.t = = t rad vaø  = 4 = rad s 20 d s 2 ) Bánh ăn khớp ngoài, ta có: 3 77 z z = −  3 = − 4 = − t = −7.t rad s 4 11 z3 z3 ( ( ) , bánh ăn khớp ngoài: 39 z   = −  = − ( −7.t ) = 21.t ( rad ) s 13 z Ta coù: 2 = 3 = −7.t rad 1 z =− 2 z1 ) s 2 ( Bánh quay chiều với bánh với vận tốc góc 1 = 21.t rad ( Gia tốc góc bánh 1: 1 = 1 = 21 rad s2 ( Vận tốc điểm A: vA = OA.1 = 40.21.t = 840.t cm ( Gia toác điểm A: aA = aA + aAn s ) ) ) Đây vận tốc góc gia tốc góc OA Tại t = s : vA = 840.2 = 1680 cm s s ) 90 ) ( a = OA. = 40 ( 21.t )2 = 840.21.t cm  A s2 với:  aAn = OA. = 40.21 = 840 cm s  ) ( Vaäy: aA t =2 s = 2 aA + aA = 840 ( 21.t ) 2 +1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT = 70565 cm t =2 s s2 6.4.4 Ví dụ 4: Bánh xe bán kính R = 0.5m thời điểm khảo sát lăn không trượt mặt đường nằm ngang với vận tốc tâm O vO = m gia tốc tâm O aO = 10 m s s Xác định vận tốc gia tốc điểm A, B, C D bánh xe (Hình 6.25a) Bài giải: B vB B  a AO A a O vO O C A vA vO O C  a BO B A n a BO n a O a CO n a AO O vC  a DO n a DO D D D a.- b.- c.-  C  aCO Hình 6.25 Xác định vận tốc: Chuyển động bánh xe chuyển động song phẳng Do lăn không trượt mặt đường cố định nên D tâm vận tốc tức thời vD = Theo định lý tâm vận tốc tức thời, ta có: vO v v v = A = B = C = OD AD BD CD Suy ra: = ( vO v = O = = rad s OD R 0,5 ) ( s) vA = vC = AD. = R 2. = 0,5 2.4 = 2 m ( s) vB = 2R. = 2.0,5.4 = m Phương chiều vectơ vận tốc Hình 6.25b Xác định gia tốc: Ta có:  = vO v a  = O = O R R R CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 91 Tại thời điểm khảo sát, gia tốc góc bánh xe là:  = aO 10  rad  = = 20   R 0,5  s  Gia toác điểm D: Lấy điểm O làm cực, ta có: n  aD = aO + aDO + aDO với: n aDO = DO. = R. Vaäy: aD = ( s) = 0,5.4 = ( m ) s aDO = DO. = R. = 0,5.20 = 10 m (a O 2 n − aDO ) + ( aDO ) = 2 (10 − 10) ( s) + 82 = m 2 Tương tự: Gia tốc điểm A: Lấy điểm O làm cực, ta có: n  aA = aO + aAO + aAO với: n = AO. = R. = 0,5.42 aAO Vaäy: aA = ( s) = 8(m ) s aAO = AO. = R. = 0,5.20 = 10 m (a O n + aAO ) + ( aAO ) = 2 2 (8 + 10) ( s) + 102 = 20,59 m Gia tốc điểm B: Lấy điểm O làm cực, ta coù: n  aB = aO + aBO + aBO với: n = BO. = R. = 0,5.42 aBO Vaäy: aB = ( s) = 8(m ) s aBO = BO. = R. = 0,5.20 = 10 m (a O n + aBO ) + ( aBO ) = 2 2 (10 + 10) ( s) + 82 = 21,54 m Gia tốc điểm C: Lấy điểm O làm cực, ta có: n  aC = aO + aCO + aCO với: n aCO = CO. = R. Vaäy: aC = ( s) = 0,5.4 = ( m ) s aCO = CO. = R. = 0,5.20 = 10 m (a O  n − aCO ) + ( aCO ) = 2 2 (10 − 8) ( s) + 102 = 10, 20 m Phương chiều vectơ gia tốc thành phần Hình 6.25c 92 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 6.4.5 Ví dụ 5: Cho cấu hành tinh gồm bánh cố định, bánh xe lăn không trượt bánh xe Tay quay OA nối tâm bánh quay quanh O với vận tốc góc O = rad s Biết r1 = 0,6m ; r2 = 0, 4m , tìm vận tốc gia tốc điểm B bánh (Hình 6.26a) ( ) Bài giải: 2 B A B vA A = const O = const n a BA aA P O a.- b.Hình 6.26 Phân tích: Tay quay OA quay quanh trục cố định; bánh chuyển động song phẳng Tính toán: ( s) vA = OA.O = 1.5 = m aA = OA. O = 1.0 =  OA quay ( O = 0) nên:  aA = aAn = OA. = 1.52 = 25 m  s  ( ) Bánh lăn không trượt bánh xe cố định nên điểm tiếp xúc P tâm vận tốc tức thời bánh xe 2: vP = Với P tâm vận tốc tức thời, ta có: ( ) vA vA  rad A = PA = r = 0, = 12,5 s vA vB  = = A   PA PB v = PB v = 2.r2 v = 2.5 = 10 m B s  B PA B r2 ( ) Gia tốc điểm B, lấy A làm cực: n  aB = aA + aBA + aBA Do OA quay nên A soá →  A = → aBA = ( s) n aBA = BA.A2 = r2 A2 = 0, 4.12,52 = 625 m CHƯƠNG VI: CÁC CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 93 n Hai vectơ aA aBA phương chiều (Hình 6.26b) ( s) n = 25 + 625 = 650 m Vaäy: aB = aA + aBA 6.4.6 Ví dụ 6: Xác định vận tốc gia tốc điểm B cấu vị trí Hình 6.27a với khâu OA quay với gia tốc góc không đổi  O = rad thời điểm s khảo sát vận tốc góc O = 10 rad Bieát OA = r = 20cm ; O1B = 100cm ; s AB = l = 120cm ( ) ( ) Bài giải: aA v A  = const O  aBA A aAn A  = const B n aBA  aB B vB C aBn C O O1 O1 a.- b.Hình 6.27 Phân tích: Cơ cấu bao gồm: – Tay quay OA chuyển động quay quanh trục O – Tay quay OB chuyển động quay quanh trục O1 – AB BC chuyển động song phẳng Tính toán: ( s) vA = OA.O = r.O = 0,2.10 = m aA = aA + aAn với: (a) ( s) = 0, 2.10 = 20 ( m ) s aA = OA. O = r. O = 0, 2.5 = m aAn = OA.O2 2 ( s) vA // vB (Hình 6.27b) → AB tịnh tiến tức thời → vA = vB = m Tính a B : Lấy A làm cực: 94 CƠ HỌC LÝ THUYẾT (b) n aB = aA + aB A + aBA n với: aBA = BA.BA = BA =  Suy ra: aB = aA + aBA Mặt khác: (c) aB = aB + aBn với: aB = O1B. O1 ( )  v  22 v2 =4 m a = O1B. = O1B. B  = B = s  O1B  O1B O1 n B Vậy, từ (a) (b) vaø (c): (d)  aB + aBn = aA + aAn + aBA Chiếu (d) lên phương BA: aB cos  − aBn sin  = −aA cos  − aAn sin  +  aB = ( aBn − aAn ) tan  − aA = ( − 20 ) ( ) − = −3,70 m s 35  35 cos  = − sin  =  OA r 20  = = =  đó: sin  = AB l 120  sin  tan  = =  cos  35 Dấu (–) chứng tỏ aB có chiều ngược lại Vậy: aB = (a ) + (a )  B n B ( s) = 3,702 + 42 = 5, 45 m 6.5 Câu hỏi ôn: Vật rắn chuyển động tịnh tiến thỏa điều kiện có tính chất gì? Thế vật rắn quay quanh trục cố định Xác định vận tốc góc gia tốc góc nào? Thế vật quay đều, quay biến đổi đều? Công thức tính vận tốc gia tốc điểm vật quay Tính toán đại lượng vận tốc toán truyền chuyển động quay nào? Thế vật rắn chuyển động song phẳng? Mô hình toán gì? Tâm vận tốc tức thời gì? Các phương pháp xác định áp dụng tâm vận tốc tức thời làm Nêu công thức xác định vận tốc gia tốc điểm hình phẳng chuyển động song phaúng ... kết mà ta học môn học Cơ học kỹ thuật làm sở để học tiếp môn học chương trình như: môn Cơ học kết cấu, Cơ học đất đá, Lý thuyết móng, Động lực học công trình, Công trình ngầm, Công trình đất... chung Cơ học kỹ thuật Nhiệm vụ Cơ học lý thuyết nghiên cứu quy luật chuyển động cân vật thể tác dụng lực Để việc nghiên cứu thuận tiện, người ta chia Cơ học lý thuyết thành phần: Tónh học, Động học, ... dụng lực (Hình 1. 1) F Hình 1. 1 1. 1.4 Hệ lực: Hệ lực tập hợp nhiều lực tác dụng lên vật Ký hiệu hệ lực:  F1, F2 , , Fn (Hình 1. 2) ( ) F1 F1 F2 ? ?1 F2 2 3 Fn n Fn Hình 1. 3 Hình 1. 2 Hai hệ lực