Pdf full

Đề thi Giải tích – CK 20193 – nhóm ngành Lời giải: Nguyễn Tiến Được Câu 1: ∞ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎) ∑ ( ) 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 lim ( ) 𝑛→∞ 𝑛 + 𝑛+3 𝑛=1 𝑛+3 3𝑛 3𝑛 −3 −3 (−𝑛+3) = lim (1 + = lim 𝑒 −𝑛+3 = 𝑒 −3 ≠ ) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛+3 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑏) 1 ∞ (1 − cos ) (1 − cos ) √𝑛 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 √𝑛 ≥ ∀𝑛 ≥ ∑ √𝑛 √𝑛 𝑛=1 (1 − cos ) √𝑛 ~ = 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 𝑛 √𝑛 √𝑛 2𝑛2 ∞ 𝑀à ∑ 𝑛=1 2𝑛2 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ Câu ∞ (−1)𝑛 𝑛 4𝑥 + 𝑛 4𝑥 + → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ∑ ( ) Đặ𝑡 𝑡 = 𝑛 + 4𝑥 − 4𝑥 − 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛 𝑛 𝑛 𝑡 𝑐ó 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑙à ∑ 𝑛 +2 𝑛=1 (𝑛 + 1)2 + 𝑛 lim | |=1 𝑛→∞ 𝑛2 + 𝑛+1 ∞ (−1)𝑛 𝑛 +) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = → ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 𝑛 +2 𝑛=1 +) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1 ∞ →∑ 𝑛=1 𝑛 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎 𝑛2 + → 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − < 𝑡 ≤ → −1 < 4𝑥 + 1 ≤ (𝑥 ≠ ) 4𝑥 − 8𝑥 >0 𝑥 < ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < → {4𝑥 − →{ 0∀𝑛≥1 𝑛2 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ Câu 2: ∞ 1 − 2𝑥 𝑛 ∑ ( ) 2𝑛 + 1 + 𝑥 𝑛=1 ∞ − 2𝑥 Đặ𝑡 𝑡 = → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑐ℎ𝑜 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ ∑ 𝑡𝑛 1+𝑥 2𝑛 + 𝑛=1 2𝑛 + 𝑋é𝑡 lim =1→𝑅=1 𝑛→∞ 2𝑛 + 𝑇𝑎𝑖𝑗 𝑡 = → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑑𝑜 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎị𝑎 ∞ (−1)𝑛 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1 → ∑ 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 2𝑛 + 𝑛=1 → 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − ≤ 𝑡 < → −1 < − 2𝑥 < ( 𝑥 ≠ −1) 1+𝑥 − 2𝑥 2−𝑥 +1= >0 𝑥 𝑥 ≠ −1 −1=− √3 ∪ x < −√3 → Miền hội tụ x ∈ (−∞; −√3) ∪ (√3; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân y a) y ′ + = x x Thừa số tích phân p(x) = e∫xdx = eln x = x Nhân vế với p(x) → x y′ + y = x → (x y)′ = x x5 → x y = + C x4 C →y= + x x4 C → Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho y(x, C) = + x −x + 2y b) y ′ = , y(1) = x → y ′ = −1 + y x → y ′ − y = −1 x Thừa số tích phân p(x) = e∫ −xdx = e−2 ln x = Nhân vế với p(x) x −1 → y′ − y = x x x Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ′ −1 → ( y) = x x 1 → 2.y = +C x x → y = x + C x Lại có y(1) = → = + C → C = → Nghiệm riêng phương trình vi phân cho y(x) = x + x c) (1 − y e−x )dx + e−x dy = ∂(1 − y e−x ) ∂(e−x ) Ta thấy = = −e−x ∂y ∂x → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân toàn phần Giả sử du(x, y) = (1 − y e−x )dx + e−x dy Xuất phát từ điều kiện u′x = − y e−x → u(x, y) = ∫ − y e−x dx = x + y e−x + g(y) → u′y = e−x + g ′ (y) = e−x → g ′ (y) = Ta chọn g(y) = → tích phân tổng quát ptvp cho u(x, y) = x + y e−x = C Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa x − x − 3x + Đặt t = x − → x = t + f(t) = = 1 = = (t + 3)2 − 3(t + 3) + t + 3t + (t + 1)(t + 2) 1 1 − = − t t+1 t+2 t+1 +1 → Khai triển Maclaurin f(t) ∶ ∞ f(t) = ∑ (−1)n n=0 ∞ ∞ n=0 n=0 tn n t − ∑(−1) n = ∑(−1)n t n (1 − n+1 ) 2 n → Khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa x − ∞ f(x) = ∑(−1)n (x − 3)n (1 − n=0 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 2n+1 ) Câu 5: Xét hội tụ chuỗi hàm sau R ∞ sin nx ∑3 √(n + 1)4 + x n=1 sin nx 1 Khi n → +∞ ∶ | ≤3 ~ |≤3 √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 + x √(n + 1)4 n3 ∞ mà ∑ n=1 n3 chuỗi hội tụ → chuỗi cho hội tụ tuyệt đối R Câu 6: Khai triển hàm số f(x) tuần hoàn chu kì 2π f(x) = x − 2π, π < x < 3π Ta khai triển chuỗi fourier g(x) = x , −π < x < π tuần hồn chu kì 2π g(x) hàm số lẻ → a0 , an π 2 −x cos nx sin nx π bn = ∫ x sin nx dx = ( + )| π π n n2 0 π (−1)n−1 (−1)n−1 = = π n n {cos nπ = (−1)n } → Chuỗi fourier g(x) ∞ F(x) = ∑(−1)n−1 sin nx n n=1 Theo định lí Dirichlet, chuỗi fourier điểm không xác định ∶ f(−π− ) + f(−π+ ) π − π F(−π) = = =0 2 f(π− ) + f(π+ ) −π + π F(π) = = =0 2 , với x = −π ∞ → F(x) = ∑ (−1)n−1 sin nx , với − π < x < π n n=1 {0 , với x = π Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ĐỀ THI GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KÌ 20182 NHĨM NGÀNH K63 Lời giải: Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 +∞ Câu 1: Xét hội tụ chuỗi số ∑ n=1 +∞ ∑ √n n=1 (3n +∞ − 1) = ∑ √n n=1 ln n (e √n (3n − 1) − 1) Chuỗi cho chuỗi dương ∀n ≥ Khi n → +∞ ∶ +∞ ∑ n=1 ln 3 √n ln n (e − 1) ~ chuỗi hội tụ α = n2 ln 3 n2 >1 → chuỗi cho chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh +∞ n−1 n n Câu 2: Xét hội tụ chuỗi số ∑ ( ) n n=1 Chuỗi cho chuỗi dương ∀n ≥ Áp dụng tiêu chuẩn cauchy, ta có: n−1 n n n √ lim ( ) = lim (1 − ) = lim e−1 < n→+∞ n→+∞ n→+∞ n n n → Chuỗi cho hội tụ +∞ n 2x − 2n Câu 3: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau ∑ ( ) n −2 x n=1 +∞ +∞ n=1 n=1 2x − n Đặt ( t n = ∑ an t n ) = t ( t ≥ ) Chuỗi cho trở thành ∑ x n −2 Bán kính hội tụ R = lim | n→+∞ an n n+1 : | = lim | | n→+∞ n − (n + 1)2 − an+1 n[(n + 1)2 − 2] = lim | |=1 n→+∞ (n − 2)(n + 1) Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Tại t = ∶ n → +∞ n ~ phân kỳ Suy chuỗi hội tụ khi t ∈ [0,1) n2 − n 2x − Xét ≤ ( )