Luận án phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Dao động tượng hay gặp tự nhiên kỹ thuật Hiện tượng dao động xuất nhiều lĩnh vực khoa học, không vật lý học, mà xuất nhiều lĩnh vực khác hóa học, sinh học, điện, điện tử thiên văn học Các máy, tòa nhà cao tầng, cầu, phương tiện giao thông (ô tô, xe máy, tàu thủy, máy bay, ) số ví dụ hệ dao động mà thường gặp khí, xây dựng giao thông Trong lĩnh vực điện điện tử, dao động dòng điện mạch điện ví dụ tượng dao động Trong lĩnh vực công nghệ cao, hệ vi điện tử (Micro-electromechanical systems – MEMS/ Nano-electromechanical systems - NEMS) ví dụ hệ dao động Các cảm biến MEMS thiết kế dựa nguyên lý tượng dao động, hay đầu kính hiển vi lực nguyên tử sử dụng tượng dao động ống nano để thăm dị mẫu vật Nếu khơng kiểm sốt (điều khiển), dao động dẫn đến hư hỏng, chí tình thảm khốc Chẳng hạn, dao động máy công cụ máy công cụ bị rơ (chuyển động lạch cạch) dẫn đến việc gia cơng khơng xác chi tiết Sự phá hủy kết cấu xảy ứng suất động lớn phát sinh trận động đất trận bão (hoặc lốc xoáy) Những rung động mức máy cơng nghiệp gây dao động cấu trúc xung quanh, khiến chúng hoạt động hiệu quả, đồng thời tiếng ồn mà máy tạo gây khó chịu cho người Chính điều này, tốn dao động toán cấp thiết thu hút nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Về bản, dao động chia thành dao động tuyến tính dao động phi tuyến Thực tế, hầu hết tất dao động hệ kỹ thuật phi tuyến, dao động tuyến tính lý tưởng hóa tượng dao động mà ta gặp Một tượng dao động phi tuyến thường mơ tả mặt tốn học phương trình vi phân thường đạo hàm riêng phi tuyến Khơng giống tốn dao động tuyến tính, mà nghiệm xác dễ dàng tìm được, tốn dao động phi tuyến đa phần khơng có nghiệm xác Chỉ lớp nhỏ toán dao động phi tuyến có lời giải xác Các phương pháp số xem công cụ hiệu để phân tích đáp ứng tốn dao động phi tuyến Tuy nhiên, nhược điểm thường thấy phương pháp số mối quan hệ biên độ - tần số dao động, đặc trưng quan trọng tốn dao động phi tuyến, thường khơng thể tìm sử dụng phương pháp số Do vậy, việc đề xuất phương pháp giải tích gần cho công cụ hữu hiệu để quan sát đầy đủ tượng dao động phi tuyến Trong số phương pháp giải tích gần kể đến phương pháp tuyến tính hóa tương đương (the Equivalent Linearization method) [1], phương pháp đơn giản hiệu để phân tích tốn dao động phi tuyến Tuy nhiên, phương pháp giải tích gần khác, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển thường có nhược điểm tính phi tuyến tốn tăng dẫn đến kết phương pháp thường không xác, đơi khơng thể chấp nhận Nhiều tác giả cố gắng cải thiện nhược điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương, năm 2015, GS Nguyễn Đông Anh [2] đề xuất phương pháp lấy trung bình hàm tiền định thay sử dụng giá trị trung bình cổ điển, phương pháp trung bình gọi trung bình có trọng số Giá trị trung bình có trọng số khắc phục phần nhược điểm phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển Với phân tích trên, tác giả lựa chọn đề tài “Phân tích dao động phi tuyến cách tiếp cận trung bình có trọng số” để làm đề tài nghiên cứu Mục tiêu luận án Luận án phát triển kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng số hệ dao động phi tuyến tự không cản Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán dao động phi tuyến tự không cản số hệ bậc tự dao động Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động phi tuyến mở rộng, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ, dao động phi tuyến với không liên tục dao động phi tuyến hệ liên tục dầm micro nano Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng phương pháp giải tích kết hợp với phương pháp số để mơ đáp ứng tốn dao động phi tuyến Phương pháp giải tích sử dụng Luận án tập trung chủ yếu vào phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số Bố cục luận án Ngồi phần Mở đầu, Luận án chia làm Chương, phần Kết luận kiến nghị, danh mục công trình cơng bố tác giả liên quan đến Luận án Tài liệu kham khảo Trong đó, nội dung Chương sau: Chương 1: “Tổng quan” Chương trình bày tổng quan dao động phi tuyến, số phương pháp giải tích gần đúng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương phát triển phương pháp này, phương pháp trung bình có trọng số số ứng dụng, tình hình nghiên cứu toán dao động phi tuyến dầm micro nano giới tình hình nghiên cứu toán dao động phi tuyến nước năm gần Chương 2: “Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định trung bình có trọng số” Chương trình bày ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định; đồng thời, chương trình bày định nghĩa giá trị trung bình có trọng số hàm tiền định số tính chất trung bình có trọng số Chương 3: “Dao động phi tuyến hệ bậc tự do” Trong chương này, Luận án áp dụng phương pháp đề xuất Chương để phân tích đáp ứng số hệ dao động tự phi tuyến không cản bậc tự do, chẳng hạn như: - Dao động phi tuyến Duffing - Dao động phi tuyến Duffing-điều hòa - Dao động phi tuyến với dạng giếng đôi - Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ - Dao động phi tuyến với không liên tục Chương 4: “Dao động phi tuyến dầm micro nano” Chương tập trung phân tích hai tốn dao động phi tuyến hệ liên tục là: - Dao động dầm micro tựa đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi - Dao động dầm nano chịu tác dụng lực tĩnh điện (bài toán dao động phát sinh hệ vi điện tử MEMS/NEMS) theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục Một số kết luận rút từ Luận án kiến nghị cho nghiên cứu tóm lược Phần Kết luận kiến nghị Danh sách cơng trình cơng bố có liên quan đến nội dung Luận án trình bày phần Danh mục cơng trình liên quan đến luận án Các tài liệu trích dẫn Luận án trình bày phần Tài liệu tham khảo CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu dao động phi tuyến số phương pháp giải tích gần 1.1.1 Giới thiệu dao động phi tuyến Chúng ta biết dao động phi tuyến tượng hay gặp nhiều lĩnh vực Dao động phi tuyến xảy nhiều hệ thực từ hệ có kích thước vĩ mơ (macro) đến hệ có kích thước vi mơ (micro/nano) Với kích thước vĩ mơ, dao động máy móc, cầu, tịa nhà cao tầng, phương tiện giao thơng, Cịn với kích thước vi mơ, kể đến dao động ống nano bon, hệ vi điện tử (Micro-/Nano-electromechanical systems MEMS/NEMS), Thông thường, tượng dao động thường mơ tả mặt tốn học một hệ phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Khi phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động hệ phi tuyến, ta nói dao động phi tuyến Dao động tuyến tính thực tế lý tưởng hóa dao động phi tuyến mà gặp thực tế kỹ thuật Một ví dụ đơn giản dao động chuyển động lắc tốn học bao gồm vật (kích thước nhỏ) với khối lượng m buộc vào đầu sợi dây với chiều dài L, đầu lại sợi dây buộc vào điểm cố định (Hình 1.1) Khi đó, phương trình chuyển động lắc cho bởi:   2 sin   0, 2  L / g Hình 1.1 Con lắc tốn học (1.1) Trong phương trình (1.1),  góc lệch sợi dây phương thẳng đứng g gia tốc trọng trường Rõ ràng phương trình (1.1) phương trình vi phân phi tuyến Dao động tuyến tính lắc tốn học lý tưởng hóa dao động phi tuyến mơ tả phương trình (1.1) ta xem xét chuyển động nhỏ quanh vị trí cân θ = Khi đó, ta sử dụng xấp xỉ: sin    (1.2) Với xấp xỉ (1.2), phương trình (1.1) trở thành phương trình tuyến tính sau:   2  (1.3) Một tượng dao động xuất mạch điện gồm cuộn tự cảm L tụ điện với điện dung C mô tả Hình 1.2 Phương trình dao động mạch điện có dạng: d 2 i  0 dt C (1.4) đó,  từ thơng, i cường độ dòng điện, ta biết rằng: i  a   b 3 (1.5) Hình 1.2 Mạch điện với cuộn cảm tụ điện Thay quan hệ (1.5) vào phương trình (1.4), ta phương trình dao động xuất mạch điện sau: d 2   a  b3   dt C (1.6) Rõ ràng, phương trình (1.6) phương trình vi phân phi tuyến Hay ví dụ tượng dao động cấu trúc quy mô vi mô dao động ống nano bon truyền tải chất lỏng (carbon nanotubes conveying fluid), dịch chuyển ngang ống nano bon mô tả phương trình sau [3]:  EA L  w 2   w 4w 2w 2w  w EI  (m  m f )  kw      dx   m f V  2m f V 0 x t L  x  x  x  t  x     (1.7) Hình 1.3 Mơ hình ống nano truyền tải chất lỏng Trong phương trình (1.7), w dịch chuyển ngang ống nano, E mô đun đàn hồi ống nano, A diện tích mặt cắt ngang ống, L chiều dài ống, I mô men quán tính diện tích mặt cắt ngang ống, m khối lượng đơn vị chiều dài ống, mf khối lượng đơn vị chiều dài chất lỏng ống, V vận tốc chất lỏng k hệ số đàn hồi tuyến tính Khác với phương trình (1.1) (1.6), phương trình (1.7) phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Đối với dao động tuyến tính, nghiệm toán thỏa mãn nguyên lý chồng chất nghiệm nghiệm giải tích xác dễ dàng tìm Cịn dao động phi tuyến, việc tìm nghiệm xác khó thực lớp nhỏ toán Các phương pháp số xem cơng cụ hữu hiệu để phân tích đáp ứng toán dao động phi tuyến Tuy nhiên, đặc trưng quan trọng toán dao động phi tuyến quan hệ biên độ - tần số dao động khơng thể tìm sử dụng phương pháp số Sự phát triển phương pháp giải tích gần cho cơng cụ hiệu để quan sát đầy đủ đáp ứng toán dao động phi tuyến Một số phương pháp giải tích để tìm nghiệm gần tốn dao động phi tuyến giới thiệu phần 1.1.2 Một số phương pháp giải tích gần Sự phát triển phương pháp giải tích gần cho ta cơng cụ hữu hiệu để quan sát đầy đủ tượng dao động phi tuyến Có nhiều phương pháp giải tích gần khác để tìm nghiệm tốn dao động phi tuyến, liệt kê số phương pháp giải tích gần điển hình: 1.1.2.1 Phương pháp nhiễu Phương pháp nhiễu (the perturbation method) dựa việc giả thiết nghiệm phương trình vi phân tổng vài số hạng khai triển tiệm cận Các phương pháp nhiễu cổ điển giới thiệu sách dao động phi tuyến [4, 5, - 9] Hạn chế phương pháp nhiễu cổ điển nghiệm giải tích thu xác tốn phi tuyến yếu Một số phát triển phương pháp nhiễu kể đến phương pháp nhiễu tham số (the Parameterized Perturbation method) [10], phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy Perturbation method) [11], phương pháp nhiễu lặp (the Iteration Perturbation method ) [12], phương pháp đề xuất J H He Nghiệm xấp xỉ bậc cao dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ tìm Beléndez cộng [13] nhờ cải tiến phương pháp nhiễu đồng luân sửa đổi Độ xác nghiệm tốn dao động phi tuyến cải thiện đáng kể sử dụng phương pháp nhiễu tham số, nhiễu đồng luân nhiễu lặp Tuy nhiên, nhược điểm phương pháp nhiễu phức tạp thủ tục tìm nghiệm đặc biệt hệ dao động mà số hạng phi tuyến có dạng phức tạp (dạng hữu tỉ với số mũ hữu tỉ) [13] 1.1.2.2 Phương pháp cân điều hòa Phương pháp cân điều hòa (the Harmonic Balance method) biết đến phương pháp Fourier-Galerkin, dựa việc khai triển nghiệm toán dao động phi tuyến dạng chuỗi Fourier, phương trình vi phân đưa hệ phương trình đại số để tìm đáp ứng biên độ - tần số toán dao động Phương pháp cân điều hòa sử dụng phổ biến để phân tích tốn dao động phi tuyến tiền định hệ bậc tự do, chẳng hạn Mickens cộng [14, 15] Các toán dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ nghiên cứu Mickens sử dụng phương pháp cân điều hòa [16 - 19] Hu Tang [20] sử dụng phương pháp cân điều hòa để phân tích dao động Duffing – điều hịa Razzak [21] áp dụng phương pháp cân điều hòa để tìm nghiệm xấp xỉ bậc cao dao động phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ vơ tỉ Beléndez cộng [22] phân tích dao động phi tuyến khối lượng gắn vào sợi dây đàn hồi kéo căng sử dụng phương pháp cân điều hịa, phương trình chuyển động hệ phương trình vi phân phi tuyến với lực phục hồi có dạng vơ tỉ Nghiệm xấp xỉ cho hệ dao động bảo toàn đưa Beléndez cộng sử dụng phương pháp cân điều hòa sửa đổi [23] Stupnicka [24] nghiên cứu toán cộng hưởng kết hợp hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động tham số sử dụng phương pháp cân điều hòa Nghiệm xấp xỉ bậc cao hệ dao động phi tuyến mạnh bậc tự tìm Hosen cộng [25] sử dụng phương pháp cân điều hòa sửa đổi Wu cộng [26] phân tích dao động Duffing dạng giếng đơi nhờ kết hợp phương pháp Newton phương pháp cân điều hòa Với xấp xỉ bậc nhất, phương pháp cân điều hịa cho kết thường khơng xác Những xấp xỉ bậc cao cải thiện đáng kể xác phương pháp này, nhiên với xấp xỉ bậc cao đòi hỏi phải giải hệ phức tạp phương trình đại số để tìm tần số tốn dao động [21, 25] 1.1.2.3 Phương pháp khai triển tham số Phương pháp khai triển tham số (the Parameter Expansion method) biết đến phương pháp tham số bookkeeping (the Bookkeeping Parameter method) [27] phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi (the modified Lindstedt–Poincare method) [28-30] giới thiệu J H He Các phương pháp dựa việc khai triển tham số phương trình vi phân, thay tần số phi tuyến, thành chuỗi lũy thừa tham số mở rộng để tránh xuất số hạng trường kỳ (secular terms), từ quan hệ biên độ - tần số dao động thu Ozis Yildirm [31] tìm nghiệm xấp xỉ dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ sử dụng phương pháp Lindstedt–Poincare sửa đổi Phương pháp khai triển tham số thích hợp hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng đa thức; hệ phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ vơ tỉ, phương pháp khai triển tham số thường sử dụng phức tạp phương pháp thủ tục tìm nghiệm 10 1.1.2.4 Phương pháp lượng Trong phương pháp lượng, phương pháp cân lượng (the Energy Balance method - EBM) phương pháp sử dụng phổ biến, phương pháp giới thiệu J H He vào năm 2002 [32] Dựa nguyên lý biến phân, hàm Hamiltonian (Hamiltonian function) thiết lập cho toán dao động phi tuyến, quan hệ tần số - biên độ dao động từ tìm nhờ phương pháp xếp Phương pháp cân lượng sử dụng phổ biến để phân tích hệ dao động phi tuyến, nhiên nhược điểm phương pháp phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm định vị (location point) Để khắc phục nhược điểm này, J H He giới thiệu phương pháp biến phân tổng quát (the Variational Approach) [33] vào năm 2007 phương pháp Hamiltonian (the Hamiltonian Approach) [34] vào năm 2010 Các phương pháp lượng công cụ hiệu để phân tích hệ dao động phi tuyến Phương pháp cân lượng Younesian cộng [35] áp dụng để phân tích dao động Duffing dạng tổng quát Momeni cộng [36] tìm nghiệm giải tích gần dao động Duffing – điều hòa nhờ sử dụng phương pháp cân lượng Gần đây, Saadatnia cộng [37] tìm nghiệm xấp xỉ bậc cao số dạng khác toán dao động phi tuyến nhờ sử dụng phương pháp cân lượng Phương pháp biến phân sử dụng Shou [38] để tìm nghiệm xấp xỉ tốn dao động phi tuyến với không liên tục Yildirim cộng [39] tìm nghiệm gần hệ dao động phi tuyến với lực phục hồi có dạng hữu tỉ vô tỉ nhờ sử dụng phương pháp Hamiltonian Nghiệm xấp xỉ bậc cao dao động phi tuyến Duffing bậc 3, bậc dao động phi tuyến với khơng liên tục tìm Yildirim cộng [40] nhờ áp dụng phương pháp Hamiltonian Có thể thấy phương pháp lượng sử dụng hiệu để phân tích tốn dao động phi tuyến; nhiên, toán phi tuyến mạnh, với xấp xỉ bậc nhất, lời giải thu sử dụng phương pháp lượng thường khơng xác Các xấp xỉ bậc cao cải thiện đáng kể xác nghiệm giải tích thu được, nhiên, với xấp xỉ bậc cao địi hỏi việc giải hệ phương trình khác phức tạp để tìm mối quan hệ biên độtần số dao động [37, 40] 114 strain gradient theory International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16:289–308 (SCIE Journal, Q1) 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T K Caughey, Equivalent linearization technique, The Journal of the Acoustical Society of America, 1963; 35, 1706–1711 [2] N D Anh, Dual approach to averaged values of functions: A form for weighting coefcient, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2015, 37(2), 145–150 [3] M Rasekh and S E Khadem, Nonlinear vibration and stability analysis of axially loaded embedded carbon nanotubes conveying fluid, Journal of Physics D: Applied Physics, 2009, 42: 135112 (8pp) [4] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2016 [6] N N Bogoliubov and Yu A Mitropolsky, Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations, Gordon and Breach, London, 1985 [7] A H Nayfeh and D T Mook, Nonlinear Oscillations, Wiley Classics Library, 1995 [8] N Krylov, N Bogoliubov, Introduction to nonlinear mechanics, New York: Princenton University Press, 1943 [9] N Minorsky, Introduction to Non-Linear Mechanics Part II:Analytical Methods of Nonlinear-Mechanics, The David W Taylor Model Basin, United States Navy, 1945 [10] J H He, Some new approaches to duffing equation with strongly and high order nonlinearity (ii) parametrized perturbation technique, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1999, 4(1):81–83 [11] J H He, The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities, Applied Mathematics and Computation, 2004, 151, 287–292, 116 [12] J H He, Iteration perturbation method for strongly nonlinear oscillations, Journal of Vibration and Control, 2001, 7(5), 631 [13] A Beléndez, C Pascual, S Gallego, M Ortufio, C Neipp, Application of a modified He’s homotopy perturbation method to obtain higher-order approximations of an x1/3 force nonlinear oscillator, Physica Letters A, 2007, 371, 421–426 [14] R E Mickens, A generalization method of harmonic-balance, Journal of Sound and Vibration, 1986, 111, 515–518 [15] R E Mickens and D Semwogerere, Fourier analysis of a rational harmonic balance approximation for periodic solutions, Journal of Sound and Vibration, 1996, 195, 528–530 [16] R E Mickens, Oscillations in an x4/3 potential, Journal of Sound and Vibration, 2001, 246(2), 375–378 [17] R E Mickens, Analysis of non-linear oscillators having non-polynomial elastic terms, Journal of Sound and Vibration, 2002, 255(4), 789–792 [18] R E Mickens, Iteration method solutions for conservative and limit-cycle x1/3 force oscillators, Journal of Sound and Vibration, 2006, 292, 964–968 [19] R E Mickens, Harmonic balance and iteration calculations of periodic solutions to y  y 1  , Journal of Sound and Vibration, 2007, 306, 968–972 [20] H Hu, J H Tang, Solution of a duffing-harmonic oscillator by the method of harmonic balance, Journal of Sound and Vibration, 2006, 294 (3), 637–639 [21] Md A Razzak, A simple harmonic balance method for solving strongly nonlinear oscillators, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 2016, 21, 68-76 [22] A Beléndez, A Hernández, T Beléndez, M L Álvarez, S Gallego, M Ortuño, C.Neipp, Application of the harmonic balance method to a nonlinear oscillator typified by a mass attached to a stretched wire, Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(4–5), 1018-1029 [23] A Beléndez, E Gimeno, M L Álvarez , M S Yebra & D I Méndez, Analytical approximate solutions for conservative nonlinear oscillators by modified rational 117 harmonic balance method, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 87(7), 1497–1511 [24] W S Stupnicka, The generalized harmonic balance method for determining the combination resonance in the parametric dynamic systems, Journal of Sound and Vibration, 1978, 58(3), 347-361 [25] Md A Hosen , M S H Chowdhury, G M Ismail & A Yildirim, A modified harmonic balance method to obtain higher-order approximations to strongly nonlinear oscillators, Journal of Interdisciplinary Mathematics, 2020, https://doi.org/10.1080/09720502.2020.1745385 [26] B S Wu, W P Sun, C W Lim, Analytical approximations to the double-well Duffing oscillator in large amplitude oscillations, Journal of Sound and Vibration, 2007, 307, 953–960 [27] J H He, Bookkeeping parameter in perturbation methods, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2, 257–264 [28] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part I: expansion of a constant, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 309-314 [29] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part II: a new transformation, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 315–320 [30] J H He, Modified Lindsted-Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations, Part III: double series expansion, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2(4), 317-320 [31] T Ozis, A Yildirm, Determination of periodic solution for a u1/3 force by He’s modified Lindstedt–Poincare method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 301,415–419 [32] J H He, Preliminary report on the energy balance for nonlinear oscillations, Mechanics Research Communications, 2002, 29(2-3), 107–111 118 [33] J H He, Variational approach for nonlinear oscillators, Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 34(5), 1430–1439 [34] J H He, Hamiltonian approach to nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2010, 374(23), 2312–2314 [35] D Younesian, H Askari, Z Saadatnia, M K Yazdi, Frequency analysis of strongly nonlinear generalized Duffing oscillators using He's frequency-amplitude formulation and He's energy balance method, Computers and Mathematics with Applications, 2010, 59, 3222-3228 [36] M Momeni, N Jamshidi, A Barari & D D Ganji, Application of He's energy balance method to Duffing-harmonic oscillators, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 88(1), 135-144 [37] Z Saadatnia, N Safaie, M A Ahmadpour and H Askari, Higher-order energy balance method for a serious of nonlinear oscillatory systems, Asian-European Journal of Mathematics, 2013, 6(4), 1350054 [38] D H Shou, Variational approach for nonlinear oscillators with discontinuities, Computers & Mathematics with Applications, 58(11-12):2416–2419, 2009 [39] A Yildirim, Z Saadatnia, and H Askari Application of the hamiltonian approach to nonlinear oscillators with rational and irrational elastic terms, Mathematical and Computer Modelling, 2011 [40] A Yildirim, Z Saadatnia, H Askari, Y Khan, and M K Yazdi, Higher order approximate periodic solutions for nonlinear oscillators with the hamiltonian approach, Applied Mathematics Letters, 2011 [41] L Cveticanin, Vibrations of a coupled two-degree-of-freedom system, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247(2), 279– 292 [42] L Cveticanin, The motion of a two-mass system with non-linear connection, Journal of Sound and Vibration, 2002,252(2), 361–369 [43] M Bayat, I Pakar, G Domairry, Recent developments of some asymptotic methods and their applications for nonlinear vibration equations in engineering 119 problems: A review, Latin American Journal of Solids and Structures, 2012, 9, 145234 [44] S A Emam, Ali H Nayfeh, Postbuckling and free vibrations of composite beams, Composite Structures, 2009, 88, 636–642 [45] A Fallah, M M Aghdam, Nonlinear free vibration and post-buckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583 [46] A Fallah, M M Aghdam, Thermo-mechanical buckling and nonlinear free vibration analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, Composites: Part B, 2012, 43, 1523–1530 [47] M Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Compos Struct., 2010; 92(10), 2532– 2546 [48] J B Gunda, R K Gupta, G R Janardhan, G V Rao, Large amplitude vibration analysis of composite beams: simple closed-form solutions, Compos Struct., 2010, 93, 870-879 [49] L Azrar, R Benamar, R G White, Semi-analytical approach to the non-linear dynamic response problem of S–S and C–C beams at large vibration amplitudes part i: general theory and application to the single mode approach to free and forced vibration analysis, Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2), 183–207 [50] H M Sedighi, A Reza, The effect of quintic nonlinearity on the investigation of transversely vibrating bulked Euler Bernoulli beams, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 51(4), 959-968 [51] N A Fleck, G M Muller, M F Ashby, J W Hutchinson, Strain gradient plasticity: theory and experiment, Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42(2), 475– 487 [52] J S Stolken, A G Evans, A microbend test method for measuring the plasticity length scale, Acta Materialia, 1998, 46(14), 5109–5115 120 [53] A C M Chong, F Yang, D C C Lam, P Tong, Torsion and bending of micron-scaled structures, Journal of Materials Research, 2001, 16(04), 1052–1058 [54] R A Toupin, Elastic materials with couple stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11 (1), 385-414 [55] R D Mindlin, H F Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1), 415-448 [56] R D Mindlin, Influence of couple-stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 1963, 3(1), 1–7 [57] W T Koiter, Couple-stresses in the theory of elasticity: I and II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 1964, 67, 17-44 [58] R D Mindlin, Micro-structure in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, 16, 51-78 [59] A C Eringen, D G B Edelen, On nonlocal elasticity, International Journal of Engineering Science, 1972, 10(3), 233-248 [60] A C Eringen, On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves, Journal of Applied Physics, 1983, 54, 47034710 [61] F Yang, A C M Chong, D C C Lam, P Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(10), 2731-2743 [62] R D Mindlin, Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures, 1965, 1, 417-438 [63] E C Aifantis, On the role of gradients in the localization of deformation and fracture, International Journal of Engineering Science, 1992, 30, 1279–1299 [64] C W Lim, G Zhang, & J N Reddy, A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, 78, 298–313 121 [65] M Şimşek, Nonlinear static and free vibration analysis of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using modified couple stress theory and He’s variational method, Composite Structures, 2014, 112(1), 264–272 [66] M Şimşek and J N Reddy, Bending and vibration of functionally graded microbeams using a new higher order beam theory and the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 2013, 64, 37–53 [67] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory, Journal of the Mechanics and Physics of Solids; 2008, 56, 3379–3391 [68] S Kong, S Zhou, Z Nie, K Wang, The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams, International Journal of Engineering Science, 2008, 46, 427–437 [69] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A nonclassical Reddy–Levinson beam model based on a modified couple stress theory, International Journal for Multiscale Computational Engineering; 2010, 8, 167–180 [70] B Wang, J Zhao, S Zhou, A micro scale Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, European Journal of Mechanics - A/Solids; 2010, 29, 591-599 [71] B Akgưz, Ư Civalek, Analysis of micro-sized beams for various boundary conditions based on the strain gradient elasticity theory, Archive of Applied Mechanics; 2012, 82, 423–443 [72] B Akgưz, Ư Civalek, A size-dependent shear deformation beam model based on the strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science; 2013, 70, 1–14 [73] J A Ruiz, J Loya, and J F Sáez, Bending vibrations of rotating nonuniform nanocantilevers using the Eringen nonlocal elasticity theory, Composite Structures, 2012, 4(9), 2990–3001 122 [74] M Şimşek, Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel Hamiltonian approach, International Journal of Engineering Science, 2016, 105, 12–27 [75] L Li, Y Hu Nonlinear bending and free vibration analyses of nonlocal strain gradient beams made of functionally graded material International Journal of Engineering Science, 2016, 107, 77–97 [76] L Lu, X Guo, J Zhao, Size-dependent vibration analysis of nanobeams based on the nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2017, 116, 12–24 [77] R C Batra, M Porfiri and D Spinello, Review of modeling electrostatically actuated microelectromechanical systems, Smart Materials and Structures, 2007, 16(6) [78] Y Fu, J Zhang, L Wan, Application of the energy balance method to a nonlinear oscillator arising in the microelectromechanical system (MEMS), Current Applied Physics, 2011, 11, 482-485 [79] Y H Qian, D X Ren, S K Lai, S M Chen, Analytical approximations to nonlinear vibration of an electrostatically actuated microbeam, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17, 1947–1955 [80] S Sadeghzadeh and A Kabiri, Application of Higher Order Hamiltonian Approach to the Nonlinear Vibration of Micro Electro Mechanical Systems, Latin American Journal of Solids and Structures, 2016, 13, 478-497 [81] A C J Luo, F Y Wang, Chaotic motion in a Micro-Electro-Mechanical System with nonlinearity from capacitors, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2002, 7, 31–49 [82] M I Younis, E M Abdel-Rahman, A Nayfeh, A reduced-order model for electrically actuated microbeam-based MEMS, Journal of Microelectromechanical Systems, 2003, 12(5), 672–680 123 [83] S Chaterjee, G Pohit, A large deflection model for the pull-in analysis of electrostatically actuated microcantilever beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(4–5), 969-986 [84] S Krylov, Lyapunov exponents as a criterion for the dynamic pull-in instability of electrostatically actuated microstructures, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2007, 42(4), 626-642 [85] J B Ma, L Jiang and S F Asokanthan, Influence of surface effects on the pullin instability of NEMS electrostatic switches, Nanotechnology, 2010, 21(50) [86] Y Fu, J Zhang, Size-dependent pull-in phenomena in electrically actuated nanobeams incorporating surface energies, Applied Mathematical Modelling, 2011, 35, 941–951 [87] J S Duan, R Rach, A pull-in parameter analysis for the cantilever NEMS actuator model including surface energy, fringing field and Casimir effects, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50(22–23), 3511-3518 [88] J Abdi, A Koochi, A S Kazemi and M Abadyan, Modeling the effects of size dependence and dispersion forces on the pull-in instability of electrostatic cantilever NEMS using modified couple stress theory, Smart Materials and Structures, 2011, 20:05501, 9pp [89] E M Miandoab, A Y Koma & H N Pishkenari, Nonlocal and strain gradient based model for electrostatically actuated silicon nanobeams, Microsystem Technologies, 2015, 21, 457-464 [90] H M Sedighi, Size-dependent dynamic pull-in instability of vibrating electrically actuated microbeams based on the strain gradient elasticity theory, Acta Astronautica, 2014, 95, 111–123 [91] S Esfahani, S E Khadem, A E Mamaghani, Nonlinear Vibration Analysis of an Electrostatic Functionally Graded Nano-Resonator with Surface Effects Based on Nonlocal Strain Gradient Theory, International Journal of Mechanical Sciences, 2019, 151, 508-522 124 [92] W D Iwan and I M Yang, Application of statistical linearization techniques to nonlinear multi-degree-of-freedom systems, Journal of Applied Mechanics, 1972, 39(2), 545–550 [93] W D Iwan, A generalization of the concept of equivalent linearization, International Journal of Non-Linear Mechanics, 1973, 8(3), 279–287 [94] T S Atalik, and S Utku, Stochastic linearization of multi-degreeof-freedom non-linear systems, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976, 4(4), 411–420 [95] Y J Park, Y K Wen and A H Ang, Random vibration of hysteretic systems under bi-directional ground motions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1986, 14(4), 543–557 [96] C Su, H Huang and H Ma, Fast Equivalent Linearization Method for Nonlinear Structures under Nonstationary Random Excitations, Journal of Engineering Mechanics, 2016, 142 (8) [97] A Younespour, H Ghaffarzadeh and B F Azar, An equivalent linearization method for nonlinear Van der Pol oscillator subjected to random vibration using orthogonal functions, Control Theory and Technology, 2018, 16, 49–57 [98] N D Anh, M Di Paola, Some Extensions of Gaussian Equivalent Linearization, International Confernce on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi, Vietnam, 1995, 5–16 [99] I Elishakoff, L Andriamasy and M Dolle, Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola, Acta Mechanica, 2009, 204, 89–98 [100] X Zhang, I Elishakoff and R Zhang, A Stochastic Linearization Technique Based on Minimum Mean Square Deviation of Potential Energies, Stochastic Structural Dynamics 1, Springer, Berlin, Heidelberg, 1991 [101] I Elishakoff and G Q Cai, Approximate solution for nonlinear random vibration problems by partial stochastic linearization, Probabilistic Engineering Mechanics, 1993, 8, 233-237 125 [102] K Fujimura and A D Kiureghian, Tail-equivalent linearization method for nonlinear random vibration, Probabilistic Engineering Mechanics 22 (2007) 63–76 [103] M Broccardo, U Alibrandi, Z Wang, L Garrè, The Tail Equivalent Linearization Method for Nonlinear Stochastic Processes, Genesis and Developments, In: Gardoni P (eds) Risk and Reliability Analysis: Theory and Applications Springer Series in Reliability Engineering Springer, Cham, 2017 [104] U Alibrandi and K M Mosalam, Equivalent Linearization Methods for Stochastic Dynamic Analysis Using Linear Response Surfaces, Journal of Engineering Mechanics, 2017, Volume 143 Issue [105] N D Anh, Duality in the analysis of responses to nonlinear systems, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2010, 32(4), 263–266 [106] N D Anh, N N Hieu & N N Linh, A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2012, 223, 645–654 [107] N D Anh and N N Linh, A weighted dual criterion for stochastic equivalent linearization method using piecewise linear functions, VietNam Journal of Mechanics, VAST, 2014, 36(4), 307-320 [108] N D Anh and N N Linh, A weighted dual criterion of the equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2018, 229, 1297–1310 [109] Nguyễn Ngọc Linh, Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2016 [110] K U Rahman, S Shang, M Shahid, Y Wen, A J Khan, Development of a novel Weighted Average Least Squares-based ensemble multi-satellite precipitation dataset and its comprehensive evaluation over Pakistan, Atmospheric Research, 2020, 246, 105133 [111] Y Wang, X Hao, C Wu, Forecasting stock returns: A time-dependent weighted least squares approach, Journal of Financial Markets, Available online 21 May 2020, 100568 126 [112] L Tang and Y Lu, Study of the Grey Verhulst Model based on the Weighted Least Square Method, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, 545, 123615 [113] A Momot, Methods of weighted averaging of ECG signals using Bayesian inference and criterion function minimization, Biomedical Signal Processing and Control, 2009, 4, 162–169 [114] X Liu, J M Mendel and D Wu, Analytical solution methods for the fuzzy weighted average, Information Sciences, 2012, 187, 151–170 [115] P D’Urso and J M Leski, Fuzzy clustering of fuzzy data based on robust loss functions and ordered weighted averaging, Fuzzy Sets and Systems, 2020, 389, 128 [116] N D Anh, V L Zakovorotny, N N Hieu, et al., A dual criterion of stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems subjected to random excitation, Acta Mech., 2012, 223, 2667–2684 [117] N N Hieu, N D Anh, N Q Hai, Vibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearizationVibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearization, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2016, 38(1), 49 – 62 [118] N D Anh, I Elishakoff, N N Hieu, Generalization of Seide’s problem by the regulated stochastic linearization technique, Meccanica, 2017, 52, 1003–1016 [119] N V Khang, T D Son, B T Thuy, Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.34, No.2 (2012), pp 91–99 [120] N V Khang, B T Thuy, T Q Chien, Resonance Oscillation of Third-Order Forced van der Pol System With Fractional-Order Derivative, J Comput Nonlinear Dynam Jul 2016, 11(4): 041030 (5 pages) [121] N V Khang, T Q Chien, Subharmonic Resonance of Duffing Oscillator With Fractional-Order Derivative, J Comput Nonlinear Dynam Sep 2016, 11(5): 051018 (8 pages) 127 [122] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On a class of non-linear differential equations with exact solution, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2012, Vol.34, No.1, pp –17 [123] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, A coupling successive approximation method for solving Duffing equation and its application, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol 36, No 2, pp 77 – 93 [124] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On the convergence of a coupling successive approximation method for solving Duffing equation, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol.36, No.3, pp 185–200 [125] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, Parametric conditions and exact solution for the Duffing-Van der Pol class of equations, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2018, Vol 40, No 3, pp 251 – 264 [126] N T Chung, L P Binh, Nonlinear Dynamic Analysis of Cracked Beam on Elastic Foundation Subjected to Moving Mass, International Journal of Advanced Engineering Research and Science, 2017, 4, iss [127] Lưu Xuân Hùng, Nghiên cứu ảnh hưởng kích động ngẫu nhiên lên hệ học phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2002 [128] Dương Ngọc Hảo, Phân tích dao động phi tuyến hệ chịu kích động ngẫu nhiên tuần hồn, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2015 [129] Nguyễn Như Hiếu, Tiêu chuẩn đối ngẫu phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2018 [130] Q Zhu and M Ishitoby, Chaos and bifurcations in an on linear vehicle model, Journal of Sound and Vibration, 2004, 275, 1136–1146 [131] L Cveticanin and M Zukovic, Melnikov’s criteria and chaos in systems with fractional order deflection, Journal of Sound and Vibration, 2009, 326, 768–779 [132] Jie Fan, He's frequency-amplitude formulation for the Duffing harmonic oscillator, Computers and Mathematics with Applications, 2009, 58, 2473-2476 128 [133] J R Acton, P.T Squire, Solving Equations with Physical Understanding, Adam Hilger Ltd, Bristol, 1985 [134] R N Dean, A Luque, Applications of Microelectromechanical Systems in Industrial Processes and Services, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(4) [135] K Eom, H S Park, D S Yoon, T Kwon, Nanomechanical resonators and their applications in biological/chemical detection: Nanomechanics principles, Physics Reports, 2011, 503(4–5), 115-163 [136] W C Chuang, H L Lee, P Z Chang, Y C Hu, Review on the modeling of electrostatic MEMS, Sensors (Basel); 2010, 10(6), 6149-6171 [137] K W Oh, C H Ahn, A review of microvalves, Journal of Micromechanics and Microengineering, 2006, 16 (5) [138] O Y Loh, H D Espinosa, Nanoelectromechanical contact switches, Nature Nanotechnology, 2012, 7, 283–295 [139] W M Zhang, H Y., Z K Peng G Meng, Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review, Sensors and Actuators A: Physical, 2014, 214, 187–218 [140] L Li, Y Hu, Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based on a nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2015, 97, 84–94 ... trị trung bình có trọng số bước đầu cho thấy xác kết thu hệ dao động phi tuyến Duffing bậc [2] Chính điều này, Luận án lựa chọn đề tài ? ?Phân tích dao động phi tuyến cách tiếp cận trung bình có trọng. .. động phi tuyến bậc tự không cản, chẳng hạn như: Dao động phi tuyến Duffing, dao động phi tuyến mở rộng, dao động phi tuyến Duffing-điều hòa, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ dao động phi tuyến. .. trung bình cổ điển, trung bình có trọng số có hiệu việc phân tích toán dao động phi tuyến Kết luận Chương Chương trình bày ý tưởng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến