(Luận văn thạc sĩ) phương pháp proper generallzed decomposition cho bài toán phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TỐN PHÍ TUYẾN S K C 0 9 NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 9 Tp Hồ Chí Minh, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TỐN PHÍ TUYẾN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC HUYNH Tp Hồ Chí Minh, 2013 LÝ LỊCH KHOA HỌC I LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ tên: Kiều Quốc Anh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 17/5/1987 Nơi sinh: Đồng Nai Quê quán: Thanh Hóa Dân tộc: Kinh Địa liên lạc: 73/4B-Lê Văn Việt – Phường Hiệp Phú – Quận – TPHCM Điện thoại: 0987 560 360 Email: kieuquocanh175@gmail.com II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO Đại học Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 9/2005 đến 02/2010 Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM – TPHCM Ngành học: Thiết kế máy Tên đồ án tốt nghiệp: Thiết kế khuôn mặt nạ xe máy Kawasaki ProEngineer mô thiết kế Moldflow Người hướng dẫn: Th.S Trần Chí Thiên III Q TRÌNH CƠNG TÁC Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 5/201001/2011 Cty TNHH TM-DV Nhật Long Kỹ Sư dự án 02/20116/2011 Cty TNHH Hồng Thuyên Trưởng phận hỗ trợ kỹ thuật 6/2011 Trường ĐH SPKT TPHCM i Học viên cao học LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày … tháng … năm 201… (Ký tên ghi rõ họ tên) ii Chƣơng TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung lĩnh vực nghiên cứu Trước phát triển vượt bậc máy tính điện tử ngành tin học, việc ứng dụng phương pháp số hỗ trợ máy tính để giải tốn học trở nên phổ biến cần thiết tính tính tốn vượt trội máy tính Vì phương pháp tính số phát triển mạnh mẽ trở thành công cụ hữu hiệu thiếu giải toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên nhúng, …) Việc áp dụng phương pháp số cho phù hợp với toán cần giải quan trọng Vì ảnh hưởng tới thời gian hồn thành tốn chi phí tính tốn Mỗi phương pháp số khác có ưu nhược điểm khác tùy toán mà ta chọn phương pháp thích hợp yêu cầu phải thỏa mãn tiêu chuẩn sau: kết xác cao, ổn định phương pháp thời gian tính tốn phải nhanh Trong lĩnh vực thiết kế khoa học, đôi lúc ta gặp phải số mô hình định nghĩa khơng gian đa chiều (có liên quan đến học lượng tử mô tả tính chất vật liệu theo thuyết động học) điều làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên phức tạp áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường Ngay mô hình tạm thời định nghĩa khơng gian ba chiều phải tốn nhiều thời gian với bước thời gian nhỏ Hơn mơ hình theo tiêu chuẩn trở thành đa chiều thơng số thay đổi Vì việc phát triển phương pháp nhằm giải toán cách nhanh chóng cần thiết Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) kỹ thuật rời rạc hóa toán mạnh mẽ thường sử dụng cho phương trình phi tuyến phức tạp lưu chất, tính tốn cho vật liệu khơng đồng Ta biết tốn đa chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều khơng gian, nghĩa tốn xét nhiều chiều khơng gian phức tạp Thơng thường để có kết có độ xác cao ta phải tăng độ mịn phương pháp chia lưới rời rạc Tuy nhiên sử dụng phương pháp PGD ta tách riêng biến toán giải độc lập nhờ tăng tốc độ tính tốn mà giữ nguyên độ mịn lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có tảng dựa sở lý thuyết phương pháp tách biến Phương pháp tách biến hiểu sau: N u ( x1 xD )   Fi ( x1 )   Fi D ( xD ) (1.1) i 1 Hệ tọa độ 𝑥𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝐷) chiều định nghĩa không gian tốn Các tọa độ 𝑥𝑖 biểu diễn cho biến thời gian tốn Kỹ thuật tách biến khơng phải ứng dụng rộng rãi vài thập kỷ gần lĩnh vực hóa học lượng tử Phương pháp PGD gần giới thiệu Giáo sư F.Chinesta cộng ứng dụng để giải cho dòng lưu chất, truyền nhiệt vật liệu đồng nhất, composite… mà phương trình vi phân đặc trưng mơ tả cho tốn thường có dạng phi tuyến Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho toán phi tuyến, tính tốn lập trình hỗ trợ phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu nƣớc công bố Phương pháp chưa thấy công bố rộng rãi Việt Nam, sau tác giả xin trình bày số cơng trình nghiên cứu cơng bố nước ngồi: [1] Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Nội dung báo: báo trình bày phương pháp PGD để ứng dụng cho việc giải mô hình có chiều khơng gian lớn Các mơ hình đa chiều rời rạc hóa khơng gian thời gian, hệ tọa độ tương đương Sau sử dụng phương pháp PGD để giải mơ hình [2] A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Trong báo này, phương pháp PGD sử dụng để giải vấn đề lưu chất Trong phần thứ nhất, công thức Stokes công thức Burgers giải Sau đó, cơng thức Navier-Stokes giải hệ số Reynolds khác nhau( Re=100, 1000 10000) Cuối cùng, phương pháp PGD so sánh với kỹ thuật giải khác thời gian tính độ xác tính tốn [3] F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 Bài báo trình bày tảng ứng dụng phương pháp PGD-một kỹ thuật rời rạc hóa mơ hình mạnh mẽ dùng để tính tốn theo lý thuyết có nghĩa làm phong phú liên tục khoảng hở miền ẩn số Sự tính tốn phức tạp phương pháp PGD tỷ lệ tuyến tính với kích thước khơng gian định nghĩa mơ hình, đánh dấu tương phản với tỷ lệ hàm mũ phương pháp chia lưới Trong báo giới thiệu cách sử dụng PGD cho trường hợp liên quan đến lý thuyết tính tốn: (i) Giải trực tiếp cơng thức Fokker-Planck cho dịng chảy phức tạp hệ không gian chiều lớn; (ii) phát triển thuật tốn khơng gia tăng hiệu suất cho vấn đề điện áp; (iii) cách giải toán chiều định nghĩa mặt phẳng suy biến miền hình dạng vỏ sị có q trình gia cơng polyme composite; (iv) giải mơ hình tham số đa chiều nhận cách giới thiệu nguồn khác vấn đề khác hệ tọa độ thêm vào 1.3 Nội dung nghiên cứu Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào ứng dụng phương pháp PGD cho tốn phi tuyến tốn dịng chảy 1D, truyền nhiệt 1D, dòng chảy 2D truyền nhiệt 2D Từ đó, so sánh phương pháp PGD với phương pháp tính tốn khác thời gian tính tốn độ xác tính tốn 1.4 Nhiệm vụ luận văn Các nội dung nghiên cứu luận văn Vận dụng phương pháp PGD để tính tốn mơ tốn phi tuyến Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab để tính tốn lập trình So sánh độ xác thời gian tính tốn phương pháp PGD với phương pháp tính toán khác Chƣơng II PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Như trình bày Chương phương pháp PGD có tảng dựa sở lý thuyết phương pháp tách biến Từ góc nhìn lịch sử, phương pháp tách biến sử dụng thơng dụng Ta tìm thấy sách nói phương trình vi phân riêng phần, phân tích kỹ thuật tách biến để tìm đáp án sau vài thao tác có dạng phương trình (1.1) Một kỹ thuật tách biến khác biết đến rộng rãi Proper Orthogonal Decomposition (POD) hay ta gọi phương pháp tách biến sở trực giao Giới thiệu phương pháp tách biến sở trực giao: Giả sử 𝑢(𝑥, 𝑡) hàm thỏa mãn yêu cầu toán với 𝑥 ∈ Ω ⊂ 𝑅𝐷 (𝑑 = 1,2,3) 𝑡 ∈ 𝐼 ⊂ 𝑅+ nút lưới 𝑥𝑖 ta có biến thời gian tương ứng 𝑡𝑝 = 𝑝 ×△ 𝑡 𝑣ớ𝑖 𝑖 ∈ [1, … , 𝑁𝑛 ] 𝑝 ∈ [1, … , 𝑃] Ta viết 𝑢𝑖𝑃 ≡ 𝑢(𝑥𝑖 , 𝑡𝑝 ) lập ma trận Q sau:  u11   u2 Q   u N   n u12 u22  u N2 n  u1P   u2P       u NP    n Phương pháp địi hỏi cơng việc tìm trị riêng vecto riêng 𝜆, 𝜙1 , 𝑖 = 1, … , 𝑁𝑛 cho toán 𝑄𝑄𝑇 𝜙 = 𝜆𝜙 Trong trình tính tốn giá trị trị riêng giảm nhanh dẫn đến hướng phát triển toán xấp xỉ thơng qua vecto riêng Cho 𝑅(𝑅 ≪ 𝑁𝑛 ) số vecto riêng dùng ta viết sau: R R i 1 i 1 u  x, t    i  x  Ti (t )   X i  x  Ti (t ) (2.1) Việc giải phương trình (2.1) ta tìm nghiệm xấp xỉ tốn Cơ sở lý thuyết áp dụng để giải toán tương tự, chẳng hạn mơ hình bao gồm thay đổi điều kiện biên hay thay đổi thơng số mơ hình… Bên cạnh đó, khả khác tính tốn sở rút gọn từ việc giải trình chuyển tiếp khoảng thời gian ngắn sau giải phần cịn lại cách sử dụng sở rút gọn Do đó, hai hướng đem lại thách thức lỗi q trình mơ phỏng, tính tốn rời rạc 2.2 Cơ sở lý thuyết phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Xét tượng đối lưu khuếch tán mô tả phương trình vi phân riêng phần sau: u  u  vu  f ( x, t ) t (2.2) Thuộc miền xác định D: D   x  [0.tmax ] Với điều kiện đầu điều kiện biên sau:  u ( x,0)  u x  x   u ( x, t )  u g ( x, t )   (0, Tmax ) Với (2.3)  v( x)   hệ số khuếch tán v trường vận tốc v    ,  , v u ( x )  cho trước khơng đổi phương trình (2.2) Miền tính toán: x  Rd , d  1,Tmax  Mục tiêu phương pháp tính N cặp số ( X i ,Ti )i 1 N thành ( X i )i 1 N (Ti )i1 N định nghĩa miền khép kín  kết ẩn số u toán viết dạng tách rời sau: Một số nhận xét: Việc chọn giá trị khởi động chọn hàm (hoặc giá trị lưới), thêm nhiều vịng lặp để tốn hội tụ Trong tính lặp, phải đảm bảo diều kiện ràng buộc tốn trì (tức bước lặp cần xét lại điều kiện để điều chỉnh hàm R,S,Wcho phù hợp) Với kiểu toán 2D phức tạp trên, để giải phương trình vi phân tìm R, S, W tơi đề xuất việc giải phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Vì phương pháp Phần tử hữu hạn với lời giải giả định cho trước dễ dàng việc tính phương trình vi phân nhiều bậc tự dạng couple 77 Chƣơng V KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 5.1 Kết luận Với đề tài “Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho toán phi tuyến”, tác giả ứng dụng phương pháp PGD để giải toán phi tuyến mang lại kết khả quan độ xác thời gian tính tốn so với phương pháp cũ (phương pháp SOR) trước đây, cụ thể sau:  Đối với toán thực tế dẫn nhiệt thanh, phẳng, tốn dịng chảy qua kênh, hay ống thẳng mà thành phần nhiệt độ, vận tốc… thay đổi theo phương – đơn giản hoá thành toán chiều mà chương trước trình bày Cho thấy ưu điểm phương pháp PGD là: làm việc miền lưới vuông với độ lớn ô lưới tuỳ ý Chia lưới cho phù hợp với u cầu mặt xác ln mối quan tâm hàng đầu tốn kỹ thuật, đơi gây cản trở cho việc giải toán nhằm tìm đến hội tụ lời giải  phương pháp PGD cho phép giải toán với miền lưới khơng giới hạn (lưới chia thưa đối cới toán thực đơn giản, lưới mịn cho toán mà biên phức tạp hơn)  Bài tốn hai chiều mơ tả chương III ví dụ kiểm tra khả tính tốn phương pháp PGD so với phương pháp cũ (cụ thể Successive over relaxation – SOR) cho thấy: Với phương pháp cũ(phương pháp SOR), số phương trình cần tính tỉ lệ với miền lưới theo: Nx1  Nx2   Nxn Trong đó: xi (i = 1…n) số biến lời giải Nxi số nghiệm cần tìm theo biến xi Với phương pháp PGD số phương trình cần tính là: 78 Nx1  Nx2   Nxn Từ cho thấy với miền tính tốn chia lưới mịn, thời gian tính tốn phương pháp PGD cải thiện đáng kể so với phương pháp cũ Cụ thể, chương với tốn dịng chảy hai chiều đơn giản, Phương pháp PGD cho thời gian giải nhanh nhiều so với phương pháp SOR (hình 3.26)  phương pháp PGD có khả tính tốn vượt trội mặt thời gian tính so với phương pháp cổ điển trước với độ xác tương đương, hay với nhận xét rằng: phương pháp Proper Generalized Decomposition có khả tăng tốc độ giải toán kỹ thuật, đặc biệt toán phi tuyến 5.2 Hƣớng phát triển đề tài Trên tảng kiến thức đạt đề tài, tác giả đề xuất số hướng phát triển tương lai sau:  Hoàn thiện giải thuật cho tốn chiều, có thay đổi không gian thời gian mà tác giả trình bày chương IV  Áp dụng phương pháp PGD cho toán chiều, với ẩn số nhiều hơn, mơ tả nhiều tính chất kỹ thuật  Kết hợp phương pháp PGD với số phương pháp khác để tăng tốc độ tính tốn nữa, làm giảm độ phức tạp toán bước áp dụng điều kiện biên Có thể kết hợp phương pháp PGD với phương pháp biên nhúng IBM, kết hợp phương pháp PGD với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT TS.Nguyễn Hồi Sơn, Phương pháp tính, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2004 TS Nguyễn Hoài Sơn, Trang Tấn Triển, “Matlab ứng dụng kỹ thuật”, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 TIẾNG NƢỚC NGỒI Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Ch Ghnations, F Masson, A.Huerta E.Cueto, F Chinesta, Proper Generalized Decomposition Based Dynamic Data-Driven Control of Thermal Processes, 10/2010 F Chinesta, A Ammar, A Leygue, R Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 A.Ammar, F.Chinesta, E.Cueto, M Doblare, Proper Generalized Decomposition of time-multiscale models, 9/2011 C Allery, S Guerin, A Hamdouni, A Sakout, Experimental and numerical pod study of the coanda effect used to reduce self- sustained tones, Mechanics Research Communications 31 (1) (2004) 105–120 A Rajabpour, F Kowsary, V.Esfahanian, Reduction of the computational time and noise filtration in the ihcp by using the proper orthogonal decomposition (pod) method,International Communications in Heat and Mass Transfer 35 (8) (2008) 1024–1031 80 PHỤ LỤC  PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG - PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION Phương trình vi phân đạo hàm riêng (partial differential equation – PDE) loại phương trình vi phân, ẩn số hàm số theo biến độc lập, đạo hàm riêng hàm số theo biến số hàm Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường sử dụng để mô tả hàm sóng, lan truyền âm thanh, nhiệt vật rắn, chất lỏng, khơng khí… mơ tả dịng chảy, áp suất dịng lưu chất thường gặp nghiên cứu động lực học chất lưu Phương trình vi phân dạo hàm riêng có dạng:   u u  2u  2u F  x1 , x2 ,, xn , u , , , , , ,   x1 x2 x1x1 x1x2   (P1) Với: u  x1 , x2 , , xn  : ẩn số chưa biết x1 , x2 , , xn : biến số độc lập Nếu F hàm tuyến tính theo u đạo hàm phương trình vi phân đạo hàm riêng gọi tuyến tính Thường gặp phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng, phương trình Laplace Ví dụ như:  2 u  x, t   k u  x, t   , với k tham số t x Nếu u hàm theo biến x đó, phương trình vi phân gọi phương trình vi phân thường (Ordinary differential equation – ODE) Các ký hiệu thường dùng PDE: 81 u x  2u   u  u xy     xy y  x  ux      u       u  x, y,   x y   2  2  u  u       u  x, y,   x y  Một số phương pháp tính tốn cho PDE: Phương pháp tách biến (Separation of variables): Là phương pháp dùng để tách ẩn số phương trình vi phân đạo hàm riêng đa chiều, thành nhiều phương trình rời rạc với số chiều (chứa biến độc lập hơn) Ví dụ: Xét phương trình nhiệt chiều sau: u  2u k 0 t x (P2) Tách biến: u  x, t   X  x T t  (P3) Thay (P3) vào (P2), ta có: T '  t  X ''  x    kT  t  X  x  (P4) Giải phương trình ta được:  u  x, t    Dn sin n 1  n 2 kt  n x exp    L L2   Với Dn: hệ số xác định điều kiện toán Và vài phương pháp giải tích khác như: đổi biến, phương pháp dựa đặc trưng phương trình biểu diễn… Ngồi ra, cịn có phương pháp số sử dụng để giải PDE như: Sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM), Phần tư hữu hạn (Finite element method – FEM), Thể tích hữu hạn (Finite volume method) 82  PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN – FINITE DIFFERENCE METHOD (FDM) Dựa phương pháp tính xấp xỉ đạo hàm, phương pháp sai phân (FDM) chia làm nhiều loại: sai phân lùi (Backward diffference), sai phân tiến (Forward difference), sai phân trung tâm (Central difference) Bằng cách rời rạc miền khảo sát, tiến hành tính nghiệm phương trình vi phân (Difference equation) điểm nút (grid point) lưới vuông (rectangular grid) Phương pháp Sai phân hữu hạn phương pháp số bản, thường sử dụng việc tính phương trình vi phân tuyến tính Cơ sở phƣơng pháp Sai phân: Sử dụng khai triển Chuỗi khai triển Taylor (Taylor’s series expansion): h2 xi 1  xi  hx   x  h2 xi 1  xi  hx   x  (P5) Hình P1 Rời rạc hàm f(x) theo sai phân hữu hạn Trong đó: x(t): hàm số theo biến t xi = x (t = ti) : giá trị rời rạc t = ti h = ti+1 – ti : bước chia lưới Xấp xỉ đạo hàm bậc (First derivative) Sai phân trung tâm: 83 xi  dx   xi 1  xi 1  dt t 2h (P6) i Xấp xỉ đạo hàm bậc (Second derivative) Sai phân trung tâm:  xi  d 2x   xi 1  xi  xi 1  dt t h (P7) i Sai phân trung tâm cho tốn trị biên bậc tự do: Phương trình vi phân cho toán: mx  cx  kx  F t  (P8) Rời rạc theo biến t, phương trình (P7) trở thành:  x  2x  x   x  x  i i 1 m  i 1   c  i 1 i 1   kxi  Fi    2t   t     m   m x  2m  x    x  k  x        x  Fi   t 2 2t  i 1   i   t 2 2t  i 1  t         (P9) (P10) Từ (P10) ta lập hệ gồm (n – 1) phương trình với (n – 1) ẩn số (với n: số khoảng chia) Giá trị x1 xn+1 xác định điều kiên biên cho trước.Ta dễ dàng giải hệ phương trình (P10) để tìm giá trị xi (với i = 2,3,…,n) Sử dụng phƣơng pháp Sai phân để giải phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng Để dễ dàng phân tích, chúng tơi đề xuất việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: u  2u k 0 t x (P11) Sử dụng rời rạc theo biến x t, ta có phương pháp sau:  Explicit Method: Áp dụng Sai phân tiến rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 1  2.u nj  u nj 1 x 0 u nj 1  u nj  r  u nj 1  2.u nj  u nj 1   84 (P12) (P13) Trong đó: u  x j , tn   u nj ; r k t x Ta tính giá trị u nj 1 từ công thức (P13) u nj 1  ru nj 1  1  2r  u nj  ru nj 1 (P14) Sai số đạt được: u    t     x  Hình P2 Explicit method Implicit Method: Áp dụng sai phân lùi rời rạc đạo hàm theo t, sai phân trung tâm cho biến x: u nj 1  u nj t k u nj 11  2.u nj 1  u nj 11 x 0 (P15) Giá trị u nj 1 tính theo: 1  2r  unj 1  runj11  unj  runj 11 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P3 Implicit Method Crank – Nicolson Method: Áp dụng sai phân trung tâm tính xấp xỉ đạo hàm t = tn+1/2 ta có: 85 (P16) u nj 1  u nj t n 1 n 1 n 1 n n n  u j 1  2.u j  u j 1 u j 1  2.u j  u j 1   k   0 2 x x  (P17) Khi đó, giá trị u nj 1 tính theo:   2r  unj 1  runj11  runj11    2r  unj  runj 1  runj 1 Sai số đạt được: u    t     x  Hình P4 Crank-Nicolson Method  Code Matlab sử dụng FDM cho toán trị biên chiều: function [R,DR,D2R]=fdm(a,b,f,dx,n,x0,xn) % -% % Calculating 2nd-ODE form: % ax” + bx = f % input: a,b,f % dx: step size % n: number of step in [x0 x(end)] % xo,xn: boundary conditions % output: x,x’,x” % -% A=zeros(n-1); B=zeros(n-1,1); R=zeros(n+1,1); DR=zeros(n+1,1); D2R=zeros(n+1,1); R(1)=x0; R(n+1)=xn; for i=1:n-1 if i==1 A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(1); elseif i==n-1 A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a+R(n+1); else 86 (P18) A(i,i-1)=-1; A(i,i)=2-b*dx^2/a; A(i,i+1)=-1; B(i)=-f(i+1)*dx^2/a; end end R(2:n)=A\B; D2R=(f-b.*R)./a; DR(1)=(R(2)-R(1)-D2R(1)*dx^2/2)/dx; DR(n+1)=(R(n+1)-R(n)+D2R(n+1)*dx^2/2)/dx; DR(2:n)=(R(3:n+1)-R(1:n-1))/(2*dx);  PHƢƠNG PHÁP LẶP SUCCESSIVE OVER RELAXATION (SOR) Phương pháp lặp Successive Over Relaxation(SOR) dạn biến thể phương pháp lặp Gauss-Seidel, ứng dụng giải hệ phương trình với số lần lặp phương pháp gốc Nội dung phương pháp SOR: Hệ phương trình có dạng: (P19) AX = B Với : A = D + L + U Trong đó:  a11 a22 a a22 A   21      am1 am  a11 0 D   0 a22   a1m   a2 m       amm      a   L   21         amm   am1  b1  b  B 2    bm  0  am     Hệ (P19) viết lại sau: 87 0 0 a12 0  0 U       0 0  a1m   a2 m        D  L U  x  b    D  L  U  x  b   D   L  x  b  U    1 D  x 1  x n1   D   L  b  U    1 D  x n  Tổng quát: xin1  1    xin  m i 1  n n 1  b  a x   i  ij j  aij x j  aii  j i 1 j 1  Với ω = 1: phương pháp SOR trở thành phương pháp Gauss – Seidel Hệ số ω chọn khoảng: