Skkn hướng dẫn học sinh khai thác từ một bài toán về đường tròn nội tiếp tam giác

MỤC LỤC Trang PHẦN I: MỞ ĐẦU .1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu .1 PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN 1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Các biện pháp giải pháp giải vấn đề 3.1 Một số kiến thức lí thuyết .5 3.1.1 Tính chất tiếp tuyến cắt 3.1.2 Đường tròn nội tiếp tam giác 3.1.3 "Bài toán gốc" 3.2 Hướng dẫn học sinh khai thác toán 3.2.1 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác thường .5 3.2.2 Khai thác theo hướng đặt đường trịn nội tiếp tam giác vng 11 3.2.3 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác cân 15 3.2.4 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác 17 Kết đạt 18 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 skkn PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Dạy học ơn tập tốn, đặc biệt tốn hình cho HS lớp thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 luôn điều trăn trở giáo viên (GV) dạy toán Và trăn trở HS khơng làm tốn mà giải lại xuất phát từ lời giải em làm Vậy đâu? Câu hỏi ln tồn tơi Trong q trình dạy học tơi giáo viên thường xuyên định hướng cho học sinh (HS) tìm hiểu học theo chủ đề kiến thức Tôi hướng dẫn học sinh khai thác từ toán gốc để khắc sâu kiến thức phát triển tư toán học Nhưng với tốn đường trịn nội tiếp tam giác có lí riêng Đó kì thi học sinh giỏi mơn Tốn có tập hình mà hướng dẫn kĩ việc khai thác Bài tập 31 tr116 SGK Tốn Tập chắn học sinh đạt kết cao nhiều Từ đó, tơi nảy sinh việc phải tâm tìm cách hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập bắt đầu thực sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm này là để nâng cao chất lượng giảng dạy bợ mơn Tốn, đặc biệt nội dung luyện kĩ giải tốn Hình học thơng qua dạy học tốn thực tế cho học sinh, từ phát triển tối đa tư sáng tạo cho học sinh Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến này nghiên cứu về: Lí luận, phương pháp dạy học mơn Tốn, chương trình Tốn THCS, thói quen, hành vi, cảm hứng, chất lượng của học sinh học mơn Tốn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết phương pháp dạy học, chương trình dạy học áp dụng vào thực tiễn, sau đúc kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Mơn Tốn có vị trí quan trọng việc rèn luyện phát triển tính mềm dẻo tư sáng tạo cho học sinh (HS), giúp HS phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp tự học phát triển trí thơng minh, khả suy nghĩ linh hoạt, sáng tạo Tư sáng tạo giúp em tìm ý tưởng thoát khỏi ý tưởng cũ kỹ, mờ nhạt Chính vậy, tốn học nên có tư sáng tạo Các em cần vận dụng khả tư sáng tạo để giải vấn đề toán học Tư sáng tạo giúp em tìm nhiều hướng cho phép tính, tốn tư đến nâng cao skkn Bên cạnh đó, em đưa ý tưởng phương pháp giải ấn tượng Những điều giúp em khẳng định khả thân so với bạn lớp nâng cao điểm số, đặc biệt tư sáng tạo lâu dài Khi rèn luyện tư sáng tạo nhiều hẳn tư em ngày nhanh nhạy, não phát triển toàn diện ổn định Nhiệm vụ giáo viên dạy tốn, ngồi việc truyền thụ kiến thức cần phải phát triển tư cho học sinh cách khai thác tốn sẵn có, giúp em phát triển lên để giải vấn đề Một tốn dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải ln tập hợp chuỗi hữu hạn bước suy luận đơn giản Vì việc giải tốn phức tạp đưa áp dụng từ việc giải toán đơn giản Từ lí luận tơi chọn Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập để làm toán gốc với vốn kiến thức để hướng dẫn học sinh khai thác toán Trong phân mơn Hình học có nhiều chủ đề, chủ đề khai thác tốn góc cạnh khác lại cho ta nhiều toán hay Chủ đề đường tròn nội tiếp tam giác chủ đề Trong kì thi học sinh giỏi huyện có tập hình với đề : Cho đường trịn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC vuông A a) Tính r biết AB = 3cm, AC = 4cm b) Gọi h đường cao ứng với cạnh huyền Chứng minh Trong em cho làm có em làm trọn vẹn, em làm câu a) em không làm câu Đọc đề, vẽ hình tơi thấy tiếc vơ tập đâu có khó chí cịn khai thác từ Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập : Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường trịn (O) a) Chứng minh rằng: 2AD = AB + AC - BC b) Tìm hệ thức tương tự hệ thức câu a) Hình 82 Bài tập người giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh Sau cho học sinh phương pháp giải tơi suy nghĩ: Trong chương trình hình học đến tháng 12 hàng năm kiến thức đường tròn nội tiếp tam giác trọng tâm bản, ôn luyện nhiều kiến thức liên quan như: tính chất tiếp tuyến, hệ thức lượng tam giác vuông lớp nhiều kiến thức khác lớp 7, Tìm hiểu kĩ Bài 31-Tr116 SGK - Tốn - Tập tơi thấy tập hay có nhiều ứng dụng cho học sinh đại trà học sinh giỏi skkn Từ tơi tâm tìm cách hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập khái quát lên thành SKKN Thực trạng vấn đề Trước làm sáng kiến kinh nghiệm, tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp thuộc đủ đối tượng với đề sau: Kiểm tra Toán (Thời gian làm 30 phút) Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, AC D, E, F a) Chứng minh : 2AF = AB + AC - BC b) Tính chu vi tứ giác ADOF biết AB = 6cm, AC = 8cm c) Chứng minh SABC = EB.EC Đáp án biểu điểm: - Vẽ hình : (0,5đ) a) (4,0đ) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF (2,0đ) Khi đó: AB + AC - BC = AD + DB + AF + FC - BE - EC = AF + DB + AF + FC - BD FC = 2AF (2,0đ) b) (3,0đ) - Chứng minh tứ giác ADOF hình vng (1,0đ) - Tính BC = 10cm (1,0đ) - Tính AF = 2cm kết luận chu vi tứ giác ADOF 8cm (1,0đ) c) (2,5đ) Theo tốn gốc ta có: BE = , (0,5đ) Khi đó: (1,0đ) (1,0đ) Kết thu sau: Xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Số lượng Tỉ lệ 0% 32% 36% 24% 8% *Đánh giá: Đề khảo sát phân theo đủ cấp độ tư kết phản ánh thực trạng học sinh trường thời điểm *Ngun nhân: + Về phía học sinh: - Hình học mơn học khó với đa số học sinh Mặt khác kiến thức đường trịn nội tiếp, tính chất tiếp tuyến cắt chưa ôn luyện nhiều skkn - Khả phân tích đề kĩ trình bày học sinh hạn chế Các em thường dừng lại lịng việc tìm lời giải phần mà tốn u cầu mà khơng đặt ngược lại vấn đề khơng nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Từ dẫn đến: Cũng tốn hình mà thay đổi trình tự vẽ hình, phát biểu dạng khác HS lại khơng nhận Hoặc tốn ban đầu mà thêm yêu cầu mới, kết luận khơng phải HS biết giải tốn đâu, với số HS giỏi - Đặc biệt chưa nắm cách khai thác Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập mà chữa để làm câu b) câu c) dẫn đến khơng có đạt điểm giỏi, cịn nhiều em trung bình + Về phía giáo viên: Bên cạnh lí thời gian luyện giải tập chủ đề kiến thức khơng có nhiều ngun nhân chưa có biện pháp hướng dẫn học sinh khai thác toán “gốc” Các biện pháp giải pháp giải vấn đề Nội dung sáng kiến hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31Tr116 SGK - Toán - Tập theo hướng trực tiếp sử dụng kết từ hình vẽ toán gốc bổ sung thêm điều kiện để xây dựng toán Sáng kiến áp dụng cho đối tượng học sinh lớp suốt q trình học tập ơn thi vào THPT Sáng kiến giúp đa số em nắm tương đối tốt kiến thức hình học chủ đề Sau hướng dẫn em HS học yếu hình, sợ hình nắm tốn gốc số toán Các em HS giỏi dễ dàng nhận biết phân loại loại dù tốn phát biểu dạng nào, từ em nhanh chóng đưa lời giải cho tốn Các em khơng dừng lại việc tìm lời giải cho tốn mà cịn tìm kết luận toán tạo tốn khác hay khó Biện pháp giải Trong sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác” hướng dẫn học sinh khai thác Bài 31Tr116 SGK - Toán - Tập theo hướng : - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác thường - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác vng - Đặt đường trịn nội tiếp tam giác cân - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác Trong hướng ý mức độ khai thác phù hợp với đối tượng học sinh Hệ thống tập xếp từ dễ đến khó Những tập liên quan đến kiến thức cuối năm xếp sau giúp giáo viên dễ dàng thiết kế giáo án để giúp đỡ học sinh phù hợp với chương trình Giúp học sinh thực công việc mà giáo viên chuyển giao, hướng dẫn Các toán khai thác từ tốn gốc trực tiếp sử dụng kết tốn, sử dụng hình vẽ tốn thêm giữ kiện để tìm toán dựa kiến thức : - Tính chất tia phân giác - Tính chất tiếp tuyến cắt - Chu vi, diện tích đa giác - Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông - Tỉ số lượng giác (TSLG) góc nhọn skkn - Tứ giác nội tiếp Để giúp học sinh phát toán thấy hay, sâu sắc tốn tơi giúp em có nhận xét để tìm tốn Sau giải tốn em biết đánh giá mối liên hệ với tốn trước xuất phát từ tốn gốc Từ em rèn cách tự học, tự biết khai thác đề để dần hồn chỉnh chủ đề kiến thức Các em bình tĩnh tự tin trước kiểu đề chắn kết làm cao Sau mô tả cụ thể biện pháp thực sáng kiến: 3.1 Một số kiến thức lí thuyết 3.1.1 Tính chất tiếp tuyến cắt Nếu tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: - Điểm cách tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo tiếp tuyến - Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo bán kính qua tiếp điểm 3.1.2 Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác Khi tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác tam giác Bán kính khoảng cách từ tâm đến cạnh tam giác 3.1.3 "Bài toán gốc" Bài tập 31 (Tr 116 - Sgk Tốn - Tập 1) Cho hình vẽ, tam giác ABC ngoại tiếp (O) a) Chứng minh rằng: 2AD = AB + AC - BC b) Tìm hệ thức tương tự hệ thức câu a) Hướng dẫn a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF Khi đó: AB + AC - BC = AD + DB + AF + FC - BE - EC = AD + DB + AD + FC - BD - FC = 2AD b) Tương tự câu a) ta có hệ thức sau: 2AF = AB + AC - BC 2BE = 2BD = BA + BC - AC 2CE = 2CF = CB + CA - AB Sau giải này, để HS ghi nhớ, áp dụng, cho HS diễn đạt lời tính chất (Hai lần khoảng cánh từ đỉnh đến tiếp điểm kề tổng hai cạnh kề trừ cạnh đối) 3.2 Hướng dẫn học sinh khai thác toán 3.2.1 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác thường Nhận xét: Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF Từ suy ra: AD + BE + CF = AF + CE + BD Ta có tốn sau: Bài toán Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AF + CE + BD skkn Đánh giá: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng trực tiếp kết toán “gốc” cách nhẹ nhàng Nhận xét: Vì O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O giao điểm đường phân giác tam giác Vận dụng tính chất đường phân giác giúp ta có tốn tính tốn sau: Bài tốn Cho Tính Hướng dẫn A O 2 B C (Cách khác: Có thể kéo dài AO sau sử dụng tính chất góc ngồi tam giác, từ tính ) Đánh giá: Với hình vẽ tốn “gốc” cần nối tâm O với đỉnh tam giác giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ qua tốn Từ thêm tốn ngược cho biết góc = 1150 tính góc tính Nhận xét: Nhận thấy tam giác AOB, BOC, COA có đường cao SAOB + SBOC + SCOA = SABC giúp ta có toán sau: Bài toán Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có chu vi 2p, bán kính đường trịn nội tiếp r SABC = pr Hướng dẫn SABC = SAOB + SBOC + SCOA Đánh giá: Từ toán gốc giáo viên hướng dẫn học sinh đến toán tổng quát mối liên hệ diện tích, chu vi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Nhận xét: AD = AF, OD = OF AO đường trung trung trực DF nên tứ giác ADOF có đường chéo vng góc với SADOF = Mặt khác: SABC = SADOF + SBDOE + SCEOF nên ta có tốn tương đối khó sau: skkn Bài tốn Cho (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Chứng minh rằng: Mà SABC Hướng dẫn AD = AF, OD = OF AO đường trung trực DF nên AO DF SADOF = Tương tự: Mà SABC = SADOF + SBDOE + SCEOF Nhận xét: Cũng từ nhận xét AO đường trung trực DF nên gọi H giao điểm OA DF H trung điểm DF, tương tự gọi K, I giao điểm OC, OB EF, DE giúp ta có tốn sau: Bài toán Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi H, I, K giao điểm OA, OB, OC với DF, DE, EF Chứng minh rằng: PHIK = PDEF (với P chu vi tam giác ) Hướng dẫn AD = AF, OD = OF AO đường trung trung trực DF H trung điểm DF Tương tự ta có I trung điểm DE HI đường trung bình tam giác DEF HI = IHK EF …  FED (c.c.c) PHIK = PDEF Nhận xét: Vẫn từ nhận xét AO đường trung trực DF, gọi H giao điểm OA DF DH AO Mặt khác tam giác ADO vng D nên ta liên tưởng đến hệ thức cạnh đường cao tam giác vng Từ cho ta toán hay sau: skkn Bài toán Cho (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi H, I, K giao điểm OA, OB, OC với DF, DE, EF Chứng minh rằng: OH.OA + OI.OB + OK.OC = 3r2 Hướng dẫn GV hướng dẫn HS chứng minh theo sơ đồ: OH.OA + OI.OB + OK.OC = 3r2 = r2+r2+r2 OH.OA = r2 OI.OB = r2 OK.OC = r2 OH.OA = OD2 (CMTT) (CMTT) AO DH AO đường trung trực DF AD = AF, OD = OF CMTT cộng vế đẳng thức ta đpcm Nhận xét: Từ Bài toán ta thấy OH.OA = OI.OB = OK.OC = r mà OH, OK, OI khoảng cách từ O đến cạnh tam giác DEF Vậy cho OH = OK = OI OA = OB = OC Tam giác ABC Từ cho ta tốn sau: Bài toán Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Tìm điều kiện tam giác ABC để O tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Đánh giá: Từ Bài 31-Tr116 SGK - Toán - Tập với kiến thức tính chất hai tiếp tuyến cắt giáo viên hướng dẫn học sinh AO đường trung trực DF Đây kiến thức mà sau học sinh đại trà thường xuyên vận dụng Với việc áp dụng hệ thức lượng, tính chất đường trung bình, tam giác đồng dạng học sinh giỏi khai thác sâu hình thành tốn Nhận xét: Nếu cung nhỏ DE lấy điểm J Qua J kẻ tiếp tuyến cắt AB, BC, AC M, N, L Khi CL + BM = CF + FL + BD - MD = CE + LJ + BE - MJ = CE + BE + LJ - MJ = BC + LM Từ ta có toán sau: Bài toán Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Trên cung nhỏ DE lấy điểm J Qua J kẻ tiếp tuyến cắt AB, BC, AC M, N, L a) Chứng minh chu vi BNM không đổi b) Chứng minh rằng: CL + BM = BC + LM skkn Đánh giá: Như từ hình vẽ tốn “gốc” giáo viên hướng dẫn học sinh có nhận xét hình thành tốn mới, góp phần củng cố sâu tính chất hai tiếp tuyến cắt câu a) ( Bài tập 27 SGK tr 115) có phần nâng cao câu b) Nhận xét: Trong toán ta thấy PBMN = BM + MN + NB = BM + MJ + JN + NB = BM + MD + EN + NB = BD + BE Nếu ta đặc biệt hóa tiếp tuyến J: Giả sử cung nhỏ DE kẻ tiếp tuyến song song với AC cắt BA, BC M N Khi BMN BAC (Trong đó: r1 r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BMN BAC) Từ kết luận ta có tốn hay: Bài toán Cho (O ; r) nội tiếp tam giác ABC Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với cạnh tam giác ABC cắt từ tam giác ABC thành tam giác nhỏ Gọi r1, r2, r3 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác nhỏ Chứng minh rằng: r = r1 + r2 + r3 Hướng dẫn Gọi P1, P2, P3 chu vi tam giác nhỏ, P chu vi tam giác ABC Ta có P1 + P2 + P3 = AD + AF + BD + BE + CE + CF = AB + BC + CA = P Vì tiếp tuyến song song với cạnh nên tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ABC nên: Do đó: r = r1 + r2 + r3 Đánh giá: Từ toán học sinh xây dựng mối liên hệ r, r1, r2, r3 mà tiếp tuyến song song với cạnh tam giác ngoại tiếp (O) Với cách khai thác giúp học sinh giỏi phát triển óc tưởng tượng hình học, sáng tạo hình học tốt Từ Bài tốn đến Bài tốn giáo viên hướng dẫn học sinh học kì I lựa chọn để bồi dưỡng học sinh giỏi huyện tơi thường thi học sinh giỏi vào tháng hàng năm Sau hướng dẫn học sinh khai thác toán để củng cố, khắc sâu số kiến thức phát triển nâng cao góc với đường trịn, tứ giác nội tiếp góp phần giúp học sinh ơn tập hình học chuẩn bị thi vào THPT Nhận xét: Từ giả thiết tốn “gốc” phân tích thêm ta nhận thấy hình có nhiều tứ giác nội tiếp Vậy ta nhìn nhận tốn góc độ tứ giác nội tiếp để đưa tốn ? Ta thấy (Góc nội tiếp góc tâm chắn cung) skkn 10 Mà tứ giác ADOF nội tiếp, biết góc A ta tính góc DOF từ ta tính góc DEF giúp ta có tốn mới: Bài toán 10 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F a) Hãy tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: c) Cho , tính góc DEF Hướng dẫn a) HS dễ dàng hình có tứ giác nội tiếp ADOF, BDOE CEOF (vì có tổng góc đối 1800) b) (vì ) Tứ giác ADOF nội tiếp (Câu a) c) Tính góc A theo câu a) góc DEF (theo câu b) Đánh giá: Từ tốn gốc học sinh biết sử dụng tính chất tiếp tuyến để tứ giác nội tiếp Kết hợp với tính chất góc nội tiếp, góc tâm học sinh giỏi khai thác toán câu b)c) Nhận xét: Nếu sử dụng tứ giác BEOD nội tiếp tứ giác ADEF hình thoi ta có Tam giác OAB cân O OA = OB (1) Mặt khác AO tia phân giác góc A tứ giác CEOF nội tiếp nên Tam giác OAC cân O OA = OC (2) Từ (1) (2) ABC ngược lại ta dễ dàng chứng minh tứ giác ADEF hình thoi ABC nên ta có toán nâng cao hơn: Bài toán 11 Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác ADEF hình thoi Hướng dẫn • Tứ giác ADEF hình thoi DA = DE Mà cung DO) O (Góc nội tiếp chắn Tam giác OAB cân OA = OB (1) skkn 11 Mặt khác: AO tia phân giác góc A, tứ giác ADEF hình thoi tứ giác CEOF nội tiếp Tam giác OAC cân O OA = OC (2) Từ (1) (2) OA = OB = OC Tam giác ABC • Điều ngược lại học sinh dễ dàng chứng minh tam giác ABC tứ giác ADEF hình thoi kết luận Đánh giá: Như vậy, với hình vẽ tốn gốc giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thêm số điều kiện đơn giản để chuyển toán sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh tứ giác nội tiếp 3.2.2 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác vuông Nhận xét: Trở lại toán gốc ta thấy cho biết cạnh tam giác ta tính khoảng cách từ đỉnh tam giác đến tiếp điểm kề với Nhưng vận dụng vào tam giác vng ta cần biết độ dài cạnh tam giác vng Từ cho ta tốn sau: Bài tốn Cho tam giác ABC vng A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Tính BD, AF, CE biết AB = 3cm, AD = 4cm Hướng dẫn Bài không khó, GV lưu ý cho HS biết cạnh, dùng định lí Pitago ta tính BC = 5cm Áp dụng kết tốn gốc ta tính khoảng cách từ đỉnh tam giác đến tiếp điểm kề với Nhận xét: Ta thấy tứ giác ADOF có góc vng nên hình chữ nhật mà AD = DF nên hình vng r = AD giúp ta có tốn sau: Bài tốn Cho tam giác ABC vng A Đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Tính r biết AB = 3cm, AC = 4cm Hướng dẫn Tính BC = 5cm Tứ giác ADOF có góc vng nên hình chữ nhật mà AD = DF nên hình vuông r = AD = = (cm) Tứ giác ADOF có góc vng nên hình chữ nhật mà AD = DF nên hình chữ nhật ADOF hình vng r = AD = = (cm) Đánh giá: Đây dạng câu a) tập hình đề thi học sinh giỏi câu b) khảo sát học sinh trước thực sáng kiến Qua đó, tơi thấy: Nếu giáo viên không hướng dẫn học sinh khai thác đặc điểm tứ skkn 12 giác ADOF để thấy cạnh r để học sinh điểm đáng tiếc Mặc dù khai thác tương đối dễ dàng Nhận xét: Từ Bài toán gốc ta có BE = , Nếu lấy BE.CE xuất "dấu hiệu" định lí Pitago diện tích tam giác vng giúp ta có tốn tương đối hay: Bài tốn Cho tam giác ABC vng A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC E Chứng minh rằng: SABC = EB.EC Hướng dẫn Theo tốn gốc ta có BE = Khi đó: , Nhận xét: Ta thấy diện tích tam giác vng tính thơng qua cạnh đường cao tương ứng tính thơng qua bán kính đường trịn nội tiếp cạnh tam giác vng Vậy vấn đề đặt đường cao bán kính đường trịn nội tiếp có quan hệ với Từ A kẻ đường cao AH = h Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ah = (a + b + c).r (cùng 2S) Mặt khác: AH h r +r (1) AO + OE hay (2) Từ (1) (2) giúp ta có tốn sau: Bài tốn Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vuông, h đường cao tương ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng: Đánh giá: Bài tốn câu c) tơi khảo sát; Bài tốn câu b) đề thi học sinh giỏi mà kết làm học sinh khiến vô trăn trở nuối tiếc Qua đó, tơi thấy giáo viên để ý nhiều đến việc hướng dẫn học sinh khai thác nhiều em biết đơn giản hóa tốn phức tạp skkn 13 Nhận xét: Do tam giác ABC vuông nên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC Vậy gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC BC = 2R hay Khi r + R = 2(R + r) = AB + AC Từ giúp ta có toán hay sau: Bài toán Cho tam giác ABC vuông A Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: R + r Hướng dẫn Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông ABC Do tam giác ABC vuông A nên r+R= 2(R + r) = AB + AC (Bất dẳng thức Cô - si) R+r Dấu "=" xảy AB = AC hay tam giác ABC vuông cân A Nhận xét: Ta thử lật ngược tốn mục 4.2.2, tam giác ABC vng A BE EC = hay AB AC = 2BE EC Một vấn đề đặt có AB AC = 2BE EC tam giác ABC có vng hay khơng Từ giúp ta có tốn hay khó sau: Bài tốn Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC E Tính số đo góc A biết AB AC = 2BE EC Hướng dẫn Gọi D, F tiếp điểm đường tròn với AB, AC 2BE = BA + BC - AC 2CE = CB + CA - AB Ta có: 2BE.2EC = (BA + BC - AC)(CB + CA - AB) = BC2 - (BA - AC)2 = BC2 - BA2 + 2AB.AC AC2 = BC2 - (BA2 + AC2) + 2AB.AC Theo giả thiết ta có: AB AC = 2BE.EC 2AB AC = 2BE.2EC 2AB AC = BC - (BA2 + AC2) + 2AB.AC BC2 - (BA2 + AC2) = BC2 = AB2 + AC2 Tam giác ABC vuông A hay góc (Định lí Pytago đảo) Nhận xét: Với hình vẽ trên, ta vận dụng linh hoạt kiến thức đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, chu vi, diện tích, định lí Pitago, hệ thức lượng tam giác vng… ta hàng loạt tốn tính tốn sau Bài tốn Tính cạnh tam giác vng ngoại tiếp đường tròn biết: a) Tiếp điểm cạnh huyền chia cạnh thành đoạn thẳng 5cm 12cm skkn 14 b) Một cạnh góc vng 20cm, bán kính đường tròn nội tiếp 6cm Hướng dẫn a) Gọi x bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Ta có phương trình: (x + 5)2 + (x + 12)2 = 172 Giải phương trình ta tìm x = 3cm Đáp số: AB = 8cm, AC = 15cm, BC = 17cm b) Giả sử AB = 20cm BD = BE = 20 - = 14 (cm) Đặt CE = CF = x Ta có phương trình: 202 + (6 + x)2 = (14 + x)2 Giải phương trình ta tìm x = 15 Đáp số: AC = 21cm, BC = 29cm Bài tốn Tính diện tích tam giác vng biết cạnh góc vng 12cm, tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác : Hướng dẫn Giả sử AB = 12cm Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp, R bán kính đường trịn ngoại tiếp BC = 2R = 5r AC2 = BC2 - AB2 = 25r2 - 144 (1) Ta có: AB + AC - BC = 2r AC = BC - AB + 2r = 7r - 12 (2) Từ (1) (2) (7r - 12)2 = 25r2 - 144 Giải phương trình ta tìm r = r = Đáp số: S = 54cm2 S = 96cm2 Đánh giá: Từ toán với việc hướng dẫn học sinh khai thác giúp học sinh biết cách tính cạnh tạm giác vng, chu vi, diện tích, bán kính r số đại lượng khác có liên quan đến đường trịn nội tiếp tam giác vng mức độ cao Nhận xét: Từ Bài toán (mục 4.2.2), ta kéo dài tia AO cắt EF G Do ADOF hình vng nên AO đường trung trực DF ODG = OFG (c.c.c) Mặt khác: (Tam giác OEF cân O) Tứ giác DOGE nội tiếp Mà tứ giác BDOE nội tiếp đường trịn đường kính BO nên ta có tốn hay sau: Bài tốn Cho tam giác ABC vng A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi G giao điểm AO EF Chứng minh rằng: điểm B, D, O, G, E thuộc đường tròn (Hoặc thay chứng minh BG vng góc với AG) Nhận xét: Nếu chưa chứng minh Bài toán 10 việc tính độ dài bán đường trịn ngoại tiếp tam giác OGE "thật đáng sợ" với HS Nhưng việc phát BO đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OGE việc skkn 15 tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác khơng khó khăn với HS Từ ta có tốn sau: Bài tốn 10 Cho tam giác ABC vng A, BC = 10cm, Đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi G giao điểm AO EF Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OGE Hướng dẫn GV hướng dẫn HS chứng minh theo sơ đồ sau: + Chứng minh BO đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OGE + Tính BO Tính BD DO Tính AB AC BC = 10cm, Nhận xét: Từ Bài toán 1(mục 3.2.2), ta kéo dài tia BO, CO cắt AC, AB theo thứ tự M N Do OF // AN Do DO // AM = BM CN = 2BO.CO Từ đó, ta có tốn hay khó sau: Bài tốn 11 Cho tam giác ABC vng A Đường trịn (O) nội tiếp tam giác ABC Gọi M giao điểm BO AC, N giao điểm CO AB Chứng minh rằng: BM.CN = 2BO.CO 3.2.3 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác cân A Nhận xét: Khi tam giác ABC cân A Đường phân giác AO đồng thời đường cao, trung tuyến, trung trực điểm A, O, E thẳng hàng Do biết yếu tố cạnh bên; D F cạnh đáy; đường cao xuất phát từ đỉnh cân ta O tính yếu tố cịn lại Kết hợp với tốn “gốc” ta có tốn sau: B skkn E C 16 Bài toán Cho tam giác ABC cân A Đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Biết AB = AC = a, BC = b a) Tính AE, AD = ? b) Tính r = ? Hướng dẫn a) Tính AE cách sử dụng định lí Pytago Tính AD, sử dụng trực tiếp kết toán “gốc” ta có: AD = b) Biết AB = a, BC = b Vận dụng định lí Pytago tìm đường cao AE Tính SABC Lại có nửa chu vi tam giác ABC p = Sau sử dụng hệ thức: S = p.r Tính r Bài toán Cho tam giác ABC cân A Đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Biết AB = a, AE = h Tính BE r = ? Bài tốn Cho tam giác ABC cân A Đường tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Biết BC = b, AE = h Tính CF r = ? Nhận xét: Khi tam giác ABC cân câu hỏi đặt biết cạnh tam giác cân đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp có mối quan hệ với Từ tơi hướng dẫn học sinh phát toan sau: Bài toán Cho ABC có AB = AC = 40cm, BC = 48cm Gọi O I tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp ABC Tính OI ? A Hướng dẫn Theo Bài tốn 1(mục 4.2.3) ta tính AE Dùng tính chất tia phân giác BO Tính OE, OA I Kẻ đường kính AA’ đường trịn (I) AB2 = D F AE.AA’ Tính AA’ Tính đươc AI O OI = OA - AI B E C A' Nhận xét: Từ Bài tập biết cạnh tam giác cân Tính r, R (bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp) Ngược lại, biết r R Tính cạnh tam giác cân nào? Ta có tốn sau: Bài tốn Tính cạnh tam giác cân, biết bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp r = 6, R = 12,5 skkn 17 Hướng dẫn A OA’B cân A’ A’B = A’O Đặt AO = x; A’O = y Ta có : x + y = 25 (1) I D OD//BA’ F O Hay y (2) Từ (1) (2) tìm x, Tính BE BC, AB, AC B C E A' Đánh giá: Như vậy, từ toán gốc kết hợp với đặc điểm tam giác cân hướng dẫn học sinh khai thác để có tập từ đơn giản (Bài 1,2,3), đến phức tạp (Bài 4,5) Qua học sinh biết cách tính đại lượng có liên quan đến đường trịn nội tiếp tam giác cân 3.2.4 Khai thác theo hướng đặt đường tròn nội tiếp tam giác Nhận xét: Khi tam giác ABC dẫn đến tâm O đồng thời trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp Khi hình "xuất hiện" đa giác đặc biệt Từ ta có tốn quen thuộc sau: Bài toán Cho tam giác ABC Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F a) Tứ giác ADEF, BDFE, CEDF hình ? Vì ? b) Tứ giác DFCB, FEBA, EDAC hình ? Vì ? c) Chứng minh rằng: Các tam giác ADF, CEF, BDE, DEF tam giác Nhận xét: Cũng từ nhận xét ABC nên tâm O đồng thời trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vận dụng linh hoạt tính chất đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực tam giác giúp ta có toán quen thuộc sau: Bài toán Cho tam giác ABC cạnh a ngoại tiếp (O; r) Tính r theo a Bài toán Cho tam giác ABC cạnh a ngoại tiếp (O; r) Tính a theo r Nhận xét: Nếu ta gọi H giao điểm DF OA Theo nhận xét Bài toán (mục 4.2.1) ta có: skkn (*) 18 Do tam giác ABC nên DA = DB nên từ (*) ta có: Từ ta có tốn khó sau: Bài tốn Cho tam giác ABC Đường trịn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC D, F Chứng minh rằng: Nhận xét: Nếu ta kéo dài tia DF phía F, khơng khó nhận thấy FO tia phân giác tam giác DFK (1) FC tia phân giác tam giác DFK (2) Kết hợp (1) (2) ta có: OD CK = OK.DC Từ ta lại có tốn tương đối khó hay sau: Bài tốn Cho tam giác ABC Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi K giao điểm EF OC Chứng minh rằng: OD CK = OK.DC Nhận xét: Theo kết luận Bài toán 1(mục 4.2.4) tam giác DEF, CFE tam giác dẫn đến: OD = 2OK, CK = DK = 3OK Thay OD, CK vào kết luận Bài toán ta được: 2OK 3OK = OK DC DC = 6.OK Từ ta lại có tốn có kết luận gọn khơng dễ chứng minh sau: Bài toán Cho tam giác ABC Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA D, E, F Gọi K giao điểm EF OC Chứng minh rằng: DC = 6OK Đánh giá: Như vậy, từ hình vẽ tốn gốc kết hợp với đặc điểm tam giác tơi hướng dẫn học sinh khai thác để có tập từ đơn giản (Bài 1,2,3), đến phức tạp (Bài 4,5,6) Qua học sinh biết cách tính đại lượng bản, biết chứng minh tứ giác hình thoi, hình thang can chứng minh đẳng thức hình học cách sử dụng cac kiến thức có liên quan đến đường trịn nội tiếp tam giác skkn 19 Kết đạt Với nhận thức : Trong dạy học người giáo viên phải ln tìm cách chuyển giao nhiệm việc cho học sinh hướng dẫn học sinh thực để đạt mục tiêu học tập, thường xuyên hướng dẫn học sinh cách khai thác tốn để hình thành dần hoàn thiện chủ đề kiến thức Trong bối cảnh cụ thể trình bày thúc giục tơi tìm cách “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác”, cụ thể Bài 31-Tr116 SGK - Tốn - Tập Trong q trình thực sáng kiến khảo sát học sinh, đánh giá thực trạng, tìm nguyên nhân xây dựng biện pháp để “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác” Tôi áp dụng sáng kiến vào dạy học sinh lớp trường thấy rõ lợi ích mà sáng kiến đem lại Sáng kiến giúp đa số em nắm tương đối tốt kiến thức hình học chủ đề Các em HS học yếu hình, sợ hình nắm toán Các em HS giỏi dễ dàng nhận biết phân loại loại dù tốn phát biểu dạng Từ em nhanh chóng đưa lời giải cho tốn Các em khơng dừng lại việc tìm lời giải cho tốn mà cịn tìm kết luận toán tạo tốn khác hay khó Để khẳng định rõ kết sáng kiến cuối tháng 12 năm 2017 tiến hành khảo sát 25 em học sinh lớp thuộc đủ đối tượng với đề sau: Kiểm tra Toán (Thời gian làm 30 phút) Cho tam giác ABC vng A Đường trịn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, AC D, E, F a) Chứng minh : 2AF = AB + AC - BC b) Tính chu vi tứ giác ADOF biết AB = 6cm, AC = 8cm c) Chứng minh SABC = EB.EC Đáp án biểu điểm: - Vẽ hình : (0,5đ) a) (4,0đ) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AD = AF, BD = BE, CE = CF (2,0đ) Khi đó: AB + AC - BC = AD + DB + AF + FC - BE - EC = AF + DB + AF + FC BD - FC = 2AF (2,0đ) b) (3,0đ) - Chứng minh tứ giác ADOF hình vng (1,0đ) - Tính BC = 10cm (1,0đ) - Tính AF = 2cm kết luận chu vi tứ giác ADOF 8cm (1,0đ) c) (2,5đ) Theo tốn gốc ta có: BE = , (0,5đ) Khi đó: (1,0đ) skkn 20 (1,0đ) Kết thu sau: Xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Số lượng 10 10 0 Tỉ lệ 20% 40% 40% 0% 0% *Đánh giá: Cũng với đề khảo sát trước thực sáng kiến song nhìn vào kết tơi thấy rõ học sinh khơng nắm tốn gốc để làm câu a) mà khai thác đơn giản để làm câu b) tỉ lệ học sinh biết khai thác sâu để làm câu c) tương đối Như với học sinh đại trà, sáng kiến giúp em nắm toán gốc, khai thác số dạng đơn giản thay đổi yêu cầu toán mà giải dựa việc sử dụng kết hình vẽ từ tốn gốc Với học sinh giỏi sáng kiến giúp em có cách nhìn để khai thác tốn sâu, rộng Từ em chủ động sáng tạo ứng phó linh hoạt trước thay đổi tốn đề thi Do đó, kì thi tuyển sinh nhiều em học sinh làm trọn vẹn hình nên tỉ lệ học sinh đạt điểm tương đối cao PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong q trình dạy học mơn Tốn nói chung, phân mơn hình học nói riêng việc hướng dẫn học sinh khai thác tốn để có toán từ đơn giản đến phức tạp cần thiết Song việc làm cịn hạn chế nhiều giáo viên mà nguyên nhân kiến thức, phương pháp, chưa hình thành ý thức thường xuyên phải dạy học sinh cách khai thác Sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác” góp phần giúp giáo viên có phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác tốn Từ phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo đối tượng học sinh Giúp em phát triển tư tốt, khả phán đoán, nhãn quan quan sát, tư suy luận logic, nhìn nhận đánh giá vấn đề nhiều khía cạnh khác Trong hướng tơi ý mức độ khai thác phù hợp với đối tượng học sinh Hệ thống tập xếp từ dễ đến khó, tập liên quan đến kiến thức cuối năm xếp sau giúp giáo viên dễ dàng thiết kế giáo án để giúp đỡ học sinh phù hợp với chương trình Bằng số thống kê, kết từ thực tế khẳng định sáng kiến “Hướng dẫn học sinh khai thác từ tốn đường trịn nội tiếp tam giác” có tính khả thi cao giáo viên áp dụng q trình dạy học Kiến nghị Đối với tổ mơn: Thường xun có buổi sinh hoạt chun mơn trao đổi định hướng mở rộng, khai thác chuyên đề toán nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên Đối với nhà trường: Tạo điều kiện sở vật chất, thời gian, kinh phí cho cán bộ, giáo viên nghiên cứu tìm tịi, đào sâu kinh nghiệm hay, skkn 21 phương pháp dạy học hiệu Đối với mơn Tốn đặc biệt trú trọng đến mơn hình học, nội dung mở rộng Đối với cấp quản lí giáo dục: Ngoài việc tập huấn chuyên đề phương pháp dạy học mở thêm lớp tập huấn chuyên đề kiến thức khoa học môn Đối với mơn Tốn mở lớp tập huấn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề phổ biến sáng kiến kinh nghiệm hay đạt giải cấp tỉnh cho đơn vị khác học tập Thanh Hóa, ngày 12 tháng 04 năm 2022 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm làm, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) SGK, SBT Toán (Tập 1,2) (Nhà xuất GD Việt Nam) 2) Nâng cao phát triển Toán (Tập 1,2) (Vũ Hữu Bình - Nhà xuất GD 2008) 3) Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán (Bùi Văn Tuyên - Nhà xuất GD 2011) 4) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Toán (Trần Thị Vân Anh - Nhà xuất ĐH Quốc gia Hà Nội 2010) 5) Ôn kiến thức, luyện kĩ hình học (Tơn Thân - Vũ Hữu Bình - Vũ Quốc Hưng - Bùi Văn Tuyên) 6) Đề thi tuyển sinh lớp 10 mơn tốn THCS năm skkn 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Văn Thành Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Nguyệt Ấn TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Sử dụng công nghệ Boot room để nâng Huyện cao hiệu quản lí phịng máy tính Sử dụng trị chơi dạy học Tốn Huyện THCS Nâng cao hiệu Huyện Kết Năm học đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại Số, ngày, tháng, năm định công nhận, quan ban hành QĐ 20112012 Công văn số 113 /CVGD&ĐT ngày 15 tháng năm 2012 Trưởng phòng GD&ĐT A 20122013 Quyết định số Số: 66 /QĐGD&ĐT ngày 16 tháng năm 2013 Trưởng phịng GD&ĐT Ngọc Lặc C 2013- Thơng báo số 201/GD&ĐT B skkn 23 giáo dục hướng nghiệp trường THCS Ngọc Liên, huyện Ngọc Lặc Một số biện pháp nâng cao hiệu dạy môn Nghề Tin học ứng dụng trường THCS Ngọc Liên, huyện Ngọc Lặc Dạy học sinh hệ thống số phương pháp Huyện chứng minh bất đẳng thức trường THCS Ngọc Liên Phát triển tư sáng tạo học sinh thơng qua khai thác số tốn hình học Một số dạng tốn Giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 trường THCS Ngọc Liên Một số dạng tốn tính giá trị biểu thức bồi dưỡng học Huyện sinh giỏi Toán trường THCS Nguyệt Ấn Rèn luyện kĩ giải tốn Hình họcthơng qua dạy học toán thực tế cho học sinh khối Huyện Huyện Huyện Huyện 2014 ngày 20 tháng năm 2015 Trưởng phịng GD&ĐT Ngọc Lặc 20152016 Thơng báo số 286/GD&ĐT ngày 17 tháng năm 2016 Trưởng phòng GD&ĐT Ngọc Lặc B 20162017 Quyết định số 195/GD&ĐT ngày 15 tháng năm 2017 Trưởng phòng GD&ĐT Ngọc Lặc B 20172018 Quyết định số 38 ngày 17/5/2018 Trưởng phòng GD&ĐT huyện Ngọc Lặc B 20182019 Quyết định số 1788 ngày 15/5/2019 Chủ tịch UBND huyện Ngọc Lặc 20192020 Quyết định số 3033/QĐUBND ngày 8/7/2020 Chủ tịch UBND huyện Ngọc Lặc C C A skkn 20202021 Quyết định số 1634/QĐUBND ngày 26/05/2021 Chủ tịch UBND huyện Ngọc Lặc 24 trường THCS Nguyệt Ấn skkn ... theo hướng : - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác thường - Đặt đường trịn nội tiếp tam giác vng - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác cân - Đặt đường tròn nội tiếp tam giác Trong hướng ý mức độ khai thác. .. giác góc tạo bán kính qua tiếp điểm 3.1.2 Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác Khi tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn Tâm đường. .. phải dạy học sinh cách khai thác Sáng kiến ? ?Hướng dẫn học sinh khai thác từ toán đường trịn nội tiếp tam giác? ?? góp phần giúp giáo viên có phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác tốn Từ phát huy