() Nguy�n Văn Th�o Chuyên ñ� S� H�c � Ph�n I 1 L�i nói ñ�u S� h�c là m�t ph�n r#t quan tr�ng trong chương trình Toán ph* thông Trong h�u h t các ñ� thi h�c sinh gi0i thì bài S� h�c thư2ng xuyên xu#t h[.]
Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I L i nói đ u S h c m t ph n r#t quan tr ng chương trình Tốn ph* thơng Trong h u h-t đ thi h c sinh gi0i S h c thư2ng xuyên xu#t hi4n m t thách th6c l7n ñ i v7i h c sinh Hi4n nay, khơng cịn h4 chun c#p Trung h c s; nên em h c sinh chuyên Toán khơng đư>c h c nhi u v ph n nên thư2ng g?p r#t nhi u khó khăn gi i tốn Vì vAy, tơi biên soBn tài li4u nhCm gi i quy-t ph n nhDng khó khăn cho em h c sinh chun Tốn Chun đ gEm ba chương: Chương I Các toán chia h-t Chương II Các toán ñEng dư Chương III Các toán khác H mIi đ u đư>c trình bày ba ph n: H4 th ng lí thuy-t; h4 th ng ví dL cu i h4 th ng tAp tN gi i Các ví dL tAp ln đư>c sOp x-p v7i đ khó tăng d n theo quan ñiPm cQa tác gi Tuy nhiên, trình đ có hBn nên khơng thP tránh kh0i nhi u thi-u sót, r#t mong đư>c th y đóng góp đP hồn thi4n Xin chân thành c m ơn! NGUYXN VĂN THZO Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I Chương I CÁC BÀI TOÁN V CHIA H T I.1 Chia h t I.1.1 Lí thuy t I.1.1.1 ð#nh nghĩa Cho m n hai s nguyên , n ≠ Ta nói rCng m chia h-t cho n (hay n chia h-t m) n-u tEn tBi m t s nguyên k cho m = kn Kí hi4u: m ⋮ n, (ñ c m chia h-t cho n) hay n | m, (ñ c n chia h-t m) I.1.1.2 Các tính ch(t b*n Cho s nguyên x, y, z Ta có: a) x ⋮ x, x ≠ b) N-u x ⋮ y x ≠ |x| ≥ |y| c) N-u x ⋮ z, y ⋮ z ax + by ⋮ z v7i m i s nguyên a, b d) N-u x ⋮ z x ∓ y ⋮ z y ⋮ z e) N-u x ⋮ y y ⋮ x |x| = |y| f) N-u x ⋮ y y ⋮ z x ⋮ z g) N-u x | y y ≠ y | y x Ch6ng minh a) x = 1.x nên x ⋮ x v7i m i x ≠ b) N-u x ⋮ y , x ≠ tEn tBi k ∈ Z cho x = ky, k ≠ ⇒ |x| = |k||y| ≥ |y| |k| ≥ Các ph n cịn lBi đơn gi n, vi4c ch6ng minh xin như2ng lBi cho bBn ñ c I.1.2 Các ví dVí d- Cho n m t s tN nhiên l7n Ch6ng minh rCng a) 2n t*ng cQa hai s le liên ti-p b) 3n t*ng cQa ba s tN nhiên liên ti-p L i gi*i a) Ta có 2n = (2n 1) + (2n +1) suy ñpcm b) Ta có 3n = (3n 1) + (3n 1) + (3n + 1) suy đpcm Ví d- Ch6ng minh rCng: Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I a) n-u m – n chia h-t mp + nq m – n chia h-t mq + np b) n-u m – n chia h-t mp m – n chia h-t np L i gi*i Nh.n xét: Hai bi u th c (mp + nq) (mq + np) hai bi u th c có hình th c gi!ng “đ!i x ng lo&i hai” v(y xét bi u th c lo&i thư+ng ngư+i ta ki m tra hi-u c.a chúng a) Ta có (mp + nq) – (mq + np) = (m n)(p q) ⋮ (m n) Nên n-u (mp + nq) ⋮ (m n) hiPn nhiên (mq + np) ⋮ (m n) b) Ch6ng minh tương tN Ví d- Ch6ng minh rCng n-u a3 + b3 + c3 chia h-t cho m t ba s a, b, c ph i chia h-t cho L i gi*i Nh.n xét: V2i nh3ng toán ch ng minh a chia h4t cho m5t s! c7 th ln đơn gi:n! Ta có th xét h4t trư+ng h=p x:y c.a s! dư a chia cho s! ( Cơng viêc xét vC h- thDng dư đEy đ t(p h3u h&n nên có th thG trHc ti4p) Gi sj khơng có s ba s a, b, c chia h-t cho Khi a = 3m ± 1; b = 3n ± 1; c = 3p ± Do a3 + b3 + c3 = (3m ± 1)3 + (3n ± 1)3 + (3p ± 1)3 9 A + 9 a + = không thP chia h-t cho 9 a − 9 A − Tl suy đpcm Ví d- Ch6ng minh rCng n-u a2 + b2 chia h-t cho c a b ñ u chia h-t cho L i gi*i TH1: có s khơng chia h-t cho 3, gi sj a Khi a = 3k ± 1; b = 3q suy a2 + b2 = (3k ± 1)2 + (3q)2 = 3(3k2 ± 2k + 3q2) + không chia h-t cho TH2: c hai s khơng chia h-t cho Khi a = 3k ± 1; b = 3q ± suy a2 + b2 = 3A +2 Do c a b ph i chia h-t cho Ví d- Ch6ng minh rCng v7i m i s tN nhiên chmn n m i s tN nhiên le k Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I S = 1k + 2k + … + nk chia h-t cho n + L i gi*i Ta có 2S = (1k + nk) + (2k + (n 1)k) + … ⋮ n + Mà n chmn nên n + le nên (2, n+ 1) = Do S ⋮ n + 22 p −1 Ví d- Cho p s nguyên t , p > v n = Ch6ng minh rCng 2n − ⋮ n L i gi*i Vì p s nguyên t p>3 ⇒ p −1 ≡ 1(mod 3) M?t khác (2, p) = nên theo đrnh lí Fermat ta có p −1 ≡ 1(mod p) Do p −1 − 1⋮3 p Ta có 22 p − p − 4(2 p −1 + 1)(2 p −1 − 1) −1 = = 3 n1 2p suy n 1⋮ 2p ⇒ − ⋮ − n −1 = Vi n = 2p − ⇒ 2p − 1⋮ n ⇒ n − 1⋮ n ⇒ n − ⋮ n Tl suy u ph i ch6ng minh Ví d- Cho x, y hai s nguyên khác cho x3 + y3 + + y +1 x +1 m t s nguyên Ch6ng minh rCng x 2004 − chia h-t cho y+1 L i gi*i Trư7c h-t ta ñ?t y3 + c x3 + a = = ; y +1 b x +1 d v7i a, b, c, d nguyên b > 0, d > 0, (a,b) = 1, (c,d) = Ta có a c ad + bc + = b d bd ngun Do Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I ad + bc ⋮ bd ⇒ ad + bc ⋮ b ⇒ ad ⋮ b ⇒ d ⋮ b (a,b)=1 (1) M?t khác a c x3 + y3 + = ( x − x + 1)( y − y + 1) ∈ Z = b d y +1 x +1 ⇒ ac ⋮ bd ⇒ ac ⋮ d ⇒ a ⋮ d (2) Vì (c,d)=1 nên tl (1) (2) suy a⋮ b suy b = (a,b) = Vì x3 + a = y +1 b ⇒ x + = a( y + 1) ⇒ x + ⋮ y + Mà x 2004 − = (x ) 664 1⋮ x + K-t h>p v7i (3) suy u ph i ch6ng minh Ví d- Cho n ≥ s tN nhiên Ch6ng minh rCng (n − 1)! n ⋮ n L i gi*i a) Trư2ng h>p n s nguyên t Theo ñrnh lý Winson (n 1)! ≡ 1(mod n) suy ((n 1)!+1 ⋮ n Ta có (n − 1)! (n − 1)!+1 (n − 1)!+1 − (vì < < ) − = n = n n n n = (n − 1)!−(n − 1) ⋮ (n 1) n (n, n 1) = b) Trư2ng h>p n h>p s +) n khơng bình phương cQa m t s ngun t Khi n = rs v7i 1< r < s < n Do (n,n 1)=1 suy s < n ⇒ (n 1)! = kn(n 1) suy (n − 1)! n = k (n − 1) ⋮ (n − 1) +) n = p v7i p m t s nguyên t (3) Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I Do p = n, n ≥ suy p ≥ ⇒ p ≥ p > p + ⇒ p < p2 −1 hay 2p < n Nên < p < 2p < n01 Suy (n 1)! ⋮ p.2p.(n 1) = 2n(n 1) Tl ño suy (n − 1)! n ⋮ (n 1) VAy ta có u ph i ch6ng minh Ví d- TEn tBi hay không m t s nguyên x cho x + x + 1⋮ 2003 ? L i gi*i Ta có 2003 s nguyên t có dBng 3k + Gi sj tEn tBi x nguyên th0a mãn x2 + x + ⋮ 2003 Tl suy tEn tBi a ∈ {1,2, ,2002} th0a mãn a + a + ⋮ 2003 (∗ ) Ta có a − = (a − 1)(a + a + 1) ⋮ 2003 ⇒ a 2001 − ⋮ 2003 hay a 2001 ≡ ( mod 2003 ) ⇒ a 2002 ≡ a ( mod 2003 ) (1) a 2002 ≡ (mod 2003) (2) Theo đrnh lí Fermat ta có Tl (1) (2) ta có a ≡ (mod 2003) suy a = (vơ lí) VAy khơng tEn tBi x ngun th0a mãn đ u Ví d- 10 (30 2006) Ch6ng minh rCng v7i m i m, tEng tBi m t s nguyên n cho n3 11n2 87n + m Chia h-t cho 191 L i gi*i ð?t P(x) = x3 11x2 87x + m Ta ch6ng, tEn tBi a, b nguyên ñP P(x) ≡ (x +a)3 + b (mod 191) ⇔ x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 + b ≡ x3 11x2 Ch n a nguyên cho 3a ≡ 11 (mod 191) ⇔ 3a ≡ 180 (mod 191) ⇔ a ≡ 60 (mod 191), (3, 191) = 1, 87x + m (mod 191) Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I ⇒ 3a2 ≡ 3.602 (mod 191) ≡ 87 (mod 191) VAy v7i m i m, ch~ c n chon b ≡ m a3 (mod 191) ñư>c P(x) ≡ (x + a)3 + b (mod 191) Ta có, v7i m i i, j ngun P(i) ≡ P(j) (mod 191) ⇔ (i + a)3 ≡ (j + a)3 (mod 191) ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (j + a)3.63 + (mod 191) ≡ (j + a) (mod 191) ⇒ (j + a)2 ≡ (i + a)189(j + a)3 (mod 191) ≡ (i + a)192 (mod 191) ≡ (i + a)2 (mod 191) ⇒ (i + a)3.63(j + a)2 ≡ (i + a)189.(i + a)2 (mod 191) ≡ i + a (mod 191) Tl suy P(i) ≡ P(j) (mod 191) ⇔ i = j (mod 191) Tl suy tAp {P(1), P(2), , P(191)} có 191 s dư khác chia cho 191 Do ph i tEn tBi m t s nguyên n ∈ {1, 2, , n} cho P(n) ⋮ 191 VAy ta có u ph i ch6ng minh Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I I.1.3 Bài t.p Bài Ch6ng minh rCng v7i m i s nguyên m, n ta có: 1) n3 + 11n ⋮ 2) mn(m2 – n2) ⋮ 3) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 4) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 5) n2(n2 12) ⋮ 12 6) mn(m4 – n4) ⋮ 30 7) n5 – n ⋮ 30 8) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n ⋮ 24 9) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ⋮ 384 ( n chmn n > 4) 10)n2 + 4n + ⋮ 11)n3 + 3n2 – n – ⋮ 48 12) n 12 – n8 – n4 + ⋮ 512 13) n8 – n – n4 + n2 ⋮ 1152 14) n3 – 4n ⋮ 48 ( n chmn) 15) n2 – 3n + không chia h-t cho 121 16) (n + 1)(n + 2)…(2n) ⋮ 2n 17) n6 – n4 – n2 + ⋮ 128 ( n le) Bài Ch6ng minh rCng tích cQa n s ngun lien ti-p ln chia h-t cho n! Bài Cho p s nguyên t le Ch6ng minh rCng v7i m i k ∈ N, ta ln có S = 12k + + 22k + + … + (p 1)2k + chia h-t cho p Bài Ch6ng minh rCng n-u a3 + b3 + c3 chia h-t cho m t ba s a, b, c ph i chia h-t cho Bài Cho a, b nguyên Ch6ng minh rCng n-u an ⋮ bn a ⋮ b Bài Tìm s n nguyên dương n cho n chia h-t cho m i s nguyên dương không vư>t Bài Ch6ng minh rCng a2 + b2 + c2 khơng thP đEng dư v7i modulo Bài T*ng n s nguyên liên ti-p có chia h-t cho n hay khơng? tBi sao? Bài Ch6ng minh rCng không tEn tBi c?p s nguyên (x, y) th0a mãn m t nhDng ñ•ng th6c sau: a) x2 +1 = 3y Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I b) x2 + = 5y Bài 10 Ch6ng minh rCng v7i n ≥ (n + 1)(n + 2) (n + n) chia h-t cho 2n n Bài 11 Tìm chD s tAn cQa s Fermat Fn = 2 + , n ≥ Bài 12 Tìm s nguyên dương p, q, r cho pqr ⋮ (p 1)(q 1)(r 1) Bài 13 Ch6ng minh rCng tEn tBi m t s tN nhiên có 1997 chD s gEm tồn chD s cho s chia h-t cho 21997 Bài 14 Cho a m t s nguyên dương a > Ch6ng minh rCng tEn tBi vô s s nguyên dương n th0a mãn an ⋮ n Bài 15 Ch6ng minh rCng tEn tBi vô s s nguyên dương n cho 2n + ⋮ n Bài 16 Ch6ng minh rCng 12 s ngun t phân bi4t b#t kì ln chon ñư>c s a1, a2, , a6 cho (a1 a2)(a3 a4)(a5 + a6) ⋮ 1800 Bài 17 Cho a, b, c, d nguyên b#t kì Ch6ng minh rCng (a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d) ⋮ 12 Bài 18 Tìm s tN nhiên n cho 2n chia h-t cho Ch6ng minh rCng v7i m i s tN nhiên n 2n + không thP chia h-t cho Bài 19 Tìm s tN nhiên n cho n5 n chia h-t cho 120 Bai 20 Tìm t#t c c?p s nguyên x > 1, y > cho 3 x + ⋮ y 3 y + ⋮ x Bài 21 Cho x1, x2 hai nghi4m cQa phương trình x2 mx + = v7i m s nguyên l7n Ch6ng minh rCng v7i m i s nguyên dương n Sn = x1n + x 2n m t s nguyên không chia h-t cho m Bài 22 Tìm t#t c c?p s nguyên dương a, b cho a2 − ab + m t s nguyên Bài 23 (30.4.2003) Tìm ba s nguyên dương đơi m t phân bi4t cho tích cQa hai s b#t kì đ u chia h-t cho s th6 Nguy n Văn Th o Chuyên ñ S H c Ph n I B ài 24 Ch6ng minh rCng v7i m i s tN nhiên n giDa n2 (n + 1)2 tEn tBi ba s tN nhiên phân bi4t a, b, c cho a2 + b2 ⋮ c2 Bài 25 Cho s tN nhiên An = 19981998 1998 (gEm n s 1998 vi-t li n nhau) a) Ch6ng minh rCng tEn tBi s nguyên dương n < 1998 cho An ⋮ 1999 b) G i k s nguyên dương nh0 nh#t cho Ak ⋮ 1999 Ch6ng minh rCng 1998 ⋮ 2k Bài 26 Cho hai s nguyên dương m n cho n + ⋮ m Hãy tính s b ba s nguyên dương (x, y, z) cho x + y + z ⋮ m mIi s x, y, z đ u khơng l7n n Bài 27 (APMO 98) Tìm s nguyên dương n l7n nh#t cho n chia h-t cho m i s nguyên dương nh0 n Bài 28 Tìm t#t c s nguyên dương m, n cho n3 + chia h-t cho mn Bài 29 Tìm t#t c cBp s nguyên dương a, b cho a2 + b ab − m t s nguyên Bài 30 Tìm t#t c c?p s nguyên dương cho a 2b + a + b ab + b + m t s nguyên Bài 31 Cho n s nguyên dương l7n p m t ư7c nguyên t cQa s Fermat Fn Ch6ng minh rCng p chia h-t cho 2n+2 Bài 32 Cho x, y , p s nguyên p > cho x2002 y2002 ñ u chia h-t cho p Ch6ng minh rCng + x + y không chia h-t cho p Bài 33 (USA 98) Ch6ng minh rCng v7i mIi s nguyên dương n ≥ 2, tEn tBi m t tAp h>p n s nguyên cho v7i hai s a, b b#t kì (a ≠ b) thu c tAp (a b)2 chia h-t ab Bài 34 Gi sj tAp S = {1, 2, 3, , 1998} ñư>c phân thành c?p r2i {ai, bi| ≤ i ≤ 1998} cho |ai bi| bCng ho?c bCng Ch6ng minh rCng 999 ∑| a i =1 i − bi | = 10k + Bài 35 Tìm t#t c c?p s nguyên dương a, b cho a2 − ab + m t s nguyên Bài 36 Ch6ng minh rCng v7i m i n ∈ N* tEn tBi s tN nhiên a cho 10