Skkn giải pháp áp dụng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng vào một số bài toán khoảng cách trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠOTHANH THANH HOÁ SỞ GIÁO DỤC VÀĐÀO ĐÀO TẠO HOÁ TRƯỜNG THPT THPT HÀM TRƯỜNG HÀMRỒNG RỒNG SÁNG NGHIỆM SÁNGKIẾN KIẾNKINH KINH NGHIỆM GIẢIGIẢI PHÁP ÁP HÌNH CHIẾU PHÁP ÁPDỤNG DỤNG HÌNH CHIẾU MỘT ĐIỂMTRÊN TRÊN MỘT PHẲNG VÀO CỦACỦA MỘT ĐIỂM MỘTMẶT MẶT HẲNG VÀO MỘT BÀI TỐN KHOẢNG CÁCHTRONG TRONG KHƠNG GIAN BÀISỐTỐN KHOẢNG CÁCH KHÔNG GIAN Người thực hiện: Lê Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Giáo viên Người thực hiện: Lê Thị HồngToán Hạnh SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2022 skkn THANH HOÁ, NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp áp dụng hình chiếu điểm mặt phẳng để giải số toán khoảng cách không gian 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 11 giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn lớp 11 nay, phần hình học khơng gian làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Một khó khăn mà học sinh hay gặp phải khác hình phẳng mà học sinh quen lớp với hình biểu diễn hình khơng gian Khi xét quan hệ vng góc hình học phẳng tốn liên quan, học sinh có nhìn trực quan kết hợp với giả thiết, kết luận suy lời giải Nhưng toán quan hệ vng góc khơng gian, học sinh phải dựa định nghĩa, định lý hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp nhiều khó khăn Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy gặp tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng mặt phẳng song song, học sinh thường làm theo ví dụ, tập chữa chưa thành thạo suy nghĩ xem nên vận dụng kiến thức để giải tốn Từ thực tế tơi xin đưa SKKN mà thân áp dụng giảng dạy lớp khối 11 trường THPT Hàm Rồng với nội dung: “ Áp dụng hình chiếu điểm mặt phẳng vào tốn khoảng cách khơng gian “ 1.2 Mục đích nghiên cứu Để tìm lời giải tốn tính khoảng cách khơng gian trước hết phải xác định loại khoảng cách Qua thực tế giảng dạy, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định Vì vậy, viết tơi chủ yếu vận dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm mặt phẳng vào tìm khoảng cách khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để thực đề tài này, tiến hành giảng dạy chuyên đề lớp 11B11 trường THPT Hàm rồng năm học 2018 – 2019, lớp 11A5, 11A7 trường THPT Hàm rồng năm học 2019 – 2020 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để học sinh dễ tiếp thu vận dụng lý thuyết vào giải tập skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: 1.2 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng: 1.3 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm đường thẳng Trong gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách gọi khoảng cách từ điểm đến Nhận xét: 1.4 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng điểm , gọi hình chiếu điểm mặt phẳng Khi khoảng cách gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nhận xét: 1.5 Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song Cho đường thẳng mặt phẳng song song với Khi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng gọi khoảng cách đường thẳng mặt phẳng 1.6 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng gọi khoảng cách hai mặt phẳng 1.7 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo Độ dài đoạn vng góc chung gọi khoảng cách hai đường thẳng O α M H α N M α M' β a b skkn H M N' M N Ngoài khoảng cách đường thẳng chéo tính bằng: +) Khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với đường thẳng đó, chứa đường thẳng cịn lại +) Khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thuận lợi - Kiến thức học - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học học sinh - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề Khó khăn - Giáo viên nhiều thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đây chun đề khó, địi hỏi học sinh phải có khả tưởng tượng, suy đoán tốt phải có khả tự học tốt, say mê với môn học Số liệu thống kê Không nhận Nhận biết, Nhận biết biết Nhận biết biết không vận dụng, biết vận dụng, biết vận dụng chưa giải giải hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 60 20 Tỉ lệ (%) 66,7 22,2 9,9 1,1 2.3 Giải pháp áp dụng hình chiếu điểm mặt phẳng để giải số tốn khoảng cách khơng gian Bài tốn Tìm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng , Phương pháp: Để tính khoảng từ điểm đến mặt phẳng điều quan trọng ta phải xác định hình chiếu điểm Để xác định vị trí hình chiếu ta có số lưu ý sau:  Nếu có (h1) Khi  Chọn chứa điểm , xác định giao tuyến Trong dựng (h2) Khi M d H α h1 β M H α h2  Nếu có hai điểm cho M B α H d h3 skkn A 5I kẻ đường trung trực đoạn (h3) Khi Thật vậy, Gọi trung điểm Do nên cân Lại có Vậy , dựng M  Nếu có điểm đường thẳng khơng qua cho kẻ đường thẳng qua d , kẻ ( h4) H d' A Khi α Thật , h4 Lại có  Nếu có điểm mà đường thẳng tạo với góc hình chiếu tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác  Nếu có điểm mà mặt phẳng tạo với góc hình chiếu N tâm đường trịn nội tiếp đa giác M  Đơi khi, thay hình chiếu điểm xuống ta dựng hình chiếu điểm khác thích hợp cho N' Khi (h5) M' α h5 d(M,(α))=d(N,(α))  Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tự hệ thức lượng tam giác vuông) là: Nếu tứ diện có đơi vng góc có đường cao A H B O I C Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh Cạnh bên vng góc với đáy, Tính khoảng cách: Từ đến mặt phẳng Từ đến mặt phẳng , tâm skkn Nhận xét: Từ hình vẽ giả thiết tốn, học sinh khó phát hình chiếu lên hình chiếu lên Nhưng thực theo bước tìm hình chiếu nêu giải khơng cịn khó khăn S H J K A D I O B C Tìm hình chiếu lên Bước 1: Theo giả thiết: Lại có: Bước 2: Trong mp kẻ Từ (1), (2) (3) ta có: Vậy khoảng cách từ đến Trong tam giác vuông : (3) , ta có: Chú ý câu sử dụng ý mà khơng cần dựng hình chiếu lên : Dễ thấy tứ diện vuông đỉnh , hạ Khi đó: Tính khoảng cách từ Chọn mặt phẳng chứa điểm Ta có: đến vng góc với hình chiếu lên khoảng cách từ đến Trong tam giác vuông trung ta có: skkn Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ có , đáy tam giác vng có Tính khoảng cách từ đến Nhận xét : có nhiều mặt phẳng chứa để chọn mặt phẳng chứa vuông góc với mp ta phải ý tới giả thiết C A B O H C ’ A’ B’ hình vng Từ giả thiết Mà hay mặt phẳng chứa vng góc với Trong mặt phẳng kẻ Ta có: Độ dài khoảng cách từ đến Trong tam giác vng , ta có: Ví dụ 3: Cho hình hộp , góc có tất mặt hình thoi cạnh Tính khoảng cách từ đến D' C' A' B' D A H C O B Do có tất mặt hình thoi cạnh nên tam giác tam giác đếu cạnh ( cách đếu ba đỉnh ) Gọi hình chiếu tam giác vuông nên suy tâm đường tròn ngoại tiếp skkn Gọi giao điểm , ta có Vậy Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy hình thang vng , tam giác có cạnh , mặt bên tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng S I4 A C I3 D I I1 B I2 Gọi là hình chiếu vuông góc của , Gọi hình chiếu cạnh góc góc mặt bên mặt đáy chúng nhau, suy tam giác vuông nên là tâm đường tròn nội tiếp hình thang Vì tứ giác ngoại tiếp nên Diện tích hình thang Gọi là nửa chu vi và là là bán kính đường tròn nội tiếp của hình thang thì Tam giác Vậy đều và có cạnh 2a nên Bài tốn 2: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh tất cạnh bên Tính khoảng cách mp skkn S H A D I B J O C Nhận xét: Do Nên khoảng cách khoảng cách từ điểm đến Gọi trung điểm Ta chứng minh được: Vậy mặt phẳng chứa vuông góc với Gọi trung điểm Trong mp kẻ Ta có: khoảng cách từ đến Trong tam giác ta có: Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính có cạnh vng góc với đáy , Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng S A H E Nhận xét: Ta có: Vậy khoảng cách Để tính khoảng cách từ Theo giả thiết Trong mặt phẳng đến D C B khoảng cách từ đến ta tìm hình chiếu kẻ 10 skkn Mà Trong mặt phẳng kẻ Vậy hình chiếu lên Vì Trong tam giác vng khoảng cách từ đến có: Trong tam giác vng , ta có: Bài tốn 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh ; cạnh vng góc với đáy Tính khoảng cách S E A I B O D C Nhận xét: Hai đường thẳng chéo không vuông góc với nên ta dùng cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo cách tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Trong mặt phẳng kẻ Vậy khoảng cách khoảng cách khoảng cách Trong mp kẻ (Định lý ba đường vng góc) theo giao tuyến Trong mặt phẳng kẻ Vậy khoảng cách từ đến Theo giả thiết cách xác định Trong tam giác vng ta có: , ta có: 11 skkn Ví dụ 2: Cho hình lập phương hai đường thẳng cạnh A' Tính khoảng cách B' I D' G H M D C' B A N O C Cách Ta quy việc tính khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách mặt phẳng chứa song song với Do nên mặt phẳng chứa Gọi tâm hình vng Ta dựng hình chiếu điểm tính song song với Do Tương tự Từ suy Gọi Do nên trọng tâm tam giác Gọi tâm hình vng trung tuyến tam giác nên thẳng hàng Trong dựng cắt hình chiếu Dễ thấy đường trung bình tam giác Mặt khác A' B' Vậy C' D' O Cách Ta quy việc tính khoảng cách hai đường thẳng tính khoảng cách mặt phẳng chứa song song với I N A B H D M C 12 skkn Do Gọi Trong nên mặt phẳng chứa tâm hình vng nên kẻ song song với theo giao tuyến Trong tam giác vng ta có Vậy Một số tập tương tự Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình thang vng với Cạnh bên vng góc với đáy Tính khoảng cách sau: Ví dụ 2: Cho hình chóp Cạnh bên , có đáy hình thoi cạnh a, tâm O, Tính khoảng cách sau: Ví dụ 3: Cho hình vng tam giác cạnh a nằm mp vng góc Gọi trung điểm Tính khoảng cách sau: , , Ví dụ 4: Cho hình lập phương sau: có cạnh a Tính khoảng cách 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tế trình áp dụng đề tài giảng dạy, thấy đề tài giúp nâng cao lực tư học sinh Đối với học sinh giỏi có hưng phấn tiếp cận với vấn đề Tuy nhiên phận khơng nhỏ học sinh cịn lúng túng tiếp thu vấn đề Nhìn chung, dạng tốn hay tương đối khó khăn việc phát dấu hiệu áp dụng giải nhiều học sinh Để học sinh làm tốt toán dạng giáo viên cần cho học sinh rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân tích dấu hiệu áp dụng toán để tập cho học sinh cách nhìn nhận, phân tích tốn khác Để giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung, qua thực tế giảng dạy thơng qua việc hướng dẫn học sinh sử dụng hình chiếu điểm 13 skkn mặt phẳng để tính khoảng cách khơng gian, tơi đúc kết số kinh nghiệm sau: Học sinh cần có chuẩn bị trước đến lớp Bởi chuẩn bị học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức người khơng phải lần hồn thành mà trải qua từ đến biết, từ đơn giản đến phức tạp Chuẩn bị giúp học sinh xác định ý cần ý học lớp, làm sở đề xuất ý kiến với giáo viên vướng mắc có liên quan đến học Hướng dẫn học sinh phát huy khả quan sát Quan sát toán học nhằm hai mục đích: thứ thu nhận kiến thức mới, thứ hai vận dụng kiến thức để giải tập Nắm vững phương pháp nhớ khoa học Trí nhớ việc trải qua cịn giữ lại đầu q trình tâm lí tái Sự việc trải qua nói việc người ta cảm biết được, suy nghĩ qua thể nghiệm Việc làm lại tập hướng dẫn giải tương tự trình tái hiện, mục đích cuối trí nhớ Điều có ý nghĩa lớn với việc học giải tốn Bồi dưỡng cho học sinh thói quen suy luận chặt chẽ Thể qua nội dung như: đọc kỹ đề, vẽ hình, xác định mối quan hệ yếu tố điểm, đường thẳng mặt phẳng có hình vẽ, áp dụng định lý để tìm mối quan hệ yếu tố trình bày tốn cách lơgích Kết sau thực chun đề: Khơng nhận Nhận biết, Nhận biết biết Nhận biết biết không vận dụng, biết vận dụng, biết vận dụng chưa giải giải hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 16 80 48 Tỉ lệ (%) 0,0 11,1 55,6 33,3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Tôi nghĩ rằng: tiến thành đạt học sinh ln mục đích cao cả, nguồn động viên tích cực người thầy Do vậy, mong ước chia sẻ với quý đồng nghiệp số suy nghĩ sau: Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ bị bỏ rơi; tìm điều tốt chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho 14 skkn chúng ngày tiến bộ, bước chủ động, tự tin học tập Hướng dẫn học sinh giải tốn cần có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Vì thực tế dạy tốn dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải tốn hình thức chủ yếu Do vậy, từ khâu phân tích đề, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho em cách suy nghĩ, cách giải vấn đề đặt ra, nhằm bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo em 3.2 Kiến nghị: Trong viết tơi áp dụng bước tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định khoảng cách sau áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tam diện vng để tính khoảng cách Đây cách để giải dạng toán Từ định nghĩa loại khoảng cách không gian kết hợp giả thiết toán mà người học linh hoạt vận dụng phương pháp giải cho phù hợp Tuy kết chưa thật mong đợi, với trách nhiệm người thầy, chừng mực tơi bớt băn khoăn học trị bớt ngại gặp tốn tính khoảng cách Tơi mong nhận góp ý, chia sẻ thầy cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Thị Hồng Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 skkn Các giảng luyện thi mơn tốn (Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất – NXB Giáo dục 2000) Bộ đề thi tuyển sinh đại học chun đề hình học khơng gian Giải đề thi Đại học Cao Đẳng Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội Sách tập hình học 11 Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn (Trần Phương – NXB Hà Nội – 2002) Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - Cao đẳng tồn Quốc (mơn Toán), Nxb Hà Nội, Hà Nội DANH MỤC 16 skkn CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Hồng Hạnh Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Hàm Rồng TT Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Cấp Sở Loại C 2004-2005 Tên đề tài SKKN GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ HƯỚNG DẪN CHO HỌC Cấp Sở Loại C 2016-2017 SINH LỚP 12 BIẾT CÁCH ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 17 skkn ... Cho điểm đường thẳng Trong gọi hình chiếu vng góc Khi khoảng cách gọi khoảng cách từ điểm đến Nhận xét: 1.4 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng điểm , gọi hình chiếu điểm mặt phẳng. .. gọi khoảng cách đường thẳng mặt phẳng 1.6 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng gọi khoảng cách hai mặt phẳng. .. biết không vận dụng, biết vận dụng, biết vận dụng chưa giải giải hoàn hoàn chỉnh chỉnh Số lượng 60 20 Tỉ lệ (%) 66,7 22,2 9,9 1,1 2.3 Giải pháp áp dụng hình chiếu điểm mặt phẳng để giải số tốn khoảng