Hcmute chỉnh hóa phương trình helmholtz có hiệu chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOL TZ CĨ HIỆU CHỈNH MÃ SỐ: T2013 - 159 SKC005723 Tp Hồ Chí Minh, tháng 02/2014 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ CĨ HIỆU CHỈNH Mã số: T2013 - 159 Chủ nhiệm đề tài: ThS NGUYỄN QUANG HUY TP HCM, 2/2014 Luan van Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đơn vị phối hợp Thành viên : 1) ThS Nguyễn Quang Huy – ĐH Sư phạm Kỹ thuật TpHCM Luan van MỤC LỤC Trang Danh mục bảng biểu Danh mục chữ viết tắt .4 Thông tin kết nghiên cứu Tiếng Việt Tiếng Anh Mở đầu ………………………………………………………… ……… Chương Kiến thức chuẩn bị …………………………………………………… 10 Chương Các kết chỉnh hóa………………………………………………… 18 1.1 Giới thiệu tốn……………………………………………………… 18 1.2 Biến đổi toán………………………………………………………… 18 1.3 Xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn …………………… 19 1.4.Tính ổn định nghiệm chỉnh hóa .20 1.5 Đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác .23 Chương Ví dụ số ………………………………………………………….29 Kết luận …………………………………………………………………………… 35 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………… 36 Luan van Danh mục bảng biểu Bảng 2.1 Bảng đánh giá sai số sai số nghiệm chỉnh hóa u ( f )(0,.) nghiệm xác uex ( f ex )(0,.) Bảng 2.2 Bảng đánh giá sai số sai số nghiệm chỉnh hóa v ( f )(0,.) nghiệm xác uex ( f ex )(0,.) Luan van Danh mục chữ viết tắt Luan van TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Độc lập - Tự - Hạnh phúc Khoa Khoa học Tp HCM, ngày 17 tháng 02 năm 2014 THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: Chỉnh hóa phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh - Mã số: T2013 - 159 - Chủ nhiệm: ThS Nguyễn Quang Huy - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: Từ tháng năm 2013 đến tháng năm 2014 Mục tiêu: - Khảo sát chỉnh hóa nghiệm phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Đưa đánh giá sai số ví dụ minh họa Tính sáng tạo: - Dạng sai số đánh giá nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Kết nghiên cứu: - Xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn - Đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa - Đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác - Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp Sản phẩm: - Báo cáo hội thảo khoa học khoa, tóm tắt đăng trang web khoa Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: - Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học ngành Toán Trưởng đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) (ký, họ tên) Luan van University of Technical Education HCM City Socialist Repulic of Vietnam Faculty of Foundation Sciences Independent – Freedom - Happiness HCMC, Feb 17th , 2014 INFORMATION ON RESEARCH RESULT General information - Title of project: Regularization of a modified Helmholtz equation - Code number: T2013 – 159 - Chairman: Nguyen Quang Huy - Executive organization: University of Technical Education HCMC - Duration: From January 2013 to February 2013 Objective We studied and regularized the solution of a modified Helmholtz equation Besides, we gave the error estimates and numerical example Creativeness and innovativeness The error estimates is new Research results - Build the regularized solutions - Consider the stability of the regularized solutions - Estimate the errors of the regularized solutions and the exact solution - Give the numerical example for the theory Products - Report at the science seminar of Faculty, post the abstract on the website of Faculty Effects, transfer alternatives of research results and applicability The results established in this project are references for PhD and Master students who major in mathematics Luan van MỞ ĐẦU I) Giới thiệu tổng quan Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz có ý nghĩa nhiều ngành khoa học kỹ thuật Dạng toán thường khơng chỉnh nhiều nhà Tốn học nước nước quan tâm nghiên cứu , đưa nhiều phương pháp chỉnh hóa cho toán Trong [4], tác giả N H Tuấn, P H Quân Đ Đ Trọng chỉnh hóa toán u  k 2u  0, ( x, y )  (0,  )  (0, 1)  u (0, y )  u ( , y )  0, y  (0,1)  ( x, y )  (0,  )  (0, 1) u y ( x,0)  f ( x), u ( x,0)  g ( x), x  (0,  )  Trong [5], tác giả P H Quân P T Hiếu khảo sát toán u  k 2u  0, ( x, y )    (0, 1)  u y ( x,0)   ( x), ( x, y )    (0, 1)  u ( x,0)   ( x ), x   Trong [6], H H Qin T Wei sử dụng phương pháp Tikhonov cải biên phương pháp “chặt cụt” để chỉnh hóa tốn u  k 2u  0,  u (0, y )  u ( , y )  0,  u y ( x,0)  0, u ( x,0)   ( x),  Luan van ( x, y )  (0,  )  (0, 1) y  (0, 1) x  (0,  ) x  (0,  ) Trong [7], tác giả R Shi, T Wei, H H Qin chỉnh hóa tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh cách thêm “đạo hàm bậc 4” vào phương trình u  k 2u  0, ( x, y )  (0, 1)    y ( III ) u x (0, y )  0, u (0, y )  f ( y ), y    Trong đề tài này, chỉnh hóa tốn (III) theo phương pháp dạng sai số đánh giá khác so với [7] Kết chỉnh hóa trình bày chương Hơn nữa, chương 2, tơi đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp II) Tính cấp thiết đề tài Hiện nay, toán ứng dụng xuất nhiều lĩnh vực vật lý, y học, khoa học cơng nghệ Đặc biệt tốn ngược có nhiều ý nghĩa Vật lý nhiều nhà Toán học quan tâm, nghiên cứu thời gian gần Vì vậy, việc nghiên cứu dạng toán cần thiết III) Mục tiêu đề tài Khảo sát chỉnh hóa nghiệm phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Đưa đánh giá sai số ví dụ số minh họa IV) Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa nhiễu giá trị biên V) Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Một phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Luan van Hình 2.1 Hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xác uex (0,.) 32 Luan van Hình 2.2 Các hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xấp xỉ u  (0,.) ( k  1, 2,3, 4,5) k 33 Luan van Hình 2.3 Các hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xấp xỉ v (0,.) (k  1, 2,3, 4,5) k 34 Luan van KẾT LUẬN Trong đề tài này, tơi chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Trong chương 1, tơi tính khơng chỉnh tốn, xây dựng hai nghiệm chỉnh hóa tốn, đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Trong chương 2, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp lập trình phần mềm Matlab Trong thời gian tới, cải thiện đánh giá sai số thực phương pháp chỉnh hóa khác cho tốn Hơn nữa, tơi khảo sát trường hợp phương trình khơng 35 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Andreas Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse problem, Springer, 1966 [2] Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải tích thực, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường , Đại học Khoa học tự nhiên Tp HCM, 2005 [3] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân, Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [4] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan and Nguyen Duc Trong, Regularization and new error estimates for a modified helmholtz equation, An St Univ Ovidius Constanta, Vol 18(2), 267-280, 2010 [5] Pham Hoang Quan and Phan Trung Hieu, A new regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation with nonhomogeneous Cauchy data, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 36, Number 2, pp 419-430, 2011 [6] H H Qin, T.Wei, Two regularization methods for the Cauchy problems of the Helmhotz equation, Applied Mathematical Modelling 34 , 947-967, 2010 [7] R Shi, T Wei, H H Qin, Fourth – Order Modified for the Cauchy problem of the modified Helmholtz equation, Numer Math Theor Meth Appl, 2, 326-340, 2009 36 Luan van CHỈNH HĨA PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ CĨ HIỆU CHỈNH ThS Nguyễn Quang Huy Khoa Khoa học _ ĐH SPKT Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi khảo sát tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Bài tốn tốn khơng chỉnh Để chỉnh hóa tốn này, chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa , đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp Abstract In this article, we consider a Cauchy problem of the Helmholtz equation This problem is illposed problem For regularizing this problem, we construct approximate solutions , consider stability characteristic and evaluate the errors between approximate solutions and exact solution I) Giới thiệu tổng quan Bài toán Cauchy cho phương trình Helmholtz có ý nghĩa nhiều ngành khoa học kỹ thuật Dạng toán thường khơng chỉnh nhiều nhà Tốn học nước nước quan tâm nghiên cứu , đưa nhiều phương pháp chỉnh hóa cho toán Trong [4], tác giả N H Tuấn, P H Quân Đ Đ Trọng chỉnh hóa toán u  k 2u  0, ( x, y )  (0,  )  (0, 1)  u (0, y )  u ( , y )  0, y  (0,1)  ( x, y )  (0,  )  (0, 1) u y ( x,0)  f ( x), u ( x,0)  g ( x), x  (0,  )  Trong [5], tác giả P H Quân P T Hiếu khảo sát toán 37 Luan van u  k 2u  0, ( x, y )    (0, 1)  u y ( x,0)   ( x), ( x, y )    (0, 1)  u ( x,0)   ( x ), x   Trong [6], H H Qin T Wei sử dụng phương pháp Tikhonov cải biên phương pháp “chặt cụt” để chỉnh hóa tốn u  k 2u  0,  u (0, y )  u ( , y )  0,  u y ( x,0)  0, u ( x,0)   ( x),  ( x, y )  (0,  )  (0, 1) y  (0, 1) x  (0,  ) x  (0,  ) Trong [7], tác giả R Shi, T Wei, H H Qin chỉnh hóa tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh cách thêm “đạo hàm bậc 4” vào phương trình u  k 2u  0, ( x, y )  (0, 1)    y  (I ) u x (0, y )  0, u (0, y )  f ( y ), y    Trong đề tài này, chỉnh hóa tốn (I) theo phương pháp dạng sai số đánh giá khác so với [7] Kết chỉnh hóa trình bày chương Hơn nữa, chương 2, tơi đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp II) Các kết chỉnh hóa Xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn Ta tìm nghiệm xác tốn (I) 2 u ( x, y )     fˆ ( ) e   k x  e  k x e i y d , (1) Theo đó, ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn sau u ( x, y )  2    fˆ ( )   e  2    e  k x 38 Luan van  k x  i y e d ,  (2) v ( x, y )  2    fˆ ( )       k  e   k x  e  k x  ei y d    (3) với    ( )  (0, 1) tham số chỉnh hóa Tính ổn định nghiệm chỉnh hóa Bổ đề (Tính ổn định nghiệm chỉnh hóa cho (2)) Cho f1 , f  L1 ()  L2 ( ) u ( f1 ), u ( f ) hai nghiệm cho (2) tương ứng với liệu f1 , f ,ta u ( f1 )( x,.)  u ( f )( x,.)  f1  f  x   0, 1 ,   (0, 1) Bổ đề (Tính ổn định nghiệm chỉnh hóa cho (3)) Cho f1 , f  L1 ()  L2 ( ) v ( f1 ), v ( f ) hai nghiệm cho (3) tương ứng với liệu f1 , f ,ta 1  v ( f1 )( x,.)  v ( f )( x,.)    1 f1  f 2  k  x   0, 1 ,   (0, 1), k  Đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Định lý Cho f , f ex  L1 ( )  L2 ( ) cho f  f ex   u ( f ), uex ( f ex ) hai nghiệm cho (2) (1) tương ứng với liệu f , f ex  Giả sử  Q  e  k fˆex ( ) d     39 Luan van Nếu chọn    x   0, 1 , ta có u ( f )( x,.)  uex ( fex )( x,.)  Q1  , Q1   Q Định lý  1 , f , f ex  L1 ( )  L2 ( ) cho 2  k  Cho    Min 1, f  f ex   v ( f ), uex ( f ex ) hai nghiệm cho (3) (1) tương ứng với liệu f , f ex Giả sử  0T   2  k e  k fˆex ( ) d     Nếu chọn    x   0, 1 , ta có v ( f )( x,.)  uex ( f ex )( x,.)  T1  , T1  III) T  k Ví dụ số Ta xét ví dụ cụ thể minh họa cho tính tốn lý thuyết chương Xét tốn tìm uex ( x, y ) thỏa mãn phương trình u xx ( x, y )  u yy ( x, y )  4u ( x, y )  , x  [0, 1], y   đồng thời thỏa hai điều kiện sau u (0, y )  f ex ( y )  2e  y2 , u x (0, y )  40 Luan van Ta có  uˆex ( x,  )  e 2 e  k x  e  k x , Xét liệu nhiễu   f ( y )  1    f ex ( y ) 4   Ta có f  f ex  fˆ  fˆex   4     e d    4    Chọn    ta có  uˆ ( x,  )  1    4  2   e      e  v  ( x,  )  1    4  2   e       4 e  4 x  e  4 x  4 x   ,   e  4 x     Từ định lý 1.1, ta có Q Q1    1 2   2e   2 d  56,1 e  Từ định lý 1.2, ta có T 1 T1     k 2 2     4.e  4 fˆex ( ) d  112.9  Tại x  ,ta có bảng đánh giá sai số hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xác nghiệm xấp xỉ sau Đánh giá sai số  10 5 u ( f )(0,.)  uex ( f ex )(0,.)  Q1  , || u ( f )(0,.)  uex ( f ex )(0,.) ||2 0,1774 0,00209 41 Luan van 1010 56,1.10 5 6,6565.10 6 1020 56,1.1010 66,567 1012 1050 56,1.1025 4,2 1032 10 100 56,1.1050 1,5 1061 Bảng Bảng đánh giá sai số sai số nghiệm chỉnh hóa u ( f )(0,.) nghiệm xác uex ( f ex )(0,.) Đánh giá sai số  v ( f )(0,.)  uex ( f ex )(0,.)  T1  , || v ( f )(0,.)  uex ( f ex )(0,.) ||2 10 5 0,357 0,0042 1010 112,9.10 5 1,3519.10 5 1020 112,9.1010 1,352 1010 1050 112,9.1025 2,2 1026 10 100 112,9.1050 0,15 1052 Bảng Bảng đánh giá sai số sai số nghiệm chỉnh hóa v ( f )(0,.) nghiệm xác uex ( f ex )(0,.) 42 Luan van Hình Hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xác uex (0,.) Hình Các hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xấp xỉ u  (0,.) (k  1, 2, 3, 4,5) k 43 Luan van Hình Các hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xấp xỉ v (0,.) (k  1, 2, 3, 4,5) k IV) Kết luận Trong đề tài này, tơi chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Trong chương 1, tơi tính khơng chỉnh tốn, xây dựng hai nghiệm chỉnh hóa tốn, đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Trong chương 2, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp lập trình phần mềm Matlab 44 Luan van Trong thời gian tới, cải thiện đánh giá sai số thực phương pháp chỉnh hóa khác cho tốn Hơn nữa, tơi khảo sát trường hợp phương trình khơng Tài liệu tham khảo [1] Andreas Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse problem, Springer, 1966 [2] Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải tích thực, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường , Đại học Khoa học tự nhiên Tp HCM, 2005 [3] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân, Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2007 [4] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan and Nguyen Duc Trong, Regularization and new error estimates for a modified helmholtz equation, An St Univ Ovidius Constanta, Vol 18(2), 267-280, 2010 [5] Pham Hoang Quan and Phan Trung Hieu, A new regularization method for the Cauchy problem of the Helmholtz equation with nonhomogeneous Cauchy data, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 36, Number 2, pp 419-430, 2011 [6] H H Qin, T.Wei, Two regularization methods for the Cauchy problems of the Helmhotz equation, Applied Mathematical Modelling 34 , 947-967, 2010 [7] R Shi, T Wei, H H Qin, Fourth – Order Modified for the Cauchy problem of the modified Helmholtz equation, Numer Math Theor Meth Appl, 2, 326-340, 2009 45 Luan van Luan van ... cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Bài tốn tốn khơng chỉnh Để chỉnh hóa tốn này, chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa , đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa. .. này, tơi chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Trong chương 1, tơi tính khơng chỉnh tốn, xây dựng hai nghiệm chỉnh hóa tốn, đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh... này, tơi chỉnh hóa nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Helmholtz có hiệu chỉnh Trong chương 1, tơi tính khơng chỉnh tốn, xây dựng hai nghiệm chỉnh hóa tốn, đánh giá tính ổn định nghiệm chỉnh hóa đánh