CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TẬP MỜ
Chương LÝ THUY T T P M 1.1 T p m thông tin không ch c ch n L.A Zadeh ngư i sáng l p lý thuy t t p m v i hàng lo t báo m" ñư ng cho s% phát tri&n 'ng d(ng c)a lý thuy t này, kh"i ñ,u báo “Fuzzy Sets” T p chí Information and Control, 8, 1965 Ý tư"ng n=i b t c)a khái ni>m t p m c)a Zadeh t? nh@ng khái ni>m tr?u tưAng vB ng@ nghĩa c)a thông tin m , không chEc chEn tr , nhanh, cao th p, xinh đ p , ơng tìm cách bi&u diHn bJng mKt khái ni>m tốn hLc, đưAc gLi t p m , mKt s% khái quát tr%c ti p c)a khái ni>m t p hAp kinh ñi&n ð& dH hi&u nh l i cách nhìn khái ni>m t p hAp kinh ñi&n khái ni>m hàm sP Cho mKt t p vũ tr( T p tRt cS t p c)a ký hi>u ( ) tr" thành mKt đ i sP t p hAp v i phép tính hAp ∪, giao ∩, hi>u \ lRy phàn bù , ( ( ), ∪, ∩, \, ) Bây gi m[i t p hAp A ∈ ( ) có th& đưAc xem mKt hàm sP λA : λA(a) =1 → {0, 1} ñưAc λA(b) = xác ñanh sau: a b 1 x ∈ A λ A ( x) = 0 x ∉ A Mcc dù λA A hai đPi tưAng tốn hLc hồn tồn khác nhau, chúng đBu bi&u diHn mKt khái ni>m vB t p hAp: x ∈ A chd λA(x) = 1, hay x thuKc vào t p A v i “ñK thuKc vào” bJng Vì v y, hàm λA đưAc gLi hàm đcc trưng c)a t p A Như v y t p hAp A có th& đưAc bi&u tha bJng mKt hàm mà giá tra c)a đ thu c v hay ñơn giSn ñ thu c c)a ph,n ti U vào t p hAp A: N u λA(x) = x ∈ A v i đK thuKc hay 100% thuKc vào A, n u λA(x) = x ∉ A hay x ∈ A v i ñK thuKc t'c ñK thuKc 0% Trên cách nhìn v y, chuy&n sang vi>c tìm ki m cách th'c bi&u diHn ng@ nghĩa c)a khái ni>m m , chlng h n, vB l'a tu=i “tr ” GiS si tu=i c)a ngư i nJm khoSng = [0, 120] tính theo năm Theo ý tư"ng c)a Zadeh, khái ni>m tr có th& bi&u tha bJng mKt t p hAp sau: Xét mKt t p hAp Atr nh@ng ngư i ñưAc xem tr V y, mKt câu hsi “MKt ngư i x có tu=i n ñưAc hi&u thuKc t p Atr th nào?” MKt cách ch) quan, có th& hi&u nh@ng ngư i có tu=i t? – 25 chEc chEn sv thuKc vào t p hAp Atr , t'c v i ñK thuKc bJng 1; Nhưng mKt ngư i có tu=i 30 có lv chd thuKc vào t p Atr v i đK thuKc 0,6 cịn ngư i có tu=i 50 sv thuKc vào t p v i ñK thuKc 0,0 … V i ý tư"ng ñó, ng@ nghĩa c)a khái ni>m tr sv ñưAc bi&u diHn bJng mKt hàm sP : tr → [0, 1], mKt d ng khái quát tr%c ti p t? khái ni>m hàm ñcc trưng λA c)a mKt t p hAp kinh ñi&n A ñã ñB c p " MKt câu hsi t% nhiên xuRt hi>n t i ngư i có tu=i 30 có lv chd thuKc vào t p Atr v i đK thuKc 0,6 mà khơng phSi 0,65? Trong lý thuy t t p m khơng có ý đanh trS l i câu hsi ki&u v y mà ghi nh n rJng t p m c)a mKt khái ni>m m ph( thuKc m nh mv vào ch) quan c)a ngư i dùng hay, mKt cách ñúng ñEn hơn, c)a mKt cKng ñzng, hay c)a mKt 'ng d(ng c( th& Khía c ch th& hi>n tính khơng xác vB ng@ nghĩa c)a khái ni>m m Tuy nhiên, th%c t khơng Snh hư"ng đ n khS 'ng d(ng c)a lý thuy t t p m m[i giSi pháp d%a lý thuy t t p m chd nhJm vào mKt miBn 'ng d(ng c( th& khái ni>m m 'ng d(ng (hay cKng ñzng si d(ng 'ng d(ng ñó) sv có ý nghĩa chung thPng nhRt 1.1.1 Khái ni m t p h p m ð nh nghĩa 1.1 Cho mKt t p vũ tr( T p hAp A∼ ñưAc xác ñanh b"i ñlng th'c: A∼ = { ∈ [0, 1]} ñưAc gLi mKt t p hAp m A~ (u ) /u : u ∈ , A∼(u) t p Bi n u lRy giá tra ñưAc gLi bi n s v y t p ñưAc gLi t p tham chi u hay mi n s Hàm hàm thuKc (membership function) giá tra A~ A~ : → [0, 1] ñưAc gLi (u ) t i u ñưAc gLi ñK thuKc c)a ph,n ti u thuKc vB t p hAp m A∼ N u không gây nh,m l€n, hàm thuKc A~ ñưAc ký hi>u A∼(.), n u bi n s" u không bi&u tha hi&n, hay A∼(u), n u bi n u xuRt hi>n hi&n Lưu ý rJng v phSi c)a ñanh nghĩa A∼ mKt t p kinh đi&n đanh nghĩa hoàn chdnh HL tRt cS t p m miBn s" ( )={ → [0, 1]} = [0, 1] : A~ ñưAc ký hi>u ( ), Có nhiBu cách bi&u diHn hình th'c mKt t p m Trong trư ng hAp mKt t p h@u h n, đ m đưAc hay vơ h n liên t(c, t p m A∼ có th& đưAc bi&u diHn bJng bi&u th'c hình th'c sau: Trong trư ng hAp A ∑ 1≤i ≤ n A~ ∼ = h@u h n, A∼(u1)/u1 + = {ui : ≤ i ≤ n}, ta có th& vi t: A∼(u2)/u2 + + A∼(un)/un hay A∼ = (u i ) / u i Trong trư ng hAp t p m ñưAc gLi t p m r i r c (discrete fuzzy set) Trong trư ng hAp th& vi t: A∼ = ∑ 1≤i n d(ng ñanh nghĩa thao tác phép tính t p m sau Ví d 1.1 Xét t p gzm ngư i x1, x2,….x5 tương 'ng có tu=i 10, 15, 50, 55, 70 A∼ t p hAp ngư i “Tr ” Khi ta có th& xây d%ng hàm thuKc sau: Tr (10) = 0.95, Tr 0.05 t p m A∼ = (15) = 0.75, Tr (50) = 0.35, Tr (55) = 0.30, Tr (70) = 0.95 0.75 0.35 0.30 0.05 + + + + x1 x2 x3 x4 x5 ð nh nghĩa 1.2 T p m A∼ có d ng hình thang xác đanh b"i bK giá tra (a, b, c, d), ký hi>u A∼ = (a, b, c, d) ñưAc xác ñanh: A~ x b (x) = d d − a − a − x −c n ux≤a n ua B∼(u0) ChLn α ∈ [0, 1] cho A∼(u0) > α > B∼(u0) ðiBu khlng ñanh u0 ∈ Aα~ u0 ∉ Bα~ hay Aα~ ≠ Bα~ V y, { Aα~ : ≤ α ≤ 1} ≠ { Bα~ : ≤ α ≤ 1} Hi&n nhiên n u A~ = B~ { Aα~ : ≤ α ≤ 1} = { Bα~ : ≤ α ≤ 1} Như v y ta ñã ch'ng ts rlng ánh x song ánh 1.1.3 M)t s+ khái ni m ñ-c trưng c#a t p m A~, ký hi>u ð nh nghĩa 1.4 (i) Giá c-a t%p m.: Giá c)a t p m Support(A~), t p c)a A~ (u ) ≠ 0, Support(A~) = {u: A~ (u ) > 0} (ii) ð cao c-a t%p m.: ðK cao c)a t p m A~, ký hi>u hight(A~), c n ñúng c)a hàm thuKc A~ , hight(A~) = sup{ A~ (u ) : u ∈ } (iii) T%p m chu2n (normal): T p m A~ ñưAc gLi chu2n n u hight(A~) = Trái l i, t p m ñưAc gLi dư4i chu2n (subnormal) (iv) Lõi c-a t%p m.: Lõi c)a t p m A~, ký hi>u Core(A~), mKt t p c)a ñưAc xác ñanh sau: Core(A~) = {u ∈ : A~ (u ) = hight(A~)} Bây gi sv lRy mKt sP ví d( vB vi>c bi&u diHn ng@ nghĩa c)a khái ni>m m thuKc lĩnh v%c khác bJng t p m Ví d 1.2 GiS si t p vũ tr( vB sP ño nhi>t ñK th i ti t, chlng h n = [0, 50] tính theo thang đK C Chúng ta sv xác đanh t p m bi&u tha khái ni>m m th i ti t NĨNG L;NH Trong ví d( ta si d(ng mKt hàm sP m€u, gLi SŠhàm đz tha c)a có hình ch@ S Chúng ta ký hi>u hàm S(u, a, b, c), a, b c nh@ng tham sP Nó hàm t?ng khúc b c đưAc ñanh nghĩa sau: ñPi v i u ≤ a S(u, a, b, c) = u−a c−a = ñPi v i a ≤ u ≤ b u−c c−a = − ñPi v i b ≤ u ≤ c ñPi v i c ≤ u = Hàm thuKc A~(u) = S(u, 15, 25, 35) khái ni>m th i ti t NÓNG c)a ngư i L ng Sơn " c%c BEc nư c ta, hàm thuKc B~(u) = S(u, 25, 35, 45) khái ni>m NÓNG c)a ngư i Sài Gịn (xem Hình 1.1) V i hai t p m ta có: Support(A~) = [15, 50], Support(B~) = [25, 50], Hight(A~) = Hight(B~) = 1, Core(A~) = [35, 50] Core(B~) = [45, 50] Hàm thuKc bi&u tha khái ni>m m L;NH ñưAc xác ñanh qua hàm thuKc NÓNG bJng bi&u th'c sau: A’~(u) =1− A~(u) B’~(u) Ví d( th& hi>n tính ch) quan vB ng@ nghĩa c)a khai ni>m m th& hi>n tính t% vi>c xây d%ng hàm thuKc Tình huPng tương t% v y ta nói ñ n khái ni>m cao c)a gi i n@ gi i nam, hay khái ni>m cao c)a ngư i Vi>t Nam ngư i Châu Âu = 1− B~(u) 1,0 ( ) (u) ( ) B’~(u) 15 25 35 45 50 Hình 1.1: Hàm thu c c-a t%p m NĨNG L;NH Ví d 1.3 T%p m hình chng: Ngư i ta có th& bi&u diHn ng@ nghĩa c)a khái ni>m m tr i mát m hay d@ chAu bJng hàm d ng hình chng sau: exp (− ((u − u0)/b)2) Chúng ta có th& chRp nh n hàm chng Hình 1.2 bi&u tha ng@ nghĩa c)a khái ni>m nhi>t ñK DD CHEU ñó t p m D~ có d ng: D~(u) 1,0 ( ) = exp (− ((u − 24)/10)2) 10 15 25 35 45 50 Hình 1.2: Hàm thu c c-a t%p m DD CHEU Ví d 1.4 Ta sv ñưa mKt ví d( vB t p m r i r c (discrete fuzzy set) Xét t p giá tra thang ñi&m 10 ñánh giá k t quS hLc t p c)a hLc sinh vB môn Tốn, = {1, 2, …, 10} Khi khái ni>m m vB l%c hLc mơn tốn gisi có th& ñưAc bi&u tha bJng t p m G~ sau: G~ = 0,1/4 + 0,2/5 + 0,4/6 + 0,7/7 + 0,9/8 + 1,0/9 +1,0/10 (2*) " ñây giá tra c)a miBn khơng có mct bi&u th'c (2*) có nghĩa ñK thuKc c)a chúng vào t p m G~ bJng 0,0 Trong trư ng hAp t p m r i r c ta có th& bi&u diHn t p m bJng mKt bSng Chlng h n, ñPi v i t p m G~ " ta có bSng sau: BSng 1.1: T%p m G~ G~ 10 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,0 1,0 Ví d 1.5 Trong ví d( sv xây d%ng t p m bi&u tha ng@ nghĩa c)a khái ni>m GIÀ TRJ c)a thuKc tính l'a tu=i GiS si t p vũ tr( chd tu=i tính theo đơn va năm = {u : ≤ u ≤ 120}, chlng h n tu=i c)a x 8,37 năm Khi khái ni>m GIÀ có th& đưAc bi&u tha bJng t p m v i hàm thuKc sau: 120 GIÀ(u) = ∫ −2 u − 60 −1 {1 + } /u 120 TRJ(u) = 1− GIÀ(u) = ∫ −2 u − 60 −1 {1 − {1 + } }/ u C,n nhRn m nh mKt l,n n@a rJng cơng th'c hình th'c bi&u diHn t p m DRu tích phân chd có nghĩa miBn xác đanh c)a hàm thuKc vơ h n continuum, t p hAp có l%c lưAng tương đương v i đo n [0, 1] Ví d 1.6 T p r i r c miBn phi sP: Trong th%c t 'ng d(ng ngư i ta hay si d(ng t p m miBn phi sP, chlng h n, miBn giá tra ngơn ng@ Ví d(, ta xét bi n ngơn ng@ NHIKT ðL có th& xem xác đanh miBn giá tra ngơn ng@ = {Th p, Trung bình, Cao} Khi đó, mKt t p m r i r c T~ miBn có th& đưAc bi&u tha sau: T~ = 1/Th p+ 2/Trung 11 bình + 3/Cao Chlng h n Tr.i mát có th& bi&u tha bJng t p m sau: Tr.i mát = 0,7/Th p + 0,8/Trung bình + 0,2/Cao ðPi v i t p hAp kinh ñi&n A có khái ni>m sP lưAng ph,n ti c)a mKt t p hAp, trư ng hAp A h@u h n, hay l%c lưAng c)a t p hAp, trư ng hAp A vô h n Hai t p hAp A B có l%c lưAng bJng n u có tzn t i mKt ánh x 1Š1 t? A lên B ðPi v i t p m A~, khái ni>m l%c lưAng ñưAc khái quát hóa bJng đanh nghĩa sau: ð nh nghĩa 1.5 L6c lư ng c#a t p m Cho A~ mKt t p m (i) LNc lưOng vô hư4ng (scalar cardinality): L%c lưAng hay bSn sP th%c c)a t p A~, ký hi>u Count(A~), đưAc tính theo cơng th'c ñ m sau (ñôi ñưAc gLi sigma count) Count(A~) = ∑ arith u∈U = " ñây ∑ arith ∫ arith A~ ∫ (u) , n u arith U A~ t p h@u h n hay ñ m đưAc (u)du , n u t p vơ h n continuum t=ng tích phân sP hLc (ii) LNc lưOng m (fuzzy cardinality): L%c lưAng hay bSn sP m c)a t p A~ m t t%p m t p sP ngun khơng âm đưAc ñanh nghĩa Card(A~) = sau: ñó Card ( A ~ ) c)a t p m'c At~ , ∫ N Card ( A~ ) (n)dn (n) ñưAc xác ñanh theo công th'c sau, v i | At~ | l%c lưAng Card ( A ~ ) (n ) = suppremum {t ∈ [0, 1]: | At~ | = n} Có th& xem cơng th'c tính Count(A~) " cơng th'c “đ m” sP ph,n ti Th%c v y, n u t p A~ tr" vB t p kinh đi&n A~(u) cơng th'c Count(A~) bK đ m sP ph,n ti Khi 1, u chd thuKc vB t p A~ v i tŽ l> ph,n trăm bJng A~(u) A~(u) ≠ ph,n ti u chd đưAc “đ m” vào sP lưAng ph,n ti mKt ñ i lưAng bJng 12 ≡ A~(u) Lưu ý rJng, khác v i trư ng hAp t p kinh ñi&n, dù t p vô h n ñ m đưAc hay vơ h n continuum, l%c lưAng c)a t p m A~ v€n có th& h@u h n, tùy theo dáng ñi>u c)a hàm A~(u) 1.2 Bi8n ngơn ng9 L.A.Zadeh vi t “khi thi u hPt tính xác b ngồi c-a nhRng v n đ phSc tTp, m t cách tN nhiên tìm cách sV dPng bi n ngơn ngR, bi n mà giá trA c-a chúng không phYi sZ mà t[ ho\c câu ngôn ngR tN nhiên ho\c nhân tTo ð ng lNc cho vi^c sV dPng t[, câu sZ ñ\c trưng ngôn ngR c-a t[, câu thư.ng xác đAnh c-a sZ” Trong s" d@ li>u quan h>, quan h> hay bSng d@ li>u ch'a thuKc tính hay tên cKt Nó chd tính chRt c)a đPi tưAng Các thuKc tính th& hi>n ngơn ng@ đ& mơ tS tính chRt đPi tưAng ngư i, ngơn ng@ t% nhiên có nh@ng thuKc tính TU_I, CHI`U CAO, LƯƠNG, NĂNG LeC … Các thuKc tính có th& đưAc mơ tS bJng giá tra ngôn ng@ tr , già, r t tr , … Vì lý v y, Zadeh gLi thuKc tính ki&u v y bi n ngơn ngR miBn giá tra c)a chúng giá tra ngôn ng@ hay gLi miBn ngôn ng@ (linguistic domain hay termŠdomain) Tuy nhiên, ñã ñB c p M(c 1.1, bSn thân giá tra ngơn ng@ khơng phSi đPi tưAng tốn hLc, ng@ nghĩa c)a chúng ñưAc bi&u tha bJng t p m hay hàm thuKc ð& khái ni>m bi n ngôn ng@ tr" thành mKt khái ni>m tốn hLc, Zadeh hình th'c hóa khái ni>m sau: ð nh nghĩa 1.6 Bi n ngôn ng@ mKt bK năm (X, T(X), U, R, M ), X tên bi n, T(X) t p giá tra ngôn ng@ c)a bi n X, U không gian tham chi u c)a bi n s" u, m[i giá tra ngôn ng@ xem mKt bi n m U k t hAp v i bi n s" u, R mKt qui tEc cú pháp sinh giá tra ngôn ng@ c)a T(X), M qui tEc ng@ nghĩa gán m[i giá tra ngôn ng@ T(X) v i mKt t p m U Ví d 1.7 Cho X bi n ngơn ng@ có tên AGE, bi n s" u lRy theo sP tu=i c)a ngư i có miBn xác đanh U = [0,100] T p giá tra ngôn ng@ 13 T(AGE) = {old, very old, more or less young, less young, very young….} R mKt qui tEc sinh giá tra M gán ng@ nghĩa m[i t p m v i mKt giá tra ngôn ng@ Chlng h n, ñPi v i giá tra nguyên th)y old, M (old) = {(u, old(u) | u∈[0,100]}, " ñây chLn old(u) u ∈ [0,50] u ∈ [50,100] = (1 + ( u − 50 ) −2 ) −1 Các đ-c trưng c#a bi8n ngơn ng9 Trong th%c t có rRt nhiBu bi n ngơn ng@ khác vB giá tra nguyên thuŽ, chlng h n bi n ngôn ng@ Sj NGÀY LÀM VIKC có giá tra ngun thuŽ ít, nhi u, bi n ngơn ng@ LƯƠNG có giá tra ngun thuŽ th p, cao… Tuy nhiên, nh@ng k t quS nghiên c'u ñPi v i mKt miBn tra c)a mKt bi n ngơn ng@ c( th& v€n gi@ đưAc ý nghĩa vB mct cRu trúc ñPi v i miBn giá tra c)a bi n l i ðcc trưng đưAc gLi tính phm qt c)a bi n ngơn ng@ Ng@ nghĩa c)a gia ti liên t? hồn tồn đKc l p v i ng@ cSnh, ñiBu khác v i giá tra nguyên th)y c)a bi n ngôn ng@ l i ph( thuKc vào ng@ cSnh Ví d( ta nói LƯƠNG c)a cán bK An r t cao, đưAc hi&u rJng LƯƠNG khoSng 8.000.000 đzng, ta nói CHI`U CAO c)a cán bK An r t cao đưAc hi&u rJng CHI`U CAO khoSng 1.8 m Do tìm ki m mơ hình cho gia ti liên t? khơng quan tâm đ n giá tra nguyên thuŽ c)a bi n ngôn ng@ ñang xét ðcc trưng ñưAc gLi tính ñ c l%p ngR cYnh c-a gia tV liên t[ Các ñcc trưng cho phép si d(ng mKt t p gia ti xây d%ng mKt cRu trúc toán hLc nhRt cho miBn giá tra c)a bi n ngôn ng@ khác 1.3 Các phép tính trên t p m Xét mKt bi n ngơn ng@ X đưAc đanh nghĩa " Trư c h t, có nh n xét rJng, nhìn chung, t p Snh c)a t p T(X) qua ánh x M(X) khơng có cRu trúc đ i sP, khơng đanh nghĩa ñưAc phép 14 ... sv l? ?m h? ?m thuKc c)a t p m dãn n ra, h? ?m thuKc c)a t p m thu ñưAc sv xác ñanh mKt miBn th%c s% bao h? ?m miBn gi i h n b"i h? ?m thuKc c)a t p m gPc Trên Hình 1.3, ta thRy ñư ng cong nét chRm bi&u... 1.3.9 Phép m hóa (Fuzzification) Vi>c m hóa có hai tốn: Š T? ?m t p m bi&u tha mKt t p kinh ñi&n hay, mKt cách t=ng quát hơn, m hóa mKt t p m cho A~; Š T? ?m ñK thuKc c)a giá tra ngôn ng@ c)a mKt bi... (u ) miBn gi i h n b"i h? ?m nJm trLn miBn gi i h n b"i h? ?m A~ (u ) , h? ?m thuKc A~ α A~ (u ) sv (u ) c)a t p m ba co l i sau phép t p trung Nói khác ñi t p m CON(A~) bi&u tha mKt khái ni >m ñcc