ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGỌC MAI DẠNG LEGENDRE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Danh sách ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả thiết kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số ví dụ 11 1.2.1 Minh họa I 11 1.2.2 Minh họa II 14 1.2.3 Minh họa III 17 1.3 Tính chất J-transversality 18 1.4 Tính nửa liên tục yếu dạng toàn phương 21 1.5 Dạng tồn phương có số số khuyết hữu hạn 23 1.6 Dạng toàn phương xác định dương không kỳ dị 25 Kết luận 27 Chương Dạng Legendre 28 2.1 Dạng Legendre 28 2.2 Dạng tồn phương tựa khơng kỳ dị 32 2.3 Cặp Legendre 37 Kết luận 41 Chương Ứng dụng dạng Legendre 42 3.1 Sơ lược giải tích biến phân 42 3.2 Ứng dụng dạng Legendre giải tích biến phân 45 3.3 3.2.1 Quy tắc nhân tử Lagrange 45 3.2.2 Dạng tựa Legendre 49 3.2.3 Lý thuyết tiêu điểm 52 3.2.4 Một ứng dụng lý thuyết tiêu điểm 56 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi khơng gian Hilbert 58 Kết luận 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội với hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Nguyễn Năng Tâm Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017, có cơng lao dạy dỗ em suốt trình học tập Nhà trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên em để em hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, ngày 23 tháng năm 2018 Học viên Vũ Thị Ngọc Mai Danh sách ký hiệu A B B0 (x, y) |x| |x − y| xq → x0 xq ⇒ x0 L(x) B(x, y) Q(x) K(x, y) J(x) L2 S (a) mq i n Ajk (s, t) Rjk (t) Pjk (t) Qjk (t) H T Khơng gian tuyến tính Lớp A Tập véctơ Q-tranversal B Tích x y Chuẩn x Khoảng cách từ x tới y Dãy véctơ {xq } hội tụ yếu tới x0 Dãy véctơ {xq } hội tụ mạnh tới x0 Dạng tuyến tính Dạng song tuyến tính Dạng tồn phương Dạng song tuyến tính liên tục Dạng Legendre Khơng gian hàm bình phương khả tích Đoạn aj ≤ tj ≤ bj , j = 1, , p không gian p chiều Tập số a1 , , ar Căn bậc dương độ đo Sq Chỉ số dạng toàn phương Q(x) Số khuyết dạng toàn phương Q(x) Hàm bình phương khả tích Lebesgue S × S Hàm khả tích bị chặn cốt yếu S Hàm khả tích Hàm bình phương khả tích Khơng gian Hilbert Tốn tử tuyến tính tự liên hợp Mở đầu Giải tích biến phân lĩnh vực tốn giải tích mà sử dụng biến phân, mà thay đổi nhỏ hàm phiếm hàm, để tìm cực đại cực tiểu phiếm hàm Các phiếm hàm thường biểu diễn tích phân xác định hàm số đạo hàm chúng Một chương thú vị giải tích biến phân lý thuyết số Nó có hai khía cạnh, lý thuyết toàn cục lý thuyết phận nhỏ Một phần quan trọng lý thuyết phận nhỏ lý thuyết số biến phân cấp hai Lý thuyết biến phân cấp hai tiếp cận từ nhiều quan điểm Hestenes [5] người nghiên cứu liên hệ dạng tồn phương khơng gian Hilbert với lý thuyết biến phân cấp hai Một dạng toàn phương J(x) gọi thỏa mãn điều kiện làm mạnh Legendre biểu diễn dạng J(x) = D(x) − K(x), D(x) xác định dương K(x) liên tục tôpô yếu Về chất, điều kiện thỏa mãn hội tụ yếu hội tụ giá trị tương ứng J(x) kéo theo hội tụ mạnh Dạng J(x) mà thỏa mãn điều kiện thứ hai gọi dạng Legendre Trong Chương ta thấy dạng Legendre có số (âm) hữu hạn số khuyết hữu hạn Các số giải tích biến phân Ví dụ số khuyết dùng để miêu tả số nghiệm độc lập tuyến tính phương trình vi phân định phương trình vi tích phân thỏa mãn điều kiện biên cho trước Chỉ số dùng để miêu tả số dao động nghiệm phương trình vi phân Kết hệ lý thuyết tiêu điểm Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương câu hỏi quan trọng thú vị lý thuyết tối ưu Trong tốn quy hoạch tồn phương lồi khơng lồi, tính chất Legendre dạng tồn phương trong hàm mục tiêu bỏ qua để đảm bảo tốn ln có nghiệm Các dẫn chứng bên phần nhỏ liên hệ đa dạng dạng Legendre với lý thuyết giải tích biến phân minh họa cách ứng dụng dạng Legendre toán quy hoạch toàn phương Trong luận văn này, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, chúng tơi trình bày đề tài “Dạng Legendre ứng dụng” dựa theo báo “Applications of the thoery of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations” Hestenes [5] báo “On the Solution Existence of Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces” V.V Dong N.N Tam [3] Mục đích luận văn hệ thống lại số kiến thức dạng toàn phương khơng gian Hilbert, số tính chất dạng toàn phương, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm dạng Legendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre số ứng dụng chúng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Dạng Legendre Chương Ứng dụng dạng Legendre Chương Kiến thức chuẩn bị Trước tiên, chúng tơi xin trình bày khái niệm sở tảng tích trong, tính trực giao, tính Q-trực giao, hàm liên tục, hàm liên tục yếu, hàm nửa liên tục yếu, dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, tính chất J-transversality, tính nửa liên tục yếu, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm xác định dương khơng kỳ dị dạng tồn phương 1.1 Giả thiết kiến thức chuẩn bị Cho A khơng gian tuyến tính trường số thực Các phần tử A, gọi véctơ, ký hiệu x, y, z, Số thực, gọi số vô hướng, ký hiệu a, b, c, Tổng hai véctơ x y ký hiệu x + y, tích x với số vơ hướng b ký hiệu bx xb Lớp B A mà đóng kín đối phép cộng phép nhân vơ hướng gọi lớp tuyến tính A Số chiều B số véctơ độc lập tuyến tính B tập lớn gồm véctơ độc lập tuyến tính Tập véctơ x1 , , xn gọi sinh lớp tuyến tính B A gồm tất véctơ có dạng a1 x1 + · · · + an xn Nếu véctơ x1 , , xn độc lập tuyến tính, chúng tạo thành sở lớp B mà chúng sinh Một lớp tuyến tính B A gọi tổng trực tiếp lớp tuyến tính B1 , , Bn véctơ x B biểu diễn thành tổng x = x1 + · · · xn với xi Bi (i = 1, , n) véctơ tổng thuộc B Giả sử ta có hàm đối xứng (x, y) ánh xạ A × A vào tập số thực, gọi tích x y có tính chất sau: (a) (x, x) ≥ 0, dấu xảy x = 0, (b) (x, ay + bz) = a(x, y) + b(x, z), (c) tất dãy Cauchy có giới hạn, tức cho dãy {xq } thỏa mãn lim |xp − xq | = 0, p,q→∞ |x| = (x, x)1/2 , tồn véctơ x0 A cho lim |xq − x0 | = q→∞ (1.1) Đại lượng |x| ≡ (x, x)1/2 gọi chuẩn hay độ dài x thỏa mãn hệ thức |x| ≥ 0, |ax| = |a||x|, |(x, y)| ≤ |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y| Đại lượng |x − y| ký hiệu khoảng cách từ x tới y Hai véctơ x y gọi trực giao (x, y) = Véctơ x gọi trực giao với lớp B A trực giao với véctơ y B Hai lớp B C gọi trực giao véctơ x B trực giao với véctơ y C Tập tất véctơ trực giao với lớp B gọi phần bù trực giao B Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Dãy véctơ {xq } gọi hội tụ mạnh tới véctơ x0 , ký hiệu xq ⇒ x0 , lim |xq − x0 | = q→∞ Nó gọi hội tụ yếu tới x0 , ký hiệu xq → x0 , lim (xq , y) = (x0 , y) q→∞ (1.2) với véctơ y A Nó bị chặn dãy chuẩn {|xq |} bị chặn Ký hiệu aq → a0 thường dùng để biểu thị dãy số {aq } hội tụ tới a0 Một tập đóng A hiểu tập đóng với phép hội tụ mạnh ... số kiến thức dạng tồn phương khơng gian Hilbert, số tính chất dạng tồn phương, khái niệm số số khuyết dạng toàn phương, khái niệm dạng Legendre, cặp Legendre, dạng tựa Legendre số ứng dụng chúng... chất Legendre dạng tồn phương trong hàm mục tiêu bỏ qua để đảm bảo tốn ln có nghiệm Các dẫn chứng bên phần nhỏ liên hệ đa dạng dạng Legendre với lý thuyết giải tích biến phân minh họa cách ứng. .. yếu dạng tồn phương 21 1.5 Dạng tồn phương có số số khuyết hữu hạn 23 1.6 Dạng tồn phương xác định dương khơng kỳ dị 25 Kết luận 27 Chương Dạng Legendre 28 2.1 Dạng Legendre