(Luận văn thạc sĩ hcmute) phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TỐN PHÍ TUYẾN S K C 0 9 NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 9 Tp Hồ Chí Minh, 2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN NGÀNH: CƠNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, 2013 Luan van LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ tên: Kiều Quốc Anh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 17/5/1987 Nơi sinh: Đồng Nai Quê quán: Thanh Hóa Dân tộc: Kinh Địa liên lạc: 73/4B-Lê Văn Việt – Phường Hiệp Phú – Quận – TPHCM Điện thoại: 0987 560 360 Email: kieuquocanh175@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Đại học Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 9/2005 đến 02/2010 Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM – TPHCM Ngành học: Thiết kế máy Tên đồ án tốt nghiệp: Thiết kế khuôn mặt nạ xe máy Kawasaki ProEngineer mô thiết kế Moldflow Người hướng dẫn: Th.S Trần Chí Thiên III Q TRÌNH CƠNG TÁC Thời gian Nơi cơng tác Công việc đảm nhiệm 5/201001/2011 Cty TNHH TM-DV Nhật Long Kỹ Sư dự án 02/20116/2011 Cty TNHH Hồng Thuyên Trưởng phận hỗ trợ kỹ thuật 6/2011 Trường ĐH SPKT TPHCM i Luan van Học viên cao học LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 201… (Ký tên ghi rõ họ tên) ii Luan van CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Xây Dựng Cơ Học Ứng Dụng khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, tơi xin chân thành cảm ơn thầy TS Phan Đức Huynh, dù bận rộn với công việc giảng dạy thầy dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình thực luận văn Tôi chân thành cám ơn anh Lê Quốc Cƣờng nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình nghiên cứu iii Luan van ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000 TÓM TẮT Trong phương pháp xấp xỉ số, việc rời rạc mơ hình phương pháp rời rạc thơng thường địi hỏi độ xác cao không gian thời gian nhiều chi phí tính tốn Trong nghiên cứu này, tơi trình bày kỹ thuật rời rạc gọi phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), khả sử dụng để giải tốn phi tuyến tốn truyền nhiệt, tốn dịng chảy Ứng dụng phương pháp PGD để giải phương trình Poisson dịng chảy khơng nén chiều so sánh với phương pháp Successive Over-Relaxation (SOR), kết cho thấy giải phương pháp PGD nhanh phương pháp SOR khoảng 200 lần với số phần tử khoảng 10000 iv Luan van MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài i Lý lịch cá nhân ii Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục vi Danh sách hình viii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu 1.2 Các nghiên cứu ngồi nước cơng bố 1.3 Nội dung nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ luận văn Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phương pháp Proper Generalized Decomposition 2.2 Cơ sở lý thuyết phương pháp Proper Generalized Decomposition Chƣơng ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 3.1.1 Bài tốn dịng chảy ổn định theo chiều ống 14 3.1.2 Bài toán truyền nhiệt 1D 19 3.2 Bài toán truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D-Phương trình Poisson 25 3.2.1 Mơ hình tốn 25 3.2.2 Giải phương pháp PGD 26 3.2.3 Giải phương pháp giải tích 29 3.2.4 Kết - nhận xét 30 v Luan van 3.3 Bài tốn dịng lưu chất hai chiều (2D) 31 3.3.1 Các phương trình mơ tả dịng lưu chất 2D 31 3.3.1.1 Phương trình động lượng Navier-Stokes 31 3.3.1.2 Phương trình liên tục (Continuity equation) 32 3.3.1.3 Điều kiện ràng buộc toán 2D 32 3.3.2 Rời rạc phương trình Navier-Stokes 34 3.3.3 Giá trị biên cho phương trình rời rạc 41 3.3.3.1 Điều kiện không trượt (No-slip condition) 41 3.3.3.2 Điều kiện trượt tự (Free-slip condition) 42 3.3.3.3 Điều kiện dòng chảy (Outflow condition) 43 3.3.3.4 Điều kiện dòng chảy vào (Inflow condition) 43 3.3.3.5 Điều kiện biên tuần hoàn (Periodic boundary condition) 43 3.3.4 Rời rạc đạo hàm theo thời gian 44 3.3.5 Thuật toán cho việc giải tốn dịng lưu chất 2D 44 3.4 Bài tốn tính vận tốc dòng lưu chất miền tự 51 3.4.1 Mơ tả tốn 51 3.4.2 Dữ liệu toán 51 3.4.3 Phân tích toán 52 3.4.4 Tiến hành tính tốn 53 3.4.5 Kết 53 3.4.6 Nhận xét 57 3.5 Bài tốn tính vận tốc dịng lưu chất miền có vật cản 58 3.5.1 Mơ hình tốn 58 3.5.2 Dữ liệu toán 58 3.5.3 Điều kiện biên 58 3.5.4 Kết 59 Chƣơng PHÁT TRIỂN GIẢI THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN CHIỀU (2D) 62 4.1 Bài toán dòng chảy lưu chất 2D 62 vi Luan van 4.2 Phương trình truyền nhiệt 2D 71 Chƣơng KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Hướng phát triển 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 vii Luan van DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mơ hình tốn 14 Hình 3.2 Lực tác động lên bề mặt vi phân khối lượng 15 Hình 3.3 Kết mô tả vận tốc chảy ống phương pháp PGD 19 Hình 3.4 Nhiệt độ tồn miền phương pháp giải tích, PGD sai phân 23 Hình 3.5 Kết giải theo giải tích PGD với lưới miền tính tốn lớn 24 Hình 3.6 Kết giải theo FDM với lưới lớn 24 Hình 3.7 Mơ hình tốn truyền nhiệt miền hình chữ nhật 2D 25 Hình 3.8 Nhiệt truyền miền hình chữ nhật (Giải tích PGD) 30 Hình 3.9 So sánh độ xác phương pháp PGD giải tích 31 Hình 3.10 Thành phần vận tốc pháp tiếp tuyến so với biên 32 Hình 3.11 Miền dịng chảy miền biên dịng chảy 33 Hình 3.12 Số lưới khảng cách lưới miền dòng chảy 35 Hình 3.13 Các loại sai phân hữu hạn 35 Hình 3.14 Rời rạc sử dụng thuật tốn Donor-cell 36 Hình 3.15 Lưới so le 37 Hình 3.16 Giá trị cho trình rời rạc theo u phương trình động lượng 39 Hình 3.17 Giá trị biên khơng trượt theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.18 Giá trị biên trượt tự theo giá trị hai bên biên 42 Hình 3.19 Mơ hình tốn dịng lưu chất miền tự 51 Hình 3.20 Đường dòng miền lưu chất thời điểm t=1 SOR 53 Hình 3.21 Trường áp suất miền lưu chất t=1 SOR 54 Hình 3.22 Đường dịng miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 54 Hình 3.23 Trường áp suất miền lưu chất thời điểm t=1 PGD 55 Hình 3.24 Trường áp suất thời điểm t=3.039s PGD 56 viii Luan van Một số nhận xét: Việc chọn giá trị khởi động chọn hàm (hoặc giá trị ô lưới), thêm nhiều vịng lặp để tốn hội tụ Trong q tính lặp, phải đảm bảo diều kiện ràng buộc toán trì (tức bước lặp cần xét lại điều kiện để điều chỉnh hàm R,S,Wcho phù hợp) Với kiểu toán 2D phức tạp trên, để giải phương trình vi phân tìm R, S, W đề xuất việc giải phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Vì phương pháp Phần tử hữu hạn với lời giải giả định cho trước dễ dàng việc tính phương trình vi phân nhiều bậc tự dạng couple 77 Luan van Chƣơng V KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Kết luận Với đề tài “Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho toán phi tuyến”, tác giả ứng dụng phương pháp PGD để giải toán phi tuyến mang lại kết khả quan độ xác thời gian tính toán so với phương pháp cũ (phương pháp SOR) trước đây, cụ thể sau:  Đối với toán thực tế dẫn nhiệt thanh, phẳng, tốn dịng chảy qua kênh, hay ống thẳng mà thành phần nhiệt độ, vận tốc… thay đổi theo phương – đơn giản hoá thành toán chiều mà chương trước trình bày Cho thấy ưu điểm phương pháp PGD là: làm việc miền lưới vng với độ lớn ô lưới tuỳ ý Chia lưới cho phù hợp với yêu cầu mặt xác mối quan tâm hàng đầu tốn kỹ thuật, đơi gây cản trở cho việc giải tốn nhằm tìm đến hội tụ lời giải  phương pháp PGD cho phép giải tốn với miền lưới khơng giới hạn (lưới chia thưa đối cới toán thực đơn giản, lưới mịn cho tốn mà biên phức tạp hơn)  Bài tốn hai chiều mơ tả chương III ví dụ kiểm tra khả tính tốn phương pháp PGD so với phương pháp cũ (cụ thể Successive over relaxation – SOR) cho thấy: Với phương pháp cũ(phương pháp SOR), số phương trình cần tính tỉ lệ với miền lưới theo: Nx1  Nx2   Nxn Trong đó: xi (i = 1…n) số biến lời giải Nxi số nghiệm cần tìm theo biến xi Với phương pháp PGD số phương trình cần tính là: 78 Luan van Nx1  Nx2   Nxn Từ cho thấy với miền tính tốn chia lưới mịn, thời gian tính toán phương pháp PGD cải thiện đáng kể so với phương pháp cũ Cụ thể, chương với tốn dịng chảy hai chiều đơn giản, Phương pháp PGD cho thời gian giải nhanh nhiều so với phương pháp SOR (hình 3.26)  phương pháp PGD có khả tính tốn vượt trội mặt thời gian tính so với phương pháp cổ điển trước với độ xác tương đương, hay với nhận xét rằng: phương pháp Proper Generalized Decomposition có khả tăng tốc độ giải toán kỹ thuật, đặc biệt toán phi tuyến 5.2 Hƣớng phát triển đề tài Trên tảng kiến thức đạt đề tài, tác giả đề xuất số hướng phát triển tương lai sau:  Hoàn thiện giải thuật cho tốn chiều, có thay đổi khơng gian thời gian mà tác giả trình bày chương IV  Áp dụng phương pháp PGD cho toán chiều, với ẩn số nhiều hơn, mơ tả nhiều tính chất kỹ thuật  Kết hợp phương pháp PGD với số phương pháp khác để tăng tốc độ tính tốn nữa, làm giảm độ phức tạp toán bước áp dụng điều kiện biên Có thể kết hợp phương pháp PGD với phương pháp biên nhúng IBM, kết hợp phương pháp PGD với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 79 Luan van TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT TS.Nguyễn Hồi Sơn, Phương pháp tính, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2004 TS Nguyễn Hoài Sơn, Trang Tấn Triển, “Matlab ứng dụng kỹ thuật”, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 TIẾNG NƢỚC NGỒI Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Ch Ghnations, F Masson, A.Huerta E.Cueto, F Chinesta, Proper Generalized Decomposition Based Dynamic Data-Driven Control of Thermal Processes, 10/2010 F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 A.Ammar, F.Chinesta, E.Cueto, M Doblare, Proper Generalized Decomposition of time-multiscale models, 9/2011 C Allery, S Guerin, A Hamdouni, A Sakout, Experimental and numerical pod study of the coanda effect used to reduce self- sustained tones, Mechanics Research Communications 31 (1) (2004) 105–120 A Rajabpour, F Kowsary, V.Esfahanian, Reduction of the computational time and noise filtration in the ihcp by using the proper orthogonal decomposition (pod) method,International Communications in Heat and Mass Transfer 35 (8) (2008) 1024–1031 80 Luan van PHỤ LỤC  PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG - PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION Phương trình vi phân đạo hàm riêng (partial differential equation – PDE) loại phương trình vi phân, ẩn số hàm số theo biến độc lập, đạo hàm riêng hàm số theo biến số hàm Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường sử dụng để mơ tả hàm sóng, lan truyền âm thanh, nhiệt vật rắn, chất lỏng, khơng khí… mơ tả dịng chảy, áp suất dịng lưu chất thường gặp nghiên cứu động lực học chất lưu Phương trình vi phân dạo hàm riêng có dạng:   u u  2u  2u F  x1 , x2 ,, xn , u , , , , , ,   x1 x2 x1x1 x1x2   (P1) Với: u  x1 , x2 , , xn  : ẩn số chưa biết x1 , x2 , , xn : biến số độc lập Nếu F hàm tuyến tính theo u đạo hàm phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tuyến tính Thường gặp phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Laplace Ví dụ như:  2 u  x, t   k u  x, t   , với k tham số t x Nếu u hàm theo biến x đó, phương trình vi phân gọi phương trình vi phân thường (Ordinary differential equation – ODE) Các ký hiệu thường dùng PDE: 81 Luan van u x  2u   u  u xy     xy y  x  ux      u       u  x, y,   x y   2  2  u  u       u  x, y,   x y  Một số phương pháp tính tốn cho PDE: Phương pháp tách biến (Separation of variables): Là phương pháp dùng để tách ẩn số phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều, thành nhiều phương trình rời rạc với số chiều (chứa biến độc lập hơn) Ví dụ: Xét phương trình nhiệt chiều sau: u  2u k 0 t x (P2) Tách biến: u  x, t   X  x T t  (P3) Thay (P3) vào (P2), ta có: T '  t  X ''  x    kT  t  X  x  (P4) Giải phương trình ta được:  u  x, t    Dn sin n 1  n 2 kt  n x exp    L L2   Với Dn: hệ số xác định điều kiện toán Và vài phương pháp giải tích khác như: đổi biến, phương pháp dựa đặc trưng phương trình biểu diễn… Ngồi ra, cịn có phương pháp số sử dụng để giải PDE như: Sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), Phần tư hữu hạn (Finite element method – FEM), Thể tích hữu hạn (Finite volume method) 82 Luan van  PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN – FINITE DIFFERENCE METHOD (FDM) Dựa phương pháp tính xấp xỉ đạo hàm, phương pháp sai phân (FDM) chia làm nhiều loại: sai phân lùi (Backward diffference), sai phân tiến (Forward difference), sai phân trung tâm (Central difference) Bằng cách rời rạc miền khảo sát, tiến hành tính nghiệm phương trình vi phân (Difference equation) điểm nút (grid point) lưới vuông (rectangular grid) Phương pháp Sai phân hữu hạn phương pháp số bản, thường sử dụng việc tính phương trình vi phân tuyến tính Cơ sở phƣơng pháp Sai phân: Sử dụng khai triển Chuỗi khai triển Taylor (Taylor’s series expansion): h2 xi 1  xi  hx   x  h2 xi 1  xi  hx   x  (P5) Hình P1 Rời rạc hàm f(x) theo sai phân hữu hạn Trong đó: x(t): hàm số theo biến t xi = x (t = ti) : giá trị rời rạc t = ti h = ti+1 – ti : bước chia lưới Xấp xỉ đạo hàm bậc (First derivative) Sai phân trung tâm: 83 Luan van xi  dx   xi 1  xi 1  dt t 2h (P6) i Xấp xỉ đạo hàm bậc (Second derivative) Sai phân trung tâm:  xi  d 2x   xi 1  xi  xi 1  dt t h (P7) i Sai phân trung tâm cho toán trị biên bậc tự do: Phương trình vi phân cho toán: mx  cx  kx  F t  (P8) Rời rạc theo biến t, phương trình (P7) trở thành:  x  2x  x   x  x  i i 1 m  i 1   c  i 1 i 1   kxi  Fi    2t   t     m   m x  2m  x    x  k  x        x  Fi   t 2 2t  i 1   i   t 2 2t  i 1  t         (P9) (P10) Từ (P10) ta lập hệ gồm (n – 1) phương trình với (n – 1) ẩn số (với n: số khoảng chia) Giá trị x1 xn+1 xác định điều kiên biên cho trước.Ta dễ dàng giải hệ phương trình (P10) để tìm giá trị xi (với i = 2,3,…,n) Sử dụng phƣơng pháp Sai phân để giải phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Để dễ dàng phân tích, chúng tơi đề xuất việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: u  2u k 0 t x (P11) Sử dụng rời rạc theo biến x t, ta có phương pháp sau:  Explicit Method: Áp dụng Sai phân tiến rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 1  2.u nj  u nj 1 x 0 u nj 1  u nj  r  u nj 1  2.u nj  u nj 1   84 Luan van (P12) (P13) Trong đó: u  x j , tn   u nj ; r k t x Ta tính giá trị u nj 1 từ cơng thức (P13) u nj 1  ru nj 1  1  2r  u nj  ru nj 1 (P14) Sai số đạt được: u    t     x  Hình P2 Explicit method Implicit Method: Áp dụng sai phân lùi rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 11  2.u nj 1  u nj 11 x 0 (P15) Giá trị u nj 1 tính theo: 1  2r  unj 1  runj11  unj  runj 11 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P3 Implicit Method Crank – Nicolson Method: Áp dụng sai phân trung tâm tính xấp xỉ đạo hàm t = tn+1/2 ta có: 85 Luan van (P16) u nj 1  u nj t n 1 n 1 n 1 n n n  u j 1  2.u j  u j 1 u j 1  2.u j  u j 1   k   0 2 x x  (P17) Khi đó, giá trị u nj 1 tính theo:   2r  unj 1  runj11  runj11    2r  unj  runj 1  runj 1 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P4 Crank-Nicolson Method  Code Matlab sử dụng FDM cho toán trị biên chiều: function [R,DR,D2R]=fdm(a,b,f,dx,n,x0,xn) % -% % Calculating 2nd-ODE form: % ax” + bx = f % input: a,b,f % dx: step size % n: number of step in [x0 x(end)] % xo,xn: boundary conditions % output: x,x’,x” % -% A=zeros(n-1); B=zeros(n-1,1); R=zeros(n+1,1); DR=zeros(n+1,1); D2R=zeros(n+1,1); R(1)=x0; R(n+1)=xn; for i=1:n-1 if i==1 A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(1); elseif i==n-1 A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(n+1); else 86 Luan van (P18) A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a; end end R(2:n)=A\B; D2R=(f-b.*R)./a; DR(1)=(R(2)-R(1)-D2R(1)*dx^2/2)/dx; DR(n+1)=(R(n+1)-R(n)+D2R(n+1)*dx^2/2)/dx; DR(2:n)=(R(3:n+1)-R(1:n-1))/(2*dx);  PHƢƠNG PHÁP LẶP SUCCESSIVE OVER RELAXATION (SOR) Phương pháp lặp Successive Over Relaxation(SOR) dạn biến thể phương pháp lặp Gauss-Seidel, ứng dụng giải hệ phương trình với số lần lặp phương pháp gốc Nội dung phương pháp SOR: Hệ phương trình có dạng: (P19) AX = B Với : A = D + L + U Trong đó:  a11 a22 a a22 A   21      am1 am  a11 0 D   0 a22   a1m   a2 m       amm   b1  b  B 2    bm      a   L   21         amm   am1 0  am     Hệ (P19) viết lại sau: 87 Luan van 0 0 a12 0  0 U       0 0  a1m   a2 m        D  L U  x  b    D  L  U  x  b   D   L  x  b  U    1 D  x 1  x n1   D   L  b  U    1 D  x n  Tổng quát: xin1  1    xin  m i 1  n n 1  b  a x   i  ij j  aij x j  aii  j i 1 j 1  Với ω = 1: phương pháp SOR trở thành phương pháp Gauss – Seidel Hệ số ω chọn khoảng: