Luận án phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm fgm

i LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn thầy hướng dẫn khoa học, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Nguyễn Đình Kiên tận tâm hướng dẫn khoa học, động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận án Tôi xin bày tỏ biết ơn tới quan tâm Viện Cơ học, đặc biệt đồng nghiệp Phịng Chẩn đốn kỹ thuật ủng hộ bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho q trình làm luận án Cuối tơi xin chân thành cám ơn đến Trường Đại học Thuỷ lợi, Khoa Cơ khí gia đình động viên ủng hộ thời gian làm luận án Tác giả luận án Nguyễn Ngọc Huyên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Ngọc Huyên iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỤC LỤC… iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xii MỞ ĐẦU…… CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Vật liệu tính biến thiên (FGM) 1.1.1 Vật liệu FGM 1.1.2 Phân loại vật liệu FGM 1.1.3 Ứng dụng vật liệu FGM 1.2 Tổng quan dao động dầm FGM 1.2.1 Tóm lƣợc lý thuyết dầm 1.2.2 Tổng quan phƣơng pháp nghiên cứu dao động dầm FGM 1.2.3 Dầm FGM có vết nứt 11 1.3 Định hƣớng nghiên cứu 15 CHƢƠNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM TIMOSHENKO CÓ VẾT NỨT 18 2.1 Phƣơng trình chuyển động [28] 19 2.2 Các đặc trƣng dao động dầm FGM 20 2.2.1 Tần số dạng dao động riêng .20 2.2.2 Ma trận truyền – Đáp ứng tần số 22 2.2.3 Ma trận độ cứng động [41] 25 2.3 Dao động dầm FGM có vết nứt [26] 26 2.3.1 Mơ hình vết nứt dầm FGM 26 2.3.2 Phƣơng trình đặc trƣng 28 2.3.3 Bài toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM 31 Kết luận Chƣơng .35 CHƢƠNG SỰ TƢƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG UỐN TRONG DẦM FGM .36 3.1 Điều kiện không tƣơng tác dao động dọc trục dao động uốn 36 iv 3.2 Dao động uốn túy dầm FGM .41 3.3 Các đặc trƣng sóng dầm FGM .48 Kết luận Chƣơng .55 CHƢƠNG KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 57 4.1 Tần số dạng dao động riêng 57 4.2 Hàm đáp ứng tần số 64 4.3 Ảnh hƣởng vết nứt đến tần số dạng dao động riêng .71 4.3.1 So sánh nghiên cứu 71 4.3.2 Ảnh hƣởng vết nứt đến tần số riêng 75 4.4 Lời giải toán chẩn đoán vết nứt tần số riêng 85 Kết luận Chƣơng .86 KẾT LUẬN CHUNG 88 DANH SÁCH CƠNG TRÌNH ĐÃ HỒN THÀNH VÀ ĐƢỢC CƠNG BỐ 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO .90 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT E, Eb, Et, E0 = (Et + Eb)/2 – mô đun đàn hồi pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dƣới) Re = Et/Eb – tỷ số mô đun đàn hồi pha vật liệu (trên/dƣới) , t, b, 0 = (t + b)/2 – mật độ khối pha vật liệu, (t – mặt trên, b – mặt dƣới) R = t/b – tỷ số mật độ khối pha vật liệu (trên/dƣới) G, Gb, Gt, G  E – mơ đun trƣợt tính từ mơ đun đàn hồi pha vật liệu 2(1   ) L, b, h – chiều dài, chiều rộng, chiều cao dầm  - hệ số Poisson  - hệ số điều chỉnh biến dạng trƣợt r = Re/R - hệ số tỷ lệ vật liệu h0 – vị trí trục trung hịa tính từ trục dầm n – số phân bố vật liệu (số mũ quy luật hàm lũy thừa) I12  n( R  1) (n  2)(n  1)( R   n)  2h0 - hệ số tƣơng tác h(n  1) u(x, t), w(x, t) – chuyển vị điểm nằm mặt trung hịa (x, t) – góc xoay tiết diện ngang U(x, ), W(x, ), Θ(x, ) – biến đổi Phuriê (biên độ phức) chuyển vị góc xoay N(x, t), M(x, t), Q(x, t) – lực dọc trục, mô men uốn lực cắt mặt cắt vị trí x N ( x, ), M ( x, ), Q( x, ) – biên độ phức nội lực λj – nghiệm phƣơng trình đặc trƣng kj – số sóng  j L2 b j,  j  – tần số riêng tần số riêng chuẩn hóa h Eb e, a – vị trí độ sâu vết nứt T, R – độ cứng lị xo dọc trục lị xo xoắn mơ tả vết nứt vi 1  EA EI - độ lớn vết nứt đƣợc tính từ độ sâu vết nứt , 2  T R  10  E0 A EI ,  20  - độ lớn vết nứt dầm đồng chất T R haa , hbb , hab, hba - lần lƣợt hàm đáp ứng tần số đơn (với số aa bb) chéo (với số ab ba) dao động dọc trục (a) dao động uốn (b) FGM – vật liệu tính biến thiên nói chung (Functionally Graded Material) P-FGM – vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa S-FGM – vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm Sigmoid E-FGM – vật liệu tính biến thiên theo quy luật hàm số mũ PGF Beam – ký hiệu dầm FGM tỷ lệ (khi R = Re) B0, BL – toán tử biểu diễn điều kiện biên động học vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Sơ đồ hình học vật liệu FGM đặc trƣng thay đổi theo chiều dày Hình 2.1 Mơ hình dầm FGM 18 Hình 2.2 Mơ hình dầm FGM có vết nứt 26 Hình 2.3 Mơ hình vết nứt dầm FGM .27 Hình 3.1 Vị trí trục trung hoà phụ thuộc vào số mũ n với giá trị tỷ số mô đun đàn hồi khác 37 Hình 3.2 Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với số mũ n khác 37 Hình 3.3 Hệ số tƣơng tác I12 hàm vị trí trục trung hồ với n = tỷ số mật độ khối khác 39 Hình 3.4 Hệ số tƣơng tác I12 hàm vị trí trục trung hồ với r = 10 số mũ n khác .40 Hình 3.5 Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc tỷ số r với số phân bố vật liệu n khác 44 Hình 3.6 Tần số cắt chuẩn hoá độc lập phụ thuộc phụ thuộc vào tỷ số r với giá trị độ mảnh L/h khác dầm .45 Hình 3.7 Tần số riêng chuẩn hoá độc lập dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với giá trị n khác 46 Hình 3.8 Tần số riêng chuẩn hố độc lập dần FGM phụ thuộc vào tỷ số r với giá trị độ mảnh L/h khác 46 Hình 3.9 Dạng dao động thứ phụ thuộc vào độ mảnh L/h dầm 47 Hình 3.10 Dạng dao động thứ hai phụ thuộc vào độ mảnh L/h dầm 47 Hình 3.11 Dạng dao động thứ ba phụ thuộc vào độ mảnh L/h dầm 47 Hình 3.12 Đặc trƣng phổ sóng dọc trục với số phân bố vật liệu n thay đổi, độ mảnh L/h = 50 Hình 3.13 Đặc trƣng phổ sóng dọc trục với n =10 độ mảnh khác 50 viii Hình 3.14 Đặc trƣng phổ sóng uốn L/h = số phân bố vật liệu n khác 51 Hình 3.15 Đặc trƣng phổ sóng uốn n = 10 độ mảnh khác dầm 51 Hình 3.16 Đặc trƣng phổ sóng ngang với L/h = số phân bố vật liệu n khác 52 Hình 3.17 Đặc trƣng phổ sóng ngang với n = độ mảnh khác dầm 52 Hình 3.18 Tần số cắt phụ thuộc vào số phân bố vật liệu với thay đổi tỷ số mô đun đàn hồi vật liệu .53 Hình 3.19 Tần số cắt phụ thuộc vào số phân bố vật liệu với thay đổi tỷ số mật độ khối .54 Hình 3.20 Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào số phân bố vật liệu với thay đổi tỷ số mô đun đàn hồi vật liệu 54 Hình 3.21 Hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào số phân bố vật liệu với thay đổi tỷ số mật độ khối lƣợng 55 Hình 4.1 Sự thay đổi tần số riêng chuẩn hoá theo tỉ số mô đun đàn hồi với số mũ n khác 59 Hình 4.2 Sự thay đổi tần số riêng chuẩn hoá theo tỷ số mật độ khối với số mũ n khác .59 Hình 4.3 Sự biến thiên tần số riêng chuẩn hóa thứ (uốn) theo số mũ n với giá trị độ mảnh L/h khác 60 Hình 4.4 Sự biến thiên tần số riêng chuẩn hóa thứ ba (dọc trục) theo số mũ n với giá trị độ mảnh L/h khác 60 Hình 4.5 Các tần số riêng đƣợc chuẩn hoá theo thay đổi vị trí trục trung hồ với số mũ n khác .61 Hình 4.6 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 62 Hình 4.7 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 10 62 ix Hình 4.8 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 20 63 Hình 4.9 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 30 63 Hình 4.10 Năm dạng dao động dầm đơn FGM với n = 10 L/h = 100 64 Hình 4.11 Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với tỉ số độ mảnh khác 65 Hình 4.12 Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với tỷ số độ mảnh khác 65 Hình 4.13 Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục-uốn với tỉ số độ mảnh khác 66 Hình 4.14 Hàm đáp ứng tần số chéo uốn-dọc trục với tỉ số độ mảnh khác 66 Hình 4.15 Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với số phân bố vật liệu n khác 67 Hình 4.16 Hàm đáp ứng tần số dọc đơn trục với số phân bố vật liệu n khác 67 Hình 4.17 Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục – uốn với số phân bố vật liệu n khác 68 Hình 4.18 Hàm đáp ứng tần số chéo uốn – dọc trục với số phân bố vật liệu n khác 68 Hình 4.19 Hàm đáp ứng tần số đơn uốn với tỉ số mô đun đàn hồi khác 69 Hình 4.20 Hàm đáp ứng tần số đơn dọc trục với tỉ số mô đun đàn hồi khác 69 Hình 4.21 Hàm đáp ứng tần số chéo uốn với tỉ số mơ đun đàn hồi khác 70 Hình 4.22 Hàm đáp ứng tần số chéo dọc trục với tỉ số mô đun đàn hồi khác 70 Hình 4.23 So sánh tỉ số tần số với kết sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn tác giả Banerjee cộng [7] dầm ngàm hai đầu với Eb/Et = 0.2 độ sâu vết nứt 30%; đƣờng nét liền - phƣơng pháp luận án; đƣờng nét đứt – phƣơng pháp phần tử hữu hạn .73 Hình 4.24 So sánh tỉ số tần số với kết sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn tác giả Banerjee cộng [7] dầm ngàm hai đầu với Eb/Et = 5.0; độ sâu vết nứt 30%; đƣờng nét liền - phƣơng pháp luận án; đƣờng nét đứt – phƣơng pháp phần tử hữu hạn .74 x Hình 4.25 Tỉ số tần số dầm ngàm hai đầu so sánh với kết thu đƣợc tác giả Yang Chen [58]; Độ sâu vết nứt a/h = 20% 74 Hình 4.26 Sự thay đổi tần số riêng thứ phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 75 Hình 4.27 Sự thay đổi tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 76 Hình 4.28 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 & 5.0 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 76 Hình 4.29 Sự thay đổi tần số riêng thứ phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 .77 Hình 4.30 Sự thay đổi tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 5.0 77 Hình 4.31 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt (5%-30%) tỉ số mô đun đàn hồi Re = 0.2 dầm FGM ngàm hai đầu với L/h = 10, n = 0.5 5.0 78 Hình 4.32 Ảnh hƣởng tần số riêng thứ phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi Re = (0.2 – 10) n = 0.5; 5.0 dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, a/h = 20% .78 Hình 4.33 Ảnh hƣởng tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi Re = (0.2 – 10) n = 0.5; 5.0 dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, a/h = 20% .79 Hình 4.34 Ảnh hƣởng tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào tỉ số mô đun đàn hồi Re = (0.2 – 10) n = 0.5; 5.0 dầm ngàm hai đầu với L/h = 10, a/h = 20% .79 82 L/h=100 100 0.995 30 20 0.99 30 0.985 10 20 L/h=5 0.98 0.975 10 0.97 0.965 (b1) Second (b1) Tần số frequency thứ hai L/h=5 n=5,Re=0.2 0.96 n=5,Re=5.0 0.955 0.95 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Crack position Vị trí vết nứt Hình 4.39 Sự thay đổi tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2&5.0, n = 5.0 độ sâu vết nứt a/h = 20% 1.005 L/h=5 100 100 0.995 30 20 0.99 30 0.985 10 0.98 20 0.975 (c1) Third (c1) Tần frequency số thứ ba n=5,Re=0.2 n=5,Re=5.0 0.97 10 0.965 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Crack position 0.6 0.7 0.8 0.9 Vị trí vết nứt Hình 4.40 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2&5.0, n = 5.0 độ sâu vết nứt a/h = 20% 83 L/h=100 L/h=100 30 0.99 30 20 20 10 0.98 L/h=5 10 0.97 L/h=5 0.96 0.95 (a2)First Tần frequency số thứ (a2) n=0.5,Re=0.2 n=5.0,Re=0.2 0.94 0.93 0.92 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Crack position 0.6 0.7 0.8 0.9 Vị trí vết nứt Hình 4.41 Sự thay đổi tần số riêng thứ phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 550 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 độ sâu vết nứt a/h = 20% L/h=100 100 0.995 30 20 0.99 30 0.985 10 20 0.98 L/h=5 0.975 10 0.97 0.965 (b2) Tần số frequency thứ hai (b2) Second L/h=5 n=5.0,Re=0.2 n=0.5,Re=0.2 0.96 0.955 0.95 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Crack position Vị trí vết nứt Hình 4.42 Sự thay đổi tần số riêng thứ hai phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 độ sâu vết nứt a/h = 20% 84 1.005 L/h=5 100 0.995 100 30 0.99 20 30 0.985 10 0.98 20 0.975 0.97 10 (c2) frequency (c2)Third Tần số thứ ba n=5.0,Re=0.2 n=0.5,Re=0.2 0.965 0.96 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Crack position 0.6 0.7 0.8 0.9 Vị trí vết nứt Hình 4.43 Sự thay đổi tần số riêng thứ ba phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh L/h = 5-50 dầm ngàm hai đầu với Re = 0.2, n = 0.5&5.0 độ sâu vết nứt a/h = 20% Nghiệm phƣơng trình (4.2) cho bảng 4.3 cho thấy tồn điểm tới hạn xác dạng dao động thứ hai dầm FGM ngàm hai đầu vị trí dầm (e0 = 0.5) Tuy nhiên, tất điểm tới hạn, nhƣ hình vẽ dầm ngàm hai đầu bị nứt, gần với nghiệm phƣơng trình thứ hai (4.2) Điều giá trị hệ số d1 (e, k0 ) , d12 (e, k0 ) nhỏ (cỡ 10-4 10-3 so với d (e, k0 ) ) Bảng 4.3 Nghiệm phƣơng trình (4.2) điểm tới hạn dầm FGM Timoshenko ngàm hai đầu d12 ( x, k0 )  d2 ( x, k0 )  d1 ( x, k0 )  Mode 0.0788 0.2432 0.7568 0.22 0.78 - 0.5 0.5379 0.13 0.5 0.32 0.69 0.09 0.35 0.1523 0.87 0.65 0.91 0.2317 0.7683 0.5 0.0771 (0.34) 0.8591 0.5218 (0.66) 0.9223 Từ đồ thị hình 4.28 – 4.33 cho thấy thay đổi tần số riêng giảm đáng kể độ sâu vết nứt tăng lên cịn phụ thuộc vào tham số hình học vật liệu dầm Cụ thể thay đổi tăng lên theo tỉ số mô đun đàn hồi RE  Et / Eb với n  giảm n  Tức mô đun đàn hồi dầm FGM 85 Timoshenko tăng lên theo chiều dày từ mặt dƣới tới mặt dầm làm cho tần số riêng nhạy cảm nhiều hay với vết nứt phụ thuộc vào số mũ n  n  Tƣơng tự, từ hình 4.34 – 4.39 thấy thay đổi tần số riêng tăng lên với n cố định RE  giảm RE  Các hình 4.40 – 4.43 cho thấy tần số riêng dao động uốn nhạy cảm với vết nứt tỉ số độ mảnh tăng lên phụ thuộc vào vật liệu chế tạo dầm 4.4 Lời giải toán chẩn đoán vết nứt tần số riêng Quy trình xác định vết nứt đƣợc mơ tả phần 2.3.3, thực cụ thể dầm ngàm hai đầu với vết nứt thay đổi khác Các kịch vết nứt khác bao gồm ba tham số: độ sâu vết nứt (5% - 20%); vị trí vết nứt (11 vị trí từ vị trí số tới tƣơng ứng với đầu bên trái bên phải dầm) tỉ số độ mảnh (5; 10; 20) Trƣớc hết, ba tần số riêng đƣợc tính với trƣờng hợp vết nứt khác sau sử dụng tham số làm tham số đầu vào để xác định vị trí độ sâu vết nứt theo phƣơng trình (2.104) (2.106) Các kết thu đƣợc cho bảng 4.4 cho thấy độ xác phƣơng pháp đƣợc đƣa ra, đặc biệt, trƣờng hợp với tỉ số độ mảnh nhỏ (L/h = 5), trƣờng hợp điển hình dầm Timoshenko Các kết khơng xác xuất vết nứt dầm xuất vị trí gần điểm nút tần số, cụ thể 0.22; 0.5; 0.78 Đối với dầm có độ mảnh lớn, độ sâu vết nứt xác định đƣợc xác tất trƣờng hợp vết nứt khác đƣợc đƣa sai số xảy trƣờng hợp vết nứt đối xứng Phân biệt tốn có vết nứt đối xứng dầm với tốn có điều kiện biên đối xứng ảnh hƣởng sai số đo đƣợc cần đƣợc nghiên cứu riêng sâu sau Bảng 4.4 Xác định vị trí chiều sâu vết nứt phụ thuộc vào tỉ số độ mảnh với dầm ngàm hai đầu có vết nứt khác Vị trí thực vết nứt L/h 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Độ sâu thực vết nứt a/h = 30% 10 20 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.51 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 30% 30% 87% 30% 30% 73% 30% 30% 86% 30% 30% 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.30 0.20 0.90 0.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 86 Độ sâu thực vết nứt a/h = 20% 10 20 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.52 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 20% 20% 20% 20% 20% 77% 20% 20% 78% 20% 20% 0.0 0.10 0.20 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% 20% Độ sâu thực vết nứt a/h = 10% 10 20 0.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 13% 10% 10% 64% 10% 10% 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 1.0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 1.0 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% Độ sâu thực vết nứt a/h = 5% 10 20 0.0 0.10 0.13 0.30 0.40 0.11 0.60 0.70 0.13 0.90 0.0 5% 5% 1% 5% 5% 6% 5% 5% 1% 5% 5% 0.0 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.60 0.70 0.80 0.10 0.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 1.0 0.90 0.20 0.30 0.40 0.50 0.40 0.30 0.20 0.90 1.0 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Kết luận Chƣơng Kết số nhận đƣợc Chƣơng chủ yếu để minh họa kiểm chứng lý thuyết đƣợc trình bày Chƣơng Tuy nhiên, từ kết đƣa số kết luận nhƣ sau: a Phƣơng pháp đƣợc đề xuất luận án cho phép ta tính tốn tần số dạng dao động riêng dầm FGM cách đơn giản với độ xác tƣơng đƣơng với phƣơng pháp ma trận độ cứng động đƣợc phát triển Su Banerjee Việc tính đến vị trí thực trục trung hịa dầm FGM nói chung không làm thay đổi nhiều giá trị tần số riêng Nhƣng làm thay đổi trật tự xếp dao động uốn dao động dọc trục Vì vậy, để nhận dạng dạng dao động dọc trục hay uốn cần phải tính hàm đáp ứng tần số dạng dao động riêng b Nói chung, tần số riêng tăng với tỷ số mô đun đàn hồi giảm tỷ số khối lƣợng riêng tăng Nhƣng tốc độ tăng giảm tần số theo tỷ số nêu phụ thuộc nhiều vào số mũ n Cụ thể tốc độ tăng giảm tần số riêng lớn 87 n nhỏ n lớn hầu nhƣ tần số không thay đổi nhiều tỷ số mô đun đàn hồi khối lƣợng riêng tăng Độ mảnh dầm ảnh hƣởng đến tần số riêng lớn 20 (L/h > 20), nhƣng có ảnh hƣởng nhiều, đặc biệt tần số dao động dọc trục L/h < 10 Lúc đó, làm thay đổi trật tự xếp tần số uốn tần số dọc trục, tức làm thay đổi hẳn dạng dao động c Nghiên cứu hàm đáp ứng tần số cho thấy, tần số uốn xuất hàm đáp ứng tần số uốn tần số dọc trục xuất hàm đáp ứng tần số dọc trục Tuy nhiên, hàm đáp ứng tần số chéo (đáp ứng ngang dƣới tác dụng tải trọng dọc đáp ứng dọc trục dƣới tác dụng tải trọng ngang) bổ ích để nghiên cứu tƣơng tác dạng dao động dọc trục dao động uốn, nhƣng hạn chế thời gian chƣa đƣợc nghiên cứu luận án d So sánh kết nhận đƣợc tần số uốn dầm FGM có vết nứt với kết biết cho thấy: mô hình hai lị xo vết nứt cho ta kết khơng khác nhiều so với mơ hình lị xo xoắn (uốn) độ mảnh lớn tức dầm dạng Euler-Bernoulli Nhƣ vậy, việc thêm vào lò xo dọc trục để mơ tả vết nứt có ý nghĩa dầm ngắn (L/h < 10) e Nghiên cứu ảnh hƣởng vết nứt đến tần số với tham số vật liệu khác cho phép ta đƣa số kết luận nhƣ sau: ảnh hƣởng vết nứt đến tần số tăng với Re (n), n < (Re < 1) giảm n > (Re > 1); độ mảnh (L/h) cao ảnh hƣởng vết nứt đến tần số yếu Mặc dù, tham số vật liệu có ảnh hƣởng đáng kể đến tần số dầm FGM bị nứt, nhƣng tồn điểm nút tần số (là vị trí dầm mà vết nứt xuất khơng làm thay đổi tần số) dầm FGM khơng phụ thuộc vào tính chất vật liệu f Thuật toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng đƣợc đề xuất luận án cho phép ta xác định xác vị trí độ sâu vết nứt trừ trƣờng hợp vết nứt gần với điểm nút tần số Trong trƣờng hợp vết nứt xuất gần với điểm nút tần số xác định đƣợc từ khảo sát thay đổi tần số đo Nhƣ vậy, thuật toán chẩn đoán vết nứt nêu đầy đủ để thực việc chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng 88 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, giải trọn vẹn toán sau: Dao động riêng dầm FGM có tính đến vị trí thực trục trung hòa Ở xây dựng đƣợc biểu thức phƣơng trình tần số tổng quát cho điều kiện biên khác biểu thức dạng riêng; Đã phân tích chi tiết ảnh hƣởng tham số vật liệu đến đặc trƣng dao động dầm Đã xác định đƣợc điểm nút tần số, vết nứt xuất khơng làm thay đổi tần số Các điểm nút tần số hầu nhƣ không phụ thuộc vào đặc trƣng vật liệu Đã tìm đƣợc điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM hoàn tồn độc lập Từ nghiên cứu dạng dao động uốn dọc trục tách rời Các dầm FGM thỏa mãn điều kiện không tƣơng tác dao động dọc trục dao động uốn đƣợc gọi dầm FGM tỷ lệ, bao hàm dầm đồng cổ điển Đã thiết lập tốn dao động riêng dầm FGM có vết nứt, sử dụng mơ hình lị xo kép (dọc trục xoay) cho vết nứt Ở phân tích chi tiết ảnh hƣởng vết nứt với tham số vật liệu đến tần số riêng Đã thiết lập giải toán chẩn đoán vết nứt dầm FGM tần số riêng Các phƣơng trình chẩn đốn đƣợc thiết lập cách tƣờng minh Do tính khơng chỉnh tốn ngƣợc đƣợc khắc phục để nhận đƣợc kết xác vị trí lẫn độ sâu vết nứt Tuy nhiên, hạn chế thời gian, nhiều vấn đề cần phải nghiên cứu tiếp, cụ thể là: Cần phải nghiên cứu kỹ tƣơng tác dao động dọc trục dao động uốn phụ thuộc vào đặc trƣng vật liệu nghiên cứu chi tiết lớp dầm FGM tỷ lệ; Bài toán dao động cƣỡng dầm FGM miền tần số, tải trọng kích động di động hay kích động tần số cao; Bài toán chẩn đoán đa vết nứt dầm FGM tần số riêng hay đặc trƣng động lực học khác dầm nhƣ dạng dao động riêng, hàm đáp ứng tần số 89 DANH SÁCH CƠNG TRÌNH ĐÃ HỒN THÀNH VÀ ĐƢỢC CƠNG BỐ Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014) Lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98 N T Khiem, N N Huyen (2015) On the neutral axis of functionally graded beams Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 2015, pp.164-169 N T Khiem, N N Huyen (2016) A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, Published online: 17 Oct 2016 DOI: 10.1080/10589759.2016.1226304 Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2016) Uncoupled vibrations in functionally graded Timoshenko beam Journal of Science and Technology, V 54, No 6, pp.785-796 Nguyen Ngoc Huyen, Nguyen Tien Khiem (2017) Frequency analysis of cracked functionally graded cantilever beam Journal of Science and Technology, V 55, No 2, pp.229-243 N.N Huyen, N.T Khiem (2017) Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam Vietnam Journal of Mechanics, V 39, No 1, pp 1-19 DOI:10.15625/0866-7136/7582 N T Khiem, N N Huyen, N T Long (2017) Vibration of cracked Timoshenko beam made of functionally graded material Proceeding of the 35th International modal analysis Conference, USA Jan 30 – Feb 2, 2017 (to be published in 5/2017) 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hà (2016), "Phân tích kết cấu dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi dƣới tác dụng tải trọng di động", Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật Học viện Khoa học Cơng nghệ Phí Thị Hằng (2016), "Phƣơng pháp phổ tần số nghiên cứu dao động dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải di động", Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật Học Viện Khoa học Công nghệ Nguyễn Tiến Khiêm (2004), "Cơ sở động lực học cơng trình", Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Tiến Khiêm (2008), "Nhập mơn chẩn đốn kỹ thuật cơng trình", Nhà xuất Khoa học Cơng nghệ Trần Ích Thịnh (1994), "Vật liệu Composite", NXB Giáo dục Aydin K (2013), "Free vibration of functional graded beams with arbitrary number of cracks", European Journal of Mechanics A/Solid 42, pp 112-124 Banerjee A., Panigrahi B., and Pohit G (2015), "Crack modelling and detection in Timoshenko FGM beam under transverse vibration using frequency contour and response surface model with GA", Nondestructive Testing and Evaluation; DOI.10.1080/10589759.2015.1071812 31(2), pp 142-164 Chakraborty A and Gopalakrishnan S (2003), "A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams", International Journal of Solids and Structures 40, pp 2421-2448 Chakraborty A., Gopalakrishnan S., and Reddy J N (2003), "A new beam finite element for the analysis of functional graded materials", International Journal of Mechanical Science 45, pp 519-539 10 Chakraverty S and Pradhan K K (2016), "Vibration of Functionally Graded Beams and Plates ", Elsevier 11 Chondros T.G and Dimarogonas A.D (1998), "A continuous cracked beam theory", Journal of Sound and Vibration 215 pp 17-34 91 12 Chondros T.G., Dimarogonas A.D., and Yao J (1998), "Longitudinal vibration of a continous cracked bar", Engineering Fracture Mechanics 61, pp 593-606 13 Cooley W G (2005), "Application of FGMs in Aircraft structures AFIT/GAE/ENY/05-M04", Master Thesis, Air force Institute of Technology, Ohio, USA 14 Drochel M, Oberacker R, and Hoffmann M J (1998), "Processing of silicon carbide evaporators with porosity gradients by pressure filtration in Functionally Graded Materials 1998, ed.W.A.Kaysser", Materials Science Forum, Trans Tech Publications Ltd., Zurich 308-311, pp 814-819 15 Eguchi K, Hoshino T, and Fujihara T (1995), "Performance analysis of FGMbased direct energy conversion system for space power applications", Proceeding of The Third Int'l Symp on Structural and Functional Gradient Materials, (eds B Ilschner and N Cherradi), Presses Poly techniques et Universitaires Romandes, Lausanne, pp 619-625 16 Eltaher M.A., Alshorbagy A.E., and Mahmoud F.F (2013), "Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nano-beams", Composite Structures 99, pp 193-201 17 Energy U.S Departement of Energy (2007), Industrial Technologies Program 18 Erdogan F and Wu B H (1997), "The surface crack problem for a plate with functionally graded properties", Journal of Applied Mechanics 64, pp 448-456 19 Gasik M (1995), "Principles of functional gradient materials and their processing by powder metallurgy", Acta Polytechnica Scand., Ch 226 20 Hirooka Y and et al (1992), "Evaluation of tungsten as plasma-facing materials for steady state magnetic fusion devices", Journal of Nuclear Materials 196(98), pp 149-158 21 Huong Trinh Thanh, et al (2016), "Post-buckling responses of elastoplastic FGM beams on nonlinear elastic foundation", Structural Engineering and Mechanics 58(3), pp 515-532 92 22 Itoh Y and Kashiwaya H (1992), "Residual stress characteristics of functionally gradient materials", Journal of the Ceramic Society of Japan 100, pp 476-481 23 Jin, Z H and Batra R C (1996), "Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials", Journal of the Mechanics and Physics of Solids 44(8), pp 1221-1235 24 Karnovsky I A and Lebed O I (2001), "Formulas for Structural Dynamics: Tables, Graphs and Solutions", McGraw-Hill, Inc 25 Ke L., et al (2009), "Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials ", Mechanics of Advanced Materials and Structures 16(6), pp 488-502 26 Khiem N T and Huyen N N (2016), "A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam", Nondestructive Testing and Evaluation Published online: 17 Oct 2016 DOI: 10.1080/10589759.2016.1226304 27 Khiem N.T and Huyen N.N (2015), "On the coupling coefficients of vibrations in functionally graded Timoshenko beams", Proceeedings of the National Conference on Engineering Mechanics, Danang University August 3-5, pp 164169 28 Khiem N.T., Kien N.D., and Huyen N.N (2014), "Vibration theory of FGM beam in the frequency domain", Proceedings of National Conference on Engineering Mechanics celebrating 35th Anniversary of the Institute of Mechanics, VAST, April 1, pp 93-98 29 Kien Nguyen Dinh (2013), "Large displacement response of tapered cantilevers beams made of axially functionally graded material", Composites: Part B 55, pp 298-305 30 Kien Nguyen Dinh (2014), "Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler-Bernoulli beams made of functionally graded mate-rial", Applied Mathematics and Computation 237, pp 340-355 31 Kien Nguyen Dinh and Gan B.S (2014), "Large deflection tapered functionally graded beams subjected to end forces", Applied Mathematical Modelling 38, pp 3054-3066 93 32 Kien Nguyen Dinh, Gan B.S., and Huong Trinh Thanh (2014), "Geo-metrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded materials", Structural Engineering and Mechanics 49, pp 727-743 33 Kien Nguyen Dinh, Gan B.S., and Huong Trinh Thanh (2014), "Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded materials", Structural Engineering and Mechanics 49, pp 727-743 34 Kien Nguyen Dinh, et al (2016), "Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load", Acta Mech 35 Kien Nguyen Dinh and Thom Tran Thi (2016), "A Corotational Formulation for Large Displacement Analysis of Functionally Graded Sandwich Beam and Frame Structures", Hindawi Publishing Corporation Mathematical Problems in Engineering 36 Kien Nguyen Dinh, et al (2016), "Influences of Dynamic Moving Forces on the Functionally Graded Porous-Nonuniform Beams ", International Journal of Engineering and Technology Innovation 6(3), pp 173-189 37 Kim J and Paulino G H (2002), "Finite element evaluation of mixed mode stress intensity factors in functionally graded materials", Int J Numerical Methods Eng 53, pp 1903–1935 38 Kitipornchai S., et al (2009), "Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams", Journal of Sound and Vibration 324, pp 962-982 39 Kosmatka J.B (1995), "An improved two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams", Computers and Structures 57, pp 141-149 40 Li X.F (2008), "A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beam", Journal of Sound and Vibration 318, pp 1210-1229 41 Lien Tran Van, Khiem Nguyen Tien, and Duc Ngo Trong (2016), "Free Vibration Analysis of Functionally Graded Timoshenko beam using Dynamic Stiffness Method", Journal of Science and Technology in Civil Engineering 31, pp 19-28 94 42 Nguyen Trung-Kien, Vo Thuc P., and Thai Huu-Tai (2013), "Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory", Composites: Part B 55, pp 147-157 43 Niino M and Koizumi M (1994), "Projected research on high-efficiency energy conversion materials, ibid ", pp 601-605 44 Pradhan K K and Chakraverty S (2013), "Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh-Ritz method", Composite: Part B 51, pp 175-184 45 Sasaki K and Gaukler L J (1995), "Functional gradient electrode/electrolyte for solid oxide fuel cells: gradient materials design for an electrochemical energy conversion device", Proc of The Third Int'l Symp on Structural and Functional Gradient Materials, (eds B Ilschner and N Cherradi), Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, pp 651-656 46 Seki M and et al (1991), "Thermal shock tests on various materials of plasma facing components for FERIITER", Fusion Engineering and Design 15, pp 5974 47 Simsek M (2010), "Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theory", Composite Structures 92, pp 904917 48 Simsek M and Kocatuk T (2009), "Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected a concentrated moving harmonic load", Composite Structures 90(4), pp 465-473 49 Sina S.A., Navazi H.M., and Haddadpour H (2009), "An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams", Material and Design 30, pp 741-747 50 Su H and Banerjee J.R (2015), "Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams", Computers and Structures 147, pp 107-116 95 51 Su H., Benerjee J R., and Cheung C W (2013), "Dynamic stiffness formulation and free vibration analysis of functionally graded beams", Composite Structures 106, pp 854-862 52 Thai Huu-Tai and Vo Thuc P (2012), "Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories", International Journal of Mechanical Sciences 62, pp 57-66 53 Vo T.P., et al (2015), "A quasi 3D theory for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams", Composite Structures 119, pp 1-12 54 Vo Thuc P., et al (2014), "Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory", Engineering Structures 64, pp 12-22 55 Wakashima K, Hirano T, and Niino M (1990), "Space applications of advanced structural materials", ESA SP303:97 56 Wei D., Liu Y.H., and Xiang, Z.H (2012), "An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks", Journal of Sound and Vibration 331, pp 1685-1700 57 Yan T., et al (2011), "Dynamic behavior of edge-cracked shear deformable functionally graded beams on an elastic foundation under a moving load", Composite Structures 93, pp 2992-3001 58 Yang J and Chen Y (2008), "Free vibration and buckling analysis of functionally graded beams with edge cracks", Composite Structures 83 pp 4860 59 Yang J., et al (2008), "Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load", Journal of Sound and Vibration 312, pp 166-181 60 Yu Z and Chu F (2009), "Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method", Journal of Sound and Vibration 325, pp 69-85 96 61 Zenkour A M (2005), "A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plate", Department of Mathematics, Faculty of Education, Tanta University, Egypt ... có vết nứt tốn chẩn đốn vết nứt dầm FGM đƣợc khởi động nghiên cứu Tuy nhiên, nghiên cứu dao động dầm FGM bị nứt chẩn đoán vết nứt dầm FGM cịn đƣợc quan tâm Luận án đặt vấn đề nghiên cứu dao động. .. động dầm FGM có vết nứt phục vụ việc tính tốn chẩn đoán vết nứt dầm FGM đặc trƣng động lực học Mục tiêu luận án xây dựng cách tiếp cận phổ để phân tích dao động nhận dạng dầm FGM có vết nứt Đối... liệu, toán dao động dầm FGM, toán vết nứt dao động dầm Chương trình bày sở lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số toán nhận dạng vết nứt tần số riêng Chương nghiên cứu số đặc trƣng sóng dầm FGM