Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 65 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
65
Dung lượng
1,69 MB
Nội dung
Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK GIẢI TÍCH DANH SÁCH ĐỀ THI ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 10 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 15 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 16 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 17 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 22 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 23 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 24 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 29 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20192 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 30 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20192 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 31 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20193 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 35 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20193 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 36 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20193 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 40 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 41 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 42 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 46 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 47 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 48 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 49 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 53 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) 54 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 55 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 56 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) 60 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 61 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 62 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) 65 (TaiLieuHust, 2022) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: ln(1 + x) x a) lim x →0 x x3 y b) lim ( x , y ) →(0,0) x + y Câu (1 điểm) Tính gần nhờ vi phân A = 2,022 + 3,042 + x2 Câu (1 điểm) Chứng minh cos x − , x Câu (1 điểm) Tính thể tích khối trịn xoay quay hình giới hạn đường y = x − 3x y = quanh trục Oy vòng Câu (1 điểm) Tính x − + − x Câu (1 điểm) Hàm số f ( x) = x3 + x −1 dx có hàm ngược y = g ( x) Tính z z z Câu (1 điểm) Tính P = + + với z = x y y y (x +y ) g (2) Câu (1 điểm) Không khí bơm vào bóng bay hình cầu vói tốc độ 100 cm3 / s Tính tốc độ tăng lên bán kính bóng bán kính bóng 50 cm Câu (1 điểm) Tính cot x dx Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) ln(1 + x) x Câu 1: L = lim e = lim x →0 x →0 x ln(1+ x ) ln x x ln(1 + x) ln(1 + x) ln 1 + − 1 ln x x Xét giới hạn K = lim = lim x →0 x → x x ln(1 + x) ln(1 + x) x →0 ln(1 + x) − 1 = − = , nên ln 1 + − 1 ~ − 1 Vì lim x →0 x x x ln(1 + x) −1 −1 x + o x2 ln(1 + x ) − x x = lim K = lim (VCB) = lim x →0 x →0 x →0 x x2 x2 ( ) (Khai triển Maclaurin) −1 x −1 = lim = x →0 x Giới hạn cho b) f ( x, y ) = L = e K = e −1/ x3 y , ( x, y) x6 + y +) Chọn M1 ( a, a3 ) Khi a → M1 ( a, a3 ) → (0, 0) a3a3 = Ta có: f ( M ) = f ( a, a ) = 6 2a + 3a f ( M1 ) → M1 → (0,0) (1) +) Chọn M ( −b, b3 ) Khi b → M ( −b, b3 ) → (0, 0) ( ) Ta có: f ( M ) = f −b, b3 = f (M2 ) → −1 (−b)3 b3 −1 = 6 2(−b) + 3b M → (0,0) (2) x3 y Từ (1) (2) f ( x, y ) không tiến tới giá trị ( x, y ) → (0, 0) lim ( x , y ) →(0,0) x + y không tồn Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST Câu Xét hàm số f ( x, y) = x + y + Ta có: f x ( x, y) = x x2 + y + y , f y ( x, y) = x2 + y + x0 = 2, x = 0, 02 y0 = 3, y = 0, 04 Chọn Áp dụng công thức tính gần đúng: A = 2, 022 + 3, 042 + = f ( x0 + x, y0 + y ) f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 ) x + f y ( x0 , y0 ) y = f (2,3) + f x (2,3) 0, 02 + f y (2,3) 0, 04 = + 0, 02 + 0, 04 = 4, 04 Vậy A 4, 04 Câu Chứng minh: cos x − Xét f ( x) = cos x + x2 x2 , x cos x + − 0, x 2 x2 − [0; +) Ta có: f ( x) = − sin x + x, f ( x) = − cos x + 0, x f ( x) đồng biến [0; +) f ( x) f (0) = 0, x f ( x) đồng biến [0; +) f ( x) f (0) = 0, x Từ ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x = Câu Quay miền D hình phẳng giới hạn đường y = x − 3x, y = 0, x = 0, x = quay quanh trục Oy thu vật thể tích là: V = 2 x ( x − 3x ) dx = 2 x ( 3x − x ) dx (vì x − 3x 0, x [0,3] ) x4 27 = 2 ( 3x − x )dx = 2 x − = (đvtt) 0 Câu Điều kiện: x − x − x − x = x − , đó: −1 −1 I = x − + − x 2 dx = x − + x − dx 1 = x − dx + dx = (2 x − 3)3 + ln x + x − + C x −1 ( ) ( ) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST Câu Ta có: f ( x) = 3x + Với y0 = x0 + x0 = x0 = Vì y = g ( x) hàm ngược f ( x) = x + x nên: g ( y0 ) = 1 = = f ( x0 ) f (1) Vậy g (2) = Câu Điều kiện xác định P y Do đối xứng $x, y$ hàm z ( x, y ) nên: P= = z 12 x − y = x x2 + y z z z 12 x − y + 12 y − 3x + + = + x y y y y x2 + y ( ( x2 + y ) − ( x2 + y ) ) ( ) −3 y (x + y2 ) = 0, y Câu Gọi thể tích bóng thời điểm t ( s) V (t ) ( cm3 ) Theo ra, tốc độ bơm không khí vào bóng 100 cm3 / s V (t ) = 100 ( cm3 / s ) Tại thời điểm t0 đó, R ( t0 ) = 50( cm) ( R (t ))3 Lấy đạo hàm hai vế theo Ta có: V (t ) = t , ta có: V (t ) = 4 ( R(t ))2 R (t ) Tại t = t0 , ta có: V ( t0 ) = 4 R ( t0 ) R ( t0 ) 100 = 4 (50) R ( t0 ) 100 = (cm / s) 4 (50) 100 R ( t0 ) = Khi bán kính q bóng 50 cm , tốc độ tăng lên bán kính bóng bán kính (cm / s) 100 Câu I = Xét L = /2 /2 cot x dx ( tan x + cot x )dx = /2 sin x /2 sin x + cos x cos x + dx dx = 0 cos x sin x sin x cos x Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST Đặt t = sin x − cos x dt = (cos x + sin x)dx 1− t2 t = (sin x − cos x) = − 2sin x cos x sin x cos x = 2 Đổi cận: - Khi x → + t → −1 ; Khi x → t → dt −1 1− t L= = lim + A→( −1) = −1 2 A 1− t 1− t dt + dt + lim− B →1 1− t B 1− t2 dt = lim + ( arcsin t ) + lim− ( arcsin t ) A→( −1) A dt B →1 B = lim + (− arcsin A) + lim− ( arcsin B) = − A→( −1) Giờ xét B →1 /2 cot x dx , với f ( x) = cot x liên tục 0, 2 cos x x→0 cot x = ~ sin x mà /2 /2 /2 /2 + x →0 1 ~ = 1/2 , sin x x x −x x= cot x dx = + dx hội tụ (vì x1/ Đổi biến t = − + 2 = 2 cot x dx = /2 = (0,1) cot x dx hội tụ − t , ta có: /2 /2 cot − t (−dt ) = tan t dt = tan x dx 0 2 /2 ( tan x + cot x )dx = L = 2 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: ex −1 x a) lim x →0 x b) xy ( x , y ) →(0,0) x + y lim Câu (1 điểm) Tính gần nhờ vi phân A = 4, 032 + 2, 022 + x2 Câu (1 điểm) Chứng minh e + x + , x x Câu (1 điểm) Tính thể tích khối trịn xoay quay hình giới hạn đường y = x2 − 4x y = quanh trục Oy vòng Câu (1 điểm) Tính −4 − 3x + − x −1 dx Câu (1 điểm) Hàm số f ( x) = x5 + x có hàm ngược y = g ( x) Tính Câu (1 điểm) Tính P = z z z + + với z = x y y y (x +y ) g (2) Câu (1 điểm) Khơng khí bơm vào bóng bay hình cầu với tốe độ 200 cm3 / s Tính tốc độ tăng lên bán kính bóng bán kính bóng 60 cm Câu (1 diểm) Tính tan x dx Cách giải tham khảo đề số Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Câu (2 điểm) Tìm giới hạn sau: a) lim x − x → b) sin x y ln x ( x , y )→(1,0) ( x − 1) + y lim Câu (1 điểm) Phương trình x3 + 3x y + y − = xác định hàm ẩn y = y ( x ) Tính y (1) 2x , x 1 Câu (1 điểm) Tính đạo hàm hàm số y = arctan 1− x Câu (1 điểm) Tìm khai triển Maclaurin y = ln(1 + x) đến x Câu (1 điểm) Tìm tiệm cận đồ thị hàm số y = x e +1 x Câu (2 điểm) Tính tích phân sau: a) tan(2 x)dx b) + dx ( x + 3) x − x + ( ) Câu (1 điểm) Quay đường x + y = quanh trục Ox vịng Tính diện tích mặt trịn xoay sinh Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số z = x3 + y − ( x + y ) Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20191 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Câu lim x → x − 1 = lim = = −1 (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) sin x x → cos x cos Vậy lim x − = −1 x → sin x b) Đặt f ( x, y ) = y ln x ( x − 1) + y 2 y ln1 = → y → (1) +) Nếu x = y → f ( x, y ) = + y2 +) Nếu x ( x, y ) → (1, 0) thì: y ln x y ( x − 1) ln x lim = lim lim ( x, y )→(1,0) ( x − 1) + y ( x, y )→(1,0) x − ( x, y )→(1,0) ( x − 1) + y x 1 x 1 x 1 Ta có: 0 lim ( x , y ) →(1,0) ln x ln x VCB x −1 = lim = lim =1 x → x → x −1 x −1 x −1 y ( x − 1) | ( x − 1) y | ( x − 1) + y = | y | | y |=| y | , mà ( x − 1) + y ( x − 1) + y ( x − 1) + y lim ( x , y ) →(1,0) x 1 lim ( x , y ) →(1,0) | y |= y ( x − 1) y ( x − 1) = theo nguyên lý kẹp lim =0 ( x , y ) → (1,0) ( x 1) + y ( x − 1) + y x 1 y ln x = 1.0 = (2) ( x , y ) →(1,0) ( x − 1) + y x lim Tù̀ (1) (2) y ln x =0 ( x , y )→(1,0) ( x − 1) + y lim Câu +) Với x = + y + y − = y + y = y = y(1) = 5 Theo ra: x + 3x y ( x) + [ y( x)] − = +) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 3x + xy( x) + 3x y ( x) + y ( x)[ y( x)] = Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 10 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST f (1, y ) − f (1, 0) = lim y →0 y →0 y−0 f (1, y ) − f (1, 0) f y (1, 0) = lim = y →0 y −0 y arctan b) Xét giới hạn: lim −0 y2 y = lim arctan y →0 = y2 Câu Xét hàm số f ( x) = tan x 0, 2 ; cos x f ( x) = f ( x) = 2sin x 0, x 0, cos x 2 f ( x) hàm lồi 0, Do x, y 0; , áp dụng bất đẳng thức hàm lồi: 2 2 x+ y x+ y f ( x) + f ( y ) f , x, y 0, tan x + tan y tan 2 tan x + tan y x+ y tan , x, y 0, 2 2 đpcm Dấu xảy x = y, x 0, 2 /2 /2 x sin x x sin x x sin x dx = dx + dx x x − /2 + − /2 + + 3x Câu I = − t = x sin x x = dx Đặt t = −x dx = −dt Đổi cận Xét I1 = 2 − /2 + x x = t = 0 /2 t sin t /2 x sin x −t sin(−t ) (−dt ) = dt = dx − t − t /2 + 0 1+ + 3− x I1 = I = /2 = /2 /2 x sin x /2 3x x sin x x sin x x sin x + d x = + dx = x sin x dx x −x x x 0 1+ 1+ 1+ 1+ /2 x d(− cos x) = (− x cos x) − /2 (− cos x)dx = Vậy I = Câu I = + arctan x dx arctan x dx arctan x dx = + x x + − cos x x x + − cos x x x + − cos x I2 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 51 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST f ( x) = arctan x arctan x = hàm liên tục (0, + ) x x + − cos x x x + 2sin x +) I1 có điểm bất thường x = Khi x → + ta có: (1 − cos x) ~ Khi x → + f ( x) ~ x x x x2 , VCB bậc cao x x x → ~ , mà x1/2 1 dx hội tụ (do = ) 1/2 x I1 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x x + (1 − cos x) x x +) Xét I Với x 1, ta có: 0 arctan x f ( x) = 23/2 , x , mà x x x + dx hội tụ (do = ) x3/2 I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Vậy I1 , I hội tụ I hội tụ Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 52 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Câu (1 điểm) Tính giới hạn lim(cos x − sin x) x x →0 Câu (1 điểm) Tìm tiệm cân xiên đồ thị hàm số y = x arctan x Câu (1 điểm) Tính tích phân Câu (1 điểm) Tính tích phân ln ( x tan x dx ) − x + dx Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số z = 4( y − x) − y − x y x arctan , Câu (2 điểm) Cho hàm số f ( x, y ) = x 0, x 0, x = a) Xét tính liên tục f ( x, y ) điểm B (0,1) b) Tính f x (0,1) Câu (1 điểm) Cho x, y Câu (1 điểm) Tính tích phân Chứng minh cot x sin x 1+ 2 − x x + y cot x + cot y 2 dx Câu (1 điểm) Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng: Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com + arctan x dx x x + x − sin x 53 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 1) Lời giải chi tiết tham khảo đề số Câu lim(cos x − sin x) x = x →0 y ( x) = lim arctan x = = a x →+ x Câu lim x →+ b = lim y − x →+ y= x = lim x arctan x − = lim x→+ x→+ arctan x − x = lim + x = −1 x →+ −1 x2 x − tiệm cận xiên bên phải Tương tự ta tìm y = Câu e /4 tan x dx = /4 − x − tiệm cận xiên bên trái ( ) ( ) tan x + tan x − + tan x + 1dx /4 tan x = − tan x + x = − 0 Câu ln ( x − x + 1) dx = −2 Câu Hàm số đạt cực trị điểm M (−2, 2) (cực đại), zmax = z (−2, 2) = Câu a) f ( x, y ) liên tục B (0,1) b) f x (0,1) = Câu Tương tự đề Câu I = Câu + arctan x dx hội tụ x x + x − sin x Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 54 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) Câu (1 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x = : a − x , f ( x) = arccos x, Câu (1 điểm) Tìm hàm ngược hàm số x x y = x − 2− x Câu (1 điểm) Cho hai hàm f(x)= x , g(x)= x , −1 x Tìm số c (−1, 3) f (c) f (3) − f (−1) = cho Điều có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay khơng? g (c) g (3) − g (−1) Giải thích? Câu (1 điểm) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) : → thoả mãn f ( x) g ( x) với x Chứng minh f ( x ) hàm đơn điệu tăng f ( f ( x)) g ( g ( x)) Câu (1 điểm) Tính tích phân + Câu (1 điểm) Tính giới hạn lim x →0 3x + dx ( x + 1) x + ( ) + 2sin x ln x + sin x Câu (1 điểm) Tính độ dài cung y = ln(cos x), x t3 x = Câu (1 điểm) Tìm tiệm cận xiên đường cong − t y = t 1− t Câu (1 điểm) Tính giới hạn: n −1 + ++ n → n + 4n + 2 4n + (n − 1) 4n + lim Câu 10 (1 điểm) Cho hàm f(x) lồi, khả tích đoạn [a, b] Chứng minh rằng: b f (a ) + f (b) f ( x)dx b−a a Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 55 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) Câu Ta có: f (1) = arccos1 = lim f ( x) = lim+ a − x = a − 1, lim− f ( x) = lim− arccos x = arccos1 = x →1+ x →1 x →1 x →1 +) f ( x ) liên tục x = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1) a − = a = x →1 x →1 Vậy a = giá trị cần tìm ( ) Câu Với x , xét phương trình y = x − 2− x x y = x y− 2x = 2x − y 2x −1 = 2x = y + ( ) −1 y2 + y− | y | = ( L) 2 y2 + y+ | y | = (TM ) 2 y + y2 + x = log = = f −1 ( y ) Hàm ngược hàm số cho f −1 ( x) = log x + x2 + ,x Câu Ta có: f ( x) = 3x , g ( x) = x, x (−3,1) Do đó: f (c) f (−3) − f (1) 3c (−3)3 − 13 −7 = = c= (−3,1) g (c) g (−3) − g (1) 2c (−3) − Như tồn số c để thoả mãn đẳng thức f (c) f (−3) − f (1) , điều không mâu = g (c) g (−3) − g (1) thuẫn với định lý Cauchy Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho g ( x) 0, x (a, b) Bài ta có g (0) = , với ( −3,1) nên không thoả mãn điều kiện định lý Cauchy → không nằm vùng áp dụng định lý Cauchy, khơng mâu thuẫn Câu Vì f hàm đơn điệu tăng, mà theo f ( x) g ( x) f ( f ( x)) f ( g ( x)) Lại có f ( g ( x)) g ( g ( x)) (vì f ( y ) g ( y ) ) đpcm Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 56 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST Câu = lim + ( A A→+ + 3x + x dx = + − dx ( x + 1) x + x +1 x +1 x +1 ) A x 1 + − dx = Alim ln x + + arctan x − ln | x + 1| →+ x +1 x +1 x +1 2 0 ( ) 1 = lim ln A2 + + 2arctan A − ln | A + 1| = lim ln A→+ A→+ ( = ln1 + ) A2 + + 2arctan A A = Câu L = lim x →0 + 2sin x VCB + 2sin x + 2sin x ln − 1 lim = 1 = lim 3 x → x → x x + sin x + sin x + sin x x3 (2 x)3 x − + o ( x3 ) − x − + o ( x3 ) 3! 3! 2sin x − sin x = lim = lim x →0 x x →0 x + sin x + sin x 3 x + o(x ) x3 1 = lim = lim = lim = = x →0 x x → x → + sin x x + sin x + sin x + Vậy L=1 Câu Ta có: y ( x) = = =3 − sin x , x 0, Độ dài cung cần tính là: cos x 3 + ( y ( x) ) dx = 1 − sin x 3 1+ d x = d x = dx cos x 0, x 0, 0 cos x cos x cos x cos x dx d(sin x) −d (sin x) d(sin x ) = = 2 0 cos x − sin x (sin x − 1)(sin x + 1) −1 sin x − = ln = ln(2 + 3) (đvđd) sin x + Vậy độ dài cung cần tính ln(2 + 3) (đvđd) Câu 𝑡3 − Khi 𝑡 → ±∞ lim𝑡→±∞ 𝑥 = lim𝑡→±∞ 1−𝑡 = −1 ⇒ trường hợp khơng có tiệm cận xiên Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 57 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST - Khi t → t0 , với t0 lim x = t → t0 t03 hữu hạn trường hợp khơng có tiệm cận Xiên − t03 - Khi t →1 x → Ta có: lim t →1 y t2 1− t3 1+ t + t2 = lim = lim =3=a t →1 x t →1 − t t t ( ) t t + t + − 3t t2 3t b = lim( y − ax) = lim( y − x) = lim − = lim t →1 t →1 t →1 − t − t t →1 (1 − t ) + t + t ( ) t (1 − t )2 t (1 − t ) = lim = lim =0 t →1 (1 − t ) + t + t t →1 + t + t ( ) y = x tiệm cận xiên đường cong cho Câu Giới hạn cho viết lại là: 𝑛−1 𝑛−1 𝑘=1 𝑛−1 𝑘=1 𝑘 𝑛 𝑘 = lim ∑ = lim ⋅ ∑ 𝑛→+∞ 𝑛 + √4𝑛2 + 𝑘 𝑛→+∞ 𝑛 + 𝑛 √4𝑛2 + 𝑘 𝐿 𝑛 𝑘 𝑘 ( với 𝑘 = ⋅ ∑ = 0) + 𝑘2 + 𝑘2 𝑛→+∞ 𝑛 + 𝑛 √4𝑛 √4𝑛 𝑘=0 = lim Xét giới hạn: 𝑛−1 𝑛−1 𝑘=0 𝑘=0 𝑘 = lim ∑ = lim ∑ 𝑛→+∞ 𝑛 √4𝑛2 + 𝑘 𝑛→+∞ 𝑛 𝐾 = ∫ 𝑓 (𝑥)d𝑥 (với 𝑓(𝑥) = = x + x2 dx = ( + x2 ) 𝑥 √4 + 𝑥 𝑘 𝑛 √4 + (𝑘 ) 𝑛 liên tục, khả tích [0,1] ) = 5−2 n n −1 k lim = ( − 2) = − n →+ n + n →+ n k =0 4n + k L = lim Câu 10 Với x [a, b] , tồn t [0,1] cho: x = ta + (1 − t )b Do đổi biến x = ta + (1 − t )b dx = (a − b)dt Đổi cận: - Khi x = a t = Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 58 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST - Khi x = b t = Lúc này: 1 b f ( x)dx = f (ta + (1 − t )b) (a − b)dt = f (ta + (1 − t )b)dt b−a a b−a Áp dụng tính chất hàm lồi: f (ta + (1 − t )b) tf (a) + (1 − t ) f (b), t [0,1] ⇒ ∫0 𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏)d𝑡 ≤ ∫0 [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)]d𝑡 1 𝑡2 𝑡2 1 = | 𝑓(𝑎) + (𝑡 − )| 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 2 Suy điều phải chứng minh Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 59 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 2) Câu (1 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x = : a + x , f ( x) = arccos x, Câu (1 điểm) Tìm hàm ngược hàm số Câu (1 điểm) Cho hàm số x x y = 3x − 3− x f ( x) = x , g ( x) = x , −3 x Tìm số c ( −3,1) cho f (c) f (−3) − f (1) = Điều có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay khơng? Giải thích? g (c) g (−3) − g (1) Câu (1 điểm) Cho hai hàm số f ( x), g ( x) : thoả mãn f ( x) g ( x) với x Chứng → minh g ( x) hàm đơn điệu tăng f ( f ( x)) g ( g ( x)) Câu (1 điểm) Tính tích phân + Câu (1 điểm) Tính giới hạn lim x →0 x+3 dx ( x + 1) x + ( ) − 2sin x ln x − sin x Câu (1 điểm) Tính độ dài cung y = ln(sin x), x t2 x = 1− t Câu (1 điểm) Tìm tiệm cận xiên đường cong y = 3t 1− t3 Câu (1 điểm) Tính giới hạn: n −1 + ++ n → n + 4n − 2 4n − ( n − 1) 4n − lim Câu (1 điểm) Cho hàm f(x) lõm, khả tích đoạn [a, b] Chứng minh rằng: b f (a ) + f (b) f ( x)dx a b−a Lời giải tham khảo đề số Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 60 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) Câu (1 điểm) Tính x x dx + 3x + Câu (1 điểm) Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng: dx x − x +1 + x +1 x2 y + = quay quanh trục Ox Câu (1 điểm) Tính thể tích vật trịn xoay tạo elip: Câu (1 điểm) Tính lim cos x − 2cos x x →0 x Câu (1 điểm) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số y = Câu (1 điểm) Cho hàm số z = x3 y + x y − 3xy + x x − 2x2 + x − Tính dz (1,1) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số z = xy + ( − x − y )(2 x + y ); tham số thực 1 x + y Câu (1 điểm) Tính tích phân kép ( x + y )dx dy , với D : D x y 3x Câu (1 điểm) Tồn hay không hàm f cho: f (1) = − f (1), f (0) = f ( x) 0, x (−2, 2) Câu 10 (1 điểm) Cho hàm số: z = x sin ( x − y ) + ( x − y ) Chứng minh x 2018 ( + 100 x − y ) 2019 z z + xy = zy y x Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 61 Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) Câu x x x dx = dx = − dx = ln | x + | − ln | x + 1| +C + 3x + ( x + 1)( x + 2) x + x +1 Câu f ( x) = x3 − x + + x + 0, x Điểm bất thường tích phân suy rộng + Ta có: x →+ x − x +1 + x +1 ~ dx x − x +1 + x +1 1 x = , mà x3/2 + dx hội tụ (do = ) 3/ 2 x hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Câu Chỉ cần quay nửa elip (ứng với 𝑦 ≥ ) thu vật thể cho Nửa elip miền giới hạn bởi: 𝑦= √4 − 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 Quay miền quanh trục O𝑥 ta thu vật thể tích là: 2 9 𝑥3 = 𝜋 ∫ ( √4 − 𝑥 ) d𝑥 = ∫ (4 − 𝑥 )d𝑥 = (4𝑥 − )| −2 −2 −2 2 𝑉 = 24𝜋(dvtt) Câu cos x − cos x − sin x + 4sin x = lim (dạng x →0 x →0 x 2x L = lim 0 − 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) − cos x + 16 cos x − cos + 16 cos 15 = = x →0 2 = lim Vậy giới hạn cần tính 15 Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 62 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST Câu y = x x − 2x + x − Tập xác định: D = lim+ y = lim+ x→2 x→2 x = ( ) ( x − 2) x + \{2} x = điểm gián đoạn hàm số x x = + lim+ = +, lim+ = 0 x→2 x − x→2 x + x − x +1 x = điểm gián đoạn loại hàm số Câu z x = 3x y + xy − y z x (1,1) = z y = x y + x y − x z y (1,1) = dz (1,1) = z x (1,1)dx + z y (1,1)dy = dx + dy Câu x = z x = −4 y − x + 2 = Tìm điểm dừng: z = − x − y + = y y = M 0, điểm dừng hàm số 2 B − AC = −8 A = z xx = −4, B = z xy = −4, C = z yy = −6 A = −4 hàm số đạt cực đại M 0, , giá trị cực đại zCÐ = 2 Câu x = r cos | J |= r Đổi biến y = r sin 1 r Miền D trở thành 4 Tích phân cần tính là: I = ( x + y )dx dy = D /3 /4 d (r cos + r sin ) r dr = /3 /4 d (cos + sin )r dr Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 63 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST r3 = (cos + sin ) /4 /3 = r =2 = /3 d = r =1 /3 (cos + sin )d = (sin − cos ) /4 = /4 ( − 1) Câu Giả sử tồn hàm f ( x ) thoả mãn đề Vì f khả vi tới cấp (-2,2) f khả vi (-2,2), liên tục [-2,2] Áp dụng định lý Lagrange cho f ( x ) [0,1]: Tồn (0,1) cho f ( ) = f (1) − f (0) = f (1) (vì f (0) = ) 1− Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f ( x ) liên tục [ −1, 0] , khả vi ( −1, 0) ta f (0) − f (−1) có: Tồn ( −1, 0) cho f ( ) = = − f (−1) = f (1) − (−1) Như vậy, tồn , (−2, 2), cho f ( ) = f ( ) , điều mâu thuẫn với giả thiết f ( x) 0, x (−2, 2) không tồn hàm f thoả mãn đề Câu 10 Đặt 𝑢 = 𝑥 − 𝑦 𝑓(𝑢) = sin 𝑢 + 𝑢2018 + 100𝑢2019 Ta có: 𝑧 = 𝑥𝑓(𝑢) ∂𝑧 ∂𝑢 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓 ′ (𝑢) ⋅ = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓 ′ (𝑢) ⋅ 2𝑥 = 𝑓(𝑢) + 2𝑥 𝑓 ′ (𝑢) ∂𝑥 ∂𝑥 ∂𝑧 ∂𝑢 = 𝑥𝑓 ′ (𝑢) ⋅ = 𝑥𝑓 ′ (𝑢) ⋅ (−2𝑦) = −2𝑥𝑦𝑓 ′ (𝑢) ∂𝑦 ∂𝑦 ∂𝑧 ∂𝑧 ⇒ 𝑥2 + 𝑥𝑦 = −2𝑥 𝑦𝑓 ′ (𝑢) + 𝑥𝑦𝑓(𝑢) + 2𝑥 𝑦𝑓 ′ (𝑢) = 𝑥𝑓(𝑢) ⋅ 𝑦 = 𝑧𝑦 ∂𝑦 ∂𝑥 ⇒ đpcm Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 64 Bộ đề thi cuối kỳ mơn Giải tích - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 20181 – ĐỀ (Nhóm ngành 3) Câu (1 điểm) Tính x x dx + 5x + Câu (1 điểm) Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng: dx x + x +1 + x +1 x2 y + = quay quanh trục Ox Câu (1 điểm) Tính thể tích vật trịn xoay tạo elip: Câu (1 điểm) Tính lim cos x −2 cos x x →0 x Câu (1 điểm) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số y = Câu (1 điểm) Cho hàm số z = x y + x y − 3xy + x x + 2x2 + x + Tính dz (1,1) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm số z = xy + ( − x − y )(2 x + y ); tham số thực 1 x + y Câu (1 điểm) Tính tích phân kép ( x + y )dx dy , vói D : x D yx Câu (1 điểm) Tồn hay không hàm f cho: f (1) = − f (1), f (0) = f ( x) 0, x ( −2, 2) 2018 2019 Câu 10 (1 điểm) Cho hàm số z = x sin ( x − y ) + ( x − y ) + 100 ( x − y ) Chứng minh x z z + xy = zy y x Lời giải tham khảo đề số Tài liệu chia sẻ miễn phí website Tailieuhust.com 65 ... (bên trái) đồ thị hàm số Câu I = /4 = /4 tan x dx = tanx d(tan x) + Vậy I = /4 /4 ( ) tanx + tan x dx − /4 tanx dx /4 tan x − sin x − ln dx = + ln | cos x | = cos... 2 x+ y x+ y f ( x) + f ( y ) f , x, y 0, tan x + tan y tan 2 tan x + tan y x+ y tan , x, y 0, 2 2 đpcm Dấu xảy x = y, x 0, ... = −1 Câu Xét hàm số f ( x) = x arctan x − ln + x = x arctan x − ln (1 + x ) Ta có: f ( x) = arctan x + x 1 2x − = arctan x 1+ x + x2 f ( x) = arctan x = x = Bảng biến thiên có dạng: